Все что нужно знать для егэ по профильной математике 2020

Профильный ЕГЭ по математике сдают не все. Это вариант для тех, кто намерен поступить в технический Вуз или освоить профессию, связанную с экономикой или математикой. Чтобы сдать данный экзамен, вам нужно будет показать глубокие знания предмета.

Основные требования

Во время сдачи базового госэкзамена вам понадобятся познания, которые были получены из школьного курса алгебры и геометрии. Вы должны уметь решать разнообразные неравенства и уравнения, а также знать терминологию и алгоритмы решения разных задач. А вот чтобы выполнить тесты высокой сложности, вы должны знать:

• планиметрию;
• стереометрию;
• прогрессию.

Помимо этого от учащегося потребуется знание финансовой математики и умение работать с параметрическими системами, уравнениями, неравенствами, процентами.

Во время подготовки вам придется повторить теорию. При этом вы должны совмещать ее с практикой, чтобы уметь применять все выученные правила, теоремы, аксиомы.

Принципы подготовительного процесса

С самого начала года необходимо готовиться к ЕГЭ. Благодаря этому можно качественно усвоить весь необходимый материал.

Желательно повторять вслух все прочитанное, чтобы запомнить правила.

Некоторые аксиомы и теоремы нужно будет просто выучить. А после этого применять их при работе с тренировочными упражнениями.

Если вы готовитесь вместе с одноклассниками, контролируйте друг друга. Так материал быстрее усвоится.

Анализируйте ошибки во время решения задач. Благодаря этому вы значительно продвинетесь в подготовке.

Не забывайте про решение практических заданий. Во время сдачи тестирования этот навык вам очень пригодится.

• Не знаете как подготовиться к ЕГЭ по математике?
• Не хватает денег на репетитора или не можете его найти? 
• Нет способностей к математике?

Вы попали по адресу. Перед вами исчерпывающая инструкция по подготовке к ЕГЭ по математике.

Мы собрали в одном месте все, что нужно для подготовки к экзамену (бесплатно или бюджетно) и вы сможете это сделать не уходя с этой страницы.

Мы сделали удобную навигацию по всем ресурсам (см. содержание). Выбирайте то, что вам нужно и начинайте подготовку прямо сейчас!

Глава 1. Базовый ЕГЭ по математике

Как вы знаете ЕГЭ по математике – это обязательный экзамен. 

Его должны сдавать и те, кто поступает на технические специальности и те, кто поступает в музыкальное училище или в институт физкультуры. 

Понятно, что музыкантам или спортсменам математика нужна в очень базовом варианте. У них и так есть чем заняться. Другое дело инженеры или экономисты. Для них математика – это язык, не знать который равносильно незнанию нотной грамоты в музыке. 

Поэтому ЕГЭ по математике разделили на два уровня: базовый и профильный. “Музыканты и спортсмены” сдают базовый ЕГЭ, а “инженеры и экономисты” – профильный.

Все, что нужно знать о базовом ЕГЭ по математике

Не нужно боятся базового ЕГЭ по математике. Он намного проще профильного. На экзамене оценивается ваша способность решать математические задачи, возникающие в повседневной жизни, “чтобы в магазине не обманули”.

И хотя задания взяты из всех тем школьной программы, они достаточно простые.

• Из каких задач состоит базовый ЕГЭ по математике?

Базовый ЕГЭ по математике состоит из 20 задач – 16 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии. Вам нужно правильно занести краткий ответ в специальный бланк. Развернутый ответ не требуется.

• Можно ли пользоваться справочными материалами на базовом ЕГЭ?

Да. Вместе с вариантом базового ЕГЭ вам выдадут все необходимые для решения задач справочные материалы и если вы забудете формулу, вы сможете ее посмотреть.

Видите, это не очень сложно. Но все-таки вам обязательно надо понимать о чем у вас спрашивают и что вы делаете. Подставлять числа в формулу, не понимая смысла, как обезьянка – плохая стратегия. 

Поэтому готовиться к базовому ЕГЭ тоже нужно.

• Можно ли пользоваться калькулятором на базовом ЕГЭ?

Нет. Нужно научиться считать без калькулятора и хорошая новость в том, что это не сложно.

• Как оценивается базовый ЕГЭ?

Базовый ЕГЭ оценивается по 5-ти бальной шкале:

Количество верно решенных заданий

Для получения аттестата нужно получить минимум 3 балла.

