Устный счет подготовка к егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

31 марта 2015

В закладки

Обсудить

Жалоба

Тренажёр устных упражнений для подготовки к ЕГЭ по математике

Предназначен для подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ по математике. Может быть использован для отработки навыков устных вычислений.

Автор: Дмитренко Людмила Ивановна.

trenazher.docx

Источник

Экзамен по математике в форме ЕГЭ требует от школьников умения выполнять быстро и правильно задания первой части экзамена. Школьники должны владеть высоким уровнем вычислений без использования электронных средств подсчёта. Устный счет является одним из важнейших приемов развития вычислительных навыков учащихся при подготовке к ЕГЭ. Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую аттестацию утрачивают навыки устного счета, сформированные в начальной школе.

Начиная с 6 класса на уроках математики все реже применяются формы устного счета. К концу основной школы учащиеся затрудняются в выполнении простейших устных вычислений и не имеют возможности сделать быстро и правильно расчёты в уме без использования средств вычисления, что отражается на результатах ЕГЭ и на самой успеваемости. Еще одна проблема современных учащихся, которая напрямую связана с вычислительной культурой, – нерациональность вычислений.

В начальной школе учащиеся обучаются выполнению арифметических действий над натуральными числами. Формирование навыков письменных вычислений, а в простейших случаях, и устных, следует довести до уровня, обеспечивающего беглое и безошибочное выполнение вычислений. В 5–6-х классах учащиеся овладевают навыками вычисления с натуральными и целыми числами, с обыкновенными и десятичными дробями. При этом алгоритмы вычислений должны быть отработаны с учащимися до автоматизма; их включение в выполнение более сложных вычислений не должно затруднять учащихся. В 7–11-х классах обобщаются и систематизируются сведения о действительных числах, развиваются и закрепляются вычислительные навыки. При этом не следует ослаблять внимание к поддержанию достаточно высокого уровня техники вычислений и повышению уровня вычислительной культуры учащихся (рационализация вычислений, их организация, применение приближенных вычислений). Эта задача должна решаться путем последовательного увеличения доли вычислений при изучении основного материала курса. Вычислительные навыки учащихся должны получить дальнейшее развитие при изучении вопросов, связанных с приближенными вычислениями, где, помимо дальнейшей отработки вычислительных алгоритмов, должны быть сформированы навыки прикидки и оценки результатов вычислений.

Вычислительные навыки и умения можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными и иррациональными числами, производить тождественные преобразования различных числовых и буквенных выражений и приближенные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, а также убеждать в правильности полученных результатов.

Обучение приемам устного счета имеет большой развивающий потенциал. Его применение создает условия для развития учащихся, повышения мотивационного компонента в обучении математике, а также для использования приобретенного в школе опыта деятельности в реальной жизни, за рамками учебного процесса.

Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Как этап урока устные упражнения имеют свои задачи:

1) воспроизводство и корректировка знаний, умений и навыков учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя;

2) контроль состояния знаний учащихся;

3) автоматизация навыков простейших вычислений и преобразований.

Главное условие здесь — систематичность, работа на каждом уроке. Устный счет следует проводить так, чтобы ребята начинали с легкого, затем выполняли более сложное.

Развитие у учащихся навыков устных вычислений и преобразований является одним из важных факторов их успешной сдачи обязательных экзаменов.

Предлагаем систему заданий, предназначенных для устных упражнений на уроках математики в старших классах, по теме «Арифметический корень натуральной степени» и «Логарифмы».

Арифметический корень натуральной степени

Логарифмы

Источник

Устный счет как один из приемов при подготовке учащихся к государственной итоговой аттестации по математике

Беседина А.Н., учитель математики и физики МБОУ «Тростенецкая средняя общеобразовательная школа

Новооскольского района Белгородской области»

Устный счет является одним из важнейших приемов развития вычислительных навыков учащихся при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую аттестацию утрачивают навыки устного счета, сформированные в начальной школе. Не секрет, что в средних классах мало внимания уделяется выполнению заданий устного характера, т. е многие учащиеся теряют вычислительные навыки, при вычислениях все чаще прибегают к помощи технических средств – калькуляторов. Еще одна проблема современных учащихся, которая напрямую связана с вычислительной культурой, – нерациональность вычислений.

Главная задача учителя – не только сохранить вычислительные навыки, сформированные в начальной школе, но и совершенствовать их, применяя приемы устного счета, постараться заинтересовать своим предметом тех учащихся, которые не имеют отличных навыков, но хотят и могут усвоить учебный материал в пределах школьной программы. Подготовка к итоговой аттестации всех учащихся, независимо от их математических способностей – задача, стоящая перед каждым учителем.

Вычислительные навыки – важная составляющая математических навыков.

