Условие фано примеры егэ

Всего: 97    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–97

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 97    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–97

Привет! Сегодня узнаем, как решать 4 задание из ЕГЭ по информатике нового формата 2021.

Четвёртое задание из ЕГЭ по информатике раскрывает тему кодирование информации. Одним из центральных приёмов при решении задач подобного типа является построение дерева Фано. Рассмотрим на примерах этот метод.

Задача (стандартная)

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только шесть букв: А, B, C, D, E, F. Для передачи используется неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв A, B, C используются такие кодовые слова: А — 11, B — 101, C — 0. Укажите кодовое слово наименьшей возможной длины, которое можно использовать для буквы F. Если таких слов несколько, укажите то из них, которое соответствует наименьшему возможному двоичному числу.

Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова. Коды, удовлетворяющие условию Фано, допускают однозначное декодирование

Решение:

Т.к. код букв должен удовлетворять условию Фано (т.е. однозначно декодироваться), то
расположим буквы, которые уже имеют код (A, B, C), на Дереве Фано.

Дерево Фано для двоичного кодирования начинается с двух направлений, которые означают 0(ноль) и 1(единицу) (цифры двоичного кодирования).

От каждого направления можно также рисовать только два направления: 0(ноль) и 1(единицу) и т.д. Для удобства будем рисовать 1(единицу) только вправо, а 0(ноль) только влево.

Получается структура похожая на дерево!

В конце каждой ветки можно располагать букву, которую мы хотим закодировать, но если мы расположили букву, от этой ветки больше нельзя делать новых ответвлений.

Такой подход позволяет однозначно декодировать сообщение, состоящее из этих букв.

Буква C заблокировала левую ветку, поэтому будем работать с правой частью нашего дерева.

Если мы расположим какую-нибудь букву на оставшуюся ветку (100), то эта ветка заблокируется, и нам некуда будет писать остальные 2 буквы. Поэтому продолжаем ветку (100) дальше.

Теперь свободно уже две ветки, а нам нужно закодировать ещё три буквы. Поэтому должны ещё раз продолжить дерево от какой-нибудь ветки.

Но уже видно, что букве F будет правильно присвоить код 1000, т.к. нам в условии сказано, что код буквы F должен соответствовать наименьшему возможному двоичному числу. Как расположить буквы D и E в данной задаче не принципиально.

Ответ: 1000.

Ещё один важный тип задания 4 из ЕГЭ по информатике нового формата 2021.

Задача (стандартная)

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, И, К, Л, С, Ц. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: Б — 00, К — 010, Л — 111. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова АБСЦИССА?

Примечание. Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Решение:

Коды букв должны удовлетворять условию Фано. Некоторые буквы уже имеют заданные коды (Б, К, Л). Нам нужно, чтобы слово АБСЦИССА имело как можно меньше двоичных знаков. Заметим, что буква C встречается три раза, а буква A два раза, значит, этим буквам стараемся присвоить как можно меньшую длину!

Отметим на дереве Фано уже известные буквы (Б, К, Л).

У нас осталось 4 (четыре) буквы, а свободных веток 3(три), поэтому мы должны продолжить дерево. но какую ветку продолжить ?

1 вариант

Если продолжить линию 1-0, то получится такая картина :

Теперь получились 4(четыре) свободные ветки равной длины (3(трём) двоичным символам). Т.к. ветки равной длины, то не важно на какую ветку какую букву расположим.

Посчитаем общую длину слова АБСЦИССА.

3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 23.

2 вариант

С мы присваиваем 1-0, т.к. это буква повторяется в сообщении самое большое количество раз, значит, ей присваиваем самый маленький код, чтобы всё сообщение имело наименьшую длину.

Из этих же соображений букве А присваиваем код из трёх двоичных символов 0-1-1.

Подсчитаем общее количество символов в сообщении.

3 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 22

Длина получилась меньше, чем в первом варианте. Других вариантов нет, поэтому ответ будет 22.

Ответ: 22.

Задача (не сложная)

Для передачи по каналу связи сообщения, состоящего только из символов А, Б, В и Г, используется неравномерный (по длине) код: А-10, Б-11, В-110, Г-0. Через канал связи передаётся сообщение: ВАГБААГВ. Закодируйте сообщение данным кодом. Полученное двоичное число переведите в восьмеричный вид.

Решение:

В этой задаче ничего не сказано про условие Фано. Здесь уже все буквы закодированы, осталось написать сам код.

