Векторы егэ профиль вектор задание

Сайты, меню, вход, новости

Найдите квадрат длины вектора .

Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора  + .

Найдите сумму координат вектора .

Вектор  с началом в точке A(2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите ординату точки B.

Вектор  с концом в точке B(5, 3) имеет координаты (3, 1). Найдите абсциссу точки A.

Вектор  с концом в точке B(5, 4) имеет координаты (3, 1). Найдите сумму координат точки A.

Найдите квадрат длины вектора  + .

.  Найдите квадрат длины вектора .

Найдите длину вектора (6; 8).

Найдите квадрат длины вектора .

Стороны правильного треугольника равны . Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите скалярное произведение векторов  и .

. Найдите сумму координат вектора .

. Вектор  с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите абсциссу точки .

Вектор  с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки .

Вектор  с началом в точке (3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки .

Вектор  с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки .

Вектор  с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

Вектор  с концом в точке (5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки .

Найдите сумму координат вектора  + .

Найдите квадрат длины вектора  + .

. Найдите сумму координат вектора .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите скалярное произведение векторов  и .

Найдите угол между векторами  и . Ответ дайте в градусах.

Найдите сумму координат вектора  + .

Найдите квадрат длины вектора  + .

Найдите сумму координат вектора .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите скалярное произведение векторов  и .

Найдите угол между векторами  и . Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора .

Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника ABC равны 33. Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника ABC равны 35. Найдите скалярное произведение векторов  и .

Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите абсциссу точки B.

Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите сумму координат точки B.

39. Вектор с концом в точке имеет координаты . Найдите ординату точки A.

Контрольная работа «ВЕКТОРА»

ВАРИАНТ  1

1.    
 Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра  + .

 

2.    
Сто­ро­ны пра­виль­но­го

 тре­уголь­ни­ка  равны .

 Най­ди­те
длину век­то­ра .

3.    
Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го

точки A(6;
и (−2; 2).

4.    
 Най­ди­те угол между век­то­ра­ми  и .

 Ответ дайте

 в гра­ду­сах.

5.    
 Диа­го­на­ли изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке

 ромба равны 12 и
16.

 Най­ди­те длину век­то­ра  + .

6.    
Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2;
6) и B яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те
абс­цис­су точки B.

Контрольная работа «ВЕКТОРА»

ВАРИАНТ  2

1. Най­ди­те
квад­рат длины век­то­ра .

2.
Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.
Най­ди­те абс­цис­су точки C.

3.  Най­ди­те квад­рат
длины век­то­ра .

4.  Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка  равны
6 и 8. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке .Най­ди­те
длину раз­но­сти век­то­ров  и .

5.  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A с ко­ор­ди­на­та­ми
(6; до оси ор­ди­нат.

6. Най­ди­те угол между

 век­то­ра­ми  и .

Ответ
дайте в гра­ду­сах.

Контрольная работа «ВЕКТОРА»

	Вариант  1	Вариант  2
1	200	40
2	6	2
3	10	40
4	45	8
5	16	6
6	8	45

Тема «Векторы на координатной плоскости» достаточно подробно рассматривается в рамках школьного курса учащихся старших классов. Однако практика показывает, что, сталкиваясь с нетипичным заданием, выпускники часто теряются и не могут быстро найти правильный ответ.

Чтобы задачи, в которых требуется построить векторы на координатной плоскости, не вызывали сложностей при написании профильного уровня ЕГЭ по математике, необходимо понять, как они решаются.

Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к прохождению аттестационного испытания будет легкой и качественной! Сайт поможет учащимся выявить пробелы в знаниях и успешно справиться с аттестационным испытанием.

Чтобы разобраться в теме «Координаты вектора на координатной плоскости», рекомендуем вначале вспомнить весь базовый материал. Он представлен в разделе «Теоретическая справка». Учащиеся смогут освежить в памяти основные теоремы, свойства координат вектора, определение скалярного произведения векторов и другие понятия, которые помогут при решении заданий ЕГЭ.

Для того чтобы закрепить усвоенный материал, мы рекомендуем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач по теме «Векторы на координатной плоскости», а также по правилам сложения и вычитания векторов представлена в разделе «Каталог». Для качественной подготовки к ЕГЭ лучше всего переходить от простых упражнений к более сложным. В каждом задании на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ.

Практиковаться в выполнении задач выпускники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с². Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или .

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами: .

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

к оглавлению ▴

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов. и

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

;

.

к оглавлению ▴

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

к оглавлению ▴

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

к оглавлению ▴

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

.

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

.

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

.

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза.

