Все методы решения параметров егэ

Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.

Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.

«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.

Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.

Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;

применение теоремы Виета в задачах с параметром;

расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;

более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.

Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.

На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

• Начать заниматься бесплатно.
• 
  Купить доступ к этой задаче в составе
  экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами.
Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами
решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений,
уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для
развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных
10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический
практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с
параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного
плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь
элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с
параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для
   любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих
   определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить
   количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те
   значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства)
   имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях
   параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области
   определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения
ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра
a, при которых уравнение:

(2a – 1)x² + ax + (2a – 3) =0  имеет не более
одного корня.

Решение:

При 2a
– 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай
a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид
1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2,
то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня
необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

D = a² – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a²
+ 32a  – 12;

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x
и параметром a)
рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y)
или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a
определите количество решений уравнения
.

Решение:

Заметим, что количество решений уравнения
 
равно количеству точек пересечения графиков функций

и y = a.

График функции

показан на рис.1.

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно
установить количество точек пересечения в зависимости от a
(например, при  a =
11 – две точки пересечения; при a
= 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a
= 0 и a = 25/4  – четыре решения; при
0 < a < 6  – восемь решений; при a
= 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a >
25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются
равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое
решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному
смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых
уравнение

= —ax +3a +2  имеет единственное решение.

Решение:

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть

= t , t ≥ 0
, тогда x = t² + 8  и
уравнение примет вид at² + t + 5a – 2 = 0
 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а,
при которых уравнение at² + t + 5a – 2 =
0  имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет
место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t
= 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в
приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального,
нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких
задач.

Ⅰ. Линейные уравнения.

Задача № 1.
При каких значениях параметра b
уравнение

не имеет корней?

Ⅱ. Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a,
при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Решение:

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и
достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество
решений неравенства:
.

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка
длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в
интервале (5; a).

Это

Ⅲ. Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции
взяли
все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых
такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

Решение:

1) Графиком дробно-линейной функции
   
является гипербола. По условию x > 0. При
неограниченном возрастании х дробь

монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают
и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

Рис. 5

2) По определению степени область определения D(y)
состоит из решений неравенства
.
При a = 1 получаем неравенство, у которого решений
нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 < a < 1 показательная функция с
основанием а убывает и неравенство
 
равносильно неравенству

. Так как x > 0 , то z(x) >
z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х
является решением неравенства

. Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием
а возрастает и неравенство
 
равносильно неравенству

. Если a  ≥ 5,
то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму
нельзя найти. Если 1 < a < 5, то множество
положительных решений – это интервал (0;x₀)
, где a = z(x₀) .

5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим
суммы последовательно идущих натуральных чисел, начиная с 1 : 1; 1+2 = 3; 1+2+3
= 6; 1+2+3+4 = 10;… Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только
если число 3 лежит в интервале (0;x₀),
а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < x₀
≤ 4 . Так как

 
возрастает на
,
то z(3) < z(x₀)
≤ z(4) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств
и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого
алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с
неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых
не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом
множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и
технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с
параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению
таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%,
поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе
задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Доклад  на
ШМО

 «Задачи с
параметрами  на ЕГЭ».

Определение. Параметром
называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным
фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим
заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с
параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если,
например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность,
то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения
параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному
множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при
которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет
объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных
значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить
задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами
решения задач на последующих страницах.

 Какие основные типы задач с
параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения
параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее
оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой
«Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при
решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в
зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаю внимание на то, что при решении задач данного
типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и
совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве
случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным
затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда
прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем
получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра,
при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют
заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество
решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле
обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их
системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество
решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения
переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества
решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с
параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии),
но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к
одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы
основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром —
задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает
основные способы решения задач именно этого класса.

 Каковы основные способы
(методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ
так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения
ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в
хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий.  Аналитический способ
решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой
грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости
от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в
координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная
наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько
увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать
другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их
авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и
с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии
изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра).
При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и
выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается
более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу
переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейду теперь к демонстрации указанных способов
решения задач с параметром, так как это мой любимый метод решения заданий
данного типа.

Проанализировав
все задания с параметрами, решаемыми графическим методом, я знакомство с
параметрами начинаю с заданий ЕГЭ   2018 года :

 При
каком целом значении к уравнение 45х – 3х² – х³ + 3к =
0 имеет ровно два корня ?

Эти
задания позволяют, во первых, вспомнить как строить графики с использованием
производной, а во-вторых, объяснить смысл прямой у = к.

Подготовку такого ученика учитель проводит в несколько
этапов, выделяя для тренировки отдельных навыков, необходимых для поиска и
реализации длинных решений, отдельные уроки. Эта подборка подходит для стадии
формирования представлений о плавающих рисунках в зависимости от параметра..
Задачи выстроены в порядок возрастания их сложности.

Задание  из
ЕГЭ-2020

При каких значениях
параметра a уравнение имеет не
менее двух корней.