Задача сводится к переводу из двоичной системы в восьмеричную систему. На эту тему был урок на моём сайте.

Ответ: 151646.

На этом всё! Увидимся на следующих занятиях по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Давайте знакомиться! Меня зовут Александр. Готовлю школьников к успешной сдаче ОГЭ и ЕГЭ по информатике

Здравствуйте! Меня зовут Александр Георгиевич и я являюсь московским профессиональным репетитором по информатике и программированию. Вам попалась задача, связанная с кодированием и декодированием информации, и вы запутались в алгоритме ее решения?

Вам срочно нужно познакомиться с условием Фано, а также записаться ко мне на индивидуальные уроки. На своих уроках я акцентирую внимание на решении тематических простых и сложных упражнений.

В чем смысл прямого условия Фано?

Условие Фано названо в честь его создателя, итальянско-американского ученого Роберта Фано. Условие является необходимым в теории кодирования при построении самотерминирующегося кода. Учитывая другую терминологию, такой код называется префиксным.

Сформулировать данное условие можно следующим образом: «ни одно кодовое слово не может выступать в качестве начала любого другого кодового слова».

С математической точки зрения условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова BC не существует в коде».

Давайте рассмотрим примеры, когда прямое условие Фано выполняется и когда происходит его нарушение. Прежде, чем рассматривать эти примеры, рекомендую освежить знания о равномерном и неравномерном коде.

Пример $№1$(прямое условие Фано выполняется корректно). Например, нам известны символы некоторого множества ${A, B, C, D}$. Произведем кодирование каждого элемента множества неравномерным кодом, необязательно минимальной длины.

Символ	$A$	$B$	$C$	$D$
Код символа	$00$	$010$	$1011$	$110$

Проверим код буквы $A = 00$. Как видно, ни один другой символ не начинается на связку битов $00$. Аналогичные умозаключения можно сделать, если провести анализ остальных букв алфавита, т е букв $B$, $C$ и $D$.

Пример $№2$(прямое условие Фано нарушено). Пусть нам дано такое же множество элементов, как и в примере $№1$, то есть работаем с множеством ${A, B, C, D}$. Закодируем элементы этого множества неравномерным кодом, опять-таки, необязательно минимальной длины.

Символ	$A$	$B$	$C$	$D$
Код символа	$00$	$01$	$101$	$0110$

Очевидно, что в данном случае имеется нарушение прямого условия Фано! Давайте рассмотрим пару элементов множества: ${B, D}$. Начало кода буквы $D$ на $100%$ совпадает с полным кодом буквы $B$: $D =  underbrace{01}_{B}10$.

Такие кодовые слова практически невозможно однозначно декодировать.

В чем смысл обратного условия Фано?

С математической точки зрения обратное условие можно сформулировать следующим образом: «если код содержит слово B, то для любой непустой строки C слова CB не существует в коде».

Пример $№3$(обратное условие Фано выполняется корректно). Воспользуемся тем же самым алфавитом, что и в примерах выше: ${A, B, C, D}$. Произведем кодирование элементов данного множества неравномерным кодом, причем необязательно минимальной длины.

Символ	$A$	$B$	$C$	$D$
Код символа	$100$	$0101$	$11$	$110$

Последовательно проверим полный код буквы $A = 100$, не является ли он окончанием какого-либо другого кодового слова. У буквы $B$ последних $3$ бита равны комбинации $101$, что не совпадает с полным кодом буквы $А$.

Полный код буквы $C$ вообще составляет всего $2$ разряда, — проверка как таковая бессмысленна. Код буквы $D$ также состоит из $3$ бит, равных $110$ и они не равны цепочке $100$.

Делаем вывод, что код буквы $A = 100$ не нарушает обратное правило Фано. Аналогично можно рассмотреть оставшиеся кодовые слова и убедиться в том, что ни одно из них не является окончанием другого кодового слова.

Общий вывод: при таких кодовых словах абсолютно четко выполняется обратное условие Фано.

Пример $№4$(обратное условие Фано нарушено). Рассмотрим следущие элементы множества и их кодовые слова.

Символ	$A$	$B$	$C$	$D$
Код символа	$0$	$01$	$1001$	$110$

Очевидно, что здесь имеет место быть нарушение обратного условия Фано. Внимательный читатель заметит, что нарушение происходит даже не один раз.

