Вопросы к экзамену по математике теория вероятности

Вопросы
к экзамену по
теории вероятностей и математической
статистик ,,

2
курс
(ОЭФ)

1. Формулы
комбинаторики.

1. Понятие
   случайного события, элементарный
   исход, множество элементарных
   событий. Достоверное и
   невозможное
   события. Классическое определение
   вероятности события. Алгебра событий:
   сумма, произведение
   событий.
   Несовместные события. Полная группа
   событий. Противоположные события.

2. Классическое,
   статистическое, геометрическое,
   аксиоматическое определение вероятности
   события.

3. Теорема
   сложения вероятностей несовместных
   событий. Следствие:Теорема сложения
   вероятностей совместных
   событий.

4. Условная
   вероятность. Независимые события.
   Теорема умножения вероятностей.
   Вероятность произведения
   конечного
   числа событий.

5. Формула
   полной вероятности. Формула Байеса. «

6. Испытания
   Бернулли. Формула Бернулли. Локальная
   и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

7. Формула
   Пуассона.

8. Понятие
   случайной величины. Дискретная случайная
   величина. Закон распределения дискретной
   случайной
   величины.
   Функция распределения дискретной
   случайной величины.

9. Математическое
   ожидание дискретной случайной величины.
   Свойства математического ожидания.
   Дисперсия
   дискретной
   случайной величины и ее свойства.

10. Основные
    законы распределения вероятностей
    дискретной случайной величины:
    Бернулли, биномиальное,
    геометрическое,
    распределение Пуассона, (гипергеометрическое)

11. Функция
    распределения вероятностей непрерывной
    случайной величины и ее свойства.

12. Плотность
    распределения вероятностей непрерывной
    случайно величины и ее свойства.

13. Математическое
    ожидание и дисперсия непрерывной
    случайной величины.

14. Числовые
    характеристики случайной величины:
    центральные и начальные моменты, среднее
    квадратическое
    отклонение,
    мода и медиана, асимметрия и эксцесс,
    квантиль, процентная точка.

15. Основные
    законы распределения непрерывной
    случайной величины: нормальный,
    логнормальный, равномерный,
    показательный.

16. Законы
    распределения вероятностей,
    используемые в математической
    статистике: хи-квадрат, Стьюдента,
    Фишера.

17. Закон
    распределения двумерной случайной
    величины, закон распределения
    составляющих, условный закон
    распределения,
    ковариация и коэффициент корреляции
    дискретной двумерной случайной величины.

18. Плотность
    и функция распределения непрерывной
    двумерной случайной величины и их
    свойства.

19. Плотность
    и функция распределения составляющих
    двумерной случайной величины, их
    математические
    ожидания
    и дисперсии.

20. Условные
    законы распределения составляющих
    двумерной случайной величины. Условные
    математические
    ожидания.

21. Ковариация
    и коэффициент корреляции непрерывной
    двумерной случайной величины.

22. Двумерный
    нормальный закон распределения.

23. Функции
    от случайной величины. Плотность
    распределения монотонной функции от
    случайной величины.

24. Функции
    двумерной случайной величины. Плотность
    распределения суммы двух случайных
    величин.

25. Неравенства
    Чебышева

26. Сходимость
    по вероятности и по распределению.
    Асимптотическая нормальность. Теоремы
    о сходимости
    непрерывной
    функции от случайных величин

27. Закон
    больших чисел.

28. Центральная
    предельная теорема. Общий и частный
    случаи. Интегральная и локальная теорема
    Лапласа.

29. Генеральная
    совокупность и выборка. Варианта и
    вариационный ряд. Статистическое
    распределение выборки.
    Эмпирическая
    функция распределения. Полигон
    частот. Гистограмма частот.
    Выборочная плотность
    распределения.
    Выборочная средняя и выборочная
    дисперсия. Эмпирические моменты.

30. Обоснование
    статистической устойчивости основных
    выборочных характеристик (их сходимости
    по вероятности
    к
    теоретическим значениям).

