Внутренний экзамен мфти

 Вступительные испытания

Приём в бакалавриат и специалитет осуществляется по результатам единого государственного экзамена (ЕГЭ) и по результатам вступительных испытаний МФТИ для отдельных категорий поступающих. Победители и призёры олимпиад школьников обладают особыми правами в соответствии с порядком предоставления особых прав победителям и призёрам олимпиад школьников. 

Конкурсные группы с указанием перечня вступительных испытаний и их приоритета

Программы вступительных испытаний 

• Программа вступительного испытания по физике 
• Entrance Examination in Physics
• Пример вступительного испытания по физике 
• Sample of Entrance Examination in Physics

• Программа вступительного испытания по математике 
• Entrance Examination in Mathematics
• Пример вступительного испытания по математике 
• Sample of Entrance Examination in Mathematics 

• Программа вступительного испытания по информатике
• Entrance Examination in Computer Science     
• Пример вступительного испытания по информатике 
• Sample of Entrance Examination in Computer Science

• Программа вступительного испытания по химии;
• Entrance Examination in Chemistry
• Пример вступительного испытания по химии
• Sample of Entrance Examination in Chemistry

• Программа вступительного испытания по биологии
• Entrance Examination in Biology
• Пример 1 части вступительного испытания по биологии
• Sample of Entrance Examination in Biology (part 1)

• Программа вступительного испытания по русскому языку
• Пример вступительного испытания по русскому языку
• Видео «Подготовка к экзамену по русскому языку»

• Программа вступительного испытания по английскому языку

• Программа вступительного испытания по истории

• Программа вступительного испытания по географии

• Программа вступительного испытания по обществознанию

Вступительные испытания МФТИ могут сдавать: 

• вне зависимости от того, участвовал ли поступающий в сдаче ЕГЭ:
• инвалиды (в том числе дети-инвалиды);
• иностранные граждане;
• лица, поступающие на базе высшего образования;
• граждане Российской Федерации, которые до прибытия на территорию Российской Федерации в 2022 г. проживали на территории ДНР, ЛНР, Украины и утратили возможность продолжать обучение или поступать на обучение за рубежом, а также граждане Российской Федерации, которые были вынуждены прервать обучение в иностранных образовательных организациях;
• дети военнослужащих и сотрудников, за исключением погибших, получивших увечье или заболевание;
• по тем предметам, по которым поступающий не сдавал ЕГЭ в текущем календарном году:
• если поступающий получил документ о среднем общем образовании в иностранной организации.

Колледж экономических международных связей

Для выпускников 9 и 11 классов.

Высшее образование онлайн

Федеральный проект дистанционного образования.

Я б в нефтяники пошел!

Пройди тест, узнай свою будущую профессию и как её получить.

Технологии будущего

Вдохновитесь идеей стать крутым инженером, чтобы изменить мир

Студенческие проекты

Студенты МосПолитеха рассказывают о своих изобретениях

Химия и биотехнологии в РТУ МИРЭА

120 лет опыта подготовки

Международный колледж искусств и коммуникаций

МКИК — современный колледж

Английский язык

Совместно с экспертами Wall Street English мы решили рассказать об английском языке так, чтобы его захотелось выучить.

15 правил безопасного поведения в интернете

Простые, но важные правила безопасного поведения в Сети.

Олимпиады для школьников

Перечень, календарь, уровни, льготы.

Первый экономический

Рассказываем о том, чем живёт и как устроен РЭУ имени Г.В. Плеханова.

Билет в Голландию

Участвуй в конкурсе и выиграй поездку в Голландию на обучение в одной из летних школ Университета Радбауд.

Цифровые герои

Они создают интернет-сервисы, социальные сети, игры и приложения, которыми ежедневно пользуются миллионы людей во всём мире.

Работа будущего

Как новые технологии, научные открытия и инновации изменят ландшафт на рынке труда в ближайшие 20-30 лет

Профессии мечты

Совместно с центром онлайн-обучения Фоксфорд мы решили узнать у школьников, кем они мечтают стать и куда планируют поступать.

Экономическое образование

О том, что собой представляет современная экономика, и какие карьерные перспективы открываются перед будущими экономистами.

Гуманитарная сфера

Разговариваем с экспертами о важности гуманитарного образования и областях его применения на практике.

Молодые инженеры

Инженерные специальности становятся всё более востребованными и перспективными.