Давайте рассмотрим пару элементов множества: ${A, D}$. Конец кода буквы $D$ на $100%$ совпадает с полным кодом буквы $A$: $D =  11underbrace{0}_{A}$. Налицо нарушение обратного правила Фано.

Рассмотрим еще одну пару элементов множества: ${B, C}$. Конец кода буквы $C$ на $100%$ совпадает с полным кодом буквы $B$: $C =  10underbrace{01}_{B}$.

Однозначно декодировать подобные кодовые слова не представляется возможным, хотя в редчаших случаях здесь могут быть исключения. Об этом более детально сможем поговорить на моих частных занятиях.

Практическое применение условия Фано

Рассмотрим телефонные номера в традиционной телефонии. Если уже существует номер $«102»$, то номер $«1029876»$ попросту не будет выдан. В случае набора первых трех цифр АТС перестает распознавать и принимать все остальные цифры, соединяя с абонентом по номеру $102$.

Однако это правило не является действительным для операторов мобильной связи. Связано это с тем, что для набора номера необходимо нажатие соответствующей клавиши, которой, в основном, является клавиша с изображением зеленой телефонной трубки. По этой причине, номера $«102»$, $«1020»$ и $«1029876»$ могут существовать и быть закрепленными за разными адресатами.

Связь условия Фано с другими темами информатики

Прямое и обратное условие Фано являются обязательными для изучения и понимания теми, кто планирует успешно сдать экзамен ЕГЭ по информатике. Но на практике вы не столкнетесь с заданиями, которые конкретно ориентированы на эту тему.

Применение условий Фано требуется обычно неявно! То есть в постановке задачи не будет и слова об этом условии. Вы должны сообразить, что в данном случае нужно воспользоваться этим правилом.

Вы могли уже заметить выше, что правило Фано используется тогда, когда приходится анализировать какие-либо кодовые слова, состоящие из цепочки бит, то есть из цепочки $0$ и $1$.

Поэтому, в обязательном порядке, вам нужно прекрасно понимать, как устроена двоичная система счисления, а также знать переводы чисел, как правило натуральных, из $10$-ной СС в $2$-ную СС и обратно.

Практически во всех заданиях ЕГЭ по информатике, где вам потребуется применить условие Фано, упор делается на однозначное кодирование и декодирование какой-либо информации.

Также условие Фано неразрывно связано с неравномерным кодом. Хочу обратить особое внимание на тот факт, что правило Фано практически не распространяется на случаи, когда информация кодируется равномерным кодом.

То есть вы должны понимать, что условие Фано — инструмент, понимание которого позволит вам быстро и эффективно решать задачи, связанные в $1$-ую очередь с кодированием/декодированием информации в двоичном представлении.

Пример задачи, которую можно эффективно решить, при помощи условия Фано

Условие задачи: дана последовательность, которая состоит из букв $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Для кодирования приведенной последовательности применяется неравномерный двоичный код, при помощи которого можно осуществить однозначное декодирование.

Буква	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
Двоичный эквивалент	$00$	$010$	$011$	$101$	$111$

Номер варианта	$1$	$2$	$3$	$4$
Ответ	$B – 01$	Не представляется возможным	$C – 01$	$D – 01$

Решение: для того, чтобы сохранилась возможность декодирования, достаточным является соблюдение прямого или обратного условия Фано. Проведем последовательную проверку вариантов $1$, $3$ и $4$. В случае если ни один из вариантов не подойдет, правильным ответом будет вариант $2$ (не представляется возможным).

Вариант $1$. Код: $A — 00$, $B — 01$, $C — 011$, $D — 101$, и $E — 111$. Прямое условие Фано не выполняется: код символа $B$ совпадает с началом кода символа $C$, то есть $C =  underbrace{01}_{B}1$.

Обратное правило Фано не выполняется: код символа $B$ совпадает с окончанием кода символа $D$, то есть $D =  1underbrace{01}_{B}$.

Вариант не является подходящим.

Вариант $3$. Код: $A — 00$, $B — 010$, $C — 01$, $D — 101$, и $E — 111$. Прямое условие Фано не выполняется: код символа $C$ совпадает с началом кода символа $B$, то есть $B =  underbrace{01}_{C}0$.

Обратное условие также не выполняется: код символа $C$ совпадает с окончанием кода символа $D$, то есть $D =  1underbrace{01}_{C}$.

Вариант не является подходящим.