• Какие темы вам надо знать на базовом уровне?

Вот темы, в которых вам нужно ориентироваться:

Преобразование выражений, корни и степени, логарифмы, текстовые задачи на работу, на движение  и на проценты, тригонометрия, немного теории вероятностей, планиметрия, стереометрия, и чуть-чуть производная.

Но повторимся все это нужно знать на элементарном, базовом уровне и если вы в школе учились хорошо, вам скорее всего достаточно будет повторить эти темы.

Глава 2. Как подготовиться к базовому ЕГЭ самостоятельно и бесплатно

Мы рекомендуем вот эту “парочку” + опционально канал на YouTube:

• Наш учебник YouClever (ЮКлэва) – 100 статей и 2000 разобранных примеров
• Анализ разбора варианта базового ЕГЭ 2020
• Наш YouTube канал, где разобраны много задач ЕГЭ (опционально)

Учебник YouClever (ЮКлэва) – 100 статей и 2000 разобранных задач

Вы легко можете подготовиться к базовому ЕГЭ по математике самостоятельно пользуясь одним только электронным учебником YouClever (ЮКлэва) . Там разобраны все основные темы базовой математике очень подробно, с большим количеством решенных задач.

По оценке Высшей школы экономики наш учебник входит в список лучших ресурсов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике.

Он также входит в список ресурсов для подготовки к ЕГЭ по математике от издательства “Манн, Иванов и Фербер”. 

И самое главное, учебник написан в стиле «для чайников». От простого к сложному. Любой сможет разобраться. И сложные темы там разобраны тоже очень хорошо. 

Этого учебника более чем достаточно, чтобы подготовиться самостоятельно и сдать базовый ЕГЭ по математике на отлично.

Разбор варианта базового ЕГЭ 2020 – часть 1

Разбор варианта базового ЕГЭ 2020 – часть 2

YouTube канал YouClever (опицонально)

Вы можете посмотреть видео на нашем YouTube канале. Но это не обязательно. На канале в основном разборы задач профильного ЕГЭ.

На всякий случай вы можете посмотреть видео по первой части профильного ЕГЭ. Если вы сможете их решать, вы легко справитесь с задачами базового ЕГЭ.

Глава 3. Профильный ЕГЭ по математике

Профильный ЕГЭ по математике намного серьезнее чем базовый, но боятся его тоже не стоит.

Экзамен состоит из 18 задач, которые можно разделить на 2 части: 

• Часть 1 – это первые 11 задач. И это чаще всего простые задачи.
• Часть 2 – это задачи с 12-й по 18-ю. И это задачи повышенной сложности.

Давайте разберем задачи первой и второй части.

Все, что нужно знать о 1-й части профильного ЕГЭ по математике

Ответ в этих 11 задачах вы должны записать в виде числа или конечной десятичной дроби.

За решение каждой задачи дают один первичный балл.  Значит всего на первой части можно набрать 11 первичных баллов. 

И это обязательно нужно сделать — нельзя терять баллы на простых задачах.

Ну и чтобы убедиться, что задачи первой части не сложные, посмотрите сами на первые 11 задач из реального ЕГЭ 2020 года.  

Задачи 1-й части профильного ЕГЭ по математике

Вы можете переходить от одной задачи к другой, используя таймкоды внутри видео.

В этом видео разобраны задачи 1-й части профильного ЕГЭ по математике за 2021 год. В 2022 году количество задач в первой части уменьшилось до 11 и акцент слегка сместился в сторону знания теории вероятностей.

По теории вероятностей у нас есть исчерпывающий гид и если вы ознакомитесь с ним – этого будет более, чем достаточно для сдачи ЕГЭ.

Вы убедились, что задачи первой части профильного ЕГЭ не такие уж и сложные? Если это не так, лучше планомерно взяться за подготовку к ЕГЭ с самого начала (см. раздел “Как подготовиться к профильному ЕГЭ…“)

Если вы хотите получить на ЕГЭ по математике по настоящему высокий балл, вам надо обязательно научиться решать задачи второй части профильного ЕГЭ.

Все, что нужно знать о 2-й части профильного ЕГЭ по математике

Часть 2 профильного ЕГЭ по математике включает в себя 7 задач, каждая из которых требует умения мыслить, творческого подхода, применения разных навыков и, конечно же внимания.

