Вклады математика егэ профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Источник

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский вклад

Банковский вклад — это сумма денег, переданная банку на хранение с целью получить доход в виде начисленных процентов.

Раз в какой-то промежуток времени (в задачах это, как правило, месяц или год) банк начисляет на текущую сумму некоторое количество (r%) процентов.

Раз в год после начисления процентов клиент, как правило, имеет право доложить на счет любую сумму денег. Также клиент имеет право снимать со счета любую сумму (естественно, не превышающую имеющуюся). Время, когда он может это сделать, указывается в задаче.

Пример: В январе (2014) года клиент положил в банк (30,000) рублей под (10%) годовых, которые банк начисляет раз в год в декабре. Сколько рублей будет на счете у клиента в январе (2017) года?

То, что банк начисляет на текущую сумму (10%), значит, что после начисления процентов сумма будет составлять (110%) от суммы, находящейся на счете до начисления процентов.
Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма на счете до начисления} %&text{Сумма на счете после начисления} %\
&text{(январь)}&text{(декабрь)}\
hline 2014&30,000&1,1cdot 30,000\
hline 2015&1,1cdot 30,000&1,1^2cdot 30,000\
hline 2016&1,1^2cdot 30,000&1,1^3cdot 30,000\
hline
end{array}]

Таким образом, в декабре (2016) года после начисления процентов на счете у клиента будет (1,1^3cdot 30,000) рублей. Эта же сумма будет у него на счете и в январе (2017) года (т.к. проценты начисляются только в декабре).

Значит, ответом будет (39,930) рублей.

Задание
1

#2934

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Клиент вложил некоторую сумму под (10%) годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он снял со своего счета (10%) от имеющейся на тот момент суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он доложил на счет (10%) от имеющейся суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов.

Пусть клиент сделал вклад в размере (A) рублей. Тогда после начисления процентов в первый год на счете у него уже будет (1,1A) рублей. Так как он снял (10%) от этой суммы, то у него осталось (90%) или (0,9cdot 1,1A) рублей.
Тогда в конце второго года банк снова начислил проценты и сумма на счете стала равна (1,1cdot (0,9cdot 1,1A)) рублей. Далее он доложил (10%), следовательно, на счете у него стало (110%) или (1,1cdot (1,1cdot (0,9cdot 1,1A))) рублей.
На третьем году после начисления процентов у него стало (1,1cdot
1,1cdot (1,1cdot (0,9cdot 1,1A))) рублей.
Удобно следить за данными операциями, составив таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& 1,1A& -,0,1cdot (1,1A)\
hline 2&0,9cdot (1,1A)& 1,1cdot (0,9cdot 1,1A)& +,0,1cdot (1,1cdot 0,9cdot 1,1A)\
hline 3& 1,1cdot (1,1cdot 0,9cdot 1,1A)& 1,1cdot (1,1cdot 1,1cdot 0,9cdot 1,1A)&\
hline
end{array}]
Следовательно, на счете у него стало [1,1^4cdot 0,9A=1,31769A,] что больше первоначального вклада (A) на (31,769%).

Ответ: 31,769

Задание
2

#2841

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Владелец автосалона решил разделить свой капитал на (3) части и вложить их в (3) различных банка, причем годовые процентные ставки в этих банках относятся как (2:3:5). В каком отношении он должен поделить свой капитал, чтобы через год чистая прибыль от вкладов во всех трех банках была одинакова?