Вариант $4$. Код: $A — 00$, $B — 010$, $C — 011$, $D — 01$, и $E — 111$. Прямое условие Фано не выполняется: код символа $D$ совпадает с началом кода символов $B$ и $C$, то есть: $B =  underbrace{01}_{B}0$ и $C =  underbrace{01}_{B}1$ соответственно.

Однако наблюдается выполнение обратного правила Фано: код символа $D = 01$ не совпадает с окончанием кода всех остальных символов. По этой причине, вариант является подходящим.

После проверки вариантов решения задачи на соответствие прямому и обратному условию Фано, было установлено, что правильным является вариант $4$.

Ответ: $4$

P.S. Хочу заметить, что это далеко не единственный способ решения такой задачи. Существует очень эффективный и наглядный способ решения подобных задач с использованием специального двоичного дерева.

А сейчас я вам предлагаю ознакомиться с мультимедийным решением задачи, которая была предложена в демонстрационном варианте ЕГЭ по информатике и ИКТ. Кстати, данная задача относится к типу задач, решаемых с использованием условия Фано.

Остались вопросы

Если после прочтения данной публикации у вас все равно остались какие-то вопросы, непонимания или вы хотите закрепить пройденный материал практическими решениями, то звоните и записывайтесь ко мне на частные уроки по информатике и ИКТ.

Я практик! Это означает, что на своих индивидуальных уроках я показываю своим подопечным самые лучшие методики решения заданий, ориентированных на условие Фано.

Условие Фано. Задание 4

Условие Фано
означает, что никакое кодовое слово не является
началом другого кодового слова. Это обеспечивает возможность однозначной
расшифровки закодированных сообщений.

Обратное условие
Фано означает, что никакое кодовое слово не является
окончанием другого кодового слова.

Способ
решения 4 задания — дерево Фано

Пример
задания

Для кодирования
некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, решили
использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для букв
А, Б, В, Г использовали соответственно кодовые слова 000, 001, 10, 11. Укажите
кратчайшее возможное кодовое слово для буквы Д, при котором код будет допускать
однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим
числовым значением.

Алгоритм решения

1.Построим дерево Фано и
обозначим на нём занятые коды:

2. Заметим, что по условию Фано ветки занятых
кодов обрываются, и мы не имеем право использовать коды ниже для кодирования
новых букв (создавать новые ответвления), так как это будет противоречить
условию Фано.

3. Остается один незанятый код — 01, создавать
от него новые ответвления нет смысла: во-первых, потому что это единственная
незакодированная буква (иначе пришлось бы создавать новые ответвления, чтобы
выполнялось условие Фано), во-вторых, по условию просят кратчайшее возможное
кодовое слово: 01 — кратчайший вариант из возможных, поэтому он и будет
ответом на задачу.

Ответ: 01

Задания
в классе (простые):

Задание 1. Ваня кодирует символы в алфавите. Все коды должны удовлетворять условию
однозначного декодирования (ни одно слово не может быть началом другого слова).
В алфавите представлены следующие символы: A, B, C, D. Кодовые слова A, B, C
равны 00, 010, 111, соответственно. Определите наименьшее (по длине и по
значению) кодовое слово для буквы D.

Решение

1. По условию Фано
буква D не может начинаться с “00” и кодироваться как “00”, так как “00” – это
кодирование буквы “А”.

2. Также буква D не
может кодироваться как “01” и “11”, так как код для буквы В начинается с “01”,
код для С начинается с “11”.

3. Тогда для
кодирования буквы D остаются варианты: “10”, “011”, “110” и последующие ветки,
следующие за этими кодами.

4. По условию
просят “наименьшее (по длине и по значению) кодовое слово”, следовательно, для
кодирования буквы D возьмем код 10.

Ответ: 10

Задание 2. Ваня кодирует символы в алфавите. Все коды должны удовлетворять
условию однозначного декодирования (ни одно слово не может быть началом другого
слова). В алфавите представлены следующие символы: К, Л, М, Н. Кодовые слова К,
Л, М равны 0, 10, 110, соответственно. Определите наименьшее (по длине и по
значению) кодовое слово для буквы Н.

Решение

1. По условию Фано
буква Н не может начинаться с “0” и кодироваться как “0”, так как “0” – это
кодирование буквы “К”.

 2. Также буква Н
не может кодироваться как “10” и “11”, так как код для буквы Л – “10”, код для
М начинается с “11”.