Решим эту задачу
графически. Построим график левой части уравнения:  
и график правой части:   и сформулируем вопрос
задачи так: при каких значениях параметра  a графики функций  и  имеют две или более
общих точки.

В левой части
исходного уравнения параметр отсутствует, поэтому мы можем построить график
функции .

Будем строить это
график с помощью линейных
преобразований графика функции :

1. Сдвинем график
функции  на 3 единицы вниз вдоль оси OY,
получим график функции :

2. Построим график
функции . Для этого часть
графика функции , расположенную ниже оси ОХ,
отобразим симметрично относительно этой оси:

Итак, график
функции  имеет вид:

График функции  представляет собой семейство прямых с переменным
коэффициентом наклона, равным а, сдвинутых на 1 единицу вниз вдоль оси OY. То
есть точка с координатами (0;1) представляет собой центр вращения этого
семейства прямых:

Рассмотрим положения
прямой , в которых она имеет более
одной точки пересечения с графиком функции :

Прямые АВ и АС имеют
две точки пересечения с графиком функции. Все прямые, расположенные между ними
имеют 3 точки пересечения с графиком функции  .

Чтобы найти
коэффициент наклона прямой АВ, найдем абсциссу  точки  В.

Точка В – это точка
пересечения графика функции  с осью ОХ. В этой
точке у=0. Получим уравнение: , отсюда . Коэффициент а наклона прямой АВ равен тангенсу угла BAD
треугольника ABD и равен 

Найдем коэффициент
наклона прямой АС. Точка С – это точка, в которой прямая 
касается графика функции  (точка С принадлежит части графика
функции , отображенной симметрично относительно
оси ОХ). То есть это точка, в которой графики функции  
 и  имеют одну общую точку.

Теперь нам нужно
найти значение параметра а, при котором уравнение   имеет
одно решение.

Умножим обе части
уравнения на х и перенесем все слагаемые влево. Получим квадратное
уравнение  Это уравнение  имеет
единственный корень, если дискриминант равен нулю.

,    Таким образом, уравнение  имеет два решения, если 
или

Уравнение
имеет три решения, если 

 Задание из ЕГЭ 2021

Найдите все значения a, при каждом из которых
уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение:

Корнями
исходного уравнения являются корни уравнения для которых выполнено
условие 
Поскольку уравнение задаёт
на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂,
заданных уравнениями a=2x и a=−2x соответственно. Значит, это уравнение имеет
один корень при a=0 и имеет два корня при a≠0.
Поскольку

уравнение задаёт пару прямых m₁ и m₂,заданных
уравнениями a=x+3 и a=−x−3 соответственно.
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m_1, являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке
(3;6).
Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке
(−1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке
(1;−2).
Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются
решением системы уравнений:

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке
(3;−6).
Следовательно, условие выполнено для корней уравненияпри всех a , кроме
a=−6, a =−2, a=2 и a=6 . Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два
корня при 

Ответ:

Научно-образовательный форум школьников Республики Мордовия

Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ 

Секция: Математический калейдоскоп

Автор работы:	Ехлаков Д. Н.
	10 класс Лицей МГУ им. Н. П. Огарева
Руководитель работы:	Кубанцева А. В.
	учитель математики Лицей МГУ им Н. П. Огарева

Саранск

2021

СОДЕРЖАНИЕ

	Введение	3
1	Теоретическая часть	6
	1.1	Основные понятия	6
	1.2	Основные типы задач с параметром	7
	1.3	Методы решения задач с параметрами	9
2	Практическая часть
	2.1	Примеры решения задач с параметрами ЕГЭ по математике профильного уровня
	Заключение
	Список использованных источников

Введение

Задачи с параметрами являются одним из самых трудных разделов школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить сложные, разветвленные логические построения. В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции и линейного уравнения; при изучении квадратного уравнения и исследования количества его корней в зависимости от значений параметра.

Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что затрагивает современную проблему, знакомую каждому выпускнику, а именно – решение задач единого государственного экзамена. Сдать ЕГЭ на высший балл – одно из самых актуальных желаний старшеклассников, так как это прямым образом влияет на шансы поступить в престижный ВУЗ и получение желаемой профессии. Добиться этого довольно непросто. Учебного времени не всегда хватает для углубленной подготовки к заданиям высокого уровня сложности, к одним из которых относятся уравнения и неравенства с параметрами.

Анализ предыдущих результатов ЕГЭ показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним. К решению задачи №18 из КИМ приступают лишь порядка 10% выпускников 11 классов. Причиной этого является отсутствие системы знаний по данной теме.

Статистика решения задачи №18 на ЕГЭ по профильной математике

Год	Проверяемые требования	Уровень сложности задания	Максимальный балл за выполнение задания	Средний процент выполнения
2017	Умение решать уравнения и неравенства, содержавшие параметр	Высокий уровень сложности	4	0,38
2018	1,2
2019	4,8
2020	2,4

В школьных учебниках по математике задач с параметрами недостаточно, к тому же, предлагаемые в них примеры слишком просты по сравнению с задачами из ЕГЭ. Поэтому исследование способов решения задач с параметрами является для меня одним из важных шагов в подготовке к единому государственному экзамену по математике профильного уровня. Рассматривая проблему решения 18-го задания по ЕГЭ, хочу определить самый рациональный способ, а точнее, наименее трудоемкий, менее время затратный и удобный метод решения задач с параметрами.

