Содержание
- Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания
- Буклет «Повторим комбинаторику» 9 класс
- 06. Размещения
Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания
Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика — раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Задача 1. Сколькими способами можно построить 3 человек в шеренгу?
Решение: а в с, а с в
Рп — число перестановок. Р3 = 3 *2 *1= 6.
Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
где п! называется факториалом числа п. Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.
Задача 2. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?
Решение: Р5 = 5!= 5*4 *3 *2 *1 =120.
Задача 3. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?
Решение: Р7 = 7*6*5*4*3*2* 1 = 5040.
Р5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Р6 = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.
Задача 4. На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Р4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24.
Размещением из п элементов по к (к
Источник
Буклет «Повторим комбинаторику» 9 класс
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Определение. Перестановкой из 
элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Обозначается 
.
где 
называется факториалом числа 
. Это произведение натуральных чисел от 1 до , т.е.
Пример 1. Сколькими способами можно расставить на игровой площадке 6 волейболистов?
Решение. 
Ответ. Волейболистов можно расставить на площадке 720 способами.
Пример 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?
а) привет; б) задача.
Решение. а) В слове «привет» 6 букв, следовательно, чтобы найти, сколько последовательностей можно составить из букв этого слова, надо найти число перестановок из 6 элементов, т.е.
б) Если бы в слове «задача» все буквы были бы разными, то перестановок было бы 6! Но три одинаковых буквы «а» не дадут новых 3! перестановок, т.е. их будет в 3! раз меньше. Значит, ответ: 
.
Ответ: а) 720; б) 120 последовательностей.
Определение. Размещением из элементов по 
называется любое множество, состоящее из любых 
элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов. Обозначается 
.
Пример 3. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 10 одноместных столов?
Решение. Для того чтобы посчитать количество способов воспользуемся формулой размещения из 10 элементов по 6:
Ответ: 151200 способов.
Замечание. Если 
, то 
. Т.е., перестановка – частный случай размещения.
Определение. Сочетанием из элементов по называется любое множество, составленное из
элементов, выбранных из данных элементов. Обозначается 
.
Договорились считать: 
Пример 4. В группе 25 студентов. Сколькими способами из 25 студентов выбрать 3 дежурных.
Решение. Выбор 3 дежурных из 25 студентов – это комбинация из 25 по 3. Т.е.,
Ответ: 2300 способами.
Комбинации, размещения и перестановки вместе называются сочетаниями. При решении простых комбинаторных задач сначала следует определить вид сочетания, учитывая, что:
Перестановки отличаются друг от друга порядком размещения элементов;
Размещения отличаются или выбором элементов, или порядком их размещения;
Комбинации отличаются только выбором элементов (порядок размещения элементов не учитывается).
Источник
06. Размещения
Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.
Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.
Число размещений 
(читается: число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т. д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим
. (4.1)
Легко понять, что 
.
Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:
.
Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.
Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:
способов.
При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется 
способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить
способами.
Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?
Решение. Первую пару можно выбрать 
способами, вторую – 
способами, и т. д. В результате получаем
способами.
4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?
Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой 
.
4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).
Ответ: 
.
4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 
.
4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
Ответ: 
.
4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?
Ответ: 
.
4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?
Ответ: 
.
4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)
Ответ: 
.
Источник
Xramova20
+10
Решено
6 лет назад
Математика
10 — 11 классы
Студенту необходимо сдать 6 экзаменов за 6 дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
Смотреть ответ
1
Ответ проверен экспертом
0
(0 оценок)
0
xxxeol
6 лет назад
Светило науки — 20810 ответов — 124052 помощи
Число вариантов по простой формуле
N = 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 вариантов — ОТВЕТ
ПОЯСНЕНИЯ
Первым экзаменом может быть ЛЮБОЙ из шести — это =6 вариантов
Вторым — К каждому первому уже один из оставшихся пяти и, поэтому ПРОИЗВЕДЕНИЕ вариантов
И далее — у последнего экзамена выбора не будет — 1 вариант — он последний.
(0 оценок)
https://vashotvet.com/task/4395584
1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0 1 2 3 4 5 6, если цифры в записи числа могут повторяться?
Ответ: 42 числа.
2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0 1 2 3 4 5 6, если цифры могут
повторяться?
Ответ: 168 чисел.
