Усеченная пирамида в егэ по математике

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями, а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.

В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной.

Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.

Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми, а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания.

Пирамиду называют правильной, если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Для любой пирамиды имеют место следующие формулы: 

1) S_полн = S _бок + S_осн, где

S_полн – площадь полной поверхности пирамиды;

S_бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;

S _осн – площадь основания пирамиды.

2) V = 1/3 S_осн · Н, где

V – объем пирамиды;

Н – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды имеет место:

S_бок = 1/2 P_осн h, где

P_осн – периметр основания пирамиды;

h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.

Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой.

Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми.

Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники. Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной.

Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы: 

1) S_полн = S_бок + S₁ + S₂, где

S_полн – площадь полной поверхности;

S_бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;

S₁, S₂ – площади оснований;

2) V = 1/3( S₁ + S₂  + √(S₁ · S₂ ))H, где

V – объем усеченной пирамиды;

H – высота усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды также имеем:

S_бок = 1/2(P₁ + P₂) · h, где

P₁ , P₂ – периметры оснований;

h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).

Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.

Задача 1.

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА₁В₁С₁, изображенную на рисунке1.

1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V = 1/3H · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)), где S₁ – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p₁ = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S₁ = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁. Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S₁/S₂ = (P₁)²/(P₂)² = 108²/72² = 9/4. Отсюда S₂ = 4S₁/9 = 4 · 270/9 = 120.

Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

Ответ: 1900.

Задача 2.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1 : 2?

Решение.

Рассмотрим АВСА₁В₁С₁ – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1 : 2, то площади оснований относятся как 1 : 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А₁В₁С₁).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V = 1/3h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)) = 1/3h · (4S₂ + S₂ + 2S₂) = 7/3 · h · S₂, где S₂ – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA₁B₁C₁ составляет V₁ = S₂ · h и, значит,

V₂ = V – V₁ = 7/3 · h · S₂ — h · S₂ = 4/3 · h · S₂.

Итак, V₂ : V₁ = 3 : 4.

Ответ: 3 : 4.

Задача 3.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА₁В₁С₁D₁, изображенную на рис. 3.

Обозначим О₁О₂ = х, тогда ОО₂ = О₁О – О₁О₂ = 3 – х.

Рассмотрим треугольник В₁О₂D₁ и треугольник ВО₂D:

угол В₁О₂D₁ равен углу ВО₂D как вертикальные;

угол ВDO₂ равен углу D₁B₁O₂ и угол O₂ВD равен углу B₁D₁O₂ как накрест лежащие при B₁D₁ || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.

Следовательно, треугольник В₁О₂D₁ подобен треугольнику ВО₂D и имеет место отношение сторон:

В1D₁/ВD = О₁О₂/ОО₂ или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.

Рассмотрим треугольник В₁D₁В и треугольник LО₂B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B₁D₁ || LM, значит, треугольник В₁D₁В подобен треугольнику LО₂B, откуда В₁D : LO₂ = OO₁ : OO₂ = 3 : 2, т.е.

LO₂ = 2/3 · B₁D₁, LN = 4/3 · B₁D₁.

Тогда S_KLMN = 16/9 · S_A1B1C1D1 = 16/9.

Итак, V₁ = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V₂ = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Ответ: 152/27; 37/27.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Видео по теме

---

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде   точка   – центр основания,   – вершина,   Найдите длину отрезка .

Решение: + показать

---

Задача 2.  В правильной четырехугольной пирамиде   точка  – центр основания,  – вершина,   Найдите боковое ребро

Решение: + показать

---

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 4.  В правильной четырёхугольной пирамиде   точка   —  центр основания,  — вершина,   Найдите длину отрезка

Решение: + показать

---

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде   с основанием  боковое ребро  равно сторона основания равна  Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать

---

Задача 8.  Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 9.  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен  Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде   медианы основания  пересекаются в точке . Площадь треугольника   равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Решение: + показать

---

Задача 13.  В правильной треугольной пирамиде  точка  — середина ребра  — вершина. Известно, что а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна  

Решение: + показать

---

Задача 15.  Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Решение: + показать

---

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Решение: + показать

---

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Решение: + показать

---

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Решение: + показать

---

Задача 20.  Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Решение: + показать

---

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение: + показать

---

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2 

Решение: + показать

---

Задача 25.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

---

Задача 28.  Объем параллелепипеда  равен Найдите объем треугольной пирамиды  

Решение: + показать

---

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

---

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды  равен Точка  — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение: + показать

---

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: + показать

---

Задача 33.  Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение: + показать

---

  Вы можете пройти тест

Геометрия 10-11 класс. Усеченная пирамидаadmin2022-11-30T22:09:37+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Геометрия 10-11 класс. Усеченная пирамида

Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями.