Табель о рангах

Что такое гражданская служба, кто такие госслужащие и какое образование является хорошим стартом для будущих чиновников.

Карьера в нефтехимии

Нефтехимия — это инновации, реальное производство продукции, которая есть в каждом доме.

Подробная статистика конкурсной ситуации в МФТИ в 2022 году

Хотите поступить на бюджет в Московский физико-технический институт?  Это очень сложная задача, которая по плечу только очень сильным выпускникам (речь не только о багаже знаний, но и силе воли и выносливости). Уважаем ваш выбор.

Курсы ЕГЭ и ОГЭ Lancman School подготовили для вас самую актуальную информацию о поступлении в этот престижный технический вуз в 2021 году. В этой статье мы расскажем всё о поступлении в МФТИ. Средний балл поступивших в 2020 году на бюджетные места МФТИ вновь был самым высоким в стране – 97,6 (за год +0,3 балла). Такая высокая планка связана с большим спросом на качественное техническое образование, кроме того, необходимо понимать, что среди абитуриентов МФТИ обычно рекордное количество победителей и призёров олимпиад из Перечня и Всероссийской олимпиады школьников.  

Хочешь БЕСПЛАТНО разобрать с опытным преподавателем все детали новых усложнённых вариантов ЕГЭ по 2022 года — приходи на пробное занятие в Lancman School. Мы 13 лет готовим к ЕГЭ на высокие баллы и знаем об экзаменах и поступлении в хорошие вузы буквально всё. Решишь продолжить готовиться к ЕГЭ вместе с нами весь год — дадим скидку после бесплатного пробного занятия. Любой вопрос смело пиши сюда.

Если ты живешь не в Москве, но хочешь заниматься с лучшими столичными репетиторами и сдать ЕГЭ на 80+ баллов, то регистрируйся на наши онлайн-курсы. В этом году мы включили в договор пункт, гарантирующий поступление на бюджет в любой вуз страны. Если ученик будет соблюдать все обговоренные условия, он обязательно поступит. В противном случае мы вернём деньги. Первое пробное занятие БЕСПЛАТНО.

Общая информация о конкурсной ситуации в МФТИ в 2021 году

(очная форма — бакалавриат и специалитет)

Средний балл в 2020 году на бюджете – 97,6 (1 место среди всех вузов)

Средний балл в 2020 году платно — 89,2 (1 место среди всех вузов)

Количество бюджетных мест в 2021 году – 914

Количество платных мест в 2021 году — 428

Стоимость обучения на платной основе в 2020-2021 гг. – 270 000 — 315 000 руб. в год

Есть военная кафедра, общежития, целевое обучение 

Наличие своих льготных олимпиад для школьников

Олимпиада «Физтех»

Международная олимпиада Phystech.International

Открытая химическая олимпиада

Олимпиада для школьников по программированию «Технокубок»

Открытая олимпиада по программированию 

Открытая олимпиада школьников по программированию «Когнитивные технологии»

МФТИ в 2020 году стал одним из лидеров по количеству зачисленных на бюджетные места без вступительных испытаний – 48,78% (422 студента из 865). Призываем вас активно участвовать в предметных олимпиадах, чтобы повысить шансы поступить в МФТИ на бюджет.

МФТИ в международных рейтингах университетов

 

Рейтинг	Место в рейтинге
Международный рейтинг университетов THE (Великобритания)	201-250 место
Академический рейтинг университетов мира ARWU (Шанхайский рейтинг)	401-500 место
Международный рейтинг университетов QS (Великобритания)	281 место
Международный рейтинг вузов U.S. News (США)	402 место
Национальный рейтинг университетов CWUR (Саудовская Аравия)	580 место

МФТИ в российских рейтингах вузов

 

Рейтинг	Место в рейтинге
Рейтинг «100 лучших вузов России» от Эксперт РА	2 место
Национальный рейтинг университетов от «Интерфакса»	3 место
Рейтинг российских университетов от Forbes	3 место
Рейтинг технических вузов RUR Technical Sciences	322 место

МФТИ входит в проект «5-100». Это значит, что университету оказывается государственная поддержка и выделяются субсидии для повышения статуса вуза и вхождению в мировые рейтинги университетов. Всего в список проекта «5-100» вошёл 21 российский вуз, отбор проходил на конкурсной основе.