3. Тогда для
кодирования буквы Н остаются варианты: “111” и последующие ветки, следующие за
этим кодом.

 4. По условию
просят “наименьшее (по длине и по значению) кодовое слово”, следовательно, для
кодирования буквы Н возьмем код 111.

Ответ: 111

Задание 3. Ваня кодирует символы в алфавите. Все коды должны удовлетворять условию
однозначного декодирования (ни одно слово не может быть началом другого слова).
В алфавите представлены следующие символы: А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, З, И.
Некоторые кодовые слова известны и представлены в таблице:

Определите
наименьшее (по длине и по значению) кодовое слово для буквы Ж.

Решение

1. Заметим, что код
для буквы “Ж” не может начинаться с нуля, так как все коды, начинающиеся с нуля
уже заняты, следовательно, рассматриваем только коды, начинающиеся с единицы.

2. Таким образом,
построив дерево Фано для кодов, начинающихся с единицы, получим, что для буквы
“Ж” остались коды: “1001”, “100010” и последующие ветки, следующие за этими
кодами.

3. По условию
просят “наименьшее (по длине и по значению) кодовое слово”, следовательно, для
кодирования буквы Ж возьмем код 1001.

Ответ: 1001

Задания
в классе (сложнее):

Задание 1.

Игорь кодирует
символы в алфавите. Все коды должны удовлетворять условию однозначного
декодирования (ни одно слово не может быть началом другого слова). В алфавите
представлены следующие символы: А, Б, В, Г. Для буквы А используется код 1, для
буквы Б – 000. Определите минимальную сумму длин всех кодов для букв,
находящихся в алфавите.

Решение

1. Обозначим длины
уже существующих кодов: для буквы А длина кода равна 1, для буквы Б – 3.

2. Построим дерево
Фано и определим коды для оставшихся букв: они не могут начинаться с “1”, так
как буква “А” кодируется как “1”

3. Тогда для
кодирования букв В и Г остаются варианты: “01”, “001” и последующие ветки,
следующие за этими кодами.

4. Так как по
условию просят “минимальную сумму длин всех кодов для букв, находящихся в
алфавите”, логично будет взять для буквы В код “001” (длина 3), для буквы Г код
“01” (длина 2) – это обеспечит минимальность суммы длин всех кодов. Таким
образом, сумма равна 1 + 3 + 3 + 2 = 9.

Ответ: 9

Задание2. Игорь кодирует символы в алфавите. Все коды должны удовлетворять
условию однозначного декодирования (ни одно слово не может быть началом другого
слова). В алфавите представлены следующие символы: C, К, О, Р. Для буквы С код
равен 10, для буквы К – 001. Определите наименьшую возможную сумму длин букв О
и Р.

Решение

Сначала определим
оставшиеся кодовые слова. С – 10 (длина 2) – по условию. К – 001 (длина 3) – по
условию. О – 01 или 11 (длина 2) Р – 01 или 11 (длина 2) Получается, что сумма
кодов О и Р равна 2 + 2 = 4.

Ответ: 4

Задание3. Игорь кодирует символы в алфавите. Все коды должны удовлетворять
условию однозначного декодирования (ни одно слово не может быть началом другого
слова). В алфавите представлены следующие символы: A, B, C, D, E. Для буквы A код
равен 10, для буквы B – 11. Определите наименьшую возможную сумму длин всех
кодов букв.

Решение

Сначала определим
оставшиеся кодовые слова. A – 10 (длина 2) – по условию. B – 11 (длина 2) – по
условию. C – вариант 1: 00 или 011 или 010 (длина 2 или 3), вариант 2: 000 или
001 или 01 (длина 2 или 3). D – вариант 1: 00 или 011 или 010 (длина 2 или 3),
вариант 2: 000 или 001 или 01 (длина 2 или 3). E – вариант 1: 00 или 011 или
010 (длина 2 или 3), вариант 2: 000 или 001 или 01 (длина 2 или 3). Соответсвенно,
если выбрать для С кодовое слово 00 из первого варианта, тогда D и Е будут
кодироваться словами длины 3. В данных вариантах длина будет всегда одинакова.
Получаем: 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12.

Ответ : 12

Автор материалов — Лада Борисовна Есакова.

Кодирование – это перевод информации, представленной символами первичного алфавита, в последовательность кодов.

Декодирование (операция, обратная кодированию) – перевод кодов в набор символов первичного алфавита.

