Виды платежей егэ математика

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги. 

Муниципальное
бюджетное общеобразовательное учреждение

 
«Средняя общеобразовательная школа № 34»

 поселка
Краснобродского

Экономические
задачи ЕГЭ

Методические
рекомендации

                    
      Руководитель: Агеева Светлана Никитична,

               
учитель математики

2022
год

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………………. 3

1. Теория……………………………………………………………………………………………. 5

1.2 Проценты.………………………………………………………………………………… 6

1.3 Платежи.…………………………………………………………………………………….. 7

1.4 Таблицы.…………………………………………………………………………………….. 7

1.5 Арифметическая и геометрическая
прогрессии.…………………….. 10

1.6 Производная…………………………………………………………………………… 11

2. Практическое решение экономических задач…………………………………….. 13

2.1 Кредиты.…………………………………………………………………………………… 13

1 тип:
Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита.…………. 13

2.тип:
Вычисление процентной ставки по кредиту.…………………………… 14

3.тип.
Нахождение суммы кредита………………………………………………….. 15

4 тип:
Нахождение ежегодного ( ежемесячного) транша.…………………… 16

5 тип:
Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи)……………………….. 17

6 тип:
Задачи с таблицей в условии…………………………………………………. 19

7 тип:
Задачи, связанные с дифференцированными платежами.…………. 20

2.2 Вклады.…………………………………………………………………………………….. 25

2.3 Задачи на оптимизацию.……………………………………………………………… 29

Заключение………………………………………………………………………………………. 31

Список использованной литературы…………………………………………………….. 32

“Чтобы научиться решать задачи,

 надо их решать”  Д.Пойа

Введение

Современная экономическая обстановка
актуализирует проблему экономического воспитания подрастающего поколения.
Экономические знания современной молодежи носят сугубо теоретический характер,
оторванный от реальной действительности. Причем все больше осознается
необходимость в формировании экономической грамотности у старшеклассников, тех,
кто стоит на пороге самостоятельной жизни и которым в ближайшем будущем
предстоит занять активную позицию в обществе. От экономической грамотности
выпускников школы во многом будет зависеть их успешная адаптация к социально –
экономическим условиям общества. Проблема обучения старшеклассников решению
задач с экономическим содержанием складывается из нескольких составляющих:
наличие в таких задачах большого количества терминов, неизвестных учащимся;
старшеклассники плохо ориентируются в материале, изученном в 5-9 классах и
необходимом для решения задач с экономическим содержанием: темы процентов,
арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения.

Актуальность исследовательской работы определяется
необходимостью уметь решать экономические задачи при сдаче ЕГЭ. Решение экономических
задач очень полезно, так как жизнь современного человека тесно связана с
финансовыми операциями.

Проблема заключается
в отсутствии навыков применения математических и экономических знаний на
практике в расчетах платежей банковских кредитов и прочих операций, а также
неумение и боязнь решать экономические задачи на ЕГЭ.

Предмет исследования:
различные подходы к решению задач о кредитах, в зависимости от условия
задачи.

Цель исследования –
исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Задачи:

1.     Изучить
теоретический материал по выбранной теме;

2.     Научиться
решать задачи с процентами разных видов сложности;

3.     Разобрать
основные типы задач с примерами решений;

4.     Создать
таблицы для различных видов платежей;

5.     Показать
на примерах поиск решения реальной практической задачи (кредит с разными видами
платежей – аннуитетные, фиксированные и дифференцированные);

Методы исследования – теоретический
анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение,
систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

1.Теория

Решение финансовых задач основывается
на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их
систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий и
производной.

Основными ошибками, которыми
допускали учащиеся при решении задач финансовой математики, являются:

·                    
неверное составление модели;

·                    
вычислительные, или
арифметические (самая распространённая ошибка);

·                    
прекращение решения на промежуточном шаге,
то есть без доведения ответа до числового значения;

·                    
решение методом перебора без обоснования
единственности;

·                    
решение без вывода формул. В ряде случаев
трактуется как неумение строить математическую модель.

С целью подготовки учащихся к
успешной ЕГЭ имеет смысл подробно рассмотреть типы экономических задач и методы
их решения.

Конечно, на различных сайтах и в
математической литературе можно найти решения таких задач, но зачастую либо они
содержат много лишней информации, либо они решены непонятным для меня способом.
Я же использовала табличный метод, так как считаю его самым наглядным и
простым. 