Актуальным является методическое требование выполнять устно вычисления и преобразования не только во время устного счета на уроке. При решении любых задач, на каждом этапе урока все вычисления и выкладки, которые ученики могут выполнять устно, должны быть устно и выполнены. И дело не только в том, что на лишние записи тратится драгоценное время урока. Гораздо хуже то, что учащихся с самого начала приучают не думать при вычислениях, а только применять стандартный алгоритм, что в дальнейшем приводит ко многим нерациональным решениям, к большим потерям учебного времени, к слабо развитым вычислительным умениям и навыкам.

Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы.

В начальной школе учащиеся обучаются выполнению арифметических действий над натуральными числами. Формирование навыков письменных вычислений, а в простейших случаях, и устных, следует довести до уровня, обеспечивающего беглое и безошибочное выполнение вычислений. В 5–6-х классах учащиеся овладевают навыками вычисления с натуральными и целыми числами, с обыкновенными и десятичными дробями. При этом алгоритмы вычислений должны быть отработаны с учащимися до автоматизма; их включение в выполнение более сложных вычислений не должно затруднять учащихся. В 7–9-х классах обобщаются и систематизируются сведения о действительных числах, развиваются и закрепляются вычислительные навыки. При этом не следует ослаблять внимание к поддержанию достаточно высокого уровня техники вычислений и повышению уровня вычислительной культуры учащихся (рационализация вычислений, их организация, применение приближенных вычислений). Эта задача должна решаться путем последовательного увеличения доли вычислений при изучении основного материала курса. Вычислительные навыки учащихся должны получить дальнейшее развитие при изучении вопросов, связанных с приближенными вычислениями, где, помимо дальнейшей отработки вычислительных алгоритмов, должны быть сформированы навыки прикидки и оценки результатов вычислений.

Устная работа на уроках имеет большое значение – это и беседы учителя с классом или отдельными учениками, и рассуждения учащихся при выполнении тех или иных заданий и т.п. Среди этих видов устной работы можно выделить так называемые устные упражнения. В начальной школе они сводились в основном к вычислениям, поэтому за ними закрепилось название “устный счет”, хотя в современных программах содержание устных упражнений весьма разнообразно и велико за счет введения алгебраического и геометрического материала, а также за счет большого внимания к свойствам действий над числами и величинами.

С помощью устных упражнений учащиеся отчетливее понимают сущность математических понятий, теорем, математических преобразований.

Устная работа на уроках математики весьма оживляет урок. На ней можно отдохнуть: в хорошем смысле этого слова, развлечься. Это самый «свободный» этап урока. Вопросы быстро сменяют друг друга, и если не знаешь ответ на один, то не беда, сможешь проявить себя на следующем. Это очень динамичный, активный вид деятельности, вносящий разнообразие в уроки математики. Кроме того, каждый ученик может отличиться «заработать» поощрение, хорошую оценку и т.п.

2) контроль состояния знаний учащихся;

3) автоматизация навыков простейших вычислений и преобразований.

Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включаться в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой после напряжения и усталости, вызванных письменной или практической работой. В ходе выполнения этих упражнений учащиеся чаще, чем на других этапах урока, получают возможность устно отвечать, причем они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличие от письменных упражнений содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений.

Однако устный счет как этап урока до сих пор применяется в основном в начальной школе или в 5-6 классах, имея своей главной целью отработку вычислительных навыков. В связи с введением обязательной ГИА по математике возникает необходимость научить учащихся старших классов решать быстро и качественно задачи базового уровня. При этом необыкновенно возрастает роль устных вычислений и вычислений вообще, так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор и таблицы. Заметим, что многие вычислительные операции, которые мы имеем обыкновение записывать в ходе подробного решения задачи, в рамках теста совершенно не требуют этого. Можно научить учащихся выполнять простейшие (и не очень) преобразования устно. Конечно, для этого потребуется организовать отработку такого навыка до автоматизма.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений, преобразований, решения задач в течение всех лет обучения на каждом уроке необходимо отводить 5-7 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой каждого класса. Главное условие здесь — систематичность, работа на каждом уроке. Устный счет всегда провожу так, чтобы ребята начинали с легкого, затем выполняли более сложное. Имею подбор устных упражнений по всем темам, например, решение уравнений 3х=1, 32х-1=27, 5х=8х, 3⋅9х=81, log7x=0, log7(14x)=2, log7x= log73+ log75 и так далее.

При изучении курса геометрии большой популярностью пользуются, конечно, упражнения на готовых чертежах. Они позволяют быстро решить большое количество задач, подготавливают учащихся к построению более сложных чертежей.

Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить правильное соотношение в применении устных и письменных приёмов вычислений, а именно: вычислять письменно только тогда, когда устно вычислить трудно.

Если в 5-6 классах устный счет – это выполнение действий с числами: натуральные числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби, то в старших классах – это могут быть совершенно различные операции, навык выполнения которых надо довести до автоматизма. Например, на уроках математики мы используем устный счет по темам:

7 класс:

1) Запись чисел в стандартном виде и действия с ними.

