Вероятность выстрелы егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Версия для печати и копирования в MS Word

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,5, а при каждом последующем  — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,99?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем  — 0,5. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем  — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,8, а при каждом последующем  — 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,99?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Источник

Теория для решения задач здесь

Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:+ показать

Задача 2.При изготовлении подшипников диаметром мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на мм, равна Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем мм или больше чем мм.

Решение:+ показать

Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: + показать

Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:+ показать

Задача 5. Биатлонист раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна Найдите вероятность того, что биатлонист первые раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: + показать

Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение: + показать

Задача 7. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше задач, равна Вероятность того, что У. верно решит больше задач, равна Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно задач.

Решение: + показать

Задача 8. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение: + показать

Задача 9. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает % этих стекол, вторая – %. Первая фабрика выпускает % бракованных стекол, а вторая – %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:+ показать

Задача 10. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение: + показать

Задача 11. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью , если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью На столе лежит револьверов, из них только пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: + показать

Задача 12. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает очков, в случае ничьей — очко, если проигрывает — очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны

Решение: + показать

Задача 13. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее баллов по математике, равна , по русскому языку — , по иностранному языку — и по обществознанию — .

Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: + показать

Задача 14. На фабрике керамической посуды % произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется % дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение: + показать

Задача 15. В кармане у Пети было монеты по рублю и монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение: + показать

Задача 16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: + показать

Задача 17. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение: + показать

Задача 18. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью Известно, что у % пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение: + показать

Задача 19. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна , а при каждом последующем — . Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее ?

Решение: + показать

Задача 20. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.

Решение: + показать

Задача 21. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа , и встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали и очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение: + показать

Задача 22. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс.

У Маши уже есть четыре разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

Решение: + показать

Вы можете пройти Тест

Источник

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Источники: mathege, alexlarin.

Решение:

Вероятности при 1-м выстреле:

Попадание = 0,4
Промах = 1 – 0,4 = 0,6

Вероятности при всех последующих выстрелах:

Попадание = 0,6
Промах = 1 – 0,6 = 0,4

С какого выстрела попали	История выстрелов	Вероятность	Сумма со всеми предыдущими вероятностями	Сравнение с 0,98
1	попадание	0,4	0,4	< 0,98
2	промах попадание	0,6·0,6 = 0,36	0,76	< 0,98
3	промах промах попадание	0,6·0,4·0,6 = 0,144	0,904	< 0,98
4	промах промах промах попадание	0,6·0,4·0,4·0,6 = 0,0576	0,9616	< 0,98
5	промах промах промах промах попадание	0,6·0,4·0,4·0,4·0,6 = 0,02304	0,98464	> 0,98

Вероятность будет не менее 0,98 после 5 выстрелов.
Ответ: 5.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 3.6 / 5. Количество оценок: 43

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

Источник

Анна Малкова

В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми, которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности.

Мы разберем задачу №4 из Демоверсии ЕГЭ-2022, задания из Методических рекомендаций ФИПИ для учителей и аналогичные им.

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

1. Демоверсия ЕГЭ-2022

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение:

Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.

Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.

По определению вероятности получаем

2. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение:

Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:

Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).

Ответ: 0,2.

3. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Благоприятными будут следующие исходы:

Первый раз – вытащили красный фломастер.

И второй раз – красный.

А третий раз – синий.

Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна $displaystyle frac{4}{6} = frac{2}{3}.$

После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна $displaystyle frac{3}{5}.$

Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна $displaystyle frac{1}{2}.$

Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть

$displaystyle frac{2}{3} cdotfrac{3}{5} cdotfrac{1}{2} = frac{1}{5} = 0,2.$

Ответ: 0,2.

4. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.

Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого $displaystyle frac{9}{25},$ в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна $displaystyle frac{10}{24}.$ Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна $displaystyle frac{9}{25} cdot frac{10}{24}=frac{3}{5}cdot frac{1}{4} = frac{3}{20}.$

А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна $displaystyle frac{10}{25} = frac{2}{5}.$ Вероятность после этого вытащить красный равна $displaystylefrac{9}{24} = frac{3}{8},$ вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна $displaystylefrac{2}{5} cdot frac{3}{8} = frac{3}{20}.$

Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна $displaystylefrac{3}{20} + frac{3}{20} = 0,3.$

А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.

5. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А;
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Имеем:

Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.

x=0,05.

Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим: отсюда

Ответ: 0,43.

Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

6. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.

Решение:
Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.
Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.

С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна

Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна

Ответ: 0,64.

7. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.

Формула Бернулли:

– Вероятность P^m_n того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:

$P^m_n = C^m_n p^m q^{n-m},$ где

p – вероятность появления события A в каждом испытании;

q=1-p – вероятность появления события A в каждом испытании.

Коэффициент C^m_n часто называют биномиальным коэффициентом.

О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.

А пока скажем просто, как их вычислять.

$displaystyle C^m_n = frac{n!}{m!(n-m)!}.$

Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы. На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,

Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна $displaystylefrac{1}{2},$ вероятность решки тоже $displaystyle frac{1}{2}.$ Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.

$displaystyle P_1=C_{10}^5left ( frac{1}{2} right )^5cdot left ( frac{1}{2} right )^5=frac{10!}{5!cdot 5!cdot 2^{10}}.$

Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна

$displaystyle P_2=C_{10}^4cdot left ( frac{1}{2} right )^4cdot left ( frac{1}{2} right )^6=frac{10!}{4!cdot 6!cdot 2^{10}}.$

Найдем, во сколько раз P_1 больше, чем P_2.

$displaystyle frac{P_1}{P_2}=frac{10!cdot 4!cdot 6!cdot 2^{10}}{5!cdot 5!cdot 2^{10}cdot 10!}=frac{4!}{5!}=frac{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5cdot 6}{1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5 cdot 1cdot 2cdot 3 cdot 4cdot 5}=$

$displaystyle =frac{6}{5} = 1,2.$

Ответ: 1,2.

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна

Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна

Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

$displaystyle P_2=C_{5}^{4}cdot 0,84^{4}cdot 0,16=frac{5!; 0,84^4 cdot 0,16}{4!}=5cdot 0,84^4 cdot 0,16.$

$displaystyle frac{P_1}{P_2} = frac{0,84^5}{5 cdot 0,84^4 cdot 0,16}= frac{0,84}{0,8}=1,05.$

9. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?

Решение:
Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.

С вероятностью $displaystyle frac{1}{2}$ стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна $displaystyle frac{1}{2} cdot frac{1}{2} = frac{1}{4},$ так как с вероятностью $displaystyle frac{1}{2}$ он промахнулся в первый раз и с вероятностью $displaystyle frac{1}{2}$ второй выстрел был удачным.

Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна $displaystyle frac{1}{2}+frac{1}{4} = frac{3}{4}.$

Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.

$displaystyle P_1=P^3_5=C^3_5 cdot left ( frac{3}{4} right )^3 cdot left ( frac{1}{4} right )^2 = frac{5!}{3! 2!} cdot frac{3^3}{4^5}.$

Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти

$displaystyle P_2=P^2_5=C^2_5 cdot left ( frac{3}{4} right )^2cdot left( frac{1}{4} right )^3 = frac{5!}{3! 2!} cdot frac{3^2}{4^5}.$

Заметим, что

Получим:

$displaystyle frac{P_1}{P_2} = frac{3^3 cdot 4^5}{4^5 cdot 3^2} = 3.$

Ответ: 3.

10. Стрелок в тире стреляет по мишени. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?

Решение:

Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым, вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.

Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность n промахов (из n выстрелов) равна 0,7^n, а вероятность попасть с первого раза или сто второго … или с n-ого выстрела равна

По условию,

Если n = 2, то – не подходит.

Для n=3 условие выполнено,

Хватит 3 патронов.

Ответ: 3.

11. Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).

Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех? Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.

Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица. Вероятность этого события равна $displaystyle frac{1}{6} cdot frac{1}{6} = frac{1}{36}.$

Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок? Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1. Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна $displaystyle frac{5}{6}.$

Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна $displaystyle frac{5}{216}.$

Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна $displaystyle frac{2}{36} = frac{1}{18}.$

При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.

Окончательно получаем: $displaystyle frac{5}{216} + frac{1}{18} = frac{17}{216} approx 0,08.$

Ответ: 0,08.

Вот еще одна задача из Демоверсии ЕГЭ-2022:

12. В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение:
Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).
Количество взрослых мужчин в городе: 0,48N.
Количество женщин в городе: 0,52N.
Из них 0,15 * 0,52N = 0,078N женщин-пенсионеров.
Всего пенсионеров 0,126N.
Тогда количество мужчин-пенсионеров равно 0,126N – 0,078N = 0,048N.
Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть 0,048 N : 0,48N = 0,1.
Ответ. 0,1.

Мы разобрали все доступные типы заданий №4 из вариантов ЕГЭ-2022. Раздел будет дополняться решениями новых задач – как только они появятся в Банке заданий ФИПИ.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 4 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда .

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42

2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

	Второй автомат
кофе закончился	кофе остался
Первый автомат	кофе закончился	0,22
кофе остался

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

	Второй автомат
кофе закончился	кофе остался
Первый автомат	кофе закончился	0,22	0,18
кофе остался

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

	Второй автомат
кофе закончился	кофе остался
Первый автомат	кофе закончился	0,22	0,18
кофе остался	0,18

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

	Второй автомат
кофе закончился	кофе остался
Первый автомат	кофе закончился	0,22	0,18
кофе остался	0,18	0,42

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна $frac {0,8x}{0,86x}= frac {40}{43}$ ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна 16 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего 0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого 0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого 0,0216 • 0,3 = 0,00648.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна $0,8cdot 0,3^{n-1}$ , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы

Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку 0, 5, по литературе 0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

	11 марта	12 марта	13 марта	14 марта
хорошая	1
отличная	0

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

	11 марта	12 марта	13 марта	14 марта
хорошая	1	0,9
отличная	0	0,1

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

	11 марта	12 марта	13 марта	14 марта
хорошая	1	0,9	0,82
отличная	0	0,1	0,18

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

	11 марта	12 марта	13 марта	14 марта
хорошая	1	0,9	0,82
отличная	0	0,1	0,18	0,244

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Источник

Задание. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96.

Решение:

Вероятность уничтожения цели не менее 0,96

1 выстрел: Вероятность попадания равна 0,3 < 0,96

2 выстрел: Вероятность промаха, учитывая 1 выстрел будет равна (1 — 0,3)·(1 — 0,9) = 0,7 · 0,1 = 0,07

Тогда вероятность попадания равна 1 — 0,07 = 0,93 < 0,96

3 выстрел: Вероятность промаха, учитывая 1 и 2 выстрел будет равна 0,07 · (1-0,9) = 0,07 · 0,1 = 0,007

Тогда вероятность попадания равна 1 — 0,007 = 0,993 > 0,96

Значит, для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96, потребуется 3 выстрела

Ответ: 3

Оставить комментарий

Рубрики

Демоверсия ЕГЭ по информатике
Демоверсия ЕГЭ по математике
Демоверсия ОГЭ по информатике
Демоверсия ОГЭ по математике
Материалы по аттестации
Решаем ЕГЭ по математике
- Задание 1
- Задание 10
- Задание 11
- Задание 12
- Задание 13
- Задание 14
- Задание 15
- Задание 16
- Задание 2
- Задание 3
- Задание 4
- Задание 5
- Задание 6
- Задание 7
- Задание 8
- Задание 9
Решаем ОГЭ по математике
- Задание 21
- Задание 22
- Задание 24
Скачать экзаменационные варианты по информатике
- ЕГЭ по информатике
- ОГЭ по информатике
Скачать экзаменационные варианты по математике
- ЕГЭ по математике
- ОГЭ по математике
Тематическое планирование

Источник