Из необходимых знаний и умений мне
понадобились:

1)               
Понятие  «Процент»;

2)               
Определение понятий «Фиксированные
платежи», «Аннуитетные платежи» и «Дифференцируемые платежи»;

3)               
Виды таблиц  для решения задач

4)               
Определение, формулы n-ого члена и суммы n
первых членов арифметической и геометрической прогрессий

5)               
Знание        алгоритмов          нахождения
промежутков возрастания          (убывания) функций и точек экстремума.

Всего
я решила примерно 50 задач, выбрала из них 14 задач, разделив их условно на
типы:

Кредиты.

1  
тип:   Нахождение        количества лет    (месяцев)
   выплаты    кредита(Аннуитетные платежи) — 1 задача.

2  
тип: Вычисление процентной ставки по кредиту.
(Фиксированные платежи) – 1 задачи.

3  
тип: Нахождение суммы кредита. (Аннуитетные
платежи) — 1 задачи.

4  
тип: Нахождение ежегодного (ежемесячного)
транша. (Аннуитетные платежи) — 1 задача.

5           
тип: Нахождение разницы. (Аннуитетные
платежи) – 1 задача.

6           
тип: Задачи, связанные с известным
остатком. (Фиксированные платежи) — 1 задача.

7           
тип: Задачи, связанные с
дифференцированными платежами. — 3 задачи.

Вклады.
– 3 задачи.

Задачи на оптимизацию.
— 2 задачи.

1.2 Проценты.

Определение: один процент – это одна
сотая доля. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты
записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Пример: 5% от 80 это будет 0,05× 80 = 4, r%
от 14 это будет 0,01r× 14 = 0,14𝑟

При решении задач необходимо понимать
механизм начисления процентов по вкладам или кредитам. Например, если банк
выдаѐт кредит (S) клиенту, то через год клиент должен банку не только сумму
кредита, но и некий процент (r). Возникает необходимость введения нового
коэффициента b, b=1+0,01r. С учётом этого,  долг клиента банку через год можно
записать следующим образом:

S + r% от
S = S + 0,01r× 𝑆
= S (1 + 0,01r) = bS

1.3 Платежи.

В задачах по теме «Кредит» используют
о три основных вида платежа:

1.                
Фиксированные платежи —
платежи, которые чѐтко оговариваются в условии задачи.

2.                
Аннуитетные платежи— это такая система выплат, при которой
кредит выплачивается раз в год равными платежами (иногда в условии задачи год
заменяется на месяц). При этом каждый год до внесения платежа банк начисляет на
оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга
увеличивается на это количество процентов.

3.                
Дифференцируемые платежи–
это такая система выплат, при которой ежемесячные или ежегодные платежи,
уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы
долга на одну и ту же величину.

1.4  Таблицы

    1)    Аннуитетные платежи подразумевают
наличие выплат равными частями на протяжении всего срока
кредитования. Решать задачи,
связанные с аннуитетными платежами удобно с помощью таблицы
платежей. Приложение 1.

В таблице используются
обозначения: S – сумма; r% — годовые (ежемесячные); b=1+0,01r — коэффициент; 
х- ежегодная (ежемесячная) выплата.

2) При решении задач,
связанных с дифференцированными платежами используется таблица  r-процент кредита.
Приложение 2.

3)Таблица для начисления
процентов по вкладам. Приложение 3.

4) Таблица для решении задач, в которых осуществлялись
какие-либо действия (пополнение или снятие денег с вклада). Приложение 4.

 х –
действие

1.5 Арифметическая
и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия 

Определение. Последовательность
чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту
же величину, называется арифметической прогрессией.

Любой член арифметической прогрессии
вычисляется по формуле:

𝑎_𝑛
= 𝑎₁
+ (n-1)d

Формула суммы n-первых членов
арифметической прогрессии

Sn

С
учётом этой формулы: (n-1) + (n-2) +…+3+2+1 =        

Геометрическая прогрессия

Определение.      Геометрической прогрессией         называется
последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. 

Любой член геометрической
прогрессии вычисляется по формуле: bn
=b1· qn-1

Формула суммы n-первых членов
геометрической прогрессии

S_n

Из этой формулы следует: b^n-

1.6 Производная

Достаточные признаки возрастания и
убывания функции:

Если производная данной функции
положительна для всех значений х в интервале  (а;
    в),      т.е.     f'(x)   >       0,       то      функция     в        этом
интервале   возрастает.

