Векторный метод в задачах егэ по математике

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 117    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Цели:

• выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и
  проанализировать “эффект” от применения этих способов решения;
• выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии
  со своими
  математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и
  уверенных навыка;
• выработать умение составить план последовательных этапов для достижения
  результата;
• выработать умение обосновать все предпринимаемые шаги и вычисления;
• повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и
  планиметрии, типовые стереометрические конструкции, связанные с решением
  текущих задач;
• развить пространственное мышление.

Задачи:

• анализ различных методов решения задачи: координатно-векторный метод,
  применение теоремы косинусов, применение теоремы о трех перпендикулярах;
• сравнение преимуществ и недостатков каждого метода;
• повторение свойств куба, треугольной призмы, правильного шестигранника;
• подготовка к сдаче ЕГЭ;
• развитие самостоятельности при принятии решения.

Задача 1.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
с ребром 1 точка О – центр грани ABCD.

Найти:

а) угол между прямыми A₁D и BO;

б) расстояние от точки B до середины отрезка A₁D.

Решение пункта а).

1 способ. Координатно-векторный метод

Поместим наш куб в прямоугольную систему координат как показано на рисунке,
вершины A₁ (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B₁
(0; 0; 1), O (½; ½; 0).

Направляющие векторы прямых A₁D и B₁O:

{0; 1; -1} и
{½;
½; -1};

искомый угол φ между ними находим по формуле:

cos∠φ =
,
откуда∠φ = 30°.

1) Проведем прямую В₁С параллельно прямой
A₁D. Угол CB₁O будет искомым.

2) Из прямоугольного треугольника BB₁O по теореме Пифагора:

B₁O =
.

3) По теореме косинусов из треугольника CB₁O
вычисляем угол CB₁O:

cos
CB₁O
=
,
искомый угол составляет 30°.

Замечание. При решении задачи 2-м способом можно заметить, что по теореме
о трех перпендикулярах
COB₁ = 90°,
поэтому из прямоугольного ∆ CB₁O также легко вычислить косинус
искомого угла.

 Решение пункта б).

Пусть точка E – середина A₁D, тогда координаты E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE =
.

2 способ. По теореме Пифагора

Из прямоугольного ∆ BAE с прямым
BAE
находим BE =
.

Задача 2.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁
все ребра равны a. Найти угол между прямыми AB и A₁C.

1 способ. Координатно-векторный метод

Координаты вершин призмы в прямоугольной системе при расположении призмы, как
на рисунке: A (0; 0; 0), B (a;
;
0),
A₁(0; 0; a), C (0; a; 0).

Направляющие векторы прямых A₁C и AB:

{0; a; -a} и

{a;
;
0} ;

cos φ =
;

φ
= arccos
.

2 способ. Используем теорему косинусов

Рассматриваем ∆ A₁B₁C, в котором
A₁B₁ || AB. Имеем

 cos φ =
.

(Из сборника ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты под ред.
А.Л.Семенова, И.В.Ященко)

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁,
все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E до прямой B₁C₁.

1) Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные
оси, как показано на рисунке. СС₁,
СВ и СЕ попарно перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них
координатные оси. Получаем координаты:

С₁ (0; 0; 1), Е (;
0; 0), В₁ (0;1;1).

2) Найдем координаты направляющих векторов для прямых С₁В₁
и С₁Е:

(0;1;0),

(;0;-1).

3) Найдем косинус угла между С₁В₁
и С₁Е, используя скалярное произведение векторов
и
:

 cos β =
=
0 => β = 90° => C₁E – искомое расстояние.

4) С₁Е =
= 2.

Вывод: знание различных подходов к решению стереометрических задач
позволяет выбрать предпочтительный для любого учащегося способ, т.е. тот,
которым ученик владеет уверенно, помогает избежать ошибок, приводит к успешному
решению задачи и получению хорошего балла на экзамене. Координатный метод имеет
преимущество перед другими способами тем, что требует меньше стереометрических
соображений и видения, а основывается на применении формул, у которых много
планиметрических и алгебраических аналогий, более привычных для учащихся.

Домашнее задание: решить задачу 3 другим способом, например, с помощью
теоремы о трех перпендикулярах.

Литература

1. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по
геометрии для 11 класса.– М.: ИЛЕКСА, – 2010. – 208 с.

2. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и
профильный уровни / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.:
Просвещение, 2007. – 256 с.

3. ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под
ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 112 с. –
(ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).