Для решения задач второй части математику нужно знать очень глубоко.

Чтобы научиться их решать, лучше методично шаг за шагом повторить весь курс школьной математики.

И еще одно, вам нужно научиться не просто решать эти задачи, а и грамотно записывать каждый шаг решения, чтобы проверяющие поставили вам по каждой решенной задаче максимально возможный балл!

У нас по каждой задаче второй части записаны несколько подробных вебинаров. Если вы их посмотрите и прорешаете все задачи вместе с Алексеем Шевчуком, вы значительно увеличите ваши шансы на высокий балл на ЕГЭ.

И еще на двух вебинарах Алексей Шевчука очень подробно разобрал как нужно записывать решения, чтобы не потерять баллы.

Оформление задач 2-й части профильного ЕГЭ

Обратите внимание на раздел по оформлению задач второй части!

Научиться оформлять задачи намного проще, чем научиться решать, но именно при оформлении вы теряете очень много баллов!

Посмотрите эти два вебинара и вы будете знать про оформление все.

Прочие вопросы по профильному ЕГЭ

Можно ли пользоваться справочными материалами на профильном ЕГЭ?

Нет. В отличие от базового ЕГЭ, на профильном пользоваться справочными материалами нельзя.

Можно ли пользоваться калькулятором на профильном ЕГЭ?

Нет. На профильном ЕГЭ пользоваться калькулятором запрещено. Вам необходимо будет научиться считать в уме или в столбик. 

Хорошая новость – это просто навык и это не трудно. Нужно просто набить руку.

Как оценивается профильный ЕГЭ?

Каждое задание профильного ЕГЭ оценивается следующим образом:

№ задания ЕГЭ	Кол-во первичных баллов
1-11 задание	1 балл
12, 14, 15 задание	2 балла
13, 16 задание	3 балла
17, 18 задание	4 балла

Таким образом всего можно получить 31 первичный балл.

Далее, первичные баллы переводятся во вторичные (тестовые баллы):

Первичный балл	Вторичный тестовый балл
1	5
2	9
3	14
4	18
5	23
6	27
7	33
8	39
9	45
10	50
11	56
12	62
13	68
14	70
15	72
16	74
17	76
18	78
19	80
20	82
21	84
22	86
23	88
24	90
25	92
26	94
27	96
28	98
29	99
30	100
31	100

Обратите внимание за решение задач первой части вы получите всего 11 первичных баллов и 56 тестовых.

Для поступления в хороший ВУЗ этого будет недостаточно. Значит вам нужно научиться решать задачи второй части.

Глава 4. Как подготовиться к профильному ЕГЭ по математике самостоятельно

Мы предлагаем вот эту “большую четверку”:

•  Учебник YouClever для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (100 статей + 2000 разобранных задач + 20 видео)
• YouTube канал или Вконтаке – разбор всех типов задач ЕГЭ

Например по темам “Линейные уравнения”, “Формулы сокращенного умножения” или “Логарифмы” у нас есть статьи в учебниках и видео на канале.

Линейные уравнения – статья в нашем учебнике YouClever (ЮКлэва)

Все мы с детства знаем такую задачу: «У Васи есть 12 яблок. Мальчик решил поделиться яблоками с 3 друзьями. Сколько яблок досталось каждому другу?»

Каждый из нас, не задумываясь, ответит: «Каждому другу досталось по 4 яблока».

Однако, отвечая на такой простой вопрос ты в голове решаешь линейное уравнение!

Читать далее…

Линейные уравнения. Исчерпывающий гид. 65 решенных уравнений (1 час 39 минут)

Формулы сокращенного умножения (статья в нашем учебнике “YouClever”)

С помощью формул сокращенного умножения можно легко в уме находить квадраты больших чисел.

На экзамене можно проверить БЫСТРО свои расчеты в сложных примерах, а также приводить многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых).

Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач!

Читать далее…

Формулы сокращенного умножения . Разбор 119-ти задач (1 час 10 мин)

ЕГЭ 5,9. Свойства логарифмов и примеры их решений (статья в нашем учебнике YouClever)

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. 

Чтобы понять, как их решать, нужно всего лишь разобраться, что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Читать далее…

ЕГЭ 5, 9. Логарифм и его свойства ( 1 час 21 минута)

А по самой сложной задаче ЕГЭ №17 ( бывшая 18) “Параметры” текста в учебнике есть, но зато есть два вебинара:

Просмотрите эти вебинары вдумчиво, решая задачи вместе с Алексеем Шевчуком, ставя на паузу и вы очень многому научитесь.