А теперь всё самое необходимое о конкурсной ситуации в МФТИ в 2021 году

в одной удобной таблице

Всю актуальную статистику мы собирали исключительно на сайте МФТИ. Значок «-» означает, что информации на официальном сайте нет. Приказ ректора МФТИ о стоимости платного обучения в 2021-2022 гг. будет опубликован весной-летом. 

Учебные подразделения МФТИ:

ФРКТ — физтех-школа радиотехники и компьютерных технологий

ЛФИ — физтех-школа физики и исследований им. Ландау

ФАКТ — физтех-школа аэрокосмических технологий

ФЭФМ — физтех-школа электроники, фотоники и молекулярной физики

ФПМИ — физтех-школа прикладной математики и информатики

ФБМФ — физтех-школа биологической и медицинской физики

ИНБИКСТ — институт нано-, био-, информационных, когнитивных и социогуманитарных наук и технологий.

Минимальные баллы ЕГЭ в 2021 году

При поступлении на все конкурсные группы в 2021 году минимальное количество баллов по результатам вступительных испытаний (в том числе по результатам ЕГЭ) по каждому общеобразовательному предмету устанавливается равным:

— на бюджетные места по русскому языку – 60 баллов, математике, физике, химии, информатике и ИКТ, биологии — 70 баллов;

— на платные места по русскому языку – 50 баллов, математике, физике, химии, информатике и ИКТ, биологии — 65 баллов. 

 

Конкурсная группа  (ЕГЭ по след.предметам)	Количество мест на бюджете и платно в 2021 г.	Проходные баллы на бюджете в 2020 году	Стоимость обучения в 2020-2021 гг.
01.03.02 Прикладная математика и информатика			270 000
ФПМИ Прикладная математика и информатика М+ИНФ+Р	90/25	302
ФПМИ Экономика & ERP М+ИНФ+Р	10/8	291
ФПМИ Компьютерные науки М+ИНФ+Р	0/2	—
Computer science М+ИНФ	0/40	—
03.03.01 Прикладные математика и физика			270 000
ФРКТ Математика и физика М+Ф+Р	100/27	297
ЛФИ Математика и физика М+Ф+Р	195/9	289
ЛФИ Физика и исследования М+Ф+Р	0/2	—
Physics & Research М+Ф	0/10	—
ФАКТ Авиационные технологии М+Ф+Р	22/9	291
ФАКТ Геокосмические науки и технологии М+Ф+Р	73/20	287
ФЭФМ Электроника, фотоника и нанотехнологии М+Ф+Р	54/25	—
ФЭФМ Молекулярная физика и науки о материалах М+Ф или Х+Р	34/16	291
ФПМИ Прикладная математика М+Ф или ИНФ+Р	104/20	310
ФПМИ Компьютерные технологии М+Ф+Р	20/8	304
ФБМФ Медицинская физика и биоинформатика М+Ф или Х+Р	36/20	296
ИНБИКСТ Математика и физика М+Ф или Х или ИНФ+Р	38/8	279
09.03.01 Информатика и вычислительная техника			270 000
ФАКТ Информатика и вычислительная техника М+ИНФ+Р	30/21	282
ФПМИ Информатика и вычислительная техника ИНФ+М+Р	42/10	385
16.03.01 Техническая физика			315 000
ФАКТ Техническая физика М+Ф+Р	5/3	—
ФАКТ Аэрокосмическая инженерия М+Ф+Р	0/2	—
Aerospace engineering М+Ф	0/16	—
19.03.01 Биотехнология			270 000
ФБМФ Биомедицинские технологии БИО или Х+М+Р	39/20	303
ФБМФ Биомедицинская инженерия БИО или Х+М+Р	0/2	—
Biomedical engineering БИО или Х+М	0/6	—
27.03.03 Системный анализ и управление			270 000
ФАКТ Системный анализ и управление совместно с РАНХиГС М+Ф или ИНФ+Р	10/15	—
10.05.01 Компьютерная безопасность			270 000
ФРКТ Компьютерная безопасность М+Ф или ИНФ+Р	12/3	298

 