Если производная данной функции
отрицательна для всех значений х в интервале (а; в), т.е. f'(x) < 0, то
функция в этом интервале убывает.

Алгоритм нахождения промежутков
монотонности:

1.Найти область
определения функции.

2.Найти производную
функции.

3. Найти критические
точки (точки, в которых производная не существует) и стационарные (точки, в
которых производная равна нулю).

4. Исследовать знак
производной в промежутках, на которые найденные точки делят область определения
функции. 

 Достаточное условие существования
максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую
точку с «+» на «-«, а для минимума с «-» на
«+». Если при переходе через критическую точку смены знака
производной не происходит, то в данной точке экстремума нет

Пример:

Найдём производную.

Критические точки  = 1,  = -1

Стационарные точки

Ответ: возрастает
на промежутках , убывает ; x_min
= x_max
=

2.Практическое решение
экономических задач.

2.1 Кредиты.

1 тип: Нахождение количества лет (месяцев)
выплаты кредита.

Задача
№1. 1 января 2015 года Павел
Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая:
1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк
платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять
кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?

Решение.

Кредит: 1000000 руб.

Ставка (r) 3% годовых.
Введём коэффициент b=1+0,01r

Ежемесячная выплата (х)
≤125000 руб.

Сколько месяцев (n)-?

Ясно, что чем больше
годовые выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет
минимален в том случае, когда выплаты составляют 330 тыс. рублей.

Месяц	Долг до %	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
1	1000000	1000000*1,01=1010000	125000	885000
2	885000	885000 *1,01=893850	125000	768850
3	768850	768850*1,01=776538,5	125000	651538,5
4	651538,5	651538,5*1,01=589515,79	125000	526538,5
5	526538,5	526538,5*1,01=531803,885	125000	406803,885
6	406803,885	406803,885 *1,01=410871,924	125000	285871,924
7	285871,924	285871,924*1,01=288730,643	125000	163730,643
8	163730,643	163730,643*1,01=165367,96	125000	40367,9495
9	40367,9495	40367,9495*1,01=40771,629	40771,629	0

Из таблицы видно, что
минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 9 месяцев.

Ответ: 9 месяцев. 

2.тип: Вычисление процентной ставки по кредиту.

r-? (Фиксированные
платежи)

Задача №1.

(ЕГЭ основная волна 2020) В июле
2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 630 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом
предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом
часть долга;

— в июле 2027,2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тыс.
рублей;

-выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

-к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий
размер выплат составит 915 тыс. рублей.

Решение:

Кредит (S) 630 тыс. руб. Введём коэффициент b=1+0,01r    

В 2030 и в 2031 выплаты равны = x

Год	Долг до %	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
2027	S	S+S*0,01r	S*0,01r	Sb-x1
2028	S	S+S*0,01r	S*0,01r	S
2029	S	S+S*0,01r	S*0,01r	S
2030	S	Sb	x	Sb-x
2031	Sb-x	S-xb	x	S-xb-x=0

1) Общий размер выплат: 3*S*0,01r+2x=915

2) S-xb-x=0

3* S*0,01r+2x=915

b=1+0,01r, отсюда 0,01r=b-1

3*S*(b-1)+2x=915

3*630b-630*3+2x=915

1890b-1890+2x=915

x==1402,5-945b

2)S-xb-x=0

630*-(1402,5-945b)b-1402,5-945b=0

210-61b-187=0

D=+840*187=160801=

=

…- не подходит
по условию

b=1+0,01r=1,1;0,01r=1,1-1=0,1; r=10%

Ответ: r =10

3.тип. Нахождение суммы кредита

Задача №1. В июле 2020 года планируется взять кредит в
банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом
предыдущего года;

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть
долга;

Определите сумму кредита, если известно, что кредит будет
выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78030
рублей больше суммы, взятой в кредит.

Решение:

Ставка
(r) — 30% ,  b=1,3. Ежегодная выплата х

Количество лет (n) 3 года. Сумма кредита (S) -?