---

к оглавлению ▴

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

ПОДРОБНЕЕ

---

Задачи по теме «Векторы»(для подготовки к ЕГЭ по математике профильный уровень)
консультация по математике (11 класс) на тему

Скачать:

Вложение	Размер
vektory.docx	479.51 КБ

Предварительный просмотр:

1. Найдите квадрат длины вектора .

1. Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора + .

1. Найдите сумму координат вектора .

Вектор с началом в точке A (2, 4) имеет координаты (6, 2). Найдите ординату точки B .

Вектор с концом в точке B (5, 3) имеет координаты (3, 1). Найдите абсциссу точки A .

Вектор с концом в точке B (5, 4) имеет координаты (3, 1). Найдите сумму координат точки A .

Найдите квадрат длины вектора + .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите длину вектора (6; 8).

Найдите квадрат длины вектора .

Стороны правильного треугольника равны . Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите длину вектора .

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и .

. Найдите сумму координат вектора .

. Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите абсциссу точки .

Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки .

Вектор с началом в точке (3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки .

Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки .

Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

Вектор с концом в точке (5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки .

Найдите сумму координат вектора + .

Найдите квадрат длины вектора + .

. Найдите сумму координат вектора .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите скалярное произведение векторов и .

Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.

Найдите сумму координат вектора + .

Найдите квадрат длины вектора + .

Найдите сумму координат вектора .

Найдите квадрат длины вектора .

Найдите скалярное произведение векторов и .

Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.

Векторы

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают $<(АВ)>↖<→>$ или строчной (маленькой) буквой, например $<а>↖<→>$

Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.

Модуль (длину) вектора обозначают $|АВ|↖<→>$.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами.

1. Правило треугольника (А)
2. Правило параллелограмма (Б)

Для любых векторов $a↖<→>, b↖<→>, c↖<→>$ справедливы равенства:

Разность векторов тоже можно получить двумя способами:

Если надо найти разность двух векторов, их необходимо отложить из одной точки. Результирующий вектор направлен к уменьшаемому.

Для любых $a↖<→>$ и $b↖<→>$ справедливо равенство $a↖<→>-b↖<→>=a↖<→>+(<-b>↖<→>)$

Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.$a↖<→>⋅b↖<→>=|a↖<→>|·|b↖<→>|·cos⁡α$

Ненулевые векторы $a↖<→>$ и $b↖<→>$ перпендикулярны, если их произведение равно нулю.

Метод координат

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.

Для того чтобы векторы $a↖<→>$ и $b↖<→>$ были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $a↖<→>=k·b↖<→>$, где $k$ — это некоторое число.

Координаты середины вектора равны средним арифметическим координат его концов.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Скалярное произведение векторов $a↖<→>$ и $b↖<→>$ в координатах находится по формуле $a↖<→>·b↖<→>= x1·x2+y1·y2$

Длина вектора $a↖<→>$ вычисляется по формуле: $|a↖<→>|=√$

Расстояние между двумя точками $M1(x1;y1)$ и $M2(x2; y2)$ находится по формуле $|M1M2|=√<(x2-x1)^2+(y2-y1)^2>$

Найдите угол между векторами $a↖<→>$ и $b↖<→>$

1. Сначала нужно найти координаты векторов $a↖<→>$ <2-0;6-0>$b↖<→>$
2. Найдем скалярное произведение векторов $a↖<→>·b↖ <→>= 2·8+6·4=16+24=40$
3. Найдем длины каждого вектора $|a↖<→>|= √<4+36>=√<40>; |b↖<→>|=√<64+16>=√<80>$
4. Найдем косинус угла между векторами $cosα=<40>/<√<40>·√<80>>=<40>/<√<40·40·2>>=<1>/<√2>=<√2>/<2>$
5. Найдем угол $α=arccos<√2>/<2>=45$

Сборник «Решение задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом»

Серия «Школьник — школьнику»

Решение заданий №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

С помощью данных методических рекомендаций можно научиться решать задачи на вычисление углов и расстояний в стереометрии с помощью координатно-векторного метода. Для учеников 10-11 классов самой главной проблемой является подготовка к ЕГЭ. Причем не все ученики уверенно решают задания II части , а некоторые и не берутся за их решение.

Координатно-векторный метод основан на введении прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая громоздкие и достаточно сложные преобразования и выкладки.

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Выражаю огромную благодарность своим ученикам 11 класса 2016 – 2017 учебного года: Комаровой Ангелине, Тарбаеву Наилю, Бекмурзаеву Тимуру, Утегеновой Аимгуль, Абылхатаевой Карине, Кункашевой Арине, Юсуповой Аделине, Успанову Гелиму , которые сыграли большую роль в создании данного методического сборника

Если у вас имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если вам никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца.

