Уравнения смешанного типа решу егэ профиль

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

ЕГЭ Профиль №12. Уравнения смешанного типа, содержащие тригонометрические функцииadmin2022-08-08T15:35:29+03:00

Уравнения, часть С

Теория к заданию 13 из ЕГЭ по математике (профильной)

Уравнения, часть $С$

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Схема решения сложных уравнений:

1. Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
2. Решить уравнение.
3. Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

6. Формула перехода к новому основанию

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям $table< x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

• Метод замены переменной.

В данном методе надо:

Решите уравнение $log_<2>√x+2log_<√x>2-3=0$

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$table< х>0,text»так как стоит под знаком корня и логарифма»; √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

3. Далее сделаем замену переменной $log_<2>√x=t$

4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

Прологарифмируем правые части уравнений

Приравняем подлогарифмические выражения

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

$<table 16 >0; 16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

• Уравнения вида $log_x+log_x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

Дробно рациональные уравнения

• Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.

• Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.

Показательные уравнения

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

Виды показательных уравнений:

1. Простые показательные уравнения:

а) Вида $a^=a^$, где $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.

b) Уравнение вида $a^=b, b>0$

Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается

2. Метод уравнивания оснований.

3. Метод разложения на множители и замены переменной.

• Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^$.
• Сделать замену переменной $a^=t, t > 0$.
• Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
• Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.

Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$

Получаем кубическое уравнение вида

Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей

Разложим левую часть уравнения методом группировки

Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$

Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов

Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

Решим первое уравнение

Решим второе уравнение через дискриминант

Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения

4. Метод преобразования в квадратное уравнение

• Имеем уравнение вида $А·a^<2f(x)>+В·a^+С=0$, где $А, В$ и $С$ — коэффициенты.
• Делаем замену $a^=t, t > 0$.
• Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
• Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Способы разложения на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

1. Определить общий множитель.
2. Разделить на него данный многочлен.
3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Разложить на множители многочлен: $10a^<3>b-8a^<2>b^2+2a$.

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

Это и есть конечный результат разложения на множители.

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена

Уравнения смешанного типа егэ математика

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решим уравнение

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Это синус вначале нужно писать

Нет. Нужно внимательно читать решение задачи, и следить за смыслом, а не бездумно механически действовать по заученным формулам.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

если же tgx=1,то там рассматриваются два корня: x=п/4+2пn x=5п/4+2пn

и как раз через эти два корня я нашла корни,принадлежащие промежутку,но почему в ответе под а у вас одно решение?

эти две точки можно объединить, что у нас и сделано

почему при решении было выполнено деление на 3^cos(x), ведь тогда теряется корень 3^cos(x)=0?

такого корня нет, поэтому он не теряется

Извиняюсь, что задаю вопрос не совсем по теме, но когда вообще МОЖНО делить на неизвестное, а когда нельзя? Я не одну статью прочитал на эту тему, но все понять не могу. Одни говорят, что можно, но при этом происходит потеря корней, а другие говорят — что можно и делают это, третьи говорят, что будет потеря корней, но это МОЖНО делать.

Короче говоря. как мне кажется, это самая не разобранная тема. О ней вообще нет инфы в должном обьеме. Пожалуйста, обьсните в кратце, когда МОЖНО, а когда НЕЛЬЗЯ.

p.s. я понял, что МОЖНО, вроде как, когда не происходит изменение ОДЗ, но опять же, а когда оно проиходит?

Думаю, мне не одному этот вопрос требуется.

Подробный ответ ЗДЕСЬ невозможен. Лучше задать его, нажав ссылку «Помощь по заданию».

Если кратко, то правило простое: НЕЛЬЗЯ делить на нуль. На положительные и отрицательные числа делить можно, соблюдая правила.

Число положительно при любом значении , поэтому на него можно делить.

В уравнении , если Вы поделите на , то потеряете корень . Поэтому делить на нельзя.

Выход может быть таким: рассмотрите два случая

1. , тогда верное равенство. Значит − корень.

2. , тогда и на него можно поделить. Получим .