2) Формулы сокращенного умножения.

3) Решение простейших линейных уравнений.

4) Действия со степенью.

5) График линейной функции.

8 класс:

1) Линейные неравенства и числовые промежутки.

2) Решение простейших линейных неравенств.

3) Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета и частных случаев.

4) Решение квадратных уравнений рациональными способами.

5) Арифметический квадратный корень и его свойства.

9 класс:

1) Решение неравенств второй степени.

2) Преобразование графиков функций.

3) Формулы приведения.

4) Тригонометрические формулы.

5) Значения тригонометрических функций.

Чтобы успешно формировать устные вычислительные навыки мной были составлены таблицы – тренажеры для проведения устного счета на уроках математики. В приложении приведен пример такого тренажера для 7 класса по теме «Формулы сокращенного умножения».

Практика показала, что систематическая работа с устным счетом способствует значительному повышению продуктивности вычислений и преобразований. Сокращается время на выполнение таких операций, как решение квадратных уравнений, линейных неравенств и неравенств второй степени, разложение на множители, построение графиков функций, преобразования иррациональных выражений и другие. Все это способствует более эффективной подготовке учащихся к итоговой аттестации.

Приложение

Раскройте скобки, применив формулы сокращённого умножения:

(a + b)2= a2 + 2ab+ b2

(a – b)2= a2 – 2ab+ b2

(a — b) (a + b) = a2 – b2

(х + у)2

(2 + а)2

(с + 7)2

(а + в)2

(m + n)2

(a + 2

(9 + b)2

(k+ 0,3)2

(d + 0,5)2

(0,2 + x)2

(a + 6)2

(в + 4а)2

(2х + 1)2

(11 + у)2

(6а + 2в)2

(с + в)2

(х + у)2

(0,4х + 3у)2

(12а + 3)2

(0,8х + 5)2

(с3 + 2

(2a + b2)2

(11a2 + 2b)2

(a4 + 1)2

(3x + 4y)2

(4b + 9a)2

(0,5a + 60b)2

(0,2x + 0,6y)2

(a – b)2

(n – m)2

(с – 5)2

(p – q)2

(2m – n)2

(2a – 2

(6 – 3b)2

(5k – 0,3)2

(q – 0,1)2

(0,7 – x)2

(6 – 2b)2

(x – 3y)2

(2х – 5)2

(11 – d)2

(7а – 4в)2

(x – y)2

(a – b)2

(0,1х – 10у)2

(13а – 1)2

(0,8х – 5)2

(с4 – 7)2

(3a – b3)2

(4a2 – b)2

(x5 – 2)2

(6x – 2y)2

(8b – 9a)2

(0,5a – 30b)2

(0,2x – 0,6y)2

(n — m)(n + m)

(x — y)(x + y)

(a + b) (a — b)

(2 — a)(a + 2)

(3 — x)(3 + x)

(a — 7)(7 + a)

(p + 5) (p — 5)

(8c – 9d)(8c + 9d)

(n — 3m)(n + 3m)

(7x – 3y)(7x + 3y)

(5n — 8m)(5n + 8m)

(x + 2y) (x – 2y)

(x2 + 5) (x2 — 5)

(a — 1)(a + 1)

(10 — x)(10 + x)

(c — 4)(c + 4)

(3a — 1)(3a + 1)

(6n — 8)(6n +

(9p — q)(9p + q)

(7 — 5m)(7 + 5m)

(4 + 3m) (3m — 4)

(b- 5a)(5a + b)

(x – 0,5)(x + 0,5)

(0,3 + 2b) (0,3 – 2b)

(x – 0,6)(0,6 + x)

(10a — b)(b + 10a)

(0,1 — m)(0,1 + m)

(4n — 2m)(4n + 2m)

(0,9c — m)(0,9c + m)

Источник

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Петуровой Елизаветы Андреевны

ТЕМА

«Приемы устного счета»

Содержание

ВВЕДЕНИЕ	3
Глава 1. Теоретическая часть	5
1.1 Историческая справка	5
1.2 Приемы устного счета	8
1.3 Признаки делимости	9
1.4 Алгоритмы ускоренных вычислений	9
1.5 Задачи
Глава 2. Практическая часть	13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	16
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	17

Введение

Устный счет — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор и тд) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и тд).

Процесс устного счета можно рассматривать как технологию счета, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Актуальность работы заключается в том, что, зная различные приемы устного счета, можно существенно сократить время на решение примеров и задач, не допустить ошибок, поэтому я считаю нужным систематизировать данные и провести опытную часть работы.

Объект исследования: приемы устного счета

Предмет исследования: эффективность приемов устного счета

Цели: выявить эффективность приемов устного счета

Для достижения целей поставлены следующие задачи:

1) Описание различных приемов устного счета

2) Проведение опроса

3) Анализ полученных данных

Методы: теоретический анализ специальной литературы, опрос.

