Оценить вероятность того, что в течении следующего часа числовызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 300.13. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться отвероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).14. Среднее изменение курса акции компании в течении биржевых торговсоставляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курсизменится более, чем на 3%.15.
Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценитьвероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более200 клиентов; б) более 150 клиентов.16. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. Спомощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что долясдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66до 0,74.17. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона –безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того,что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособныхжителей города будет в пределах от 9% до 11% (включительно).18.
Опыт страховой кампании показывает, что страховой случай приходитсяпримерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенстваЧебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить,чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховыхслучаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).Уточните ответ с помощью следствия из интегральной теоремы МуавраЛапласа.19. Дисперсия каждой из 3500 независимых случайных величин равна 5. Оценитьвероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайныхвеличин от средней математической их математических ожиданий непревысит 0,25.20. Ежедневно новая сделка заключается с вероятностью 0,2 (но не более одной вдень).
За сколько дней с вероятностью 0,9 можно ожидать заключения неменее 50 сделок?21. . В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В какихпределах будет находиться с вероятностью 0,99 число деталей отличногокачества, если взять 10000 деталей. Сделать оценку с помощью неравенстваЧебышева и с помощью теоремы Муавра-Лапласа.22.
Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого извходов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом изгардеробов для того, чтобы среднем в 99 случаях из 100 все эти зрители моглираздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается,что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает свероятностью 0,5 любой из входов. На сколько можно будет сократить число6мест в гардеробе, если зрители будут приходить поодиночке и такженезависимо друг от друга с равной вероятностью выбирать любой из входов?23. Аппаратура состоит из 100 одинаково надежных и независимо работающихэлементов, каждый из которых может отказать в течение суток свероятностью 0,01.
На обнаружение отказавшего элемента и его заменутребуется 20 минут, в течение которых аппаратура простаивает. а) Найтивероятность того, что время простоя в сутки будет не более 40 минут. б)Найти среднее время простоя аппаратуры в сутки.24. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит напоезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо отостальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобыон переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз всутки)?25.
На заводе 1000 станков, каждый из которых в среднем в течение 24 дней вмесяц потребляет электроэнергию независимо от других станков с некоторойпостоянной интенсивностью единиц в день. Какое количествоэлектроэнергии необходимо заводу ежедневно, чтобы не чаще 2 раза в 100дней он испытывал недостаток электроэнергии?26. Предприятие выпускает 30% изделий — стоимостью 1 руб., 30% изделий —стоимостью 2 руб. и 40% изделий — стоимостью 3 руб. Какова вероятностьполучить за 1000 случайно отобранных изделий не менее 2150 руб.?27. Известно, что 1/3 всех деталей, сходящих с конвейера, подвергаетсявыборочному контролю на основании некоторого случайного признака.
Пустьчерез контроль прошло 100 деталей. В каких пределах с вероятностью 0,99лежит общее число деталей, сошедших с конвейера?28. Известно, что вес некоторой детали является случайной величиной ,имеющей равномерное распределение на отрезке от 1 до 2г. В каких пределахс вероятностью 0,99 будет находиться суммарный вес 10000 деталей?29. Для проверки эффективности новый метод стимулирования ростапроизводительности труда был введен на 100 предприятиях. При этом на 32предприятиях введение нового метода вызвало снижение производительноститруда, а на 68 — повышение производительности труда. Какова вероятностьтого, что чисто случайные колебания вызовут не меньшее отклонение отчисла 50 — половины общего числа предприятий?7.
Пример 5.1.
Дана случайная величина
с математическим ожиданием
и дисперсией
.
Оценить сверху вероятность того, что
величина
отклонится от своего математического
ожидания не меньше, чем на
.
Решение.
Полагая во втором неравенстве Чебышева
,
получим
,
т.е. вероятность
того, что отклонение случайной величины
от ее математического ожидания выйдет
за пределы трех средних квадратических
отклонений, не может быть больше 1/9 ни
при каком законе распределения.
Замечание.