БАЛЛЫ ЗА ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ		Количество
Международные олимпиады: Участник международной математической олимпиады (IMO) Участник Международнаойолимпиады по физике (IPhO), Международная распределенная олимпиада по физике (IDPhO) Участник Международной олимпиады по астрономии и астрофизике (IOAA) Участник Международной астрономической олимпиады (IAO) Участник Международнаой олимпиады по информатике (IOI) Участник Международной олимпиады по химии (IСhO) Участник Международной естественно-научной олимпиады юниоров по физике, биологии и химии (IJSO) Участник Европейской физической олимпиады (EuPhO) Участник Европейской олимпиады юниоров по информатике (eJOI) Участник Международной биологической олимпиады (IBO, IBO Challenge 2020) Участник Международного турнира по информатике (IATI)		10
Общенациональные олимпиады Общенациональные олимпиады школьников (Всероссийская олимпиада школьников, проводимая в соответствии с приказом Минобрнауки России от 18 ноября 2013 г. № 1252): По математике, физике, астрономии, химии или информатике: победителям и призёрам – 10 баллов. По биологии: в рамках конкурсных групп ФБМФ победителям и призёрам – 10 баллов. В рамках других конкурсных групп победителям – 4 балла, призёрам – 3 балла. По экономике: в рамках конкурсных групп ФПМИ победителям и призёрам – 10 баллов. В рамках других конкурсных групп победителям – 4 балла, призёрам – 3 балла. Победителям и призёрам регионального этапа: По математике, физике, астрономии, химии или информатике: в рамках всех конкурсных групп победителям – 7 баллов, призёрам – 5 баллов. По биологии: при поступлении в рамках конкурсных групп ФБМФ победителям – 7 баллов, призёрам – 5 баллов. При поступлении в рамках других конкурсных групп победителям – 2 балла, призёрам – 1 балл. По экономике: при поступлении в рамках конкурсных групп ФПМИ победителям – 7 баллов, призёрам – 5 баллов. При поступлении в рамках других конкурсных групп победителям – 2 балла, призёрам – 1 балл.		от 1 до 10 баллов
Олимпиады Российского совета олимпиад школьников Олимпиады школьников 1 и 2 уровня по профилям и (или) предметам: математика, физика, астрономия, информатика (информатика и ИКТ), химия, биология, нанотехногия, включенных в утвержденный перечень олимпиад школьников: По математике, физике, астрономии, информатике (информатике и ИКТ): победителям олимпиад 1 уровня – 6 баллов, призёрам – 4 балла.Победителям олимпиад 2уровня – 4 балла, призёрам – 2 балла. По химии: В рамках конкурсных групп ФБМФ и ФЭФМ: победителям олимпиад 1 уровня – 6 баллов, призёрам – 4 балла. В рамках других конкурсных групп победителям олимпиад 1 уровня – 4 балла, призёрам – 2 балла. В рамках конкурсных групп ФБМФ и ФЭФМ победителям олимпиад 2 уровня – 4 балла, призёрам – 2 балла. В рамках других конкурсных групп победителям олимпиад 2 уровня – 2 балла, призёрам – 1 балл.  По биологии: В рамках конкурсных групп ФБМФ: победителям олимпиад 1 уровня – 6 баллов, призёрам – 4 балла. В рамках других конкурсных групп победителям олимпиад 1 уровня – 2 балла, призёрам – 1 балл. В рамках конкурсных групп ФБМФ победителям олимпиад 2 уровня – 4 балла, призёрам – 2 балла. В рамках других конкурсных групп победителям олимпиад 2 уровня – 1 балл.  По нанотехнологиям: В рамках конкурсных групп ФЭФМ и ФБМФ победителям олимпиад 1 уровня предоставляется 6 баллов, призёрам – 4 балла.		от 1 до 6
Олимпиада школьников «Физтех»:  Победителям заключительного этапа – 6 баллов, призёрам – 4 балла.  Победителям отборочного этапа (столичная олимпиада МФТИ, выездная физико-математическая олимпиада МФТИ, олимпиады физтех-школ и ИНБИКСТ) – 3 балла, призёрам – 2 балла.		от 2 до 6