Обозначим за (2y) процентную ставку в первом банке, тогда в остальных банках ставки будут (3y%) и (5y%). Пусть вклад в первый банк составил (A_{1}), во второй – (A_{2}), в третий – (A_{3}). Составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Банк}&text{Размер вклада до} &text{Размер вклада после} &text{Чистая прибыль}\
&text{начисления }%&text{начисления }%&\
hline &&&\
1&A_{1} &dfrac{100+2y}{100}cdot A_{1}&A_{1}cdot left(dfrac{100+2y}{100}-1right)\
&&&\
hline &&&\
2&A_{2} &dfrac{100+3y}{100}cdot A_{2}&A_{2}cdot left(dfrac{100+3y}{100}-1right)\
&&&\
hline &&&\
3&A_{3} &dfrac{100+5y}{100}cdot A_{3}&A_{3}cdot left(dfrac{100+5y}{100}-1right)\
&&&\
hline
end{array}]

Т.к. чистая прибыль во всех банках должна быть одинакова, то

(A_{1}cdot left(dfrac{100+2y}{100}-1right)=A_{2}cdot
left(dfrac{100+3y}{100}-1right)=A_{3}cdot
left(dfrac{100+5y}{100}-1right)
Leftrightarrow )

(2A_{1}=3A_{2}=5A_{3} Rightarrow A_{1}:A_{2}:A_{3}=15:10:6).

Ответ:

(15:10:6).

Задание
3

#2840

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Алексей решил внести некоторую сумму (A) рублей в банк под целое число (y) процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка (y) должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее (8A) рублей?

Составим таблицу, обозначив за (t=dfrac{100+y}{100}): [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма на счете} & text{Сумма на счете} & text{Сумма на счете}\
& text{до начисления }% & text{после начисления }% & text{после дополнительного взноса} \
hline &&&\
1 & A & tA & tA+frac{1}{2}A\
&&&\
hline &&&\
2 & tA+frac{1}{2}A & t(tA+frac{1}{2}A) & t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A) \
&&&\
hline &&&\
3 & t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A) & t(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A)) & t(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))+\
&&&\
&&& +frac{1}{2}(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))\
&&&\
hline
end{array}]

По условию итоговая сумма на счете должна быть не менее (8A
Rightarrow)

(t(t(tA+frac{A}{2})+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))+frac{1}{2}(t(tA+frac{1}{2}A)+frac{1}{2}(tA+frac{1}{2}A))
geqslant 8A)

Преобразовав левую часть неравенства, получим:

(t^3A+dfrac{3t^2A}{2}+dfrac{3tA}{4}+dfrac{A}{8} geqslant 8A
Longleftrightarrow dfrac{A(2t+1)^3}{8} geqslant 8A)

Решив данное неравенство, получим: (t geqslant 1,5 Rightarrow y
geqslant
50)

Таким образом, наименьшее целое значение (y=50%).

Ответ:

(50%).

Задание
4

#2936

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке оформили два одинаковых вклада под один и тот же процент годовых на 3 года. По первому вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года (после начисления процентов) со счета было снято (20%) от имеющейся там суммы, а в конце второго (после начисления процентов) доложено (30%) от имеющейся там суммы. По второму вкладу: в конце первого года (после начисления процентов) на счет было доложено (20%) от имеющейся там суммы, а в конце второго (после начисления процентов) снято (30%) от имеющейся там суммы.
Определите, на каком из двух счетов в конце третьего года после проделанных действий оказалось больше денег? Найдите отношение суммы, находящейся на первом счете, к сумме, находящейся на втором счете.

Пусть оба вклада были размером (A) рублей. Пусть после начисления процентов вклад увеличивался в (t) раз.

Составим таблицу для первого вклада: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& -,0,2cdot (tA)\
hline 2&0,8cdot (tA)& tcdot (0,8cdot tA)
& +,0,3cdot (tcdot 0,8cdot tA)\
hline 3& 1,3cdot (tcdot 0,8cdot tA)& tcdot (1,3cdot tcdot 0,8cdot tA)&\
hline
end{array}]

Следовательно, в конце третьего года на счете было [1,3cdot
0,8cdot t^3A=1,04t^3A quad {small{text{рублей.}}}]

Составим таблицу для второго вклада: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& +,0,2cdot (tA)\
hline 2&1,2cdot (tA)& tcdot (1,2cdot tA)
& -,0,3cdot (tcdot 1,2cdot tA)\
hline 3& 0,7cdot (tcdot 1,2cdot tA)& tcdot (0,7cdot tcdot 1,2cdot tA)&\
hline
end{array}]

Следовательно, в конце третьего года на счете было [1,2cdot
0,7cdot t^3A=0,84t^3A quad {small{text{рублей.}}}]

Заметим, что по первому вкладу на счете оказалась большая сумма. Отношение равно [1,04:0,84=26:21.]

