Скорая помощь при подготовке к ЕГЭ по математике. Математические задачи повышенной сложности на оптимизацию (№ 17 ЕГЭ по математике профильного уровня)
Вебинар группы компаний «Просвещение»
Вебинар прошёл: 12.02.2021
Просмотров:
563
Обсуждение
Лукьянчикова С.Н. 13 февраля 2021 г. 17:11
Добрый день. Спасибо!!!
Пинженина Т.В. 13 февраля 2021 г. 12:03
Добрый день, спасибо. Интересно
Сингатулина М.И. 12 февраля 2021 г. 20:16
Добрый вечер. Спасибо.
Макарова Ю.П. 12 февраля 2021 г. 18:35
Добрый вечер. Спасибо большое!
Тарасова Г.А. 12 февраля 2021 г. 13:23
Добрый вечер! Спасибо!
Усачева Е.Ю. 12 февраля 2021 г. 12:37
Добрый день
Балашова Л.С. 12 февраля 2021 г. 11:58
Добрый день!
Описание видеоурока:
Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей.
При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет?
Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!
Выбор видеоурока
Подготовка к ЕГЭ
Подготовка к ОГЭ
© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.
Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены 
12
Май 2016
16 Задание (2022)
В этой статье рассмотрим решение задач из Задания 17, в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.
Задача 1. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
Решение.
показать
Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
(из сборника Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.)
Решение.
показать
И.В. Фельдман, репетитор по математике
15 февраля 2023
В закладки
Обсудить
Жалоба
Задачи на оптимизацию
№15 профильного ЕГЭ по математике.
zadachi_na_optimizatsiyu.pdf
Задачи из видео
1. К 800-летию Нижнего Новгорода идёт активное облагораживание города. На обновление брусчатки одной из пешеходных улиц было выделено 412 500 рублей. К выполнению работ было приглашено две бригады. Один день работы каждой из бригад стоит 3300 рублей. Известно, что первая бригада за x дней выкладывает 60√x м2 брусчатки, а вторая бригада выкладывает 120√x м2. Какое наибольшее количество брусчатки удастся выложить при оптимальном распределении бюджета?
2. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 2x + б млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px — (0,5x2 + 2x + б). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?
3. На счёт, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала r1 процентов, а на тот счёт, который вкладчик имел в конце второго квартала, начисляется в конце этого квартала Т2 процентов, причём r1 + r2 = 150. Вкладчик положил на счёт в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении r1 счёт вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?
Задачи для самостоятельного решения
1. Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.
2. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
3. Строительство нового завода стоит 132 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + 5x + 17 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px(0,5x2+5x+17). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?
4. Зависимость количества Q (в шт 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 — P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 < t < 10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ — 6000Q — 4000000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
Источник: vk.com/j_math
Посмотрите эти вебинары по задаче №15 (ранее №17) и вы научитесь…
- Строить математическую модель экономической задачи и решать ее
- Четко и подробно описывать и оформлять ход решения (а это самое главное в решении экономической задачи!)
- Не делать ошибок!!!
ЕГЭ №15 (17). Экономическая задача. Вклады
Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 2 первичных балла!
Но это не совсем 2 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения (смотрите наш подробнейший вебинар о том как оформлять задачи профильного ЕГЭ по математике)
По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.
Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!
На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.
ЕГЭ №15 (17). Экономическая задача на оптимизацию и на производную (“дикая” задача из пробного ЕГЭ)
В 2017 году, придя на экзамен, выпускники облегченно выдохнули: они увидели под 15 (17) номером стандартную задачу на кредиты. Они боялись, что им попадется такая же задача, как на пробном ЕГЭ.
Задача-убийца, которая была чуть ли не сложнее, чем 17-я и 18-я задачи вместе взятые. Кстати, те, кто сдавал в резервный день, халявы уже не получили, им тоже досталась сложная задача.
На ЕГЭ можно ожидать чего угодно, поэтому готовьтесь с нами к самым сложным задачам. Смотрите это видео и вы научитесь решать самую сложную задачу на оптимизацию и подобные ей.
В этом видео вы увидите, что производная нужна даже в экономической задаче №15 (17).
По поводу производной в этой и в других аналогичных задачах. Вы можете подумать, что производная нужна только для задач 7 и 12 и даёт 2 первичных балла на ЕГЭ. Но на самом деле, она даёт намного больше баллов.
В 18 задаче (которую мы тоже рассматривали на открытом уроке) года можно было взять полный балл только применив производную — это самый простой и удобный способ найти максимальное значение чего угодно.
ЕГЭ №15 (17). Экономическая задача. Еще одна на оптимизацию, которую можно решить как с помощью производной, так и без
Задачи №15 на оптимизацию – самые сложные. Здесь и ход решения не шаблонный, и уравнения посложнее, и производную хорошо знать надо.
Условия задачи:
В начале года Алексей приобрёл ценные бумаги на сумму 9 тыс. рублей. В середине каждого года стоимость ценных бумаг возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать ценные бумаги и положить вырученные деньги на банковский счёт. В середине каждого года сумма на счёте будет увеличиваться на 9%.