Теоретическая значимость предстоящей работы состоит в том, что будут систематизированы знания о приемах устного счета. Данная работа может помочь школьникам для подготовки к экзаменам.

Практическая значимость предстоящей работы определяется

1) Проведения опроса с целью выявить эффективность приемов устного счета

2) Описанием полученных результатов

Я выбрала именно эту тему исследовательской работы, так как приемы устного счета могут помочь ученикам на экзаменах и в жизни.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Историческая справка

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Среди известных российских «супер счётчиков»:

Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»
Роман Арраго
Алексис Лемэр
Шакунтала Дэви
Вильям Клайн
Луис Флери
Юзеф Приходько
Давид Гольдштейн

Игорь Шелушков
Горный (Яшков) Юрий Гаврилович
А. В. Некрасов — «человек-компьютер»
Владимир Кутюков — «человек-календарь»

Среди зарубежных:

Борислав Гаджански
Вильям Клайн
Жак Иноди (итал.)русск.
Луи Флери
Мадемуазель Осака
Морис Дагбер
Томас Фулер
Урания Диамонди
Шакунтала Дэви
Юсниер Виера — кубино-американский математик, феноменальный счётчик, мировой рекордсмен в области устного календарного исчисления.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях — и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.

В настоящее время в прибалтийских странах и Белоруссии набирает популярность соревнование по устному счёту среди школьников под названием Пранглимине (эст.Pranglimine), проводящееся в Миксике (Эстония).

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом».

1.2 Приемы устного счета

1) Сложение

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1; чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте 10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64

65+9=65+10-1=74

2) Сложение двухзначных чисел

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82

27+31=27+30+1=58

3) Сложение трехзначных чисел

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

4) Вычитание

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректировать полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

5) Вычитание числа меньше 100 из числа больше 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, есть простой способ вычислить разность в уме.

134-76=58

76 на 24 меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100, а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

6) Умножение на 4

Чтобы устно умножить число a на 4, его дважды удваивают.

Обоснование: а·4=а·2·2.

Например:

122·4=244·2=488

335·4=670·2=1340

7) Умножение на 5

Чтобы устно умножить число на 5, его умножают на 10 и делят на 2, то есть приписывают к числу 0 и делят пополам.

Обоснование: а·5=а·10:2.

Например:

74·5=74·10=740:2=370

243·5=243·10=2430:2=1215

При умножении числа на 5 четного числа 2а, проще сначала делить число пополам, а затем умножить результат на 10.

Обоснование: 2а·5=2а:2·10=а·10.

Например:

74:2·10=37·10=370

Умножение на 6

Чтобы умножить число на 6 его умножают на 5 и прибавляют множимое. Чтобы умножить число на 5 его умножают на 10 и делят на 2.

Обоснование: а·6=а·(5+1)=а·10:2+а.

Например:

36·6=36·5+36=36:2·10+36=180+36=216

164·6=164·5+164=164:2·10+164=820+164=984

9) Умножение на 8

Чтобы умножить число на 8, его трижды удваивают.

Обоснование: а·8=а·2·2·2=2а·2·2=4а·2

Например:

37·8=74·4=148·2=296

217·8=434·4=868·2=1736

10) Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, умножают его на 10 и отнимают множимое.

Обоснование: а·9=а·(10-1)=10а-а.

Например:

89·9=89·10-89=801

375·9=375·10-375=3375

11) Умножение на 11

1 способ — Чтобы устно умножить число на 11, его умножают на 10 и прибавляют множимое.

Обоснование: а·11=а·(10+1)=10а+а.

Например:

87·11=87·10+87=870+87=956

645·11=6450+645=7095

2 способ-Чтобы любое двузначное число умножить на 11, нужно сложить его первую и последнюю цифру и цифру-результат вписать в середину двухзначного числа. Если суммы –двузначное число, то необходимо прибавить к первому числу единицу.

Например:

54*11=5(5+4)4=594

58*11=5(5+8)8=638

12)Умножение на 15

Чтобы устно умножить число на 15, его умножают на 1,5 (пункт 21) и умножают на 10.

Обоснование: а·15=а·1,5·10=1,5а·10.

Например:

18·15=18·1,5·10=270

45·15=45·1,5·10=675

13) Умножение на 50

Чтобы устно умножить число на 50, его умножают на 100 и делят на 2.

Обоснование: а·50=а·100:2=100а:2.

При умножении числа на 50 четного числа 2а, проще сначала делить число пополам, а затем умножить результат на 100.

Например:

46·50=46:2·100=23·100=2300

847·50=847·100=84700:2=42350

14) Умножение на 99

Чтобы устно умножить число на 99, его умножают на 100 и отнимают множимое.