Ответ:

26:21

Задание
5

#2935

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Ваня сделал вклад в банке на 3 года. Раз в год банк начисляет на сумму, находящуюся на счете, некоторое количество процентов. У Вани есть возможность в один из первых двух лет (после начисления процентов) снять со счета (20%) от имеющейся там суммы, а в другой год (из первых двух лет) — доложить также (20%) от имеющейся там суммы. Или сделать наоборот. Определите, какое из этих действий спустя 3 года принесет Ване большую выгоду и сколько процентов составит эта выгода?

Пусть Ваня положил в банк (A) рублей. Пусть каждый год банк увеличивает сумму, находящуюся на счете, в (t) раз. Рассмотрим два случая:

1) сначала он снял (20%), затем доложил. [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& -,0,2cdot (tA)\
hline 2&0,8cdot (tA)& tcdot (0,8cdot tA)
& +,0,2cdot (tcdot 0,8cdot tA)\
hline 3& 1,2cdot (tcdot 0,8cdot tA)& tcdot (1,2cdot tcdot 0,8cdot tA)&\
hline
end{array}]

2) сначала он доложил (20%), затем снял. [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма до начисления }%
&text{Сумма после начисления }%&text{Манипуляции}\
hline 1& A& tA
& +,0,2cdot (tA)\
hline 2&1,2cdot (tA)& tcdot (1,2cdot tA)
& -,0,2cdot (tcdot 1,2cdot tA)\
hline 3& 0,8cdot (tcdot 1,2cdot tA)& tcdot (0,8cdot tcdot 1,2cdot tA)&\
hline
end{array}]

Таким образом, мы видим, что в обоих случаях в конце третьего года на счете у Вани будет [0,8cdot 1,2cdot t^3A quad {small{text{рублей.}}}]

Следовательно, выгода составляет (0%).

Ответ: 0

Задание
6

#2937

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В феврале женщина оформила в банке вклад на 4 года. Каждый год в ноябре банк начисляет на вклад (8%). В декабре первого года пользования услугами данного банка женщина решила купить квартиру и сняла для этой цели со своего счета (8) млн. рублей. Ровно через два года она продала эту квартиру и сразу же вернула на счет в банке те же (8) млн. рублей. Определить, сколько рублей потеряла по истечении срока действия вклада из-за подобных действий эта женщина.

Пусть размер вклада составил (A) млн. рублей. Составим таблицу, описывающую действия, происходившие со вкладом: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Номер года}&text{Сумма в феврале}
&text{Сумма в ноябре}&text{Манипуляции}\
hline 1& A & 1,08A & -,8\
hline 2& 1,08A-8 & 1,08 (1,08A-8) & \
hline 3& 1,08 (1,08A-8) & 1,08^2 (1,08A-8) & +,8\
hline 4&1,08^2 (1,08A-8)+8 & 1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)&\
hline
end{array}]

Таким образом, спустя четыре года на счете у женщины было [1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)=1,08^4A-8cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1) quad {small{text{млн. рублей}}}]

Если бы она не совершала данные манипуляции, то каждый год ее вклад увеличивался бы в (1,08) раз и к концу четвертого года составил бы (1,08^4A) млн. рублей. Следовательно, из-за подобных действий ее вклад уменьшился на [8cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1)=8cdot 1,08cdot 0,08cdot 2,08=1,437696quad {small{text{млн. рублей}}}]

Ответ:

(1,437,696) рублей

Задание
7

#2932

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В январе 2014 года Андрей сделал вклад в размере (6,640,000) рублей под (y) процентов годовых. В феврале 2014 года он захотел купить квартиру стоимостью (9) млн. рублей, но решил для этого взять кредит под (21%) годовых на 15 лет, который необходимо выплачивать дифференцированными платежами. Найдите наименьшее число (y), чтобы процентов, начисляемых на его вклад каждый год, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Заметим, что так как кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами, то из их определения следует, что первый платеж по кредиту будет наибольшим среди всех платежей.
Так как каждый платеж по такому кредиту состоит из двух частей: (frac1{15}) часть от (9) млн. рублей плюс проценты, “набежавшие” на долг за текущий год, то первый платеж будет равен [dfrac1{15}cdot 9000+0,21cdot 9000 {small{text{тыс. рублей.}}}] (так как в первый год пользования кредитом долг равен (9) млн. рублей или, что то же самое, (9000) тыс. рублей)

Рассмотрим вклад. В первый год на вклад “набегут” проценты в размере (0,01ycdot 6640) тыс. рублей. Этой суммы должно хватить для того, чтобы сделать первый платеж. Следовательно, [0,01ycdot 6640geqslant dfrac1{15}cdot 9000+0,21cdot 9000 qquad (*)]

Заметим, что таким образом, если он снимет в первый год со счета не более (0,01ycdot 6640) тыс. рублей, то на счете у него останется как минимум (6640) тыс. рублей, то есть точно не меньше, чем было в начале первого года. Следовательно, “набежавших” процентов во второй год также хватит на то, чтобы сделать второй платеж (ведь он меньше первого платежа!). Такое же рассуждение относится и к всем следующим годам.
Следовательно, нам важно, чтобы именно первых “набежавших” процентов хватило на то, чтобы сделать первый платеж.

[ygeqslant dfrac{83}3cdot dfrac{9000}{6640} quadRightarrowquad
ygeqslant dfrac{3000}{80}=37frac12]

Следовательно, наименьшее подходящее (y) равно (37,5%).

Ответ: 37,5

Во время сдачи ЕГЭ по математике многие выпускники сталкиваются с проблемой решения задач по банковским вкладам и кредитам. Данная тематика встречается в тестовых заданиях довольно редко, поэтому ей уделяется недостаточно внимания при подготовке. Чтобы легко справляться с упражнениями, обращайтесь к нашему онлайн-порталу. Вы научитесь быстро находить правильные ответы и сможете решать примеры различной сложности.

«Школково» — залог успешной сдачи заключительного аттестационного тестирования!

На нашем сайте представлены все материалы, которые необходимы для подготовки к Единому государственному экзамену по математике. Наши преподаватели собрали и подали информацию по теме в наиболее простой и понятной форме. Благодаря такому подходу занятия проходят быстро и легко.

Чтобы подготовка к итоговому тестированию проходила максимально результативно, советуем воспользоваться предложенным нами алгоритмом действий.

Зайдите в раздел «Теоретическая справка», где размещены самые необходимые правила, формулы и простейшие примеры решения типовых экономических задач. Внимательно ознакомьтесь с материалами.

После этого переходите в раздел «Каталоги». Там собрано множество упражнений различного уровня сложности. Советуем начать с простых задач и постепенно переходить к более трудным. Так вы сможете определить свои слабые стороны и сделать упор на решении определенных упражнений.

Если у вас возникли проблемы с каким-либо примером на тему «Решение задач по банковским вкладам и кредитам», его можно добавить в «Избранное». Задание не потеряется, и вы сможете вернуться к его выполнению самостоятельно или вместе с преподавателем.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется. Поэтому школьники каждый день получают совершенно новые задания, соответствующие уровню их текущих навыков. Такой подход значительно отличается от стандартных занятий с использованием школьных пособий. Выпускники совершенствуют свои знания, а не просто заучивают, как решать типовые примеры, предложенные в учебниках.

Начните подготовку на портале «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Всего через несколько дней регулярных занятий вы заметите, что с легкостью справляетесь с теми упражнениями, которые ранее вызывали сложности.

Обратите внимание, что на нашем портале могут заниматься все желающие. Для того чтобы сохранить и отслеживать прогресс, зарегистрируйтесь на официальном сайте shkolkovo.net. Желаем приятной подготовки к Единому государственному экзамену!