Как вы видите у нас по каждому типу задач ЕГЭ есть очень много бесплатного материала для подготовки. Осталось только заниматься…

Глава 5. Как подготовиться к ЕГЭ по математике на очень высокий балл с Алексеем Шевчуком

Эта глава о самом эффективном, быстром и надежном способе подготовке – с репетитором.

Мы умеем хорошо объяснять – посмотрите на отзывы от нас.

Мы умеем учить – почитайте наш учебник, посмотрите записи вебинаров с Алексеем, приходите на живые вебинары.

Мы с удовольствием работаем с теми, кому математика дается с трудом, потому что мы знаем, что если хорошо объяснить, ничего трудного в математике нет!

От вас нужно только приходить на занятия 3 раза в неделю и делать домашнюю работу.

И здесь у нас тоже есть ноу-хау! Мы знаем как сделать так, чтобы вы хотели учиться.

Просто мы умеем вас готовить! (с)

Мы всегда были сторонниками самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Через 3-4 года после окончания ВУЗа знания, которые вы там получите, устареют (есть исследования). Чтобы остаться в профессии вам нужно будет уметь учиться.

Вы наверное слышали про искусственный интеллект. Многие из существующих профессий через 5-10 лет перестанут существовать или сильно изменятся. Чтобы удержаться на этой “волне” вам нужно будет постоянно учиться.

Навык самостоятельно учиться невозможно переоценить. Значит надо готовиться самостоятельно? И да и нет.

Да, потому что готовясь самостоятельно вы получаете бесценный опыт приобретения знаний, самодисциплины. Вы учитесь учиться.

Нет, потому что по статистике только 5-10% людей могут учиться самостоятельно. Так уж мы устроены. Если вы к ним не относитесь, лучше выбрать занятия с репетитором.

Потому что есть риск не поступить на бюджет или вообще не поступить.

Мы сделали вот такую таблицу “за” и “против” – она поможет вам сделать выбора.

Если вы надумаете заниматься с репетитором, рассмотрите наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике с Алексеем Шевчуком.

Глава 6. Отзывы

В этой главе мы собрали некоторые отзывы о нашей работе, о наших материалах и о репетиторе – Алексее Шевчуке.

На самом деле отзывов намного больше, их сотни. Они разбросаны в комментариях к статьям учебника, в письмах, на странице Алексея Шевчука на профи.ру

Ознакомьтесь с ними, пожалуйста, и приходите к нам учиться.

Отзывы об Алексее Шевчуке на Профи.ру

У нас в планах собрать все отзывы на одной странице и давать ссылку на нее. Когда мы это сделаем, ссылка появится здесь. )

Подготовка к ЕГЭ по математике, информатике и физике в мини-группах

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж – c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Геометрия

• Треугольник
• Четырехугольники
• Окружность и круг
• Призма
• Пирамида
• Усеченная пирамида
• Цилиндр
• Конус
• Усеченный конус
• Сфера и шар

1. Формулы сокращённого умножения

Наверх

2. Модуль числа

Определение:

Основные свойства модуля:

Наверх

3. Степень с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем

Пусть Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

4. Корень n-ой степени из числа

Корнем n-ой степени из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства арифметического корня:

Наверх

5. Логарифмы

Определение логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные свойства логарифмов

Пусть Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

6. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии:

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Наверх

7. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Наверх

8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Наверх

9. Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

Формулы сложения:

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

Формулы приведения

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:

Применение формул приведения укладывается в следующую схему:

— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что ;

— определяется знак приводимой функции;

— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид или , то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид , то функция названия не меняет.