Открытая химическая олимпиада школьников: Победителям заключительного этапа – 6 баллов, призёрам – 4 балла. Победителям отборочного этапа (столичная олимпиада МФТИ) – 3 балла, призёрам – 2 балла.		от 2 до 6
Открытая олимпиада школьников по программированию «Когнитивные технологии»:  Победителям – 6 баллов, призёрам – 4 балла.		от 4 до 6
Олимпиада школьников по программированию «ТехноКубок»:  Победителям – 6 баллов, призёрам – 4 балла.		от 4 до 6
Олимпиада Кружкового движения Национальной технологической инициативы: В рамках конкурсной группы ФРКТ Математика и физика: по профилям «Технологии беспроводной связи», «Искусственный интеллект», «Технологии дополненной реальности», «Большие данные и машинное обучение», «Технологии виртуальной реальности», «Интеллектуальные энергетические системы», «Летающая робототехника», «Автономные транспортные системы», «Спутниковые системы», «Интеллектуальные робототехнические системы», «Вводные робототехнические системы», «Технологическое предпринимательство», «Технологические процессы на транспорте», «Цифровые сенсорные системы», «Надводные роботизированные аппараты» победителям – 5 баллов, призёрам – 3 балла.  В рамках конкурсной группы ФРКТ Компьютерная безопасность: по профилю «Информационная безопасность» победителям – 5 баллов, призёрам – 3 балла. В рамках конкурсных групп ФПМИ: по профилю «Большие данные и машинное обучение», «Искусственный интеллект» победителям – 5 баллов, призёрам II степени – 4 балла, призёрам III степени – 3 балла. В рамках конкурсных групп ФЭФМ: по профилям «Умный город», «Наносистемы и наноинженерия», «Нейротехнологии и когнитивные науки» («Нейротехнологии»), «Технологии беспроводной связи», «Интеллектуальные энергетические системы», «Передовые производственные технологии», «Спутниковые системы», «Автономные транспортные системы», «Летающая робототехника» и «Композитные технологии» в рамках конкурсных групп ФЭФМ: победителям – 5 баллов, призёрам II степени – 4 балла, призёрам III степени – 3 балла. По всем конкурсным группам: по профилю «Нейротехнологии и когнитивные науки» («Нейротехнологии») победителям и призёрам – 1 балл.		от 1 до 5
Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи — будущее науки» по физике В рамках конкурсных групп ЛФИ победителям – 4 балла, призёрам 2 степени – 3 балла, призёрам 3 степени – 2 балла.		от 2 до 4
Московская олимпиада школьников (предпрофессиональная)  Победителям – 5 баллов, призёрам – 3 балла.		от 3 до 5
Обладатели диплома Всероссийского турнира юных физиков (за 2018/19 учебный год)		2
Всероссийский конкурс научно-технологических проектов «Большие вызовы» (за 2018/19 и 2019/20 учебные года) Победителям – 5 баллов, призёрам – 3 балла.		от 3 до 5
Корпоративный конкурс «Сила света» (за 2019/20 учебный год) В рамках конкурсных групп ФЭФМ победителям – 5 баллов, призёрам – 3 балла.		от 3 до 5
Олимпиада Университета Иннополис «Innopolis Open» по информационной безопасности, Открытая Олимпиада Университета Иннополис по информационной безопасности для школьников (за 2018/19 и 2019/20 учебные года) В рамках конкурсной группы ФРКТ Компьютерная безопасность победителям – 5 баллов, призёрам – 3 балла.		от 3 до 5
Наличие аттестата о среднем общем образовании с отличием или аттестата о среднем общем образовании (среднем (полном) общем образовании), содержащего сведения о награждении золотой или серебряной медалью, диплома о среднем профессиональном образовании с отличием		2
Обладатель спортивных званий и (или) разрядов  При наличии спортивного звания «Гроссмейстер России», звания «Мастер спорта», при наличии одного из спортивных разрядов, цветного пояса по единоборствам		2
Всероссийская военно-спортивная игра «Победа»  Дипломантам в личном зачёте		1
Золотой значок ГТО		2