Год	Долг до %	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
1 год	S	Sb	х	Sb-x
2 год	Sb-x	b(Sb-x)= Sb2-xb	х	Sb2-xb-x
3 год	Sb2-xb-x	b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2xb	х	Sb3_ хb2—xb-x=0

По условию дано, что сумма выплат больше взятого кредита на
78030, отсюда следует, что 3x=S+78030; x= = +26010

Sb3-хb2-xb-x=0

S*1,3³—x-1,3x-x =0

S*2,197-1,69x-1,3x-x=0

S*2,197-3,99(+26010)=0

S*2,197-1,33S-3,33*26010=0

S==119700рублей

Ответ: 119700рублей.

4 тип: Нахождение ежегодного ( ежемесячного) транша.

х-? (Аннуитетные
платежи)

Задача
№1. Для покупки квартиры
Алексею не хватало 1209600 рублей, поэтому в январе 2015 года он решил взять в
банке кредит под 10% годовых на 2 года. Условия пользования кредитом таковы: –
раз в год 15 декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е.
долг увеличивается на 10%); – в период с 16 по 31 декабря Алексей обязан
перевести в банк некоторую сумму x рублей (сделать платеж). Какова должна быть
сумма x, чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?

Сумма кредита (S)- 1209600рубля . Ставка (а)=10%, b=1,1.

Количество лет (n) 2 года . Ежегодная выплата ( транш) Х
-?   

Год	Долг до %	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
1 год	S	Sb	x	Sb-x
2 год	Sb-x	(Sb-x)b=Sb2-xb	x	Sb2-xb-x=0

1209600*1,1²-1,1x-x=0

2,1x=1209600*1,21

x==696960рублей

Ответ:696960рублей

5 тип: Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи)

Задача
№1. 31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6 951 000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая:31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на
10%)затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных
платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы мог выплатить долг
за 2 равных платежа?

Решение:

Сумма
кредита (S) – 6951000 рублей.  Ставка (r) -10%, b=1,1. 

3
равных платежа

Год	Долг до %	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
1 год	S	Sb	х	Sb-x
2 год	Sb-x	b(Sb-x)= Sb2-xb	х	Sb2-xb-x
3 год	Sb2-xb-x	b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2xb	х	Sb3-хb2-xb-x=0

Sb3-
хb2-xb-x=0

Sb3-x(b2+b+1)=0

S*1,13-x(1,12+1,1+1)=0

x==2100000*1,331=2795100

2
равных платежа

Год	Долг до %	Долг с %	Платёж	Долг после выплаты
1 год	S	Sb	х	Sb-x
2 год	Sb-x	b(Sb-x)= Sb2-xb	х	Sb2-xb-x=0

Sb2-xb-x=0

Sb2-x(b+1)=0

S*1,12-x(1,1+1)=0

x==4005100

За
три года: 2795100*3=8385300 За два года:4005100*2=8010200 Разница:
8385300-8010200=375100

Ответ: на 375100 рублей.

6 тип:
Задачи с таблицей в условии

Задача №1.  В июле 2026
года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн
рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

—
каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со
следующей таблицей. 

Месяц и год	Июль 2026	Июль 2027	Июль 2028	Июль 2029
Долг (в млн рублей)	S	0,8S	0,4S	0

Найдите
наибольшее S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн руб.

Решение:

 S – сумма кредита

1,2-множитель
увеличения на 20%

Месяц	Долг до %	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
2026	S	1,2S	0,4S	0,8S
2027	0,8S	0,96S	0,56S	0,4S
2028	0,4S	0,48S	0,48S	0

Каждая
из выплат меньше 5 млн руб., следовательно

т.к
0,4>0,48>0,56 => S<; S<8=> S=8млн

Ответ:8млн. рублей.

7 тип: Задачи,
связанные с дифференцированными платежами.

Задача №1. (Аналог ЕГЭ
2018 основная волна) 15 января планируется взять кредит в банке
на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

—
1-го числа каждого месяца долг возрастает на т% по сравнению с концом

предыдущего
месяца;

—
с 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму

меньше
долга на 15-е число предыдущего месяца (на практике такая схема называется
«схемой с дифференцированными платежами);

Найдите
т, если известно, что общая сумма выплат после погашения долга

на
25% больше суммы кредита.

Сумма
кредита (S), ставка (r) -?

№	Долг до %	Долг с %	Основная часть В	Процентная часть В	Долг после выплаты
1	S
2
3
…	…	…	…	…	…
8
9					0

(1+0,25)S=1,25S-
увеличение S на 25 %

Составим
равнение, зная, что сумма вышла больше взятого кредита на 25%:

9+S*(9+8+7+…+2+1)=1,25S

В
скобках мы наблюдаем арифметическую прогрессию, следуя формуле           Sn   получаем:

S+S*(*9)=1,25S

S+=1,25S

r=5

Ответ:5%.