Например, получим формулу :

— — IV четверть;

— в IV четверти тангенс отрицательный;

— аргумент приводимой функции имеет вид , следовательно, название функции меняется. Таким образом,

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Наверх

10. Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

Уравнение касательной к графику функции в его точке :

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Правила нахождения первообразных

Пусть ― первообразные для функций и соответственно, a, b, k ― постоянные, Тогда:

— ― первообразная для функции

— ― первообразная для функции

— ― первообразная для функции

— Формула Ньютона-Лейбница:

1. Треугольник

Пусть ― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; ― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; ― длины высот AA₂, BB₂, CC₂ треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; ― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:

(теорема синусов);

(теорема косинусов);

Наверх
2. Четырёхугольники

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Наверх

3. Окружность и круг

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга,  — длина дуги в градусов,  — длина дуги в радиан,  — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов,  — площадь сектора, ограниченного дугой в радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Вписанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Наверх

4. Призма

Пусть H ― высота призмы, AA₁ ― боковое ребро призмы,  ― периметр основания призмы,  ― площадь основания призмы,  ― площадь боковой поверхности призмы,  ― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы,  ― периметр перпендикулярного сечения призмы,  ― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Свойства параллелепипеда:

— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;

— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Наверх

5. Пирамида

Пусть H ― высота пирамиды,  ― периметр основания пирамиды,  ― площадь основания пирамиды,  ― площадь боковой поверхности пирамиды,  ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

;

.

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то

Наверх

6. Усечённая пирамида

Пусть H ― высота усеченной пирамиды, и  ― периметры оснований усеченной пирамиды, и  ― площади оснований усеченной пирамиды,  ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды,  ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то:

Наверх

7. Цилиндр

Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра,  ― площадь боковой поверхности цилиндра,  ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

8. Конус

Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса,  ― площадь боковой поверхности конуса,  ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

9. Усечённый конус

Пусть h ― высота усеченного конуса, r и  ― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса,  ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

10. Сфера и шар

Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы,  ― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара,  ― объем сегмента, высота которого равна h,  ― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

Материалы, выдаваемые на экзамене, смотрите здесь

• Полный краткий справочник
  • Формулы сокращенного умножения
  • Модуль числа, модуль выражения
  • Степень с действительным показателем
  • Корень n-ой степени из числа
  • Логарифмы
  • Арифметическая прогрессия
  • Геометрическая прогрессия
  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
  • Основные формулы тригонометрии
  • Производная и интеграл
  • Треугольник
  • Четырехугольники
  • Окружность и круг
  • Призма
  • Пирамида
  • Усеченная пирамида
  • Цилиндр
  • Конус
  • Усеченный конус
  • Сфера и шар
  • Векторы и координаты
• Особенности экзаменационных заданий профильной математики
  • Задания 1: округление величин, проценты
    • Особенности экзаменационных заданий на округление
    • Округление величин с избытком и недостатком
    • Проценты
    • Особенности экзаменационных заданий на проценты
  • Задания 2: анализ графических зависимостей
    • Анализ графических зависимостей
    • Особенности экзаменационных заданий на чтение графиков и диаграмм
  • Задания 3 и 6: планиметрия
    • Треугольник
      • Равносторонний треугольник
      • Равнобедренный треугольник
      • Прямоугольный треугольник
      • Тригонометрические функции дополнительных углов
      • Основное тригонометрическое тождество и следствия из него
      • Смежные углы
      • Средняя линия треугольника
      • Медиана треугольника
      • Биссектриса треугольника
      • Высота треугольника
      • Серединный перпендикуляр
      • Теорема косинусов
    • Параллелограмм
      • Прямоугольник
      • Ромб
      • Параллелограмм Вариньона
      • Трапеция
    • Правильный шестиугольник
    • Теоремы о площадях многоугольников
    • Окружность
      • Вписанный угол
      • Хорда
      • Касательная к окружности
      • Секущая
      • Круг и его элементы
      • Соотношения между элементами окружности и круга
      • Вписанная окружность
      • Описанная окружность
    • Вектор
      • Сумма и разность векторов
      • Координаты вектора
      • Скалярное произведение векторов
      • Расстояния от точки до координатных осей
      • Расстояние между точками
  • Задания 4: вероятности событий
    • Определение вероятности
    • Теоремы о вероятностях событий
    • Особенности экзаменационных заданий на начала теории вероятности
  • Задания 5: простейшие уравнения
    • Простейшие уравнения
    • Линейные уравнения
    • Квадратные уравнения
    • Рациональные уравнения
    • Иррациональные уравнения
    • Показательные уравнения
    • Логарифмические уравнения
    • Особенности решения экзаменационных заданий на простейшие уравнения
  • Задания 7: производные, первообразные
    • Правила дифференцирования
    • Производная числа, линейной и степенной функции
    • Производная многочлена
    • Уравнение прямой
    • Уравнение касательной
    • Физический смысл производной
    • Монотонность и экстремумы функции
    • Первообразная
    • Криволинейная трапеция и ее площадь
  • Задания 8: стереометрия
    • Особенности экзаменационных заданий по стереометрии
    • Куб
    • Призма. Прямоугольный параллелепипед
      • Прямая призма
      • Прямоугольный параллелепипед и его свойства
      • Особенности правильной шестиугольной призмы
    • Пирамида
    • Сечения
    • Цилиндр и его соотношения
    • Конус и его соотношения
    • Сфера и шар
      • Комбинации круглых тел. Вписанные сферы
      • Комбинации круглых тел. Описанные сферы
      • Комбинации конуса и цилиндра
      • Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы
      • Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы
      • Комбинации конуса, цилиндра и многогранников
  • Задания 9: тождественные преобразования выражений
    • Действия с дробями
    • Формулы сокращенного умножения
    • Степень и её свойства
      • Свойства степени
      • Степень с дробным показателем
    • Арифметический корень
      • Свойства арифметического корня
    • Определение логарифма и его свойства
    • Основные тригонометрические формулы
    • Правило для запоминания формул приведения
    • Свойства четности и нечетности функций
  • Задания 10: задачи с прикладным содержанием
    • Задачи с прикладным содержанием
  • Задания 11: текстовые задачи
    • Определение процента
    • Правило креста для решения задач на смеси
    • Движение по прямой
    • Движение по окружности
    • Алгоритм решения задач на совместную работу
  • Задания 12: исследование функций при помощи производной
    • Производная некоторых элементарных функций
    • Правила дифференцирования
    • Монотонность и экстремумы функции
    • Наибольшее и наименьшее значение функции