Ответ:

А вот уравнение можно делить на . Потому что по ОДЗ , а значит на ОДЗ

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Уравнения смешанного типа решу егэ

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решим уравнение

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Это синус вначале нужно писать

Нет. Нужно внимательно читать решение задачи, и следить за смыслом, а не бездумно механически действовать по заученным формулам.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ : а) б)

если же tgx=1,то там рассматриваются два корня: x=п/4+2пn x=5п/4+2пn

и как раз через эти два корня я нашла корни,принадлежащие промежутку,но почему в ответе под а у вас одно решение?

эти две точки можно объединить, что у нас и сделано

почему при решении было выполнено деление на 3^cos(x), ведь тогда теряется корень 3^cos(x)=0?

такого корня нет, поэтому он не теряется

Извиняюсь, что задаю вопрос не совсем по теме, но когда вообще МОЖНО делить на неизвестное, а когда нельзя? Я не одну статью прочитал на эту тему, но все понять не могу. Одни говорят, что можно, но при этом происходит потеря корней, а другие говорят — что можно и делают это, третьи говорят, что будет потеря корней, но это МОЖНО делать.

Короче говоря. как мне кажется, это самая не разобранная тема. О ней вообще нет инфы в должном обьеме. Пожалуйста, обьсните в кратце, когда МОЖНО, а когда НЕЛЬЗЯ.

p.s. я понял, что МОЖНО, вроде как, когда не происходит изменение ОДЗ, но опять же, а когда оно проиходит?

Думаю, мне не одному этот вопрос требуется.

Подробный ответ ЗДЕСЬ невозможен. Лучше задать его, нажав ссылку «Помощь по заданию».

Если кратко, то правило простое: НЕЛЬЗЯ делить на нуль. На положительные и отрицательные числа делить можно, соблюдая правила.

Число положительно при любом значении , поэтому на него можно делить.

В уравнении , если Вы поделите на , то потеряете корень . Поэтому делить на нельзя.

Выход может быть таким: рассмотрите два случая

1. , тогда верное равенство. Значит − корень.

2. , тогда и на него можно поделить. Получим .

Ответ:

А вот уравнение можно делить на . Потому что по ОДЗ , а значит на ОДЗ

Уравнения смешанного типа

Смешанные уравнения – это уравнения, в которых переменная находится в функциях разных типов.

Решение смешанного уравнения

Каждое такое уравнение решается очень индивидуально. Общего метода решения – нет. В некоторых уравнениях нужно умело использовать формулы. В других помогут графики функций.

Пример. Решить уравнение (log_2⁡x=-x+1).
Решение: Здесь никакие преобразования не помогут найти корень . Это отличительный признак уравнений, решающихся графически.
Представим левую и правую части уравнения как функции: (f(x)=log_2⁡x) и (g(x)=-x+1). Уравнения требует, чтоб они были равны – значит, графики этих функций должны пересекаться, а точка пересечения и будет корнем уравнения.
Построим графики функций и найдем точки пересечений.

Единственная точка пересечения — ((1;0)). Значит, корнем уравнения будет значение (x=1). Проверим это подстановкой:

Конечно, некоторые из вас сразу нашли этот корень простым подбором, но это не будет полноценным решением. Почему? Потому что вы не можете быть уверены, что других корней нет, а график функций снимает этот вопрос — он четко показывает: корень здесь только один.

Это показательно — тригонометрическое уравнение.
Обратим внимание, что (15) можно представить как (3cdot 5). Вряд ли это простое совпадение. Используя свойства степеней разложим (15) на множители.

Перенесем выражение из правой части в левую.

В какую степень надо возвести тройку, чтоб она стала нулем? Ни в какую, положительное число в любой степени останется положительным числом. Поэтому у первого уравнения нет решения.
Во втором уравнении перенесем (5^<sin⁡x>) вправо.

Имеем показательное уравнение . Решаем его как обычно — «убираем» основания степеней.

Делим уравнение на (sin⁡x). Это можно сделать т.к. (sin⁡x=0) не будет решением уравнения. Значит синус икс – не ноль, и поэтому на него можно делить.

Как решать уравнения смешанного типа?

Андрей Алексеевич, один из ведущих математиков Альфа-школы и эксперт ЕГЭ, продолжает рассматривать задания профильного уровня. Тренируйтесь вместе с нами и сдавайте экзамен на самый высокий балл!