Цель работы заключается в исследование методов решения задач с параметрами и выявление наиболее рациональных, наименее трудоемких способов решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. познакомится с определением параметра и видами задач, содержащие параметры;
2. исследовать способы решения задач с параметрами и постараться выбрать из них для себя самые оптимальные;
3. приобрести опыт в решении задач, содержащиеся в ЕГЭ по профильной математике.

Гипотеза моего исследования заключается в том, что существуют общие методы решения заданий с параметрами, позволяющие решать задания разных видов.

Объект исследования: задания контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике, содержащие параметр.

Предмет исследования: методы решения заданий с параметрами.

Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

Практическая значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработка решения задач, содержащих параметры.

1. Теоретическая часть

1. Основные понятия

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Что означает «решить задачу с параметром»? Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Одним из способов решения задания №18 из ЕГЭ является графический способ, поэтому следует повторить что такое функция, виды функций и их свойства. Понятие функции – одно из ключевых в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Другое определение – однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией. Существует всего пять типов элементарных функций: степенные, показательные, тригонометрические, обратные тригонометрические.

1. Основные типы задач с параметрами

Выделяют основные 4 больших класса задач с параметрами:

• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успехи при решении задач всех других основных типов.

• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
• Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

1.3 Методы решения задач с параметром

В пособиях, посвященных задачам с параметрами, выделяют три метода решений:

• Аналитический метод: это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
• Графический метод: в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).  
• Метод решения относительно параметра: при решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Иногда также применяется так называемый метод оценки для уравнений и неравенств, где функции, стоящие в левой и правой части, могут быть равны друг другу только в определенной точке, причем одна из них принимает в этой точке наименьшее значение, а другая – наибольшее.

При рассмотрении данных методов я пришел к выводу, что самые распространенные и удобные способы – это аналитический и графический. Рассмотрим их более подробно.

Графический способ. В зависимости от того, какая роль параметру отведена в задаче, можно соответственно выделить два основных графических приёма:

• первый – построение графика на координатной плоскости (х;у),
• второй – построение графика на координатной плоскости на (х;а).

На плоскости (х;у) или (х;а)  функция y=f(x;a) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т.д.) можно перейти от одной прямой к какой-нибудь другой.

Разумеется, не всегда графический образ семейства y=f(x;a) описывается простым преобразованием. Графический метод — всего лишь одно из средств наглядности. Поэтому те случаи, когда результат «прочитан» с рисунка и вызывает сомнение, лучше подкрепить аналитически.

Алгоритм решения задачи с параметром графическим способом состоит из следующих шагов:

1. задачу с параметром будем рассматривать как функцию ; п
2. строим графический образ, т.е. Построим в одной системе координат графики обеих частей уравнения;
3. пересекаем полученное изображение прямыми, параллельными оси абсцисс;
4. считываем нужную информацию.

Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.  Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, «камуфлируют». Понятно, что каждое семейство обладает определенными характерными свойствами, они-то и помогают решить задачу.  Приведем несколько примеров.  

Аналитический способ. Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Широкое распространение за последние годы в ходе государственной (итоговой) аттестации выпускников средней школы  в формате ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке абитуриентов, получили задачи на расположения корней квадратного трехчлена на оси. Для данного типа задач свойствен аналитический метод решения.

Выделим два наиболее распространенных вида задач, связанных с применением графика квадратичной функции. Первый вид – задачи, в которых изучается расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной m. Второй вид – задачи, в которых выясняется, как расположены корни квадратного трехчлена относительно отрезка.

Первый тип задач предусматривает три случая:

• оба корня меньше m;
• один корень меньше m, а другой больше;
• оба корня больше m.

Для каждого из этих случаев выполним соответствующий рисунок и запишем к нему систему неравенств при условии, что старший коэффициент квадратного трехчлена f (x) = ax2 + bx + c положительный.  В таблице приведена полная система случаев расположения корней уравнения в зависимости от значений выражений, зависящих от коэффициентов уравнения.

Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной  

	Один корень меньше m, а другой больше: Условие  обеспечивает положительный коэффициент перед  (направленность ветвей параболы вверх); Условие  обеспечивает: наличие корней квадратного трехчлена; расположение точки m между корнями.
	Оба корня больше m: Условие  обеспечивает положительный коэффициент перед ; Условие  обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями; Условие  обеспечивает наличие корней уравнения; Условие   обеспечивает расположение точки m левее отрезка между корнями.
	Оба корня меньше m:  Условие  обеспечивает положительный коэффициент перед ; Условие  обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями;   Условие  обеспечивает наличие корней уравнения; Условие  обеспечивает расположение точки m правее отрезка между корнями.