Математика — теория ЕГЭ

• 
  23.02.2020

  Критерии оценивания ЕГЭ по математике 2020

  
  (37509)
  

• 
  07.01.2020

  Теория вероятностней ЕГЭ по математике

  
  (39453)
  

• 
  11.03.2019

  Критерии оценивания ЕГЭ 2019 по математике (профиль)

  
  (59994)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 1 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (166663)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 2 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (51378)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 3 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (176343)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 4 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (94146)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 5 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (95483)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 6 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (163107)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 7 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (102801)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 8 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (136733)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 9 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (98516)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 10 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (55218)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 11 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (83083)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 12 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (118439)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 13 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (98217)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 14 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (70813)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 15 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (68311)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 16 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (58595)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 17 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (119892)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 18 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (66311)
  

• 
  08.10.2018

  Задание 19 ЕГЭ 2021 по математике, теория

  
  (65681)
  

• 
  12.08.2018

  Популярные ошибки в ЕГЭ по математике

  
  (22794)
  

• 
  20.03.2018

  Критерии оценивания ЕГЭ 2019 по математике

  
  (124281)
  

• 
  19.01.2018

  Задания ЕГЭ по стереометрии: как научиться решать

  
  (20753)
  

• 
  22.12.2017

  Векторы, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (7920)
  

• 
  22.12.2017

  Координаты, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (5217)
  

• 
  22.12.2017

  Комбинации, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (5640)
  

• 
  22.12.2017

  Площади, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (10406)
  

• 
  22.12.2017

  Углы, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (6786)
  

• 
  22.12.2017

  Шар и сфера, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (7788)
  

• 
  22.12.2017

  Конус, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (6865)
  

• 
  22.12.2017

  Цилиндр, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (6974)
  

• 
  22.12.2017

  Правильные многогранники, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (4579)
  

• 
  22.12.2017

  Пирамида, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (7477)
  

• 
  22.12.2017

  Параллелепипед, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (4485)
  

• 
  22.12.2017

  Призма, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (5996)
  

• 
  22.12.2017

  Многоугольник, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (6145)
  

• 
  22.12.2017

  Окружность и круг, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (8735)
  

• 
  22.12.2017

  Трапеция, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (6488)
  

• 
  22.12.2017

  Параллелограмм, прямоугольник, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (4497)
  

• 
  22.12.2017

  Треугольник, подготовка к ЕГЭ по математике

  
  (9983)
  

• 
  10.12.2017

  Методы решения задач по геометрии ЕГЭ по математике

  
  (13252)
  

• 
  03.10.2017

  Формулы объема

  
  (7434)
  

• 
  03.10.2017

  Скрещивающиеся прямые

  
  (4017)
  

• 
  03.10.2017

  Аксиомы стереометрии

  
  (5433)
  