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:    (V = frac{1}{3}Hleft( {,{S_1} + {S_2} + sqrt {,{S_1} cdot {S_2}} ,} right)), где H – высота усеченной пирамиды; ({S_1}) и ({S_2}) – площади ее оснований.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Дана треугольная усеченная пирамида ABCA1B1C1, A1B1 = 10, B1C1 = 22, BC = 33. Найдите AB.

Задача 2. Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида ABCDA1B1C1D1, A1C1 = 8, CC1 = 5, AC = 16. Найдите высоту данной пирамиды.

Задача 3. Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида ABCDA1B1C1D1,  B1C1 = 6,  CC1 = 10, AD = 18. Найдите площадь боковой поверхности.

Задача 4. Дана правильная треугольная усеченная пирамида ABCA1B1C1, A1B1 = 2, BC = 6, (A{A_1} = sqrt 8 .) Найдите площадь боковой поверхности.

Задача 5. Дана правильная треугольная усеченная пирамида ABCA1B1C1, высота которой равна 4. Точки O и O1 – центры оснований, (A{A_1} = sqrt {19} ,,,,{A_1}{O_1} = 2sqrt 3 .) Найдите AC.

Задача 6. Дана правильная треугольная усеченная пирамида ABCA1B1C1, высота которой равна 4, (AB = 6sqrt 3 ,,,,{A_1}{B_1} = 3sqrt 3 .) Найдите AA1.

Задача 7. Дана правильная треугольная усеченная пирамида ABCA1B1C1, (A{C_1} = 4,,,,A{C_1} bot {A_1}C.) Найдите площадь боковой поверхности.

Задача 8. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды 3 и 5, боковое ребро равно (sqrt {17} ). Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Задача 9. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 и 12, высота равна 1. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Задание. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A₁B₁C₁. Через ребро AВ проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС₁ в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объема.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC₁ в отношении 5 : 13, считая от точки C₁.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Решение:

а) Докажите, что точка N делит ребро CC₁ в отношении 5 : 13, считая от точки C₁.

Пусть площадь нижнего основания S_ABC = S, площадь верхнего основания S_A1B1C1 = S₁, высота усечённой пирамиды ABCA₁B₁C₁ равна C₁H₁ = h, высота пирамиды NABC равна NH = h₁.

По условию площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A₁B₁C₁, т. е. S = 9S₁.

Плоскость α, которая пересекает ребро СС₁ в точке N, делит пирамиду на два многогранника равного объема, т. е. V_ус.пир. = 2V_NABC, или

(1)

Объем усеченной пирамиды V_ABCA1B1C1 вычисляется по формуле

Объем пирамиды V_NABC вычисляется по формуле

Подставим найденные объемы в формулу (1), получим

Треугольники ΔC₁H₁C и ΔNHC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠C – общий,  ∠H₁ = ∠H – прямые углы), следовательно,

т. е.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Ребро меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды А₁C₁ = А₁B₁ = B₁C₁ = 3,

а высота пирамиды C₁Н₁ = 13.

По условию ABCA₁B₁C₁– правильная усеченная пирамида, поэтому треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е.

Значит,

Медиана CF треугольника ΔАВС является его высотой.

Из прямоугольного треугольника ΔАCF (ÐF = 90⁰) найдем CF:

Точки О и О₁ – центры треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, т. е. точки О и О₁ – точки пересечения медиан, биссектрис и высот треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т. е.

Так как треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ подобны (k = 3), то

Тогда H₁C = CO – OH₁ = 3√3 — √3 = 2√3

Так как треугольники ΔC₁H₁C и ΔNHC подобны, найдем NH и HC:

Из прямоугольного треугольника ΔNFH (ÐH = 90⁰) найдем NF:

Площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α (ΔABN) равна

Ответ: 48,5