31. Асимптотическая
    нормальность основных выборочных
    характеристик. Их математические
    ожидания и
    дисперсии.

32. Поведение
    выборочных характеристик в нормальной
    генеральной совокупности.

33. Статистические
    оценки: состоятельность,
    несмещенность, эффективность.
    Достаточные условия
    состоятельности.
    Измерение эффективности.

34. Метод
    максимального правдоподобия. Построения
    точечной оценки параметра распределения.
    Ее свойства.

35. Метод
    моментов построения точечной оценки
    параметра распределения. Ее свойства.

36. Интервальная
    оценка. Доверительный интервал.
    Доверительная вероятность. Приближенный
    подход к
    доверительному
    оцениванию на основе асимптотической
    нормальности.

37. Точный
    подход к доверительному оцениванию.
    Требования к используемой
    статистике. Построение
    доверительного
    интервала для математического ожидания
    нормальной генеральной совокупности.

38. Проверка
    статистических гипотез: основная и
    конкурирующая гипотеза, критическая
    статистика и критическая
    область.
    Ошибки первого и второго рода, уровень
    значимости и мощность критерия.

39. Простая
    и сложная гипотезы, односторонняя
    и двусторонняя критические области.
    Примеры построения
    критических
    областей.

40. Связь
    между доверительным оцениванием и
    проверкой гипотез.

41. Регрессионный
    и корреляционный анализ. Выборочное
    уравнение регрессии.

Список вопросов:

1. Основные понятия: случайное  событие, вероятность, вероятностное пространство. Следствия определения вероятности.

2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

3. Условная вероятность, формула умножения вероятностей, независимость случайных событий.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

5. Одномерные случайные величины. Независимые испытания Бернулли.

6. Теоремы Муавра-Лапласа.

7. Теорема Пуассона.

8. Однородный пуассоновский поток случайных точек.

9. Функции распределения и их свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10. Преобразование случайных величин. Примеры: линейное преобразование, логарифмически нормальное распределение.

11. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Примеры: распределение Бернулли, Пуассона, нормальное, равномерное.

12. Интеграл Стильтьеса. Общее определение математического ожидания.

13. Математическое ожидание функции от случайной величины. Моменты случайной величины (моменты распределения).

14. Многомерные случайные величины, дискретные и непрерывные; функции распределения и их свойства.

15. Независимость случайных величин. Условные распределения.

16. Преобразование многомерных случайных величин.  Распределение суммы двух случайных величин.

17. Свойства математического ожидания. Примеры..

18. Свойства дисперсии. Примеры.

19. Числовые характеристики многомерных случайных величин.

20. Коэффициент корреляции и его свойства.

21. Свойства математического ожидания и дисперсионной матрицы.

22. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

23. Характеристические функции и их свойства.

24. Центральная предельная теорема. Доказательство для случая независимых одинаково распределенных слагаемых.

25. Примеры применения центральной предельной теоремы: оценка ошибок округления, расчет устройств со случайными параметрами. 

1. Основные понятия: случайное событие, вероятность, вероятностное пространство. Следствия определения вероятности.

Неформально: случайное событие А’ — это событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Иначе: случайное событие А’ — это предполо­жение относительно результата эксперимента.

Формальное определение: случайное событие А — это подмно­жество элементов из Ω: А Ω.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Два случайных события А’ и В’ (два предположения) называются эквивалентными, если им соответствует одно и то же множество элемен­тарных исходов. Например, в эксперименте бросания игральной кости, случайные события А’= {появление нечетного числа} и В’ = {появление 1 или простого числа, не равного 2}. Этим двум случайным событиям соответствует одно и то же множе­ство исходов {1, 3, 5}, поэтому они эквивалентны.

2. Событие называется достоверным, если оно имеет место при лю­бом исходе эксперимента. Ему соответствует все множество Ω. Напри­мер, в эксперименте бросания игральной кости событие А = {появление числа, превышающего 0}.

3. Событие называется невозможным, если оно не реализуется ни при одном исходе эксперимента. Ему соответствует пустое множество . Например, в нашем эксперименте событие А = {появление числа, боль­шего 10}.

4. Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит в наступлении хотя бы одного из них и обозначается С = А + В или C = A B.

5. Событие С называется произведением событий А и В, если оно со­стоит в их одновременном наступлении; обозначается С=АВ или С = А В.

6. Два события называются несовместными, если их одновременное наступление невозможно: А В = .

7. Говорят, что «событие А влечет В», если каждый раз, когда на­ступает А, наступает и В. Обозначается

А=>В или А В.

8. Событие С называется разностью событий А и В, если оно состоит в появлении А и непоявлении В; обозначается С = А — В или С = АВ.

9. Событие называется противоположным к А, если оно состоит в непоявлении А.

10. Система событий {А₁,…, A_n} называется полной группой событий, если в результате эксперимента имеет место одно и только одно из них. Это означает: .

Вероятность

Предположим, имеется некоторый эксперимент, где Ω — множество его возможных исходов; А — некоторое случайное событие, например бросание игральной кости; А = {появление четного числа}.

Повторим n раз эксперимент и подсчитаем количество (частоту) появлений события A. Обозначим относительную частоту появления А.

Проделаем эксперимент много раз. Относительная частота с ростом n стабилизируется, частота стремится к некоторому предельному значению, обозначим его Р(А). Ес­ли мы зафиксируем другое случайное событие В, например В = {появле­ние «6»}, то мы снова заметим, что частота стабилизируется, но стремится к другому значению — обозначим его Р(В). Эти наблюдения говорят нам о том, что каждому случайному событию объективно со­ответствует некоторое число — предел, к которому стремится отно­сительная частота. Этот предел назовем вероятностью (точнее, стати­стической вероятностью).

Итак, неформально, физически (точнее, статистически), вероят­ность есть объективная характеристика случайного события, даю­щая представление о том, как часто появится событие при много­кратном повторении опыта.

Итак, статистическая вероятность — это предел для относительной частоты . Очевидны свойства статистической вероятности:

1) Р(А)≥0;

2) P(Ω)=1;

3) если А и В несовместны, т.е. , то Р(А+В) = Р(А)+Р(В), это следует из соотношения несовместности после деления на n и перехода к пределу.

В математической теории вероятность вводится следующим образом.

Аксиоматическое определение: числовая функция Р(А), введенная на подмножествах из Ω и удовлетворяющая свойствам 1, 2, 3, назы­вается вероятностью.

При таком подходе соотношения 1, 2, 3 являются аксиомами вероят­ности, аксиома 3 называется аксиомой сложения. Дополнительно пред­полагается, что аксиома 3 верна для счетного числа несовместных собы­тий:

3а) расширенная аксиома сложения. Если , то

.

Замечание. Механическим аналогом веро­ятности случайного события является вес соответствующего множества элементов, численно равный вероятности, причем вес Ω равен 1. Очевид­но, аксиомы 1, 2 и 3 для веса выполняются.

Вероятностное пространство

Математическая теория вероятностей изучает объект {Ω,S,P}, который называется вероятностным пространством, где Ω— пространство элементарных исходов эксперимента, числовая функция Р() и область определения этой функции — система S случайных собы­тий, т. е. система подмножеств из Ω.

Требования к S:

1) Ω∈S;

2) если , , то ;

2а) для счетного числа событий А₁, … , А_n, … , если , .

Если система S удовлетворяет свойствам 1, 2, 2а, она называется σ-алгеброй событий.

Следствия определения понятия вероятности

1. Вероятность невозможного события равна 0: .

Док-во: 1 = P(Ω) = P( ) = P(Ω) + P( ) = 1 + P( ), где 1-е равенство есть 2-я аксиома, а 3-е равенство верно по 3-й аксиоме.

2. Вероятность противоположного события равна 1 минус вероят­ность события A: Р( )=1-Р(А).

Док-во: 1 = P(Ω) = Р( ) = Р(А) + Р( ).

3. Вероятность любого события не превосходит 1: 0≤P(A)≤1.