• 
  03.10.2017

  Справочные материалы к ЕГЭ по математике (профиль)

  
  (181897)
  

• 
  06.09.2017

  Основные свойства трапеции

  
  (4797)
  

• 
  06.09.2017

  Окружность, вписанная в треугольник

  
  (4033)
  

• 
  06.09.2017

  Окружность и четырехугольник

  
  (3648)
  

• 
  06.09.2017

  Окружность и треугольник

  
  (3400)
  

• 
  18.08.2017

  Решение задач со сложными процентами ЕГЭ по математике

  
  (8445)
  

• 
  14.06.2017

  Критерии оценивания реального ЕГЭ 2017 по математике

  
  (31003)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на работу

  
  (5918)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на числовые зависимости

  
  (4568)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на прогрессии

  
  (4897)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на проценты

  
  (7238)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на движение с дополнительной скоростью

  
  (3880)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на движение по прямой

  
  (5839)
  

• 
  15.05.2017

  Как решать задачи на движение по окружности

  
  (7956)
  

• 
  29.04.2017

  Неравенства с модулем: как решать

  
  (16180)
  

• 
  29.04.2017

  Неравенства с параметром: как решать

  
  (5822)
  

• 
  29.04.2017

  Иррациональные неравенства: как решать

  
  (8350)
  

• 
  29.04.2017

  Тригонометрические неравенства: как решать

  
  (11300)
  

• 
  29.04.2017

  Логарифмические неравенства: как решать

  
  (9734)
  

• 
  29.04.2017

  Показательные неравенства: как решать

  
  (6211)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения уравнений, содержащих модуль

  
  (4803)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения тригонометрических уравнений

  
  (6397)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения уравнений высших степеней

  
  (4730)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения показательных уравнений

  
  (4394)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения показательно-степенных уравнений

  
  (3658)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения неравенств, содержащих модуль

  
  (3733)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения логарифмических неравенств

  
  (4402)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения иррациональных уравнений

  
  (3993)
  

• 
  28.03.2017

  Методы решения иррациональных неравенств

  
  (3435)
  

• 
  20.03.2017

  Разбор экономических задач по математике

  
  (26459)
  

• 
  20.03.2017

  Разбор задач на работу по математике

  
  (3493)
  

• 
  20.03.2017

  Алгоритм решения задач на растворы по математике

  
  (5510)
  

• 
  20.03.2017

  Разбор задач на движение по математике

  
  (3495)
  

• 
  21.02.2017

  Разбор ключевых задач по стереометрии из ЕГЭ по математике

  
  (5237)
  

• 
  21.02.2017

  Теория к заданию 14 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

  
  (25988)
  

• 
  03.02.2017

  Методика решения задач с параметрами

  
  (10993)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Задачи на составление уравнений»

  
  (3761)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, окружности»

  
  (3475)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Призма»

  
  (4189)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Логарифмы». Часть 2

  
  (4693)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Логарифмические уравнения»

  
  (4348)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Функции и их графики»

  
  (5496)
  

• 
  22.12.2016

  Теория по математике на тему «Декартовы координаты»

  
  (2993)
  

• 
  10.11.2016

  Теория по математике на тему «Формулы стереометрии»

  
  (9522)
  

• 
  10.11.2016

  Теория по математике на тему «Формулы двойного и тройного угла в тригонометрии»

  
  (3231)
  

• 
  10.11.2016

  Теория по математике на тему «Конус, цилиндр, пирамида»

  
  (4378)
  

• 
  24.09.2016

  Теория по математике на тему «Степенные и иррациональные функции»

  
  (3473)
  

• 
  24.09.2016

  Теория по математике на тему «Производная»

  
  (8820)
  

• 
  24.09.2016

  Теория по математике на тему «Параметры»

  
  (10685)
  

• 
  24.09.2016

  Теория по математике на тему «Графики функций»

  
  (8646)
  

• 
  24.09.2016

  Теория по математике на тему «Формулы сокращенного умножения»

  
  (3455)
  

• 
  15.09.2016

  Теория по математике на тему «Окружность»

  
  (6583)
  

• 
  15.09.2016

  Теория по математике на тему «МЗМ для логарифмических неравенств»

  
  (5955)
  

• 
  15.09.2016

  Теория по математике на тему «Задачи на работу»

  
  (3932)