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.

Комбинированные задачи.

В чем основная сложность «экономической» задачи.

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

Что принимается за 100%?
Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

S=6902 тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

— процент банка,

$k=1+frac{{ p}}{100}=1+frac{125}{1000}=1+frac{1}{8}=frac{9}{8}$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

— сумма долга увеличивается в раз;

— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .

Вот что получается:

Раскроем скобки:

$S{{ k}}^4-{ X}left({{ k}}^3+{{ k}}^2+{ k}+1right)=0.$

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

$1+{{ k}+{{ k}}^2+{ k}}^3$ . В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

${{ Sk}}^4={ X}cdot frac{{{ k}}^4-1}{{ k}-1}=0.$ И выразим из этой формулы .

${ X}=frac{{ S}cdot {{ k}}^4left({ k}-1right)}{{{ k}}^4-1}.$ Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби $frac{9}{8}$ , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

${ X}=frac{{ S}cdot {{ k}}^4left({ k}-1right)}{{{ k}}^4-1}=frac{{ S}cdot 9^4left(frac{9}{8}-1right)}{8^4cdot left(frac{9^4}{8^4}-1right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9^4-8^4right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9^2-8^2right)left(9^2+8^2right)}=frac{{ S}cdot 9^4}{8cdot left(9+8right)left(9^2+8^2right)}=$

$=frac{6902cdot {81}^2}{8cdot 17cdot 145}=frac{406cdot {81}^2}{8cdot 145}=frac{203cdot {81}^2}{4cdot 145}=frac{29cdot 7cdot {81}^2}{4cdot 29cdot 5} = 2296,35$ тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей.

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно, ${ k}=1+frac{{ p}}{100}.$

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна $frac{1}{24}{ S}.$ После первой выплаты сумма долга равна $frac{23}{24}{ S},$ после второй $frac{22}{24}{ S}.$

Тогда первая выплата ${{ X}}_1={ kS}-frac{23}{24}{ S},$ вторая выплата ${{ X}}_2={ k}cdot frac{23}{24}{ S}-frac{22}{24}{ S}$ ,

dots

Последняя в году выплата ${{ X}}_{12}={ k}cdot frac{13}{24}{ S}-frac{12}{24}{ S}.$

Сумма всех выплат в течение первого года:

${ X}={{ X}}_1+{{ X}}_2+dots +{{ X}}_{12}={ kS}left(1+frac{23}{24}+dots frac{13}{24}right)-{ S}left(frac{23}{24}+frac{22}{24}+dots +frac{12}{24}right).$

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ${{ a}}_1=frac{13}{24};{{ a}}_{{ n}}=frac{24}{24}=1.$ Обозначим эту сумму ${{ S}}_1.$

${{ S}}_1=frac{{{ a}}_1+{{ a}}_{12}}{2}cdot 12=frac{13+24}{2cdot 24}cdot 12=frac{37}{4}.$

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой ${{ b}}_1=frac{12}{24};{{ b}}_{{ n}}=frac{23}{24}.$ Эту сумму обозначим ${{ S}}_{2.}$

${{ S}}_2=frac{{{ b}}_1+{{ b}}_{12}}{2}cdot 12=frac{12+23}{2cdot 24}cdot 12=frac{35}{4}.$

Общая сумма выплат за год:

$small X= S left({ kS}_1-{{ S}}_2right)=frac{1800}{4}left({ 1,01}cdot 37-35right)=$
$=frac{1800cdot { 2,37}}{4}={ 2,37}cdot 450= 1066,5$ тыс. рублей.

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: ${ k}=1+frac{25}{100}=frac{5}{4},Y=625$ тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

${ S}=frac{left({ k}+1right){ Y}}{{{ k}}^2}{ X}=3cdot frac{left({ k}+1right){ Y}}{{{ k}}^2}left({ k}-1right)+2{ Y}=3{ y}left(frac{{{ k}}^2-1}{{{ k}}^2}right)+2{ Y}=$
$={ Y}left(5-frac{3}{{{ k}}^2}right)=625left(5-frac{3cdot 16}{25}right)=frac{625cdot 77}{25}=77cdot 25=1925$ тысяч рублей.