На практике в большинстве случаев
вероятность того, что величина
выйдет за пределы участка
,
значительно меньше 1/9. Например, для
нормального закона эта вероятность
приблизительно равна 0.003.
Пример 5.2. Среднее
значение скорости ветра в данной
местности равно 16 км/час. Оценить
вероятность того, что в данной местности
скорость ветра (при одном наблюдении)
не превышает 80 км/час.
Решение. По
первой форме неравенства Чебышева
находим
.
Пример 5.3.
Математическое
ожидание скорости ветра на данной высоте
равно 25 км/час, а
км/час. Какие скорости ветра можно
ожидать на этой высоте с вероятностью
не меньшей чем 0.9?
Решение.
Пусть
— скорость ветра. Тогда по второму
неравенству Чебышева имеем
.
Следовательно, с
вероятностью, большей 0.9, имеем
.
Пример 5.4.
4 станка производят детали из стали
марки
,
6 других – из стали марки
.
Определить вероятность того, что из 500
взятых деталей количество деталей из
стали марки
будет заключено в пределах от 180 до 220.
Решение.
Воспользуемся неравенством Чебышева
для оценки нижней границы искомой
вероятности
.
Имеем
.
.
.
С другой стороны,
эту вероятность можно более точно
вычислить (оценить) по теореме
Муавра–Лапласа:
,
.
Пример 5.5.
Станок–автомат
требует подналадки в среднем один раз
за 4 часа работы. Определить вероятность
того, что за 10 суток непрерывной работы
подналадка осуществлялась ровно 70 раз.
Решение. Имеем
n
= 240; m
= 70; p =
0.25; q
= 0.75.
По
локальной теореме Муавра–Лапласа
получаем
.
По закону Пуассона
эта вероятность
.
Пример 5.6.
В страховой фирме застраховано 10 тысяч
лиц одного возраста и одной социальной
группы. Вероятность смерти в течение
года для каждого лица равна 0,006. Каждый
застрахованный в начале года вносит 12
долларов страховых, и, в случае смерти,
его родственники получают от фирмы
тысячу долларов. Найти вероятность
того, что:
1) фирма потерпит
убыток;
2) фирма получит
прибыль, не меньшую чем x
тысяч долларов
.
Решение.
Вероятность убытков для страховой фирмы
есть вероятность смерти в течении года
более чем 120 застрахованных.
Тогда по формуле
Муавра–Лапласа имеем
.
У нас
;
;
.
Тогда с точностью
до 10 знаков после запятой
.
Получение прибыли
в x
тысяч долларов
и более может быть, если в течении года
из застрахованных умрёт не более чем
человек. В этом случае вероятность
получения фирмой прибыли (П)
не менее величины x
равна:
При
получим:
.
Пример 5.7. Три
станка, производительности которых
соотносятся как 5:3:2, производят детали
на общий конвейер. Определить вероятность
того, что из 240 деталей, взятых случайным
образом с конвейера, деталей, произведенных
вторым станком будет от 60 до 70.
Решение. Искомую
вероятность определяем по интегральной
формуле Муавра–Лапласа:
Пример 5.8.
Вероятность
изделию быть бракованным равна 0,05.
Сколько изделий надо взять, чтобы с
вероятностью не меньшей 0,9 среди них
оказалось не менее 50 бракованных?
Решение. Необходимо
найти число n,
удовлетворяющее интегральной формуле
Муавра–Лапласа
P(50
£
m
£
n)
=
–
³
0,9 .
Оценим значение
=
»
Ф(4,3
)
³
Ф(30)
»
0,5.
Тогда
£
– 0,4.
По таблице функции
Лапласа находим, что Ф(х)
= – 0,4 при х
= 1,28.
Поэтому получаем
соотношение
£
1,28
или 0,05×n
– 0,282×
– 50 ³
0.
Решая последнее
неравенство, находим n
³
1196, то есть следует взять не менее 1196
изделий.
Контрольные
задачи к главе 5
«Предельные
теоремы теории вероятностей»
5.1.
Среднее потребление электроэнергии в
мае в некотором населенном пункте
составляет 360 000 кВт.ч.
