В основании пирамиды лежит трапеция егэ 2022 - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке  O. Точки M и N  — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Спрятать решение

Решение.

а)  По свойству средней линии трапеции MN || AD. По признаку параллельности прямой и плоскости AD || α. Так как точка O расположена ближе к меньшему основанию ВС, а точки S и O лежат в одном полупространстве относительно плоскости α, эта плоскость пересекает грань SAD. Пусть плоскость  α пересекает прямые  SD и  SA в точках K и L соответственно. Прямая  KL параллельна прямой  AD, а прямая  AD параллельна прямой  MN, поэтому прямые KL и MN параллельны. Из этого следует, что сечение KLMN  — параллелограмм или трапеция.

Докажем, что сечение не является параллелограммом. Рассмотрим плоскость  SAC. Пусть прямая  AO пересекает прямую  MN в точке  P. Из параллельности прямой  SO плоскости  α следует, что прямые  PL и  SO параллельны. Аналогично рассмотрим плоскость  SDB. Пусть прямые BD и MN пересекаются в точке  Q. Из параллельности прямой  SO плоскости  α следует, следует, что прямые  KQ и  SO параллельны. Тогда четырехугольник  PLKQ  — параллелограмм, следовательно, В четырехугольнике MLKN противоположные стороны не равны, а потому он не является параллелограммом. Значит, он является трапецией.

б)   По свойству средней линии трапеции MN = 9. Далее рассмотрим плоскость SAC. Пусть AO пересекает MN в точке P. Тогда из SO || α следует, что PL || SO и PL перпендикулярен MN. Кроме того, MP = 4 по свойству средней линии треугольника ABC. Рассматривая аналогично плоскость SBD, можно получить, что KL = 1.

Теперь найдем высоту LP трапеции KLMN. Из подобия треугольников AOD и COB имеем А из подобия треугольников APL и AOS имеем (учтем также, что P  — середина AC). Получаем

Окончательно

Ответ: 36.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 319, Задания 13 ЕГЭ–2022

Источник

16 августа 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Стереометрия. Подробный разбор задачи с экзамена 2022.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

zadacha-13-2022.pdf

Источник: vk.com/ekaterina_chekmareva

Источник

ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 13 Санкт-Петербург, Центр № задачи в базе 3357

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=7, BC=5, SO=14, а прямая SO перпендикулярна прямой AD

Ответ: 42

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание: В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 13 Санкт-Петербург, Центр # Задача-Аналог 3361

Рейтинг сложности задачи:

Источник

��

� �� SABCD �� ABCD �
�� BC � AD , ��ޣ� BC=2AD . �� ң��
SA � SB �� K � L , ��ޣ� 2SK=KA �
3SL = LB . � �� KLC ��
�� SD ?

��

�� SBC � SAD ��
BC � AD � �� S . ��, ��
�� l , �� S (��.1).
�� CL �� l � �� P , �� PK
�� SD � �� M , � � �� AD – � �� Q .

�� AD = a . �� BC=2a . �� SLP � BLC
��, ��

SP = · BC = · 2a = a,

� �� SKP � AKQ –

AQ = · SP = 2· a = a.

�� QD = AQ-AD = a — a = a , � ��
�� SMP � DMQ ��, ��

= = = 2.

�� M – ��
�� SD (��.2). �� V_SABCD = V , =x .
��

V_SABC = V,
V_SADC = V,
V_SABD = V,
V_SBCD = V,

V_SCKL = · · · V_SABC=
· · · V,

V_SCKM = · · · V_SACD=
· · x · V,

V_SKLM = · · · V_SABD=
· · x · V,

V_SCLM = · · · V_SBCD=
· · x · V.

�� K , L , C � M ��
��

V_SCKL + V_SCKM = V_SKLM+ V_SCLM,

��

· · · V+
· · x · V=
· · x · V+
· · x · V.

�� , �� = x = .
��, SM:MD=2:1 .

��

2:1 .

��


web-��
��	�� .�.��
URL	http://zadachi.mccme.ru
��
��	8598

Источник

15
Фев 2018

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

2018-02-15
2018-02-12

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

14. В основании пирамиды лежит трапеция в которой и Через вершину пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой и пересекающая отрезок в точке такой, что Площадь получившегося сечения равна а расстояние от ребра до плоскости сечения равно

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении

б) Найдите объем пирамиды.

Решение:

а) Так как плоскость указанного сечения параллельна и имеет общую точку () с плоскостью основания пирамиды, то (по свойству прямой, параллельной плоскости) плоскость сечения пересечет плоскость основания пирамиды по прямой, параллельной Пусть

Пусть пусть – высота трапеции

$S_{ABCD}=frac{x+2x}{2}cdot h;$

$xh=frac{2}{3}S_{ABCD}.$

Проведем пересекается с в точке

Коэффициент подобия – $frac{1}{3}.$ Тогда $ML=frac{x}{3}$ и высота треугольника проведенная к – есть $frac{h}{3}.$

$S_{MBCN}=S_{MBL}+S_{BCNL}=frac{frac{h}{3}cdot frac{x}{3}}{2}+frac{h}{3}cdoyt x=frac{7xh}{18}=frac {7}{27}S_{ABCD}.$

$S_{AMND}=S_{ABCD}-S_{MBCN}=S_{ABCD}-frac {7}{27}S_{ABCD}=frac{20}{27}S_{ABCD}.$

$frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=frac{frac {7}{27}S_{ABCD}}{frac{20}{27}S_{ABCD}}=7:20.$

б) Расстояние от точки точки пересечения до в раза больше расстояния от до , то есть равно

$V_{MNTE}=frac{S_{MNT}cdot 16}{3}=frac{160}{3}.$

Коэффициент подобия треугольников – поэтому $S_{MEN}=frac{4}{9}S_{AED}$ и $V_{MENT}=frac{4}{9}V_{AEDT}$

Тогда

$frac{4}{9}V_{AEDT}=frac{160}{3};$

$V_{AEDT}=120.$

$V_{MBCNT}=frac{160}{3}-V_{BCET}=frac{160}{3}-frac{V_{AEDT}}{4}=frac{70}{3}.$

Поскольку $frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=7:20,$ то

$V_{AMNDT}=frac{20}{7}V_{MBCNT}=frac{20}{7}cdot frac{70}{3}=frac{200}{3}.$

Итак,

$V_{ABCDT}=V_{MBCNT}+V_{AMNDT}=frac{70+200}{3}=90.$

Ответ: б)

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Источник

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с бОльшим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.