Рассмотрим расположение корней квадратного трёхчлена относительно отрезка. При этом возможны шесть случаев:

• корни квадратного трёхчлена находятся справа от отрезка;
• корни квадратного трёхчлена находятся слева от отрезка;
• больший корень находится внутри отрезка  
• меньший корень находится внутри отрезка;
• оба корня внутри отрезка;
• отрезок между корнями квадратного трехчлена

Изобразим геометрическую модель каждой из этих ситуаций и составим к каждой из них адекватную систему неравенств при условии, что старший коэффициент квадратичной функции y = ax2 + bx + c больше нуля.

Расположение корней квадратного трёхчлена относительно отрезка

	Корни квадратного трёхчлена находятся справа от отрезка: Условие  обеспечивает нахождение корней вне отрезка между корнями; Условие  обеспечивает наличие двух корней квадратного трёхчлена; Условие  обеспечивает расположение отрезка левее абсциссы вершины.
	Корни квадратного трёхчлена находятся слева от отрезка: Условие  обеспечивает расположение корней вне отрезка между корнями; Условие  обеспечивает наличие корней уравнения; Условие  обеспечивает расположение точки m правее отрезка между корнями.
	Больший корень находится внутри отрезка: Условие  обеспечивает расположение точки m внутри отрезка между корнями; Условие  обеспечивает расположение корней вне отрезка меду корнями.
	Меньший корень находится внутри отрезка:   Условие  обеспечивает расположение точки p внутри отрезка между корнями;   Условие  обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями.
	Оба корня внутри отрезка: Условие  обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями; Условие  обеспечивает расположение точки p вне отрезка между корнями; Условие  обеспечивает наличие корней уравнения; Условие  обеспечивает расположение вершины параболы между концами отрезка.
	Отрезок между корнями квадратного трехчлена:   Условие  обеспечивает расположение точки p внутри отрезка между корнями;   Условие  обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями.

1. Практическая часть

2.1 Примеры решения задач с параметрами ЕГЭ по математике профильного уровня

В ходе исследования я понял, что наиболее универсальным и наглядными для меня оказались графический и аналитический способы решения задач с параметрами. Далее предлагаю провести разбор некоторых задач прошлых лет ЕГЭ по математике профильного уровня.

Пример №1.

Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств  имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

Преобразуем систему:  

Построим прямоугольную систему координат xOa. Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.

Гипербола  и график корня пересекаются в точке N(3; 2). Гипербола и прямая  пересекаются в точке M(5; 1). График корня и прямая пересекаются в точке K(6; 4). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе состоит из точек криволинейного треугольника NMK, не включая границу, лежащую на прямой КМ.

Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке [4; 5], определим наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат.

Найдём координаты точки P:

 =>

 

Проекции точек P и M дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5] при  (выделено штриховкой на рисунке).

Ответ: (1;

Пример №2.

Найдите все значения , при каждом из которых имеет ровно три различных решения система уравнений

Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в точке  и радиусом 3. График функции  получается параллельным переносом на вектор  графика функции  Поскольку график функции  представляет собой прямой угол с вершиной в точке  и сторонами лежащими на прямых  и  выше оси абсцисс, график функции  также представляет собой прямой угол, но с вершиной в точке  и сторонами, параллельными прямым  Заметим, что прямая  на которой лежит вершина угла, является касательной к окружности.

Ровно три общие точки фигуры имеют в следующих случаях:

1. Вершина прямого угла лежит в точке  касания окружности и прямой , а его стороны пересекают окружность в двух точках (первый случай). Это возможно, только если .

2. Одна из сторон прямого угла пересекает окружность в двух точках, а другая касается окружности в точке  (второй случай) или в точке (третий случай). Найдём значения параметра для этих двух случаев. Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен прямой, четырёхугольник  является квадратом со стороной и диагональю . Тогда . Следовательно, для случая касания в точке  получаем  Для касания стороны угла и окружности в точке  аналогично получаем ещё одно значение параметра:  

При  или  прямой угол имеет не более двух общих точек с окружностью.

При  или  прямой угол имеет четыре общие точки с окружностью.

Ответ:

Пример №3.

Найдите все значения параметра  при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение на интервале (0;

Обозначим в исходном уравнении  .

Пример №4.  

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение меет ровно два различных корня на промежутке

Сделаем замену тогда получим: .

Выполним обратную замену:  =>  Дискриминант этого уравнения равенпоэтому оно при всех значениях  имеет ровно два различных корня. Положим  Так как  оба корня уравнения  принадлежат промежутку  тогда и только тогда, когда  и  то есть когда  и Значит, уравнение  имеет ровно два различных корня на промежутке  при

Ответ:

Пример №5.

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение  имеет ровно один корень на отрезке

Преобразуем уравнение:  => Рассмотрим эти случаи:

Первый случай:  при условиях:

=>  

Число  лежит на отрезке  если  Тогда для первого случая получаем: .

Второй случай:  при условии :

 => =>

Число  лежит на отрезке , если  Тогда для второго случая получаем:

Корень  равен  если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке  при   

Ответ:   

Пример №6.

Найдите все значения , для каждого из которых уравнение  имеет единственное решение.

