Все логарифмические формулы для егэ профильный уровень

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2^x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2^x = 7.

По графику функции y = 2^x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2² = 4, 2³ = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log₂7 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log₂7 = 2,807354922057604107…

Итак, наше число log₂7 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

  так как  ;

, так как  ;

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log₂(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

log_aa^x=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac.

(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

.

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

.

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

.

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

.

(8)

В частности, если c = b, то log_bb = 1, и тогда:

.

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).

3. (применили формулу (4)).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов).

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Факт 1.
(bullet) Логарифм по основанию (a) от (b) – это число (t), которое показывает, в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b).
Ограничения: числа (a) и (b) такие, что (a>0, ane 1, b>0).
[Large{{color{blue}{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad
a^t=b }}}]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то (tin
mathbb{R}).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество [{Large{a^{log_ab}=b}}]
(bullet) Справедливы следующие формулы: [{large{begin{array}{|ll|l|}
hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}}
&& qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\
&&\
hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m —
{small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\
&&\
textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n —
{small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\
&&\
textbf{(8)}
log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \
&&\
textbf{(9)}
a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\
&&\
textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
&&\
{small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \
textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\
textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\ hline
end{array}}}]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!