В начале какого года после покупки Алексей должен продать ценные бумаги, чтобы через двадцать лет после покупки ценных бумаг сумма на банковском счёте была наибольшей?
Подсказка: Её можно решить как с использованием производной, так и без неё.
Попробуйте решить задачу самостоятельно, а потом свериться с решением — так вы получите максимум от просмотра этого урока!
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
1. Готовимся к ЕГЭ по математике.
Доцент кафедры ЕМО ОГБУ ДПО КИРО
М.Е.Чаплыгина
2. Задание №17
Задачи на оптимизацию.
Целевые функции.
3.
4.
• Большую часть своих усилий человек
тратит
на
поиск
наилучшего,
т.е.
оптимального
решения
поставленной
задачи. Задачи подобного рода носят
общее название – экономические задачи на
оптимизацию или экстремальные задачи.
Эти задачи тесно связаны с практической
деятельностью человека. Как добиваться
наиболее высокого жизненного уровня,
наивысшей производительности труда,
наименьших
потерь,
максимальной
прибыли, минимальной затраты времени –
так ставятся вопросы, над которыми
приходится
думать
каждому
члену
общества.
5.
6.
7.
Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом
скребку на плечо и пошел в степь…Верст 5 прошел…. Дай
пройду еще верст пяток, тогда влево загибать начну. Пошел еще
напрямик. «Ну, — думает, в эту сторону довольно забрал; надо
загибать». Остановился, вырыл ямку побольше и загнул круто
влево. Прошел еще и по этой стороне много; загнул второй угол.
Оглянулся Пахом на шихан (бугорок).«Ну, — думает; — длинны
стороны взял, надо эту покороче взять»….по третьей стороне
всего версты две прошел. И до места все те же верст 15. «Нет, —
думает, — хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать».
Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану»
8.
9.
10.
Задачи
на
оптимизацию
–
это
исследовательские задачи, очень близкие по смыслу
(но не по методам решения) к задачам с
параметром. Сложность таких задач в том, что не
всегда есть готовые методы решения и задача
может потребовать своего подхода. Успех в
решении
таких
задач
заключается
в
систематическом тренинге.
11.
Основные этапы решения текстовой задачи:
• подробный разбор условия задачи для четкого понимания сути
описанного в задаче процесса;
• выбор переменных, количество которых должно быть достаточным
для того, чтобы составить уравнения и неравенства;
• формализация или составление математической модели
(составление уравнений, неравенств или их систем);
• решение полученного уравнения, неравенства или системы;
• интерпретация полученного результата и непосредственно сам
ответ на вопрос задачи.
12.
В задачах оптимизации обычно заданы определённые
условия производства какой-либо продукции или услуги и
требуется найти значения некоторых величин с целью
максимизации прибыли или минимизации расходов.
Математическая модель (т.е. формализация условия
задачи посредством неравенств и уравнений, задающих связи
между данными величинами) любой из таких задач обычно
приводит к одному-двум линейным уравнениям (неравенствам)
относительно двух данных неизвестных и к одному линейному
или простейшему нелинейному уравнению, которое связывает
данные неизвестные и величину, максимум или минимум которой
надо определить.
После введения в качестве новой неизвестной
(параметра) этой величины (её обычно называют целевой
функцией) задача сводится к определению наибольшего
(наименьшего) значения параметра, при котором полученное
уравнение имеет хотя бы один корень на множестве
неотрицательных
чисел,
удовлетворяющий
данным
ограничениям.
13.
Владимир является владельцем двух заводов в разных
городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при
использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из
заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они
производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе,
расположенном в первом городе, Владимир платит рабочему 500
рублей, а на заводе, расположенном во втором городе – 300 рублей.
Владимир готов выделять 1200000 рублей на оплату труда рабочих.
Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за
неделю на этих двух заводах?
14.
Решение с использованием производной
15.
16.
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах
производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе,
расположенном во втором городе, используется более совершенное
оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе,
трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они
производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во
втором
городе,
трудятся
суммарно
t3
часов
в
неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему
1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно
производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется
тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
17.
18.
19.
20.
21.
В двух шахтах добывают алюминий и
никель. В первой шахте имеется 100
рабочих, каждый из которых готов
трудиться 5 часов в день. При этом один
рабочий за час добывает 1кг алюминия или
3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300
рабочих, каждый из которых готов
трудиться 5 часов в день. При этом один
рабочий за час добывает 3 кг алюминия
или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют
добытый металл на завод, где для нужд
промышленности
производится
сплав
алюминия и никеля, в котором на 2 кг
алюминия приходится 1 кг никеля. При
этом шахты договариваются между собой
вести добычу металлов так, чтобы завод
мог произвести наибольшее количество
сплава. Сколько килограммов сплава при
таких
условиях
ежедневно
сможет
произвести завод?
22.
23.
24.
Решение
25.
26.
27.
На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом
заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На
втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человекосмен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие,
причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом
заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы
можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий
при таких условиях может собрать комбинат за смену?
Ответ: 33 детали