Задача
№2.

15-го
декабря планируется взят кредит в банке на 1500000 на (n + 1) месяц. Условия
его возврата таковы:

—
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом
предыдущего месяца;

—
cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—
15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на x тысяч рублей
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

—
15-го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

—
к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите
x, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита
составит 2067 тысяч рублей.

Решение:

Сумма
кредита S=1500000

Ставка (r) -3 %, b=1,03x— основная выплата=Сумма одной
выплаты (x) =?

№	Долг до %	Долг с %	Основная часть В	Процентная часть В	Долг после выплаты
1	S				S-x
2	S-x	(S-x)
…	…	…	…	…	…
n	(S-(n-1)x)	(S-(n-1)x)+(S-(n-1)x)*0,03		(S-(n-1)x)*0,03
n+1	S-nx	S-(nx)+S-nx*0,03	S-(nx)	S-nx*0,03	0

2)
15-числа т-го месяца долг составит 300тысяй, следовательно

S—nx=300

1500-nx=300

nx=1200

3)
Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2067 тысяч рублей,
составим уравнение

xn+S-nx+0,03(S+(S-x)+(S-2x)+…+S-(n-2)x+S-(n-1)x+S+nx)=2067

В
скобках видим арифметическую прогрессию, равномерное уменьшение на x

S+0,03()=2067

1500+0,03()=2067

1500+0,03*900(n+1)=2067

27(n+1)=567

n+1=

n+1=21
=>n=20

4)
nx=1200

20x=1200

x=60
тысяч

Ответ:60тысяч.

Задача
№ 3.

В
феврале планируется взять кредит в банке в размере 2,4 млн рублей сроком на 12
месяцев. Условия его возврата таковы:

—
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом
предыдущего месяца;

—
со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—
15-го числа каждый месяц долг должен уменьшиться на одну и ту же величину.
Известно, что с 3 по 7 месяц включительно, нужно выплатить банку 1,096 млн
рублей. Найдите процент банка r. Сколько будет выплачено банку за первые 9
месяцев?

1.Так как долг уменьшался равномерно на
протяжении 12 месяцев, значит каждый долг уменьшался на

№	Долг до %	Долг с %	Основная часть В	Процентная часть В	Долг после выплаты
1	2,4		*2,4
2			*2,4
3			*2,4
4			*2,4
…	…	…	…	…	…
7			*2,4
…	…	…	…	…	…
9			*2,4
…	…	…	…	…	…
12			*2,4		0

2)  С 3 по 7 месяц
нужно выплатить 1,096 млн.р

*2,4*5+2,4*(

1+(

=0,096      =1,2%

Сумма
выплат за 9 месяцев:

=

=

Ответ:
1,9728 млн.рулей

2.2 Вклады.

Задача
№1. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из
первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно
вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после
начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с
первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение:

S=3900
тысяч – сумма вклада

r% — годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,5r – коэффициент, b=1,5 n=5 лет, х =? – действие

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
1 год	Sb	+х	Sb+x
2 год	b(Sb+x)= Sb2+xb	+х	Sb2+xb+x
3 год	b(Sb2+xb+x)=Sb3+хb2+xb	+х	Sb3+хb2+xb+x
4 год	b(Sb3+xb2+xb+x)=Sb4+хb3+xb2+xb	+х	Sb4+хb3+xb2+xb+x
5 год	b(Sb4+хb3+xb2+xb)= Sb5+хb4+xb3+xb2+xb	Снял вклад

Известно,
что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.Это
значит, что он стал составлять 825% от начального, т.е. увеличился
в 8,25 раз

Sb⁵+хb⁴+xb³+xb²+xb=8,25S

3900*1,5⁵+x*1,5⁴+x*1,5³+x*1,5²+x*1,5=8,25*3900

3900*1,5⁵+x(1,5⁴+1,5³+1,5²+1,5)=
8,25*3900

3900*1,5⁵+12,1875x=8,25*3900

12,1875x=2559,375

x=210

Ответ:
210 тысяч рублей.

Задача
№2.

В банк был положен вклад под 10%
годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000
рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000
рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада
вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных
операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он
получил?