Оцените с помощью первого неравенства
Чебышева вероятность того, что потребление
электроэнергии в мае текущего года в
этом населенном пункте превысит 106
кВт.ч.
5.2.
Средний ежедневный расход воды в
некотором населенном пункте составляет
50 000 л.
Оценить с помощью первого Чебышева
вероятность того, что в произвольно
выбранный день расход воды в этом пункте
превысит 150 000 л.
5.3.
Среднее квадратическое отклонение
погрешности изменения курса самолета
равно
.
Считая математическое ожидание
погрешности измерения равным нулю,
оцените с помощью второго неравенства
Чебышева вероятность того, что погрешность
одного измерения курса самолета превысит
.
5.4.
Вероятность появления события A
в одном опыте равна 0,5. Можно ли с
вероятностью, большей 0,97, утверждать,
что число появлений события A
в 1000 независимых опытов будет в пределах
от 400 до 600?
5.5.
Средний расход воды в населенном пункте
составляет 50000 литров в день. Оценить
вероятность того, что в этом населенном
пункте в данный день расход воды не
превысит 150000 литров.
5.6.
Вероятность наступления события A
в каждом испытании равна 2/3. Используя
неравенство Чебышева, оценить вероятность
того, что в 10000 испытаний отклонение
относительной частоты события A
от вероятности его появлений не
превзойдет 0,01.
5.7.
Вопрос#19: Среднее квадратическое
изменение курса акции компании в течение
одних биржевых торгов составляет 0,3%.
Оценить вероятность того, что на ближайших
торгах курс изменится более чем на 3%.
5.8.
Отделение банка обслуживает в среднем
100 клиентов в день. Оценить вероятность
того, что сегодня в отделении банка
будет обслужено не более 200 клиентов.
5.9.
Электростанция обслуживает сеть на
1600 электроламп, вероятность включения
каждой из которых равна 0,9. Оценить с
помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что число ламп, включенных в сеть
вечером, отличается от своего
математического ожидания не более чем
на 100 (по абсолютной величине).
5.10.
Вероятность того, что акции, переданные
на депозит, будут востребованы, равна
0,08. Оценить с помощью неравенства
Чебышева вероятность того, что среди
1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои
акции.
5.11.
Среднее значение длины детали 50 см,
а дисперсия – 0,1. Оценить с помощью
неравенства Чебышева вероятность того,
что случайно взятая деталь окажется по
длине не менее 49,5 см
и не более 50,5 см.
Уточнить вероятность того же события,
если известно, что длина случайно взятой
детали имеет нормальный закон
распределения.
5.12.
В течение времени t
эксплуатируются 500 приборов. Каждый
прибор имеет надежность 0,98 и выходит
из строя независимо от других. Оценить
с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что доля надежных приборов
отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по
абсолютной величине).
5.13.
Вероятность сдачи в срок всех экзаменов
студентом факультета равна 0,7. Оценить
с помощью неравенства Чебышева вероятность
того, что доля сдавших в срок все экзамены
из 2000 студентов заключена в границах
от 0,66 до 0,74.
5.14.
В среднем 10% работоспособного населения
некоторого региона – безработная.
Оценить с помощью неравенства Чебышева
вероятность того, что уровень безработицы
среди обследованных 10000 работоспособных
жителей города будет в пределах от 9 до
11% включительно.
5.15.
Сколько нужно провести измерений, чтобы
с вероятностью, равной 0,9973, утверждать,
что погрешность средней арифметической
результатов этих измерений не превысит
0,01, если измерение характеризуется
средним квадратическим отклонением,
равным 0,03?
5.16.
Случайная величина Х
является средним арифметическим из n
независимых одинаково распределенных
случайных величин, дисперсия каждой
из которых равна 5. Оцените, какое число
слагаемых n
нужно взять для того, чтобы с вероятностью
не менее 0,9973 случайная величина Х
отклонялась от своего среднего не более
чем на 0,01.
5.17.
Среднее квадратическое отклонение
погрешности изменения курса самолета
равно
.