Кодирование может быть равномерное и неравномерное. При равномерном кодировании каждый символ исходного алфавита заменяется кодом одинаковой длины. При неравномерном кодировании разные символы исходного алфавита могут заменяться кодами разной длины.

Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, составленное из кодовых слов, можно декодировать единственным способом.

Равномерное кодирование всегда однозначно декодируемо.

Для неравномерных кодов существует следующее достаточное (но не необходимое) условие однозначного декодирования:

Сообщение однозначно декодируемо с начала, если выполняется условие Фано: никакое кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Сообщение однозначно декодируемо с конца, если выполняется обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова.

Кодирование в различных системах счисления

Пример 1.

Для кодирования букв О, В, Д, П, А решили использовать двоичное представление

чисел 0, 1, 2, 3 и 4 соответственно (с сохранением одного незначащего нуля в случае одноразрядного представления). Если закодировать последовательность букв ВОДОПАД таким способом и результат записать восьмеричным кодом, то получится

1) 22162

2) 1020342

3) 2131453

4) 34017

Решение:

Представим коды указанных букв в дво­ич­ном коде, добавив незначащий нуль для одноразрядных чисел:

О	В	Д	П	А
0	1	2	3	4
00	01	10	11	100

Закодируем по­сле­до­ва­тель­ность букв: ВО­ДО­ПАД — 010010001110010.

Разобьём это пред­став­ле­ние на трой­ки спра­ва на­ле­во и пе­ре­ведём каждую тройку в восьмеричное число.

010 010 001 110 010 — 22162.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Пример 2.

Для пе­ре­да­чи по ка­на­лу связи со­об­ще­ния, со­сто­я­ще­го толь­ко из сим­во­лов А, Б, В и Г, ис­поль­зу­ет­ся по­сим­воль­ное ко­ди­ро­ва­ние: А-10, Б-11, В-110, Г-0. Через канал связи пе­ре­даётся со­об­ще­ние: ВАГ­БА­А­ГВ. За­ко­ди­руй­те со­об­ще­ние дан­ным кодом. По­лу­чен­ное дво­ич­ное число пе­ре­ве­ди­те в шест­на­дца­те­рич­ный вид.

            1) D3A6

2) 62032206

3) 6A3D

4) CADBAADC

Решение:

За­ко­ди­ру­ем по­сле­до­ва­тель­ность букв: ВАГ­БА­А­ГВ — 1101001110100110. Разобьем это пред­став­ле­ние на четвёрки спра­ва на­ле­во и пе­ре­ведём каждую четверку в шестнадцатеричное число:

1101 0011 1010 0110₂ = D3A6₁₆

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

Расшифровка сообщений

Пример 3.

Для 5 букв ла­тин­ско­го ал­фа­ви­та за­да­ны их дво­ич­ные коды (для не­ко­то­рых букв – из двух бит, для не­ко­то­рых – из трех). Эти коды пред­став­ле­ны в таб­ли­це:

Опре­де­ли­те, какой набор букв за­ко­ди­ро­ван дво­ич­ной стро­кой 1000110110110, если из­вест­но, что все буквы в по­сле­до­ва­тель­но­сти – раз­ные:

1) cbade

2) acdeb

3) acbed

4) bacde

Решение:

Мы видим, что усло­вия Фано и об­рат­ное усло­вие Фано не вы­пол­ня­ют­ся, зна­чит код можно рас­ко­ди­ро­вать не­од­но­знач­но.

Значит, будем перебирать варианты, пока не получим подходящее слово :

1) 100 011 01 10 110

Пер­вая буква опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но, её код 100: a.

Пусть вто­рая буква — с, тогда сле­ду­ю­щая буква — d, потом — e и b.

Такой ва­ри­ант удо­вле­тво­ряет усло­вию, зна­чит, окон­ча­тель­но по­лу­чи­ли ответ: acdeb.

Ответ: 2

Пример 4.

Для пе­ре­да­чи дан­ных по ка­на­лу связи ис­поль­зу­ет­ся 5-би­то­вый код. Со­об­ще­ние со­дер­жит толь­ко буквы А, Б и В, ко­то­рые ко­ди­ру­ют­ся сле­ду­ю­щи­ми ко­до­вы­ми сло­ва­ми: А — 11010, Б — 10111, В — 01101.