В данной задаче мы заполним две
таблицы, где будут учитываться все действия вкладчика и где не будут
учитываться действия вкладчика.

Решение:

S– сумма вклада. r% —
годовые (ежемесячные) проценты, r=10% ; 1+0,1=1,1 – коэффициент n=3 года.

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
1 год	S*1,1	-2000	S*1,1-2000
2 год	1,1(S*1,1-2000)= S*1,12-2000*1,1	+2000	S1,12-2000*1,1+2000
3 год	1,1(S1,12-2000*1,1+2000)=S*1,13-2000*1,12+2000*1,1	—	S*1,13-2000*1,12+2000*1,1

S*1,1³-2000*1,12+2000*1,1=S*1,331-1,21*2000+1,1*2000=S*1,331
-220

Теперь
составим вторую таблицу:

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
1 год	S*1,1	—	S*1,1
2 год	S*1,1	—	S1,12
3 год	S1,12	—	S*1,13

Чтобы узнать на сколько вклад без
действий вкладчика оказался бы прибыльнее, нужно из него вычесть вклад с
действиями

1,331S-(1,331S-220)=1,331S=1,331S+220=220

Ответ: на 220 рублей.

Задача
№3. Близнецы Саша и Паша
положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через год
и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег.
Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и
15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется
большая сумма денег? На сколько рублей?

Решение:

S=50000 – сумма вклада . r% — годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1 n=3 года, х – действие

Саша

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
1 год	Sb	— 0,1Sb	0,9Sb
2 год	0,9Sb*b=0,9Sb2	-20000	0,9Sb2— 20000
3 год	(0,9Sb2— 20000)*b = 0,9Sb3_ 20000b	Снял вклад

0,9Sb^3_
20000b = 0,9*50000*1,331–20000*1,1 = 59895–22000 = 37895рублей

Паша

Год	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
1 год	Sb	— 0,2Sb	0,8Sb
2 год	0,8Sb*b=0,9Sb2	-15000	0,8Sb2- 15000
3 год	(0,8Sb2- 15000)*b = 0,8Sb3_ 15000b	Снял вклад

0,8Sb^3_
15000b = 0,8*50000*1,331–15000*1,1 = 53240–16500 = 36740рублей

37895 – 36740 = 1155
рублей

Ответ: у Саши на 1155 рублей.

2.3 Задачи на оптимизацию.

Задача №1. На заводе по
изготовлению автозапчастей затраты на производство Q единиц товара составляют
300Q + 100000 рублей. При этом, зависимость количества Q (шт. 0 <= Q <=
1500), купленного у завода товара, можно выразить формулой Q = 1500 — P. Помимо
затрат на производство завод обязан выплатить налог t рублей (0 <t<1000)
с каждой произведенной автозапчасти. Отсюда прибыль фирмы составляет PQ — 300Q
— 100000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, уплаченных в казну государства,
равна tQ рублей. Известно, что завод изготавливает такое количество
автозапчастей, чтобы прибыль была максимальной. При каком значении t общая
сумма налогов будет максимальной? P — цена товара (в руб. за штуку).

Решение:

По условию P = 1500 — Q, значит,
прибыль компании составит: (1500 — Q) • Q — 300Q — 100000 — tQ = -Q2 + (1200 —
t)Q — 100000.

 Функция f(Q) = -Q2 + (1200 — t)Q —
100000 является параболой с ветвями вниз. Максимальное значение эта функция
достигает в точке вершины параболы. Тогда Qмакс = (-1200 + t) /(-2) = 600 —
t/2.

Сумма налогов: tQ = t • (600 — t/2) =
600t — t2/2 Функция f(t) является параболой с ветвями вниз. Тогда максимальное
значение достигается в точке вершины параболы: tmax = -600/(-1) = 600.Значит,
общая сумма налогов будет максимальной при t = 600.

Ответ: 600.

Задача №2. Андрей владеет предприятием по производству
настольных игр. Он заключил договор с компанией «ФЛЕШ» на доставку 50 коробок с
настольными играми на сумму 1000 тыс. рублей. Чтобы мотивировать грузчиков
работать быстрее, в условиях договора Андрей указал, что за каждый час погрузки
из этой суммы вычитается 40 тыс. рублей. Компания «ФЛЕШ» также мотивирует своих
сотрудников: по результатам погрузки она выделяет премию в размере 20v тыс.
рублей, где v – скорость погрузки (коробок в час). Найдите наибольшее значение
прибыли (в рублях), которую может получить компания «ФЛЕШ».