Задание №13

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решение уравнений смешанного типа сводиться к процедуре идентификации. Т.е. необходимо определить, какие типы уравнения в данном случае «мешали».

Как мы видим, это уравнение представляет собой показательное уравнение, степень которого является тригонометрической функцией.

Давайте преобразуем исходное уравнение. В левой части мы можем «15» представить в виде двух множителей: «3х5».

Затем воспользуемся свойством степени и, раскрыв скобки «(3х5) в степени «cos x», представим левую часть в виде произведения двух чисел в одинаковой степени. Теперь мы видим, что можем упростить это уравнение, разделив обе части на «3 в степени cos x». Уравнение станет намного проще. Так как слева и справа мы получили одинаковое основание степени, мы можем перейти к уравнению показателей степени.

Получается «cos x = sin x». Разделим обе части на «cos x» и перейдем к функции «tg x». Получаем частный случай уравнения для тангенса. И сразу же записываем множество решений с периодом «Пк»

Первое задание выполнено. Далее:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Для этого вращаем точку на нужное количество витков и отмечаем результат.

Вот мы и вспомнили, как решать уравнения смешанного типа . Занимайтесь математикой с удовольствием, обращайтесь за помощью только к опытным специалистам, не ленитесь, и тогда результат на ЕГЭ будет самый замечательный!

Уравнения
из материалов ЕГЭ профильного уровня смешанного тип

         Иррациональные и тригонометрические уравнения.

1. а)  Решите
уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Решим
уравнение

б)  С помощью числовой окружности отберём корни,
принадлежащие отрезку Получим
числа:

Ответ: а) б)

2. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Воспользуемся
тем, что

и произведем эквивалентые преобразования уравнения:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности.
Подходят

Ответ: а) б)

3. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Заметим,
что

поэтому, внося под знак корня, необходимо
рассмотреть два случая:

В случае имеем:

Условию удовлетворяет
серия

В случае имеем:

Условию удовлетворяют
серии и

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку при помощи
тригонометрической окружности (см. рис.). Получим

Ответ: а) б)

4. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. Уравнение имеет корни,
только если При этом
условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат.
Выполним преобразования:

Разделим второе
уравнение совокупности на получим это уравнение не имеет
решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся
формулами двойного угла. Получим:

Из найденных серий условию удовлетворяют
только и

Отберем корни при помощи тригонометрической окружности
(см. рис.), получим числа и

Ответ: а) б)
и

5. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Заметим,
что получим
в левой части

Далее, используя формулы перейдем
к половинному аргументу в правой части и сведем уравнение к однородному
тригонометрическому второй степени:

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности,
подходят

Ответ: а) б)

6. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Преобразуем
уравнение с помощью формул приведения и основного тригонометрического
тождества:

б)  Отберём корни. принадлежащие отрезку. Для первой
серии получаем:

откуда корень Для
второй серии имеем:

откуда корень

Ответ: а) б)

7. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  При
условии исходное
уравнение равносильно следующим:

Условию удовлетворяет
только

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности,
подходят и 0.

Ответ: а) б)
0.

8. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Левая
часть уравнения обращается в нуль в двух случаях. Если второй множитель равен
нулю:

Или если первый множитель равен нулю, а второй при этом определён.

Решим уравнение:

Решим неравенство:

Неравенству удовлетворяют только корни серии

Объединяя два рассмотренных случая, заключаем, что решениями
уравнения являются и

б)  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической
окружностью (см. рис.). На отрезке лежат корни и

Ответ: а) б)

9. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Перенесем
в правую часть, заметим, что сумма не
принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии возведение обеих частей уравнения в квадрат
является равносильным преобразованием. Имеем:

Выразим множители, стоящие в левой части уравнения, через В силу основного тригонометрического тождества Чтобы преобразовать
первый множитель, воспользуемся формулой откуда
получим: Далее
применим формулы косинуса тройного угла и
косинуса половинного угла

Пусть тогда имеем:

Вернемся к исходной переменной, получим уравнение откуда
Учитывая
условие окончательно
получаем:

б)  Чтобы найти корни на заданном отрезке, решим двойное
неравенство:

Так как правая часть
полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k
целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим
левую часть:

Поскольку подходит
также значение k = −2. Поскольку осталось
проверить значение k = −3. Покажем, что

Итак k = −3, k = −2
или k = −1. Найденным значениям k соответствуют
корни и

Ответ: а) б)

10. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)   При
условии и
исходное уравнение эквивалентно совокупности

Условию удовлетворяют серии корней и

б)  Отберём корни при помощи единичной
тригонометрической окружности. На заданном отрезке лежит только один
корень  — число

Ответ: а) б)

11. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку

Решение. a)  Уравнение
равносильно уравнению при
условии Возведем обе
части исходного уравнения в квадрат при условии получим:

Полученный корень удовлетворяет исходному ограничению.

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности
(см. рис.), подходят числа и 

Ответ: а) б)

12. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Под
знаками обоих радикалов находятся полные квадраты:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходит

Ответ: а) б)

13. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Сделаем
замену переменной тогда:

Таким образом, откуда

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности.
Точка удовлетворяет
заданному интервалу.

Ответ: а) б)

Примечание.

Уравнение удобно
решить, используя геометрический смысл модуля. Действительно, с геометрической
точки зрения левая часть уравнения представляет собой разность расстояний от
точки с координатой t до точек с координатами 5 и 1 на числовой
оси. Эта разность равна в точке для точек, лежащих на
числовой оси правее числа 2, эта разность расстояний будет меньше двух, а для
точек, лежащих левее  — больше двух.

14. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Под
знаками обоих радикалов находятся полные квадраты:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходит

Ответ: а) б)

15. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Преобразуем
уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходит

Ответ: а) б)

16. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Исходное
уравнение имеет смысл только при тогда
это эквивалентно совокупности:

Все найденные серии корней удовлетворяют условию

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности
(см. рис.), получим: и

Ответ: а) б)
и

17. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  Преобразуем
уравнение:

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности.
Получим

Ответ: а) б)

18. а)  Решите
уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

Решение. а)  При
условии исходное
уравнение эквивалентно следующим:

Каждое из слагаемых в левой части не меньше −1, поэтому их
сумма равна −2 тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно
−1. Решим уравнение получим то есть Проверим
для найденных решений выполнение условия Используем
периодичность синуса, применим формулу приведения, получаем:

Выражение равно −1 для
всех нечетных k и только для них. Следовательно, решениями уравнения
(⁎) являются числа где k  —
любое нечетное число. Эти числа удовлетворяют условию поскольку обращают косинус в нуль. Тем
самым все они являются корнями исходного уравнения.

б)  Решим двойное неравенство:

Следовательно, k = 3 и подходит корень

 Ответ: а) б)

 Примечание.Ответ к пункту а) можно записать в виде

19. а)  Решите
уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а) Заметим, что
уравнение может иметь решения только при Преобразуем его при этом условии:

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку при
помощи тригонометрической окружности. Подходят

Ответ: а) б)

20. а)  Решите
уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение. а)  Знаменатель
дроби должен быть отличен от нуля, то есть

При этом условии числитель дроби должен быть равен нулю. Применим
формулы и получим:

Если и угол х
лежит в первой четверти, то а
тогда что
обращает знаменатель в нуль. Если же и угол х
лежит во второй четверти, то а
тогда что
допустимо. Следовательно, решением уравнения является серия

б)  Отберем корни, решая двойное неравенство:

Акрсинус положительного числа лежит в интервале поэтому
левая часть двойного неравенства больше  –5π, а
правая  — меньше –4,5π. Следовательно, число 2πk
лежит в интервале (–5π; –4,5π), а значит, Найденному значению параметра соответствует корень

Ответ: а) б)

                                    
Решить
самостоятельно.

1. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку

2. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

3. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

4. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

5. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
промежутку

6. а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

7. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

8. а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку

                                              
Ответы.

1. а) б)
    (№17)

2. : а) б)
    (№40)

3. : а) б)
  (№31)

4. : а) б)
   (№47)

5. : а) б)
  (№55)

6. а) б)
   (№67)

7. а) б)
   (№68)

8. : а) б)
0.    (№71)