Аналитический способ решения:

;

Пусть   = t >0, тогда:  

(*)

Исходное уравнение будет иметь единственное решение:

1 случай: еcли уравнение (*) имеет единственное решение (D=0);

2 случай: если уравнение (*) имеет два корня (D>0), один из которых меньше нуля или равен нулю.

Пусть n=a+6, m=5+3|a|;

1 случай:

 =>  =>  =>  => ;

если a<0, то  => ; если a>0, то  => .

2 случай:

; ;

если n>m, то:

  ;

если n

; ;

 система не имеет решений, т.к. выражение 3|a|+5 всегда положительно.

 =>  =>

или  =>  =>

или  =>   => система не имеет решений.

Ответ:  ;  ; .

Графический способ:

Преобразуем исходное уравнение:

 =>
 =>   или .

Построим графики функций   на координатной плоскости xOa:

На чертеже заметим, что система имеет единственное решение при ,  и . Найдём  и :

Если a>0, то:  => => .

Если а<0, то: =>  => .

Ответ:  ;  ; .

Важно помнить:

• при использовании только графического метода, так же, как и только аналитического, может быть допущена ошибка, поэтому необходимо последовательно и внимательно указывать ход своего решения. При возможности выполнить проверку полученного результата, применяя другой способ решения;
• ответ, полученный только с помощью графика, может быть сомнителен, поэтому необходимо подкрепить его с помощью аналитического вывода, что в первую очередь подтвердит правоту выбранного пути решения и полученный ответ.

Заключение

Работая над своей темой исследования, я провел большую работу: изучил литературу по выбранной теме; разобрался, что такое параметр и задачи с параметрами; познакомился с методами их решения.

Выполняя практическую часть, было решено много уравнений, неравенств и их систем, я приобрел опыт и научился решать определённый круг задач и пришёл к некоторым выводам.

Решение каждого задания требует к себе индивидуального подхода, но при этом задачи с параметрами чем-то похожи на детский конструктор. Разобрав много таких примеров, можно заметить, как решение «собирается» из мелких деталей – хорошо знакомых нам фактов.

Для себя я выделил два основных способа решения №18 из ЕГЭ: аналитический и графический.

Графический способ является наиболее наглядным, простым и доступным способом решения задач с параметрами. Если задачу с параметром можно нарисовать – рисуем. То есть применяем графический метод. Размытость в решение уравнения, неравенства или их системы с помощью графика, можно подкрепить аналитическим выводом, что поможет подтвердить правоту выбранного решения и ответа.

Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.

Думаю, что данная работа будет интересна моим сверстникам. Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность.

Список использованных источников

Глава 5.

Ответы на задачи для самостоятельного решения

1. a≤ ; ≤a≤3; a3.

2. aЄ( ;-1)U(0; ).

3. aЄ{ ;-2]U[0; ].

4. aЄ(-∞;0)U(0;2].

5. aЄ(- ;- )U[- ; )

6. aЄ(-∞;- )U(- ;0).

7. a=-1.

8. aЄ(1.5;+∞).

9. aЄ[-2; ].

10) aЄ(-4;-3).

11) (-2;-6), (6;2).

12) aЄ[ ;√3].

Методическое пособие по решению задач с параметром из ЕГЭ.

Тамбов

2018 год

Оглавление

Глава 1.Кратко о параметре
Глава 2.Простые примеры задач с параметром
Глава 3.Методы решения задач среднего уровня сложности
Глава 4.Параметр в ЕГЭ 2018 года
Глава 4.1.Функции, зависящие от параметра
Глава 4.2.Уравнения с параметром
Глава 4.3.Неравенства с параметром
Глава 4.4.Системы с параметром
Глава 5.Ответы на задачи для самостоятельного решения

Ответ: a=1/4.

Задачи для самостоятельного решения:

10)Определите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно два решения.

11)При каких значениях параметров a и b система имеет бесконечно много решений?

12)Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;4].

или с точкой В, то условие задачи выполнено.

Решим неравенство 0≤ ≤a. Получается, что 1≤a≤6.

Ответ: aЄ[1;6].

3 задача: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.(Источник: Портал РешуЕГЭ задание 484630)

Решение: Заменим первое уравнение разностью, а второе – суммой исходных уравнений: .

При a система решений не имеет. При a≥1/4 получаем:

y=x-1 или y=x+1

y=- x- или y= -x+

Ясно (см. рисунок), что при a1/4 система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при a=1/4 — два решения (координаты точек M и N).

Глава 1.

Коротко о параметре

Если в уравнении, помимо переменной x, есть переменная a и требуется решить это уравнение относительно x, считая переменную a постоянной, то данное уравнение будет называться уравнением с одной переменной x и параметром a.

Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Особенность уравнений с параметрами:
с одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой — конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой — может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении — это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Этот «каламбур» довольно точно отражает суть тех сложностей, которые встают перед теми, кто решает уравнения с параметром.

Глава 2.

Простые примеры задач с параметром

Чаще всего в задачах содержится один параметр, хотя бывают случаи, когда параметров больше одного. Решить уравнение с параметром – значит указать для каждого значения параметра множество решений уравнения.