S – Прибыль компании

Количество товаров	Скорость погрузки	Время погрузки	Штраф	Премия
50	x		40*	20*x

Составим
уравнение прибыль компании, учитывая все затраты и премию

S=1000-40* -20x

Для
того чтобы найти наибольшее значение прибыли, найдём производную S

S^’=-40*( )^’-20(x)^’+1000^’=-40*)-20=-20

Найдём
экстремумы. Для этого приравняем производную к нулю:

-20=0

2000-20x²=0

x²=100

x=±10

x=10

S принимает
наибольшее значение при x = 10

S=1000-40* -20*10=600тысяч рублей.

Ответ: 600 тысяч рублей.

Задача
№3. Пенсионный фонд владеет
ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t
(t = 1; 2; …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные
бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего
года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет
продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года
сумма на его счёте была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные
бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных
значениях r это возможно?

За год ценные бумаги увеличиваются в цене в=()²раз

Видно, что
относительное увеличение стоимости замедляется с каждым годом. Продавать бумаги
и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост за год
(а, значит, и за все последующие годы) станет больше. По условию, продавать
бумаги нужно в конце 21-го года, значит, за 21-ый год прирост стоимости ценных
бумаг еще больше банковского процента, а в 22-м году – уже нет. Записываем:

21-ый год	22-й год
>1+r	<1+r

> 1+r<> 1+r<

Ответ:
> 1+r<

Заключение

В ходе выполнения данного
исследования, я считаю, что поставлення цель мною достигнута. Исследовала,
какие виды экономических задач предлагаются на ЕГЭ, какие математические
понятия потребуются для решения таких задач.  Рассмотрела  основные методы
решения задач на кредит, вклады и оптимизацию. Научилась  решать задачи разных
видов, выбрав оптимальный для меня способ (с помощью составления таблиц).

Умение решать такие задачи позволяет,
учащимся рассчитать платежи по кредитам и прибыль  по вкладам, применять эти
знания  в повседневной жизни. И конечно получить более высокий бал на ЕГЭ.
Также я улучшила свои навыки работы с офисными приложениями Microsoft Word, Microsoft PowerPoint.
Тема
работы очень актуальна, так как все рассматриваемые задачи взяты из материалов
по подготовке к ЕГЭ по математике «Профиль». Надеюсь, что данная работа будет
полезна учащимся 10-11 класса, а также преподавателям математики.

Список литературы

1.           
Балабанов, И. Т. Основы финансового
менеджмента, математика: Финансы и статистика. [Текст]/ И. Т. Балабанов — М. :«Дрофа»,2001
г.-420с.

2.           
Гусев, В.А. Математика. Справочные
материалы/  В.А. Гусев, А.Г. Мордкович — М.: Просвещение, 1988, 372с.

3.           
Семенов, А.Л. Математика ЕГЭ. Профильный
уровень [Текст]/
  А. Л. Семенов, И.В. Ященко-М.: Издательство «Национальное наследие», 2022-
192с.

4.           
Чертышкин, Е. М., Васильева, Н. Е.
Финансовые – экономические расчеты. Справочное  пособие. [Текст]/ Е. М. Чертышкин,
Н. Е. Васильева, М.:Финансы и статистика, 1990 г.- 300с.

5.           
В.Е. Черкасов «Практическое руководство по
финансово – экономическим расчетам». Москва: Метаинформ, 1995 г.

6.           
Открытый банк задач по
математике. ЕГЭ  –
Режим доступа:.https://fipi.ru/ (ресурсы
удаленного доступа (Internet))

7.           
Математика профильного уровня  –
Режим доступа:. https://math-ege.sdamgia.ru/problem
. (ресурсы удаленного доступа (Internet))

8.           
Тренировочные варианты ЕГЭ  –
Режим доступа:.. https://alexlarin.net/
 (ресурсы удаленного доступа (Internet))

Приложение 1.