Обоснование: а·99=а·(100-1)=100а-а.

Например:

46·99=46·100=4600-46=4554

745·99=745·100=74500-745=73755

15) Умножение чисел на 22, 33,… ,99
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11(пункт 12).
Примеры:
18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792
42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924
13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:
28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924
48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056

16)Умножение на 9, 99, 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором

множителе, и из результата вычесть первый множитель.

286∙9=286∙(10 — 1)=2860 – 286=2574,

23∙99=23∙(100 — 1)=2300 – 23=2277,

18∙999=18∙(1000 — 1)=18000 – 18=17982

17) Умножение чисел на 111 ,1111, 11111 и т. д.

Зная, как умножать на 11(пункт 12), можно легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.
Примеры:
32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552
45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995
26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886
52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772
Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа разомкнуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между числами.
42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662
Разомкнуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Примеры:
57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327;
86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.
В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.
69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659

76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =
(7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436
18) Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.
Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.
Примеры:
32 х 101 = 3232

47 х 101 = 4747

54 х 101 = 5454

93 х 101 = 9393
Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.
Примеры:
324 х 1001 = 324 324

675 х 1001 = 675 675

869 х 1001 = 869 869
Другие примеры:
6478 х 10001 = 64786478
846932 х 1000001 = 846932846932
29) Умножение чисел на 37

Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111
Примеры:
24 х 37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888

18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666

20) Умножение на 1,5

Чтобы устно умножить число на 1,5 , прибавляют к множимому его половину.

Обоснование: а*1,5 = а*1+ а*0.5

Например:

34·1,5=34·1+34·0,5=34+17=51

23·1,5=23·1+23·0,5=23+11,5=34,5

21) Умножение на 1,25

Чтобы устно умножить число на 1,25 прибавляют к множимому его четверть.

Обоснование: а*1,25 = а*1+а*0,25

Например:

48·1,25=48·1+48·0,25=48+12=60

56·1,25=56·1+56·0,25=56+14=70

22) Умножение на 2,5

Чтобы устно умножить число на 2,5, к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Обоснование: а*2,5 = а*2+а*0,5

Например:

18·2,5=18·2+18*0,5 =36+9=45

39·2,5=39·2+39*0,5=78+19,5=97,5

23) Умножение на 0,75

Чтобы устно умножить число на 0,75, умножают число на 1,5 и делят пополам.

Обоснование: а*0,75 = (а*1,5)/2

Например:

30*0,75=30*1,5/2=45:2=22,5

24) Деление на 4

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.

Обоснование: а:4 = а: (2·2)

Например:

76:4=38:2=19

236:4=118:2=59

25) Деление на 8

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.

Обоснование: а:8 = а: (2·2·2)

Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=179:2=64 ?

26) Деление на 5

Чтобы устно разделить число на 5, последнюю цифру в удвоенном числе отделяют запятой.

Обоснование: а:5 = 2*а/ 10

Например:

84:5=168:10=16,8

237:5=474:10=47,4

27) Деление на 15

Чтобы устно разделить число на 15, удвоенное число делят на 30.

Обоснование: а:15 = 2*а/ 30

Например:

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=308:10=30,8

28)Умножение и деление на 25

Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4. На4делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на4:

Примеры:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;

1800 делится на 4, так как 00 делится на 4.

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 х 25 = (484 : 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 — 124 : 4 х 100 — 3100.

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12 100 : 25 = 12 100 : 100 х 4 = 484; 3100:25 = 3100:100×4 = 124.

29)Умножение и деление на 75

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 х 75 = (32 : 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400; 48 х 75 = 48 : 4 х 300 = 3600.

Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400:75 = 2400:300×4 = 32; 3600 : 75 = 3600 : 300 х 4 = 48.

30) Деление на 50

Чтобы устно разделить число на 50, его нужно разделить на 100 и умножить на 2.

Обоснование: а/50=а/100*2

Например:

21600:50=21600:100·2=216·2=432

8600:50=8600:100·2=86·2=172

31) Деление на 1,5

Чтобы устно разделить число на 1,5, удвоенное число делят на 3.

Обоснование: а/1,5 = 2*а/ 3

Например:

36: 1,5=72:3=24

53: 1,5=106:3=35,3

32) Деление на 0,5

Чтобы устно разделить число на 0,5 , его умножают на 2.

Обоснование: а/0,5 = а*2

Например:

27: 0,5 =27·2=54

85: 0,5=85·2=170

33) Деление на 0,25

Чтобы устно разделить число на 0,25 , его умножают на 4.

Обоснование: а/0,25= а*4

Например:

36/0,25=36·4=144

73/0,25=73·4=292

34)Деление на 0,75

Чтобы устно разделить число на 0,75 ,его умножают на 4 и делят на 3.