3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не
повторяются?
Ответ: 60.
4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут
повторяться?
Ответ: 125.
5. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если нечетные и четные цифры в числе чередуются и не повторяются?
Ответ: 12.
6. Сколько шестизначных чисел можно составить: а) если число не содержит цифр 8 и 9? б) если при этом цифры в записи числа не могут повторяться?
Ответ: 7 ∙ 8 = 229376; 17640.
7. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 5 6 7?
Ответ: 4^4
8. пятизначных?
Ответ: 5^4
9. шестизначных?
Ответ: 6^4
10. k -значных?
Ответ: k^4
11. Сколько всего k − значных чисел можно составить из n цифр, среди которых нет нуля?
Ответ: k^n .
12. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не могут повторяться и идут в порядке возрастания?
Ответ: 9
13. Сколькими способами 6 шаров можно разложить по 10 ящикам?
Ответ: 10
.
14. В конкурсе по 7 номинациям принимают участие 10 кинофильмов. Сколько существует
вариантов распределения призов?
Ответ: 10
.
15. Студент сдает в сессию 3 экзамена. Сколько существует различных комбинаций оценок, которые
он может получить? (Оценки выставляются по пятибалльной системе).
Ответ: 5
16. Сколько различных вариантов распределения оценок за контрольную работу может быть для
трех студентов, если возможны оценки «2», «3», «4» , «5»?
Ответ: 4
17. Сколькими способами 4 шара можно разложить по 4 ящикам так, чтобы был занят каждый ящик?
Ответ: 4! = 24.
18. Сколько существует 6-значных дверных кодов (повторения цифр запрещены)?
Ответ: 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 =
= 151200.
19. Глаша поссорилась с Федей и не хочет ехать с ним на одном автобусе. От общежития до
института с 7 до 8 утра идет 6 автобусов. Если поехать позже – опоздаешь на занятия. Сколькими способами Глаша с Федей могут доехать до института в разных автобусах и не опоздать на занятия?
Ответ: 30
20. Фотограф выстраивает в ряд трех мужчин и четырех женщин так, чтобы мужчины и женщины
чередовались. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ: 144.
21. Сколькими способами можно выбрать тройку, семерку, туза из колоды в 52 карты?
Ответ: 4
= 64.
22. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут
быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?
Ответ: 18 ∙ 17 ∙ 16 = 4896.
23. В информационно-технологическом управлении банка работают три аналитика, десять
программистов и 20 инженеров. Сколько способов существует у начальника управления
выделить для сверхурочной работы в праздничный день сотрудников, если он должен выделить
а) одного сотрудника; б) двух сотрудников; в) двух сотрудников, имеющих разные должности.
Ответ: 33; 528; 290.
24. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Ответ: 20
25. В вазе стоят 7 гвоздик, 5 хризантем и 10 роз. а) Сколькими способами можно выбрать 1 цветок ?
б)Сколькими способами можно выбрать 3 различных цветка?
Ответ: 22; 350.
26. В конкурсе участвуют 8 пианистов и 12 скрипачей. Сколькими способами можно выбрать двух победителей, если а) победители должны играть на разных инструментах? б) победители должны
играть на одном инструменте?
Ответ: 96; 94.
27. В кондитерской испекли 10 песочных пирожных , 15 эклеров и 18 «безе». Сколькими способами
можно сформировать наборы из 3 пирожных, если: а) в набор входит один эклер? б) набор
содержит по одному пирожному каждого вида?
Ответ: 5670; 2700.
28. Из пункта А в пункт В можно попасть либо с пересадкой в пункте С, либо напрямую . Из А в В ведут 10 дорог, из А в С — 8, а из В в С — 12 дорог. а)Сколько всего существует маршрутов из А в В? б) Сколько существует маршрутов из А в В с пересадкой в С?
Ответ: 106; 96.
29. В шахматном турнире принимают участие 20 человек. Между любыми двумя участниками
должна быть сыграна одна партия. Сколько партий будет сыграно в турнире?
Ответ: 190.
30. В турнире принимают участие 12 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одной игре.
Сколько сыграно игр?
Ответ: 66.
31. Сколько диагоналей в выпуклом многоугольнике с 50 вершинами?
Ответ: 1175
32. Маша решила помириться с Петей, но забыла в номере его телефона 3 последние цифры. Какое
максимальное число попыток понадобится Маше, чтобы дозвониться Пете?