         Таблица для решения задач,  связанных с а аннуитетными платежами

Год	Долг до %	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
1 год	S	Sb	x	Sb-x
2 год	Sb-x	(Sb-x)b=Sb2-xb	x	Sb2-xb-x
3 год	Sb2-xb-x	(Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb	x	Sb3-x b2-xb-x
4 год	Sb3-x b2-xb-x	(Sb3-x b2-xb-x)b= Sb4-xb3xb2-xb	x	Sb4-xb3-xb2-xb-x
5 год	Sb4-xb3-xb2-xb-x	(Sb4-xb3-xb2-xb-x)b=Sb5xb4-xb3-xb2-xb	x	Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x
6 год	Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x	(Sb5-xb4-xb3-xb2-xb-x)b=Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2-xb	x	Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2— xb-x
n год	Sb6-xb5-xb4-xb-3xb2-xb-x	Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb	x	Полная выплата, долг равен 0

Приложение 2.

Таблица

Год	Долг до %	Долг с %	Основная часть В	Процентная часть В	Долг после выплаты
1	S		S
2			S
33			S
	…	…	…	…	…
Nn			S		0

                         Приложение 3

Таблица для начисления процентов по
вкладам

Год	Вклад до %	Действия	Вклад с % и после действий
1	S	—	Sb
2	Sb	—	Sb2
n		—	Sbn

Приложение 4

Таблица для решении
задач, в которых осуществлялись какие-либо действия (пополнение или снятие
денег с вклада)

Год	Вклад до %	Вклад с %	Действие	Вклад после действия.
1 год	S	Sb	+х	Sb+x
2 год	Sb+x	b(Sb+x)= Sb2+xb	+х	Sb2+xb+x
3 год	Sb2+xb+x	b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb	Снял вклад

Экспресс-тренинг

Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!

До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.

Комбинированные задачи.

В чем основная сложность «экономической» задачи.

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

1. Что принимается за 100%?
2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
3. Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

— процент банка,

— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

— сумма долга увеличивается в раз;

— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .

Вот что получается:

Раскроем скобки:

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

. В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

И выразим из этой формулы .

Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей.

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно,

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна После первой выплаты сумма долга равна после второй

Тогда первая выплата вторая выплата,

Последняя в году выплата

Сумма всех выплат в течение первого года:

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой   Обозначим эту сумму

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой Эту сумму обозначим

Общая сумма выплат за год:

тыс. рублей.

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

тысяч рублей.

Ответ: 1925 тыс. рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная			2100 — 1500 = 600 руб
жестяная			1750 — 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть и

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

Подставим в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при Тогда и максимально возможная прибыль завода за день равна

руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Всего: 258    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 258    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике

1.Дифференцированные платежи

Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.

Какие существуют виды платежей по кредитам?

В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?

Дифференцированные платежи

При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.

А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Аннуитетные платежи

Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.

Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.

При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.

Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.

В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.

Как рассчитать дифференцированный платеж?

Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

• основную, которая уходит на погашение тела кредита;
• процентную, которая является чистой прибылью банка.

Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:

Платеж =

Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:

300000 / 60 = 5000 рублей

Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:

Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12

Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:

300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей

Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.

Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:

Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).

Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:

(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675

общий размер платежа: 9675 рублей.

За 25-й месяц:

(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300

Общий размер платежа: 8300 рублей.

Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:

(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67

В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.

2. Решение задач. 

Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.

Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.

Решим несколько задач.

№1.

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.

Долг банку:

— это ежемесячные выплаты процентов банку.

Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:

(сумма арифметической прогрессии, где , n=19)

Ответ: 3%.

Примечание.

Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии, где

.(формула 1)

Тогда при , r=3

№2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда

Или по формуле (1)      n=25,    ,   r=1%.

Ответ: 1%

№3.

15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S
2
3
…….
23
24				0

Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):

Ответ: 2%

№4.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
3
…….
23
24				0

Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Sобщ=S+ 0,02S (. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.

S+0,02S (, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=тыс рублей

Ответ: 800000 руб

№5.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	28млн	0,25·28=7млн
2
…….
n-1
n				0

Наибольший годовой платеж -первый.

7+= 9млн,  n=14

Sобщ=28+ 7 ()=28+7·+·7=80,5млн

Ответ: 80500000 рублей

№6.

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
………
11
…….
23
24				0

По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение

Ответ: 932,4 тыс рублей

№ 7.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Произведем некоторые вычисления.

1300 тыс-100 тыс=1200тыс.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемес)	Остаток
1	1300
2
…….
15
16				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: r = 3%

№ 8.

15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?

Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	800+x
2
…….
10
11				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ:  тыс. рублей

№ 9.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Считаем n.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	1000
2
…….
20
21

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

.

Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.

Ответ: %