Док-во: следует из предыдущего свойства и первой аксиомы.

4. Если А => В, то Р(А)≤Р(В).

Док-во: поскольку В = А ∪ (ВА) и события А и (ВА) несо­вместны, то Р(В) = Р(А) + Р(ВА) ≥ Р(А).

5. Формула сложения вероятностей. Для любых событий А и В: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

Док-во: А ∪ B = А ∪ (ВА), причем А и (ВА) несовместны, и потому Р(А∪B) = Р(А) + Р(ВА) (1).

Далее, B = АB ∪ (ВА), причем АВ и (ВА) несовместны и потому Р(В) = Р(АВ) +Р(ВА) (2).

Подставляя в (1) Р(ВА) из (2), получим искомое равенство.

Следствие. Р(А+В) ≤ Р(А) + Р(В).

5а (обобщение). Формула сложения для n слагаемых:

Справедливость формулы показывается методом математической ин­дукции.

2. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

Пусть эксперимент имеет конечное число исходов |Ω| = n, и все исходы «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Это означает (в силу аксиом 2 и 3), что каждому исходу эксперимента соответствует одна и та же вероятность 1/n, и, следовательно, если |A|=k, то по 3-й аксиоме ,

что означает: вероятность события есть отношение числа исходов, бла­гоприятствующих появлению события, к общему числу исходов.

Это соотношение можно обобщить. Пусть S = {А₁, …, А_т} — полная группа событий (т.е. ). Пусть все события «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Тогда каждому событию из S соответст­вует вероятность 1/т . Если событие В состоит из r событий системы S, то , т.е. отношение числа событий, входящих в В, к общему числу событий в S.

Геометрические вероятности

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Классификация событий.

Операции над событиями.

Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности.

Элементы комбинаторики.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Независимые события. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Формула полной вероятности.

Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.

Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления событий.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Формула Пуассона для редких событий.

Дискретные и непрерывные случайные величины.

Закон распределения вероятностей случайной величины.

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Определение функции распределения и ее свойства.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, моменты , коэффициент асимметрии и эксцесс, мода, медиана.

Многомерные случайные величины. Закон распределения вероятностей двумерной СВ.

Числовые характеристики системы двух дискретных СВ.

Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Функция распределения вероятностей двумерной СВ.

Условные законы распределения составляющих.

Нормальное распределение НСВ.

Равномерное распределение ДСВ и НСВ.

Биномиальное распределение ДСВ.

Пуассоновское распределение ДСВ.

Геометрический закон распределения ДСВ.

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и её числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и её числовые характеристики.

Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей для функции двух случайных аргументов.

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Центральная граничная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и её использование в математической статистике.

Выборка и способы ее записи.

Графическое представление выборки.

Числовые характеристики выборки.

Классификация точечных оценок параметров генеральной совокупности.

Интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

Статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода.

Проверка статистических гипотез

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

Уравнение парной линейной регрессии.

Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии.

Множественная регрессия.

Нелинейная регрессия.

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.

Дисперсионный анализ. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете  яблок, из них  — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое — .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно  машин:  красных,  желтых и  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется  машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .

 В сборнике билетов по биологии всего  билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .

Родительский комитет закупил  пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них  с картинами известных художников и  с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: .

В чемпионате по гимнастике участвуют  спортсменок: — из России,  — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая —  спортсменок). Ответ: .

Ученика попросили назвать число от  до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

 — нечетные числа;  — четные. Вероятность нечетного числа очков равна .

Ответ: .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно,  исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет  очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего  возможных исходов, так как .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна  — следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

 В кармане у Пети было монеты по  рублей и  монеты по  рублей. Петя не глядя переложил какие-то  монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами  — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: ,  (это пятирублёвые),  (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от  до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами  и  не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях  и  — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — , а затем:

.

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

.

Всего  возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами  и  не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит — она означает, что фишки  и  обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего  благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна .

Ответ: .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

– вероятность того, что он сломается на второй год, – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей:

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.