Обоснование: а/0,75= (а*4)/3

Например:

15/0,75 =15·4: 3=60:3=20

47/0,75 =47·4:3=188:3=62,6

35) Вычисление по формулам сокращенного умножения

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)²=a²+2ab+b²

Например:

41²= (40+1)² = 40² + 2 · 40 · 1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b²

Например:

98² = (100 — 2)² = 100² — 2 · 100 · 2 + 2² = 10000 — 400 + 4 = 9604

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b²

Например:

(100 — 1)(100+1)=100²-1²=9999

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Например:

(8+5)³=8³+3·8²·5+3·8·5²+5³=512+960+600+125=2197

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Например:

(8-5)³=8³-3·8²·5+3·8·5²-5³=512-960+600-125=27

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

Например:

(3+4)(3²-3·4+4²)=3³+4³

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

Например:

(5-4)(5²+5·4+4²)=5³-4³

36)Числа 1, 5, 6, 25, 76

Всякие числа, оканчивающиеся на 1, 5, 6, 25, 76 в любой степени будут оканчиваться ими же.

Например:

5²=25

815⁷²³=…5

491^9876543256=……….1

576³=191 102 976

1.3 Признаки делимости

Признак делимости на 2.Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным, не делящееся на 2 – нечётным.

Признак делимости на 3. Число делится на 3, если сумма чисел, образованных его цифрами в десятичной записи делится на 3.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 6. На 6 делятся все те и только те числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3. С помощью этого признака можно установить, например, что число 721314 делится на 6, поскольку оно делится на 2 (оно четно) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 8.Числоn делится на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр числа n.

Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2,4,8, то можно найти признак делимости на 2ª( a=1,2,3,4… ).Числоn делится на 2ª тогда и только тогда, когда на 2ª делится a – значное число, которое образуют a последних цифр числа n. Действительно, исходное число n можно представить в виде суммы двух слагаемых: одного, оканчивающегося a нулями, и другого, образованного из a последних цифр числа n.Первое слагаемое делится на 10ª ,а значит, на 2ª , поскольку 10ª =5ª 2ª . Таким образом, вопрос о делимости на 2ª исходного числа всецело зависит от делимости на 2ª второго слагаемого .

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. Если из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места, и в разности получится 0 либо число, кратное 11, то и испытуемое число кратно 11.

Например, 87 635 064:

8+6+5+6=25

7+3+0+4=14

25-14=11 – число кратно 11

Признак делимости на 11. Испытуемое число следует разбить на грани справа налево по две цифры и сложить их. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11.

Например, 528

5+28=33 – число кратно 11

Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13.
Число делится на 7, 11 или 13, если алгебраическая сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи с чередующимися знаками делится соответственно на 7, 11 или 13.
Доказательство. Заметим, что произведение чисел 7, 11 и 13 равно 1001. Поэтому число 1000 при делении на 7, 11 или 13 равноостаточно с –1. Далее поступаем как и в признаке делимости на 11.
Признак делимости на 19. Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признак делимости на 37. Число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Свойства делимости:

Теорема 1 (теорема о делимости суммы).

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство:

Пусть

т.е.

,ч.т.д.

Теорема 2 (теорема о делимости произведения). Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Доказательство: Рассмотрим для двух множителей (для большего числа аналогично).

Пусть

т.е. ,

ч.т.д.

1.4 Алгоритмы ускоренных вычислений
1)Алгоритм возведения в квадрат двузначных и трёхзначных чисел, оканчивающихся на 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6), на число десятков увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25 (6 х 7=42. Ответ: 4225).

2)Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1.

11 х 11 =121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 =123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

3) Алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50.

1) вычесть из этого числа 25;

2) приписать к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50.

Примеры:

58² = 3364

Пояснение. 58 – 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364.

64² = 4096

Пояснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 14² = 196, 64² = 3996 = 4096.

4)«Интересные» числа с применением свойств умножения

Число — 142857

Попробуем это число умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6

142 857 х 1 = 142 857; 142 857 х 4 = 571 428;
142 857 х 5 = 714 285; 142 857 х 2 = 285 714;
142 857 х 6 = 857 142; 142 857 х 3 = 428 571;

5)Интересные цифры

Возьмите числа, кратные трём,- от 3 до 2,умножьте их на 3 . Произведения трёхзначные. В каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое разделить на 3 :

3 х 37 = 111 33 х 3367 = 111111

6 х 37 = 222 66 х 3367 = 222222

9 х 37 = 333 99 х 3367 = 333333

12 х 37 = 444 132 х 3367 = 444444

15 х 37 = 555 165 х 3367 = 555555

18 х 37 = 666 198 х 3367 = 666666

21 х 37 = 777 231 х 3367 = 777777

24 х 37 = 888 264 х 3367 = 888888

27 х 37 = 999 297 х 3367 = 999999

6) Извлечение корня

Алгоритмы извлечения квадратного корня из чисел методом «в столбик».

