Вписанные окружности теория егэ профиль

Теория к заданию 6 ЕГЭ профильной математики

ПЛАНИМЕТРИЯ. Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая. Вписанные и описанные окружности (теория к заданию 6 ЕГЭ профильной математики)

Учим и применяем формулы и теоремы.

Автор: Лариса Алькаева. Репетитор по математике

Из материала:

Отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хордой.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметром.

Центральный угол — угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Подготовка к ЕГЭ «Вписанные и описанные окружности»

Вписанные и описанные окружности

Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле ,

здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны . Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника , если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

∠ + ∠ = ∠ + ∠

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

,

где — длины сторон треугольника, — его площадь.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Точки A , B , C , D , расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB , BC , CD и AD , градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD . Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Центр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Условие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

ЕГЭ по математике профиль

Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!

Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ

У окружности есть 2 вида углов:

• вписанные (их вершина лежит на окружности);
• центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).

Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:

Давайте отработаем это на практике:

Решение

Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.

Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!

Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!

Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.

Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:

Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:

4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.

Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Первая теорема про хорду и касательную звучит так: 

Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.

Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:

Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:

Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!

Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. 
Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.

Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:

И конечно же давайте отработаем на практике!

Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!

Решение:

Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).

Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:

Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:

Теорема № 4: пересекающиеся хорды

Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд: 

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.

А теперь отработаем его на практике:

Длина окружности и площадь круга

Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:

Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.

Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.

Давайте это закрепим:

Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.

Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи

А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.

И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:

Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?

Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.

1. Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
2. Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
3. В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.

Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!

Окружность называют вписанной в угол или многоугольник (в частности, в треугольник), если она касается всех сторон соответствующего угла или многоугольника (см. рис. 1).

Рис. 1.

Окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности (см. рис. 2).

Рис. 2.

1°. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла.
Окружность с центром вписана в угол , следовательно, (см. рис. 3).
2°. Центр вписанной в многоугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Рис. 3.

В точка — центр вписанной окружности, следовательно, — биссектрисы углов (см. рис. 4).

Рис. 4.

3°. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Окружность вписана в четырёхугольник , значит . (см. рис. 5).

Рис. 5.

4°. Центр описанной окружности многоугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
вписан в окружность, — центр (см. рис. 6).

Рис. 6.

5°. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
вписан в окружность с центром , , значит , точка лежит на (см. рис. 7).

Рис. 7.

6°. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по формуле где и — катеты, — гипотенуза.
7°. Центры вписанной и описанной окружности правильного треугольника совпадают, центр лежит на высоте треугольника и делит её в отношении 2:1, считая от вершины.
8°. Если четырёхугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны 180°.
вписан в окружность (см. рис. 8).

Рис. 8.

9°. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника

Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Можно ли найти как-то отрезочки ( displaystyle AK), ( displaystyle KC), ( displaystyle BL) и.д. –отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?

Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки ( displaystyle A) проведено две касательных, значит их отрезки ( displaystyle AK) и ( displaystyle AM) равны.

Мы обозначим их «( displaystyle x)».

Далее, точно так же:

( displaystyle BM=BL=y) (обозначили).

( displaystyle CK=CL=z) (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «( displaystyle a)», «( displaystyle b)», «( displaystyle c)» – смотри на рисунок. Что же теперь получилось?

А вот, например, отрезок «( displaystyle a)» состоит из двух отрезков «( displaystyle y)» и «( displaystyle z)», да и отрезки «( displaystyle b)» и «( displaystyle c)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow x+y+2z-left( x+y right)=a+b-c), то есть:

( displaystyle z=frac{a+b-c}{2})

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow y+z+x+y-left( x+z right)=a+c-b), то есть:

( displaystyle y=frac{a+c-b}{2})

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow x=frac{b+c-a}{2})

( displaystyle x=frac{b+c-a}{2})

Ну вот, всё нашли:

( displaystyle x=frac{b+c-a}{2};y=frac{a+c-b}{2};~z=frac{a+b-c}{2})

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

( displaystyle x=frac{b+c-a}{2})

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «( displaystyle x)» («( displaystyle b)» и «( displaystyle c)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «( displaystyle x)» (это «( displaystyle a)»), будет с минусом.

Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же