Данный курс не претендует на научность, а является небольшим методическим пособием при подготовке к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче экзамена. Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-измерительных материалах.

Метод координат — это довольно несложный способ, но в настоящих задачах №14 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Метод координат —эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Данный метод заключается во введении декартовой системы координат, а затем – нахождение образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

— Выбираем в пространстве систему координат

— Находим координаты необходимых, по условию задачи, точек.

— Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

— Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Для начала разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим, что же представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

z

0 у

Для того чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы:

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

, где

2. Нахождение координат середины отрезка

A ( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ), B ( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ )

3. Нахождение косинуса угла между векторами

, где

4. Координаты x, y, z точки М , которая делит отрезок , ограниченный точками А(х ₁ , у ₁ , z ₁ ) и B ( x ₂ ,y ₂ , z ₂ ), в отношении , определяется по формулам

5. Расстояние от точки до плоскости

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников, помещенных в систему координат.

Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

Начало координат — в точке A;

Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;

Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA ₁ .

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень удобно и логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

И для верхней: Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются от соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B ₁ = (1; 0; 1).

Координаты правильной треугольной призмы

При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах №14 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба.

Вводим систему координат:

Начало координат — в точке A;

Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA ₁ , а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C ₁ . У них есть иррациональные координаты, и для того чтобы довольно просто решить задание №14 эти иррациональные координаты надо просто запомнить. Или можно вывести.

Координаты правильной шестиугольной призмы

Шестиугольная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Нужно обратить внимание на то, что начало координат не совпадает с вершиной многогранника. На самом деле, при решении настоящих задач выясняется, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений. Осталось добавить ось z. Проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Ниже представлено, как найти определитель третьего порядка по правилу Саррюса, составить уравнение плоскости и найти вектор нормали.

§2 Практическая часть

Ниже представлены задачи:

— на нахождение угла между прямыми;

— угла между прямой и плоскостью;

— угла между плоскостями;

— расстояния от точки до прямой;

— расстояния от точки до плоскости.

Эти задачи решили мои ученики 11 класса

Вариант 13. Задача №14 по сборнику Ф.Ф.Лысенко

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ , ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка BC ₁ . Найдите расстояние между прямыми А ₁ В и АМ.

Задача №14 по сборнику ФИПИ 2016

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до прямой C ₁ F _.

Задача №14 по сборнику ФИПИ 2017

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Найдите расстояние от точки B ₁ до плоскости AD ₁ C , если АВ равно 5, АА ₁ равно 6.

Задача №14 ЕГЭ по сборнику ФИПИ 2017

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ все рёбра равны 4.

а) Докажите, что угол между прямыми А D ₁ и DC ₁ равен 90 0 .

б) Найдите угол между плоскостями FAC ₁ и AA ₁ D .

Задача №14 ЕГЭ по сборнику ФИПИ 2017

Мы изучили метод координат на более высоком уровне по сравнению со школьной программой по геометрии. Познакомились и научились применять новые формулы: на нахождение расстояния от точки до плоскости, от точки до прямой, угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями. Мы узнали, что для составления уравнения плоскости можно использовать матрицу и определитель третьего порядка, который можно посчитать правилом Саррюса.

Мы пришли к выводу, что использование метода координат требует от ученика внимательности, хороших вычислительных навыков. Мы убеждены в том, что координатно-векторный метод в школьном курсе геометрии необходимо изучать на глубоком уровне и увеличить количество часов на изучение данной темы.

Нами подобраны задания из сборников ФИПИ 2016г и 2017г, которые мы самостоятельно решили и которые помогут отработать полученные навыки, и тем самым более качественно подготовиться к сдаче экзамена.

Мы надеемся, что изложенная в работе информация поможет выпускникам решать задание №14 и достичь более высоких результатов на ЕГЭ по математике

ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

ru . wikipedia . org – Система координат.

Смирнова, И.М. C 50 Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 158, [2] с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов»)

Геометрия, 10 – 11 : Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 206 с.: ил.

Корянов А.Г, Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения . МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2) « Многогранники: виды задач и методы их решения » www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г, « Расстояния и углы в пространстве» МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 (типовые задания С2) www.alexlarin.narod.ru

В.В. Леваков «Решение задач координатно-векторным методом»

Векторы ЕГЭ по математике

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Векторы».

Содержание темы:

19.  ВЕКТОРЫ
19.1.  Основные понятия и определения
19.2.  Линейные действия над векторами
19.3.  Скалярное произведение векторов
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест 

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.