Ответ: 1000
33. Сколькими способами можно расставить на полке 4 книги?
Ответ: 4! = 24.
34. Сколькими способами можно высадить на клумбе в ряд 10 роз?
Ответ: 10! = 3628800.
35. Сколько существует 6-значных дверных кодов (повторения цифр запрещены)?
3
Ответ: 6! = 720.
36. Сколькими способами 5 человек могут стать в очередь друг за другом?
Ответ: 5! = 120.
37. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не
повторяется? (телефонные номера могут начинаться с нуля).
Ответ: 604800
3!
10! 7 A10 = = , или 10 9 8 7 6 5 4 604800
7
14 2 ⋅ ⋅44⋅ 4 3 ⋅ 4⋅ 4⋅ =
раз
.
38. В офисе фирмы работают 25 человек. Сколькими способами можно выбрать комитет, состоящий из президента, 1-го , 2-го и 3-го вице-президентов?
Ответ:
= 13800.
39. Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга в группе студентов из 24 человек?
Ответ:
= 552.
40. Сколько существует различных шестнадцатеричных кодов из 20 символов, если: а) все символы в коде различны? б) символы могут повторяться?
Ответ:
≈ 1,0137 ∙ 10; 20
41. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 7?
Ответ:
= 35.
42. На складе имеются 30 телевизоров. Сколькими способами можно выбрать для продажи 20
телевизоров?
Ответ:
= 30045015.
43. Человек имеет 6 друзей и приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется.
Сколькими способами может он это сделать?
Ответ:
= 20.
44. На ОТК предприятия поступило 20 изделий. Сколькими способами можно отобрать для проверки
качества 7 из них?
Ответ:
= 77520.
45. Сколькими различными способами можно выбрать 5 карт червовой масти из колоды,
содержащей 36 карт?
Ответ:
= 126.
46. В бегах участвуют 25 лошадей. Сколькими способами из них можно выбрать призовую тройку?
Ответ:
= 2300.
47. В спортивной секции каждый из 20 спортсменов одинаково хорошо играет на всех позициях.
Сколькими способами можно набрать команду из 5 спортсменов?
Ответ:
= 15504.
48. Сколькими способами из группы в 24 человека можно выбрать двоих делегатов на конференцию?
Ответ:
= 276.
49. Одна из воюющих сторон захватила в плен 12 солдат, а другая 15. Определить, сколькими
способами стороны могут обменять семерых военнопленных.
Ответ:
∙
= 5096520.
50. Федя и Глаша коллекционируют видеокассеты. У Феди есть 30 комедий, 80 боевиков и 7
мелодрам, у Глаши — 20 комедий, 5 боевиков и 40 мелодрам. Сколькими способами Федя и
Глаша могут обменяться тремя комедиями, двумя боевиками и одной мелодрамой?
Ответ: ≈ 4,0952 ∙ 10
51. Сколько существует вариантов опроса группы из десяти студентов на одном занятии по теории
вероятностей, если ни один из студентов не будет подвергнут опросу дважды, и на занятии может
быть опрошено любое число студентов (в том числе, ни один)?
Ответ:
52. Новый президент банка должен назначить трех вице-президентов. Есть десять претендентов.
Сколькими способами он может это сделать, если а) все вице-президенты равны по должности; б) вице-президенты отличаются по должности.
Ответ: а) 120; б)720.
53. В кредитном отделе банка работают восемь человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии: а) одинакового размера; б) разных размеров, известных заранее?
Ответ:
= 56;
= 336.
54. В конкурсе по трём номинациям участвуют десять кинофильмов. Вычислить число вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы;
б) одинаковые призы.
Ответ:
= 720;
= 120.
55. В сессию в течение 20 дней студенты одной группы должны сдать пять экзаменов. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если: запрещается сдавать два экзамена в
один день ?
Ответ:
= 1860480
56. Сколько автомобилей в городе можно обеспечить регистрационными номерами, если каждый
номер состоит из кода города, трех цифр и трех букв (А,Б,Е,К,М,Н,О,Р,С,Т,У,Х)?
Ответ: = 950400.
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Категория: Математика | Добавил: Просмотров: 1 | Теги: Ященко | Рейтинг: 0.0/0