Читайте также:

САМЫЙ ПОДРОБНЫЙ КАЛЕНДАРЬ АБИТУРИЕНТА ВУЗОВ 2021 ГОДА

---

Если материал показался интересным, подписывайтесь на обновления нашего блога. Мы знаем о поступлении в вузы всё (и даже больше). Кнопку подписки вы найдёте прямо под постом. 

Фото: Пресс-служба МФТИ

Выбор технаря: поступление в МФТИ

12.02.2019
1916

Поступление в МФТИ, или Московский физико-технический государственный институт, можно назвать мечтой многих выпускников школ России. В этой статье мы рассмотрим его преимущества и требования к поступающим.

МФТИ один из лучших вузов страны, в составе которого находится 11 факультетов. Учебу в данном институте отличает практическая ориентированность: студенты с первого курса погружаются в научную и исследовательскую работу, к 4 курсу они становятся уже полноправными учеными.

У выпускников этого вуза нет проблем с трудоустройством, они востребованы на рынке, ежегодно вуз принимает студентов и на целевые места. Поступить в МФТИ можно, продолжив учебу в старшей школе или классе при этом вузе, пример – Заочная физико-техническая школа при МФТИ. Отбор в школу, как и вуз, конкурсный.

Поступление в МФТИ

Если вы мечтаете поступить в МФТИ, помните, что нужно сдать экзамены по математике, физике, информатике и русскому языку на высокий балл. Бюджетных мест много, но ежегодно продолжается их сокращение, что повышает конкурс при поступлении в МФТИ. К тому же, количество мест на факультетах отличается. Например, в 2016 году больше всего их было выделено факультету «Прикладная математика и физика».

Эффективно подготовиться к ЕГЭ вы можете на онлайн-курсах MAXIMUM. Каждый третий ученик нашего центра сдает ЕГЭ на 80+ баллов. В прошлом году мы помогли поступить на бюджет 140 тысячам выпускников со всей России, поможем и вам. Консультация бесплатно!

Минимальный проходной балл в МФТИ не опускается ниже 280 за три ЕГЭ. Без вступительных экзаменов в вуз берут победителей Всеросссийской олимпиады по физике, математике или информатике. Однако даже им необходимо подтвердить диплом профильным ЕГЭ не менее чем на 75 баллов. Поэтому знания предмета мало, важна и подготовка к ЕГЭ.

МФТИ вуз с мировой известностью, он подарил миру двух нобелевских лауреатов по физике. Технические и информационные ресурсы, бытовые условия, созданные для студентов – все в этом вузе располагает к плодотворной учебе. Поэтому абитуриенты всей страны стремятся поступить в МФТИ.

Лайфхаки экзамена

К рубрике

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

Используем формулу «синус двойного угла»:

   

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим за скобки:

   

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

   

   

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) .

2)

Умножим обе части последнего уравнения на и введём замену :

   

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как ), либо . Из последнего уравнения получаем .

Ответ: .

Преобразуем выражение с суммой кубов:

   

В скобках заменим член на разность . От этого равенство не нарушится. В результате получим:

   

   

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

   

Теперь используем замену: и . Тогда система принимает вид:

   

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

   

Корень этого уравнения угадывается автоматически: . Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении .

Итак, , значит . Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

   

В результате приходим к окончательному ответу: и .

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: . Известно, что эта прямая проходит через точку , то есть имеет место равенство:

(1)  

Кроме того, прямая касается графика функции . Значит уравнение

   

должно иметь ровно один корень. Введём замену . Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2)  

равен нулю, и корень при этом неотрицателен. То есть получаем:

   

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

   

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: ( и ) или ( и ). При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень . При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень .

То есть из двух прямых и нужно выбрать такую, которая пересекает график функции  в двух различных точках.

• Решаем сперва уравнение:

   

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

• Решаем теперь уравнение:

   

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: .

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Пусть радиус окружности равен . Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

   

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

   

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

   

Поделим обе части этого уравнения на и обозначит разность за . В результате приходим к следующему уравнению:

   

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна .

Ответ: 24.

Введём замену: . Тогда неравенство принимает вид:

   

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

   

Введём ещё одну замену: . Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число неравенство принимает вид:

   

Последовательно возвращаемся к исходной переменной :

   

   

Окончательно получаем следующий ответ:

Пусть в первую бочку долили кг воды, а во вторую — кг. Пусть в первой бочке находится кг, а во второй кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

   

а после доливания воды оно стало равно:

   

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

   

а после доливания воды оно стало равно:

   

Тогда справедливы равенства:

(3)  

(4)  

Из уравнения (3) выражаем , из уравнения (4) выражаем , а из уравнения  выражаем . Мы ищем минимальное значение суммы . Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

   

   

   

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Этот случай реализуется при , когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при . Подставляя это в выражение , получаем после преобразований, что . Отрицательный корень мы в расчёт не берём.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Выполним следующие дополнительные построения:

• проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
• проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

• сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
• так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
• ∠CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
• значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
• из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что , то есть ;
• тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна .

Ответ: 40.

Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:

   

Ведём замену , причём . Тогда получим следующее неравенство:

   

Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра , при котором последнее неравенство выполняется при всех .

Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:

   

Легко видеть, что при любых значениях , так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение , при этом знак неравенства не поменяется:

(5)  

Исследуем функцию на возрастание. Для этого определим при каких значениях её производная положительна:

   

   

Так как , а , то на промежутке данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом при условии, что , то есть .

Ответ: .

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!