Ответ: 1925 тыс. рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная			2100 — 1500 = 600 руб
жестяная			1750 — 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть $xge frac{2}{9}$ и $yge frac{1}{4}.$

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

$left{begin{matrix} x+y=1\ {{2}over{9}}leq x textless 1, \ {1over4}leq y textless 1 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} y=1-x\ {2over9}leq x leq {3over4} end{matrix}right. .$

Подставим y=1-x в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при $x=frac{3}{4}.$ Тогда $y=frac{1}{4}$ и максимально возможная прибыль завода за день равна

$2000cdot left(27cdot frac{3}{4}+26cdot frac{1}{4}right)=2000cdot frac{107}{4}=53500$ руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 15. Финансовая математика u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Вклады и кредиты

Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

• выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению «Сложных процентов».

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

или (списание процентов)

Где S— размер первоначального вклада;

– размер вклада через n лет;
r — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

Решение.

S– вклад, S= 500 000 рублей,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

Год	Сумма на счете в начале года	Сумма на счете после начисления %	Платеж	Остаток на счете в конце года
1	S	Sm	x	Sm+x
2	Sm+x	Sm²+xm	x	Sm²+xm+x
3	Sm²+xm+x	Sm³+xm²+xm	x	Sm³+xm²+xm+x
4	Sm³+xm²+xm+x	Sm⁴+xm³+xm²+xm	—	Sm⁴+xm³+xm²+xm

Можно использовать формулы:

Парная задача

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

Решение.

S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

x рублей- ежегодная выплата,

Год	Сумма на счете в начале года	Сумма на счете после начисления %	Платеж	Остаток на счете в конце года
1	S	Sm	x	Sm-x
2	Sm—x	Sm²—xm	x	Sm²-xm-x
3	Sm2—xm—x	Sm³—xm²—xm	x	Sm³-xm²-xm-x
4	Sm3—xm2—xm—x	Sm⁴—xm³—xm²—xm	x	Sm⁴-xm³—xm²-xm-x

Sk=4x;

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.

Основные характеристики дифференцированного платежа

1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;

4. Первый платеж самый большой;

5. Последний платеж самый маленький.

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.

S–сумма кредита,

r=1% — ежемесячный процент по вкладу,

n=24 – срок кредитования

Месяц	Сумма на счете в начале месяца	Погашение % по вкладу	Погашение тела кредита	Общие ежемесячные выплаты	Остаток на счете в конце месяца
1 год
1	S
2
3
…	…	…	….	…	…
12
2 год
13
…	…	…	…	…	…
24

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. рублей)	1	0.6	0.4	0.3	0.2	0.1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.

Решение.

r% — ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Месяц	Сумма на счете в начале месяца	Сумма на счете после начисления %	Платеж	Остаток на счете в конце месяца
1	1	1m	m-0.6	0.6
2	0,6	0.6m	0.6m-0.4	0.4
3	0,4	0.4m	0.4m-0.3	0.3
4	0,3	0.3m	0.3m-0.2	0.2
5	0,2	0.2m	0.2m-0.1	0.1
6	0,1	0.1m	0.1m	0

Общая сумма выплат равна

Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;

2.6m<1.2; m<

Ответ: 7%.

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.

Использованная литература

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.

М.: 2020. — 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.

4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.

3. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т.

4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.

М.: 2018. — 208 с.

Источник

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Как научить школьника решать экономическую (банковскую) задачу в ЕГЭ по математике

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы:

банковские задачи,
на ценные бумаги,
задачи на оптимальный выбор.

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

Как работает процент по кредиту?
На какую сумму начисляется?
Из каких частей состоит платеж?
Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс!

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг.

Как научить школьника решать любую банковскую задачу

Экономическая задача ЕГЭ по математике в реальной жизни

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается.

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа.

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.

Источник