Извлечение квадратного корня из целого числа «нацело».

Пример: найдём .

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево	21’ 25’ 21	Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе
2	Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы	1 группа – 21 4²=16 16<21 цифра — 4	Найденная цифра записывается в ответе на первом месте
3	Из первой группы цифр вычесть найденный на шаге 2 квадрат первой цифры ответа	_21’ 25’ 21 16 5
4	К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр	_21’ 25’ 21 16__ 525
5	К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4	42=8 цифра – 6 866=516 516<525	Найденная цифра записывается в ответе на втором месте
6	Из числа, полученного на шаге 4 вычесть число, полученное на шаге 5. Снести к остатку третью группу	_21’ 25’ 21 16 _525 516 921
7	К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6	462=92 цифра 1 9211=921	Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте
8	Записать ответ	√212521=461

Извлечение квадратного корня из целого числа (корень не извлекается «нацело»)

Пример: найдём .

№	Шаги алгоритма	Пример	Комментарии
1	Установить точность извлечения 1/10^m	m = 3	Определить количество знаков в ответе после запятой
2	Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево	12’ 34’ 56

Создать группы в дробной части числа, приписав, справа нули

12’ 34’ 56’, 00’ 00’ 00

Количество приписываемых нулей сокращается с заявленной точностью. В нашем примере – 6 нулей

(3 группы, так как m=3)

Использовать алгоритм 1, начиная со 2 шага

√12^”34^”56^”00^”00^”00=351,363

_9_

_334

325

_956

701

_25500

21069

443100

421596

_2150400

2108169

42231

Извлечение кубического корня

Многие из нас знают метод извлечения корней разложением числа на простые множители. Рассмотрим метод быстрого извлечения кубического корня. Для успешного овладения этой методикой необходимо запомнить несколько ключевых цифр таблицыкубов однозначных чисел.

N	1³	2³	3³	4³	5³	6³	7³	8³	9³
N²	1	8	27	64	125	216	343	512	729

Shape1 Shape2 В правой части числа оканчиваются цифрами от 1 до 9. Надо запомнить, какое цифровое окончание соответствует каждому основанию левой части. Обратим внимание на то, что цифры 1,4,5,6,9 в своем кубе оканчиваются на ту же цифру. В остальных случаях последняя цифра куба равна разности между 10 и числом, возводимым в куб. Тогда легко найдется цифра единиц корня.

Вычислим . Чтобы найти число десятков искомого двузначного числа, нужно обратить внимание на то, сколько тысяч в подкоренном числе. В нашем примере число тысяч 571, а в таблице имеем числа 512=и 729= . Выберем число, куб которого наиболее близкий, но меньше числа 571. Следовательно, десятков будет 8. Оставшиеся цифры 787 оканчиваются 7, а так как , то единиц будет 3. Итак, = 83.

Применение на практике.

Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км, выехал мотоциклист. Проехав 64% всего пути, он остановился на 18 мин для заправки горючим. Чтобы наверстать потерянное время, оставшуюся часть пути он проехал, увеличив скорость на 12 км/ч. С какой скоростью двигался мотоциклист после остановки?

До остан.

V,км/ч

t,ч

S,км

Shape3 192км

300

108км

После остан.

X+12

300*0,64=192(км) — путь до остановки;

300 – 192= 108(км) — путь после остановки;

Х(км/ч) – первоначальная скорость мотоциклиста;

(ч) — время движения мотоциклиста до остановки;

(ч) — время движения мотоциклиста после остановки;

18 мин= =— время остановки;

= 0

Shape4 Shape5 1080х+3х(х+12)-1080(х+12)=0

Shape7 Shape6 Х=0

Х=-12

Shape8 1080х+ +36х-1080х-12960=0

+36х-12960=0 : 3

+12х-4320=0

Д= 144-4*(-4320)=144+17280= 17424

= =132

Вычислим 1*2=2

Shape9

=132

23*3=69

Shape11 Shape10

Shape12

Shape13

Shape14

Shape15 524

Shape16 524

0 = =60 (км/ч) — первоначальная скорость;

= =-72 – не удовлетворяет условию задачи;

60+12=72(км/ч)- скорость мотоциклиста после остановки.