Самые простые задачи с параметром и их решения:

1. x/2=a = x=2a при любом a

2. ax=10 = x=10/a = x=10/a при a≠0

3. x=√a = x=√a при a≥0

4. 2ax–4=0 = 2ax=4 = x=2/a = x=2/a при a≠0

5. |x|=a–1 = a–1≥0 = x=a–1 или x=1–a при a≥1 

Как можно увидеть, простейшие задачи с параметром чем-то напоминают обычные задачи, в которых нужно посчитать значение x. Разница лишь в том, что в данном случае x выражается через переменную a.

Глава 3.

Методы решения задач среднего уровня сложности

ординаты точки А, но не большие 4. Имеем:

a=-(-12+8√2)-4=8-8√2.

Тогда система будет иметь решения при 8-8√2≤a≤4.

Ответ: aЄ[8-8√2;4].

2 задача: Найдите все неотрицательные значения a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.( Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 27.04.2016 вариант МА10509)

Решение: Первому уравнению системы удовлетворяют те и только те точки (x;y), которые лежат на отрезке AB прямой, соединяющей точки A(-2;0) и B(0;a), где a≥0, поскольку уравнение задаёт множество точек (x;y), сумма расстояний от каждой из которых до точек А и В равна , что равно длине отрезка АВ.

Второму уравнению системы удовлетворяют те и только те точки (x;y), которые лежат на прямой y= параллельной оси абсцисс и проходящей через точку С(0; .
Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда точка С лежит между точками О и В, причём если точка С совпадает с точкой А

Решение: Преобразуем систему:

Первое неравенство задает на плоскости xOa квадрат, ограниченный отрезками прямых a=x+4, a=x-4, a=-x-4, a=- x+4, а неравенство задает часть плоскости внутри параболы с вершиной (-4;-4), ветви которой направлены вверх. Найдем координаты точки А пересечения параболы с прямой a=-x-4:

= -x-4   x²+24x+16=0 

x=-12±8√2

М еньший корень -12-8√2x=-1 и x=0. Тогда искомыми являются значения параметра, большие

Всего существует 3 основных способа решения задач, содержащих параметр. Рассмотрим каждый из них:

1 способ: аналитический. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Аналитический способ решения задач с параметром бывает довольно трудным, он требует высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Пример задачи с аналитическим способом решения: При каких значениях параметра a уравнение 5^2x-3*5^x+a— -1=0 имеет единственный корень?

Решение: Сделаем замену 5^x=t, t0. Тогда наше уравнение примет вид: t²-3*t+a-1=0. У этого уравнения 1 корень будет в двух случаях:

1. Если дискриминант будет равен нулю

2. Если дискриминант будет больше нуля, но один из корней будет отрицательный

Рассмотрим эти два случая:

1. D=9-4a+4=13-4a=0

Отсюда получаем a=13/4 – первый подходящий корень.

2) D=13-4a

Тогда корни будут такие:

Возьмем первый корень положительным, а второй наоборот. В таком случае условие единственного ответа будет выполнено.

Решая неравенство t=(3+√(13-4a))/20 получаем, что,

a≤1.

Значит в ответ нужно записать, что aЄ(-∞;1)U{13/4}.

2 способ: графический. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Пример задачи с графическим способом решения: При каких a уравнение |x²+2x–3|–2a=|x–a|+3 имеет ровно три корня?

Решение: Используем графический метод решения. График функции y=|x²+2x–3| отличается от параболы y=x²+2x–3 только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно

Задачи для самостоятельного решения:

7)Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число ba, что неравенство 20b≥6|2a+b|+2|b-2|-|2a—b|-5|4a²-b+2| не выполнено.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на интервале (1;2) существует хотя бы одно число x, неудовлетворяющее неравенству a+ ≤3x—x².

9)Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство |x²-4x+a|≤10 выполняется для всех xЄ[a;a+5].

Глава 4.4.

Системы с параметром

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1;0].( Источник: ЕГЭ по математике — 2017. Досрочная волна, резервный день, вариант А. Ларина (часть С))

-1/5 ]

0≤a≤3: (1;2)

3a ;2)

a≥8: пустое множество

Ответ: aЄ(-∞;-1/5]U[8;+∞).

3 задача: Найдите все значения a , при каждом из которых неравенство | выполняется при всех x.(Источник: Портал РешуЕГЭ задание 500115)

Решение: Поскольку знаменатель левой части больше нуля при любом x, получаем: |x²+ax+1|x²+3x+3.

Решим полученное неравенство:



Чтобы любое значение x удовлетворяло этой системе неравенств, дискриминанты левых частей должны быть отрицательными:

  -1.

Ответ:aЄ(-1;5).

оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений).

График функции y=|x–a|+2a+3 представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в точку (a;2a+3). В зависимости от значений параметра  возможны следующие варианты взаимного расположения этих графиков на координатной плоскости:

Видно, что три решения уравнение будет в случаях 2 и

4.

Первый случай выполняется при условии выполнении равенства 0=|-3-a|+2a+3. В этом случае модуль раскрывается в минусом, поэтому a=-2.

Во втором случае оба модуля раскрываются с минусом, получается квадратное уравнение x²+x+3a=0.Для выполнения условия, дискриминант этого уравнения должен быть равен 0. Это выполняется при a=1/12.