При пе­ре­да­че воз­мож­ны по­ме­хи. Од­на­ко не­ко­то­рые ошиб­ки можно по­пы­тать­ся ис­пра­вить. Любые два из этих трёх ко­до­вых слов от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее чем в трёх по­зи­ци­ях. По­это­му если при пе­ре­да­че слова про­изо­шла ошиб­ка не более чем в одной по­зи­ции, то можно сде­лать обос­но­ван­ное пред­по­ло­же­ние о том, какая буква пе­ре­да­ва­лась. (Го­во­рят, что «код ис­прав­ля­ет одну ошиб­ку».) На­при­мер, если по­лу­че­но ко­до­вое слово 10110, счи­та­ет­ся, что пе­ре­да­ва­лась буква Б. (От­ли­чие от ко­до­во­го слова для Б толь­ко в одной по­зи­ции, для осталь­ных ко­до­вых слов от­ли­чий боль­ше.) Если при­ня­тое ко­до­вое слово от­ли­ча­ет­ся от ко­до­вых слов для букв А, Б, В более чем в одной по­зи­ции, то счи­та­ет­ся, что про­изо­шла ошиб­ка (она обо­зна­ча­ет­ся ‘х’).

По­лу­че­но со­об­ще­ние 11000 11101 10001 11111. Де­ко­ди­руй­те это со­об­ще­ние — вы­бе­ри­те пра­виль­ный ва­ри­ант.

1) АххБ

2) АВхБ

3) хххх

4) АВББ

Решение:

Де­ко­ди­ру­ем каж­дое слово со­об­ще­ния. Пер­вое слово: 11000 от­ли­ча­ет­ся от буквы А толь­ко одной по­зи­ци­ей. Вто­рое слово: 11101 от­ли­ча­ет­ся от буквы В толь­ко одной по­зи­ци­ей. Тре­тье слово: 10001 от­ли­ча­ет­ся от любой буквы более чем одной по­зи­ци­ей. Четвёртое слово: 11111 от­ли­ча­ет­ся от буквы Б толь­ко одной по­зи­ци­ей.

Таким об­ра­зом, ответ: АВхБ.

Ответ: 2

Однозначное кодирование

Пример 5.

Для пе­ре­да­чи по ка­на­лу связи со­об­ще­ния, со­сто­я­ще­го толь­ко из букв А, Б, В, Г, ре­ши­ли ис­поль­зо­вать не­рав­но­мер­ный по длине код: A=1, Б=01, В=001. Как нужно за­ко­ди­ро­вать букву Г, чтобы длина кода была ми­ни­маль­ной и до­пус­ка­лось од­но­знач­ное раз­би­е­ние ко­ди­ро­ван­но­го со­об­ще­ния на буквы?

1) 0001

2) 000

3) 11

4) 101

Решение:

Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

Видим, что ближайший от корня дерева свободный лист (т.е. код с минимальной длиной) имеет код 000.

Ответ: 2

Пример 6.

Для ко­ди­ро­ва­ния не­ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из букв У, Ч, Е, Н, И и К, ис­поль­зу­ет­ся не­рав­но­мер­ный дво­ич­ный пре­фикс­ный код. Вот этот код: У — 000, Ч — 001, Е — 010, Н — 100, И — 011, К — 11. Можно ли со­кра­тить для одной из букв длину ко­до­во­го слова так, чтобы код по-преж­не­му остал­ся пре­фикс­ным? Коды осталь­ных букв ме­нять­ся не долж­ны.

Вы­бе­ри­те пра­виль­ный ва­ри­ант от­ве­та.

При­ме­ча­ние. Пре­фикс­ный код — это код, в ко­то­ром ни одно ко­до­вое слово не яв­ля­ет­ся на­ча­лом дру­го­го; такие коды поз­во­ля­ют од­но­знач­но де­ко­ди­ро­вать по­лу­чен­ную дво­ич­ную по­сле­до­ва­тель­ность.

1) ко­до­вое слово для буквы Е можно со­кра­тить до 01

2) ко­до­вое слово для буквы К можно со­кра­тить до 1

3) ко­до­вое слово для буквы Н можно со­кра­тить до 10

4) это не­воз­мож­но

Решение:

Для анализа соблюдения условия однозначного декодирования (условия Фано) изобразим коды в виде дерева. Тогда однозначность выполняется, если каждая буква является листом дерева:

 

Легко заметить, что если букву Н перенести в вершину 10, она останется листом. Т.е. ко­до­вое слово для буквы Н можно со­кра­тить до 10.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3