Ответ: 72 км/ч

7) Пифагоровы числа

Пифагоровы числа – бесчисленное множество целых положительных чисел a,b,c, удовлетворяющих соотношению a²+b²=c²

Свойства:

-Один из катетов должен быть кратным трем

-Один из катетов должен быть кратным четырем

-Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти

Пифагоровы числа имеют вид:

a=mn b=(m²—n²)/2 c=(m²+n²)/2

некоторые пифагоровы числа:

приm=3,n=1 3²+4²=5²

приm=5,n=1 5²+12²=13²

приm=7,n=1 7²+24²=25²

приm=9,n=1 9²+40²=41²

приm=11,n=1 11²+60²=61²

Мгновенное умножение

Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, 988² выполняется так:

988*988=(988+12)(988-12)+12²=1000*976+144=978 144

В этом случае используется следующая формула:

a²=a²—b²+b²=(a—b)(a+b)+b²

1.5 Задачи

1) Номер автомашины

Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение:

Обозначим первую и вторую цифру искомого числа через a, а третью и четвертую — через b. Тогда 1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b)

Искомое число делится на 11, так как число-точный квадрат, то оно делится и на 11².Значит 100a+b делится на 11. Используя признак делимости на 11 (если разбить испытуемое число на грани по два числа справа налево, то их сумма будет кратна 11)

Значитa+b делится на 11, так как a и b – однозначные числа, то a+b=11

Таким образом цифра b может принимать значения от 0 до 9, но так как искомое число является точным квадратом то для b подходят только значения 0, 1, 4, 5, 6, 9

дляa подходят только значения 7, 6, 5, 2

Имеем:

b=4, a=7

b=5, a=6

b=6, a=5

b=9, a=2

Номер автомашины следует искать из чисел 7744, 6655, 5566, 2299

Последние три числа не являются точными квадратами, так как 6655 не делится на 25; 5566 делится на 2, но не делится на 4; 2299=121*19. Однако 7744: 44 делится на 4, значит и все число делится на 4.

7744=4*1936=4*4*484=2²*2²*22²=88²

Ответ:7744

2) Доплата

Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (в рублях)?

Решение

Стоимость стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за каждого. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное, а значит, и число десятков в n² так же нечетное.

Квадрат всякого числа из а десятков и b единиц равен: 100a²+20ab+b²=(10a²+2ab)*10+b²

10a²+2ab-четное число, так как делится на 2, поэтомуb²-нечетное. Это квадрат цифры единиц, поэтому может принимать значения 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Среди них нечетное число десятков имеют числа 16 и 36.

Значит 100a²+20ab+b² будет оканчиваться на 6.

Теперь легко найти ответ на вопрос задачи. Ясно, что ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил, следовательно, на 4 рубля меньше. Чтобы уравнять долг, обладатель ягненка должен получить 2 рубля.

Ответ: доплата равна 2 рублям

Глава 2. Практическая часть

Было проведено два опроса, в которых участвовало 25 человек (возрастная категория 16-17 лет). В первом случае, ученики не были ознакомлены с приемами устного счета, во втором случае мы кратко рассказали о самых интересных и удобных приемах устного счета, затем провели похожий на первый опрос.

Shape17

Опрос 1

32 х 111 =		947 х 1001 =
168:5 =		12100:25 =
58²=		36: 1,5 =
87 635 064-кратно ли 3/4/11/13/19/25/37		6 486 117-кратно ли это число 3/4/9/11/13/19/37
65 х 10101 =		√123456 =
√110889		1111 х 1111 =
111 х 111		645·11 =
69 х 37		125²=

Shape18

Опрос 2

99 х 1010101 =		1001 х 101 =
11111 х 11111 =		11111 х 1111 =
59²=		61² =
34 762 816 -кратно ли 3/4/9/11/13/19/25/37		583 447 117-кратно ли это число 3/4/9/11/13/19/37
577 х 11=		√731 025 =
√311 364 =		788 х 11 =
377 : 5 =		377 : 25 =
198 : 1,5 = Доп вопрос 288 : 0,25 =		288 : 1,5 = Доп вопрос 388 : 0,25 =

Результаты опроса

Вид	Правильные ответы (%)-1	Правильные ответы (%)-2
Деление на 1,5	70	65
Умножение на 101, 1001	0,64	83
Деление на 5, 25	0,92	81
Извлечение кв. корня	4	61
Умножение на 11, 111	84	74
Возведение числа в кв.	64	87
Умножение 111 х 111	72	91
Кратность На 3 На 4 На 9 На 11 На 13 На 19 На 25 На 37	44 60 38 8 28 32 58 24	70 87 70 70 52 52 75 48

По результатам опроса, наиболее эффективными оказались приемы определения кратности чисел и извлечения квадратного корня.

Практически в каждом действии наблюдается положительная динамика. Таким образом, можно сделать вывод, что приемы устного счета являются эффективными и значительно увеличивают вероятность того, что пример будет решен правильно

Заключение

Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений. Приемы устного счета помогут значительно упростить решение тех или иных задач, сократить время решения. При этом освоение вычислительных навыков развивает память и помогает людям в различных сферах жизни.

В данной работе были описаны различные приемы устного счета и доказана их эффективность на основе проведенного опроса.

И свою работу мы хотим завершить словами Гёте: «Счет является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни»

Shape19

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.
Александр Наниев «Математика для всех», Владикавказ ,2008г.

Список литературы

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/447261-urok-metodiki-bystrogo-scheta-podgotovka-k-eg

Источник