Значит в ответ нужно записать, что a={-2;1/12}.

3 способ: решение относительно параметра. При таком решении x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Пример задачи с этим способом решения: Для всех действительных значений параметра a решите уравнение x³–-(2–a)x²–ax–a(a–2)=0.

Решение: Для начала давайте раскроем скобки и посмотрим, что у нас получится. После раскрытия скобок уравнение примет вид: x³–a²+ax²–ax+2a–2x² = 0. Можно заметить, что, являясь кубическим относительно x, это уравнение квадратное относительно переменной a.

достаточно, чтобы одновременно выполнялись 2 условия: f(0)



Пересечение этих промежутков и будет ответом.

Ответ: aЄ

2 задача: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство | (Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C))

Решение: Преобразуем исходное неравенство, приведя левую часть к одному знаменателю: | |≤2  

Решим неравенство на интервале (1;2):

a≤-1/5:пустое множество

Неравенства с параметром

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок [-2 ].(Источник: Задание 18 (Сб) ЕГЭ 2015)

Решение: Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок [-2 ] синус должен принимать значения 0≤ 1. Пусть =1-2t² и неравенство принимает вид

 t²-(a²-2a-3)t-

-a²+a+2

Введем функцию: f(t)= t²-(a²-2a-3)t-a²+a+2

Для того, чтобы выполнялось наше условие, необходимо и

Поэтому, считая переменную x параметром, перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно a: –a²+(x²–x+2)a+x³–-2x² = 0.

Преобразуем: a²–(x²–x+2)a –x³ + 2x² = 0.

x²–x+2=x²+(2–x)

–x³+2x² =x²(2–x)

Легко заметить, что в первом случае можно увидеть сумму квадратов, а во втором их произведение. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета получаем, что a₁=x², a₂=2–x. Исходное уравнение преобразуется в совокупность из двух: a=x² и a=2–x.

Из того, что x²=a следует, что:

1)при a решений нет

2)при a=0 решение будет всего одно, x=0

3)при a0 решений два, x=√a и x=–√a

Второе уравнение совокупности будет иметь 1 корень при любом a.

Мы смогли найти все решения исходного уравнения для любого действительного значения параметра: x=2–a

при a; x=0 или x=2 при a=0; x=√a или x=-√a или x=2-a при a0.

Легко заметить, что при a=1 равенства x=2–a и x=√a принимают одинаковое значение x=1. Можно легко найти второй такой корень, приравняв x=2–a и x=–√a. Это будет x=–2 при a=4.

Значит ответ нужно записать в таком виде: x=2-a при a₁=0, x₂=2 при a=0; x=√a, x=-√a и x=2–x при 0aaa4; x=1, x=–1 при a=1; x=2, x=–2 при a=4.

Глава 4.

Параметр в ЕГЭ 2018 года

Чтобы решить задание 18 по математике профильного уровня нужно знать: 

1. Задание 18 в ЕГЭ подразделяется на несколько видов:

   • 1) функции, зависящие от параметра;

   • 2) уравнения с параметрами;

   • 3) неравенства с параметрами;

   • 4) системы и неравенства с параметрами.

2. Пусть задано уравнение f(x; a) = 0, которое следует решить относительно переменной х, а произвольное действительное число обозначено буквой а, то f(x; a) = 0 – это уравнение с параметром а.

Число x=5-3a лежит на отрезке [0;2], если 1≤a≤5/3. Тогда для второго случая получаем: 1≤a≤5/4.

Корень x=5-3a равен x=3a-1, если a=1.

Значит исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0;2] при 7/8.

Ответ: aЄ(7/8;5/4).

Задачи для самостоятельного решения:

4)Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x²+(x-1)* =x имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]

5)Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

6)Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 решения.

Глава 4.3.

Имеем такую систему:

Упрощая эти неравенства, получаем:

Число 3a-1 лежит на отрезке [0;2], если 1/3≤a≤1. Тогда для первого случая получаем: 7/8

Второй случай:

при условии, что 3a-x0. Получаем:

• Решить неравенство с параметром  — это значит исследовать каким будет решение неравенства для всех возможных значений параметра. 

• Решить уравнение с параметром – это значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Линейные уравнения с параметрами — общий вид  ax = b ,где a, b – параметры.

Обратите внимание: для данного вида уравнения контрольным значением параметра является то значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а=0. 

1. 1)Если а≠0, то при любой паре параметров а и b оно 

2. имеет единственное решение .

3. 2)Если а=0, то уравнение принимает вид 0х=b. В этом случает значение b=0 является особым значением параметра b.

4. 3)При b≠0 уравнение решений не имеет.

5. 4)При b=0 уравнение примет вид:0х=0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

При решении данного типа уравнений следует дробное уравнение заменить целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. Далее следует решать уравнение по известному алгоритму, исключив посторонние корни, т. е. те числа, которые обращают общий знаменатель в ноль (решить уравнения относительно параметра). 

Показательные уравнения с параметрами

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а^f (x) = b^φ(х) 

(1), где а 0, b 0.

ОДЗ такого уравнения находится как пересечение 

областей допустимых значений функций f(x) и φ(х). 