Считая математическое ожидание
погрешности измерения равным нулю,
оцените с помощью второго неравенства
Чебышева вероятность того, что погрешность
одного измерения курса самолета превысит
.
5.18.
Случайная величина Х
является средним арифметическим из
3200 независимых случайных величин, причем
каждое слагаемое имеет математическое
ожидание 3 и дисперсию 2. Оценим вероятность
того, что Х
попадает в интервал (2,925, 3,075).
5.19.
Производится выборочное обследование
большой партии электрических лампочек.
Среднее квадратическое отклонение
времени горения лампочки равно
ч.
Из всей партии наудачу выбирается 400
лампочек. Оценить вероятность того, что
среднее время горения лампочки будет
отличаться от наблюдаемого среднего
времени горения выбранных 400 лампочек
не более чем на 10 ч.
5.20.
Три станка, производительности которых
соотносятся как 3:2:1,производят детали
на общий конвейер. Определить вероятность
того, что из 200 деталей, взятых случайным
образом с конвейера, деталей, произведенных
вторым станком будет от 50 до 70.
5.21.
3 станка производят детали из стали
марки A
, 7 других – из стали марки B.
Определить вероятность того, что из 400
взятых деталей количество деталей из
стали марки A
будет заключено в пределах от 100 до 130.
5.22.
Отделение банка обслуживает в среднем
100 клиентов в день. Оценить вероятность
того, что сегодня в отделении банка
будет обслужено более 150 клиентов.
5.23.
Три станка,
производительности которых соотносятся
как 5:3:2, производят детали на общий
конвейер. Определить вероятность того,
что из 200 деталей, взятых случайным
образом с конвейера, деталей, произведенных
вторым станком будет от 50 до 65.
5.24.
Найти вероятность того, что при 720
бросаниях игральной кости «шестерка»
выпадает от 100 до 130 раз.
5.25.
Вероятность появления некоторого
события в каждом из 800 независимых
испытаний равна 1/4. Воспользовавшись
вторым неравенством Чебышева, оцените
вероятность того, что число Х
появлений этого события заключено в
пределах от 150 до 250.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).
Скачать решение бесплатно
Купить решение
* Оплата через сервис ЮMoney.
Другие задачи по теории вероятности
Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.
Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2ч легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.
В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона — безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).
Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,2 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа.
В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.
Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?
Для студента Петрова вероятность сдать на отлично экзамен по высшей математике равна 0,7, а по физике 0,8. для студента Васильева эти вероятности равны 0,6 и 0,7 соответственно. Какова вероятность, что после сдачи двух экзаменов количество отличных оценок у этих студентов будет одинаково.
Вероятность двух 5 у Петрова: 0,56. Одной пятерки: 0,38
Вероятность двух 5 у Васильева: 0,42. Одной пятерки: 0,46.
А как найти вероятности одинаковых оценок? Перемножить вероятности?
0,56*0,42+0,38*0,46=0,41 или по другому?
__________________
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь
Вопросы »
Комбинаторика,вероятность » Вероятность успешной сдачи экзамена по математике равна 0,7, а при следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математике, если пересдавать экзамен можно не более 2 раз?
Вероятность успешной сдачи экзамена по математике равна 0,7, а при следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математике, если пересдавать экзамен можно не более 2 раз?
создана: 26.06.2021 в 14:48
…………………………………………
|
Lena67 :
Вероятность успешной сдачи экзамена по математике равна 0,7, а при следующей попытке увеличивается на 0,1.
Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математике, если пересдавать экзамен можно не более 2 раз?
Для успешной сдачи экзамена необходимо ответить хотя бы на один из двух предложенных теоретических вопросов и решить задачу
Для успешной сдачи экзамена необходимо ответить хотя бы на один из двух предложенных теоретических вопросов и решить задачу. Вероятность того, что студент правильно ответит на теоретический вопрос, равна 0,7, решит задачу 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен. |
|
Просмотров: 1067 | Добавил: (29.07.2018) (Изменено: 29.07.2018) |
Всего ответов: 1 |
|
Обсуждение вопроса:Всего ответов: 1 Порядок вывода комментариев:
0 V_V
|
|