Для решения уравнения (1) нужно рассмотреть 

следующие случаи:

1. 1)При a=b=1 решением уравнения (1) является область его допустимых значений D.

2. 2)При а=1, b≠1 решением уравнения (1) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.

3. 3)При а≠1, b=1 решением уравнения (1) служит решение уравнения f(х)=0 на области допустимых значений D.

4. 4)При a=b (a0, a≠1, b0, b≠1) уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=φ(х) на области D.

5. 5)При a≠b (a0, a≠1, b0, b≠1) уравнение (1) тождественно уравнению  на области D.

Ответ: a-9/16.

2 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x²-6x+12+a²-

-4a=0 принимает наибольшее значение.(Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016)

Решение: По теореме Виета получаем, что =6 и =12+a²-4a. Отсюда получается, что искомая разность равна | |= =

=

Следовательно, нужно только найти наибольшее значение выражения = -4(a-2)²+4. Оно будет равно 4 и будет достигаться при a=2. Следовательно, наибольшая разность корней будет равна √4=2.

Ответ: a=2. При этом модуль разности корней равен 2.

3 задача: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].(Источник: Задание 18 (С6) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть))

Решение: Имеем уравнение вида ab=ac, откуда на ОДЗ либо a=0, либо b=c. Рассмотрим эти 2 случая:

Первый случай:

=0 при условиях:

Ответ: a=0, a≥2.

Задачи для самостоятельного решения:

1)Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0;1].

2)Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции y=3|x+a|+|x²-x—

—2| меньше 2.

3)Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=|x²+2x-3|+4|x—

-a| не больше 3.

Глава 4.2.

Уравнения с параметром

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 64 — -3x=a имеет более одного корня.(Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016)

Решение: Преобразуем уравнение 64 =

= +a).

Рассмотрим функцию f(x)=t³+t. Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение f(4x²)=f(3x+a) равносильно уравнению 4x²=3x+a. Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения 4x²-3x—a=0 положителен. То есть когда 9+16a0, a-9/16.

Глава 4.1.

Функции, зависящие от параметра

Ниже представлены несколько задач за данную тему и их решения.

1 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x)=|x—a|-x² не меньше 1. (Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016)

Решение: Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. Поэтому можно сказать, что |x—a|-x²≥1. В зависимости от переменной a это неравенство равносильно системе неравенств:

Решая эти неравенства получаем 2 дискриминанта:

D=-3-4a и D=-3+4a. Неравенства будут иметь решения, если эти дискриминанты неотрицательны. Решая -3-4a≥0 и -3+4a≥0 получаем, что a≤-3/4 и a≥3/4.

Ответ: aЄ(-∞;-3/4]U[3/4;+∞).

:

2 задача: Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции y=(x²-2x+a)/(6+x²) есть ровно одно целое число.(Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 501. (Часть С))

Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение (x²-2x+a)/(6+x²)=1 при любом a имеет решение x=(a-6)/2. Значит, при любом a одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех x:

0(x²-2x+a)/(6+x²).

Это равносильно системе неравенств:

Чтобы неравенства выполнялись для всех x дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны, следовательно:

Ответ: aЄ(1;11).

3 задача: Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=4x²-4ax+a²+2a+2 на множестве |x|≥1 не меньше 6.(Источник: Портал РешуЕГЭ задание 500471)

Решение: Графиком функции f(x)=4x²-4ax+a²+2a+

+2 является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты (a/2;2a+2).

• Значит, минимум функции f(x) на всей числовой оси достигается при x=a/2.

• На множестве |x|≥1  эта функция достигает наименьшего значения либо в точке x=a/2, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек x=±1.

• Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

• 

• Упрощая, получаем систему неравенств:

• 

• Решая эту систему, получаем значения a:

• a€(-∞;-6]U{0}U[2;+∞).

• Но нам подходят не все данные корни. Сделаем отбор корней.

• 1) Если a≤-6, то a/2≤-3 значит, наименьшее значение функции достигается в точке a/2 и f(a/2)=2a+2=

• =-10, что не удовлетворяет условию задачи.

• 2) Если a=0, то a/2=0, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек x=±1, в которых значение функции не меньше 6.

• 3)Если a≥2, то a/2≥1, значит, наименьшее значение функции достигается в точке x=a/2 и f(a/2)=2a+2≥6, что удовлетворяет условию задачи.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

М етодическое пособие по решению задач с параметром из ЕГЭ.

Тамбов

2018 год

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).

Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:

1. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
2. Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
3. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
4. Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков. Иногда удобно выполнять построения на обычной координатной плоскости (Х, У), а иногда удобно построить графики в плоскости (Х, а), где а – параметр. Данный способ решения возможен, если вы видите знакомые функции (параболы, прямые, гиперболы, окружности и т.д.). Разумеется, бывает несколько способов решения поставленной задачи, но графический, как правило, наименее громоздок и прост для понимания. Ведь графики показывают поведение функций, и весь необходимый анализ появится у вас перед глазами.
5. Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени. Пример: (a*x^2-3*x+1=0), при (a=0) выражение принимает вид (-3*x+1=0), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.