Все правила по геометрии для егэ

Планиметрия

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Площади фигур

Площадь треугольника

1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
7. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Параллелограмм

$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB·AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB·DB$

$AC^2=AB·AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC·CB=AB·CD$

Метрические соотношения в окружности

1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Вневписанные окружности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.

Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.

Введем обозначения:

$S$ — площадь треугольника;

$p$ — полупериметр треугольника;

$a, b, c$ — стороны треугольника;

$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;

Для данных обозначений справедливы равенства:

$r_a={S}/{p-a};$

$r_b={S}/{p-b};$

$r_c={S}/{p-c}.$

Биссектриса

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:

$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$

Медиана

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

$S_1=S_2$

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:

$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$

Высота

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

$BB_1$ — высота

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:

$∆АА_1 В~∆СС_1В;$

$∆АС_1 М~∆СМА1$

3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$

Алгебра — ЕГЭ                Тригонометрия — ЕГЭ                Геометрия — ЕГЭ                Стереометрия — ЕГЭ                Алгебра — ОГЭ                Геометрия — ОГЭ

Шпаргалка по геометрии для ЕГЭ

Формулы по геометрии для ЕГЭ

Сборник формул по геометрии

Формулы для четырехугольников

Формулы для окружности

Справочник

«ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ГЕОМЕТРИИ»

Содержание:

1.    
Теоремы базового уровня……………………………………….3 – 11 стр.

1.1.                
Теорема Фалеса Милетского……………………………..……3 стр. 1.2. Теорема
Пифагора………………………………………………3 стр. 1.3.
Теорема синусов………………………………………………..4 стр. 1.4. Теорема косинусов……………………………………………..4 стр.

1.5.         
Теорема биссектрис…………………………………………….5 стр.

1.6.         
Теорема о пересечении медиан треугольника……………..…5 стр. 1.7. Теорема о высотах
треугольника………………………………5 стр. 1.8.
Площади треугольников……………………………….………6 стр.

1.9.            
Вписанный и центральный углы……………………………….7 стр.

1.10.       
Вписанная окружность треугольника………………………..8 стр.

1.11.       
Описанная окружность треугольника……………………..…8 стр.

1.12.       
Вневписанная окружность треугольника……………………..8 стр. 1.13.  Площади
четырехугольников……….……………………..….9 стр.

1.14.       
Вписанный четырехугольник………………..………………10 стр.

1.15.       
Описанный четырехугольник…………..……………………10 стр.

1.16.       
Теорема о двух секущих……..………………………………11 стр. 1.17. Теорема о касательной и
секущей……………………………11 стр.

1.18. Теорема
о двух хордах………………………………………..11 стр.

2.    
Теоремы профильного уровня…………………………………12 – 13  стр.

2.1.                
Теорема Менелая………………………………………………12 стр. 2.2. Теорема
Чевы…………………………………………………..12 стр.

2.3.         
Теорема Ван – Обеля………………………………………….12 стр.

2.4.         
Теорема Стюарта………………………………………………13 стр.

2.5.         
Теорема Птолемея…………………………………………….13 стр.

2.6.         
Теорема Аполлония……………………………………………13 стр.

Теорема Фалеса
Милетского «Несколько параллельных прямых a║b║c║d и т.д., отсекающие на
одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекающие
на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекают
равные отрезки»

 

Теорема Пифагора

1.     Квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2.     Если
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то
треугольник – прямоугольный.

 

 

Теорема синусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ –
противолежащие им углы; R – радиус описанной окружности. Тогда: 

 

Теорема косинусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α –  угол,
противолежащий стороне a. Тогда: 

α

Теорема биссектрис

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два
отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.

Теорема о пересечении медиан треугольника

В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка
пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, из
которой проведена медиана. 

 

Теорема о высотах треугольника

В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Площади треугольников

 

 ;

;

;

 

(формула
Герона)

 где:

•            
a,b,c – стороны треугольника

•            
h_a – высота треугольника

•            
p – полупериметр треугольника

•            
r – радиус вписанной окружности

•            
R – радиус описанной окружности

•            
β – угол между сторонами 

Вписанный и центральный углы

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина
лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке вписанным углом является ABC.  

Центральным называется угол вершиной в центре окружности. На
рисунке центральным углом является угол AOC.

 

Вписанная окружность треугольника

В любой треугольник можно
вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает
с точной пересечения его биссектрис. 

Описанная окружность треугольника

Около любого треугольника можно описать
единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника,
совпадает с точкой пресечения серединных перпендикуляров к его сторонам

  

Вневписанная окружность треугольника

В любом треугольнике биссектрисы двух
внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются
в одной точке.

Площади четырехуголников

— площадь любого четырехугольника, где

•     
d₁ – первая диагональ

•     
d2 – вторая диагональ

•     
α – угол между диагоналями

    —     площадь     четырехугольника,

вписанного в окружность (формула Герона), где

•     
p – полупериметр четырехугольника

•     
a, b, c и d – стороны четырехугольника

S = ah_a – площадь паралелограмма, где

•     
a – основание паралелограмма

•     
h_a – высота, проведенная к основанию

S = ab sinβ – площадь параллелограмма, где

•     
a и b – стороны паралелограмма

•     
β – угол между смежными сторонами

S = ab – площадь прямоугольника, где

 a и b – стороны квадрата

S =  – площадь квадрата, где

 a – сторона квадрата

S = ah_a – площадь ромба, где

•     
a – сторона ромба

•     
h_a – высота, проведенная к стороне

S =   – площадь ромба, где

•     
a – сторона ромба

•     
β – угол между сторонами ромба

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

 

                                                                     

Описанный четырехугольник

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и
только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

 

DC   
+ AB = DA + BC

Теорема о двух секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие,
то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой
секущей на ее внешнюю часть: 

 

MAMB = MC  MD 

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности
проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть

                                                                     MC²
= MA  MB

M

                                                 B
                               

Теорема о двух
хордах Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке S, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. AS  SD = CS  SB                 

                                                           D
                                

AS  SD = CS  SB

A

Теорема Менелая

 

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на
противоположной стороне или ее продолжении, называется  чевианой.

 

Теорема Ван-Обеля

 

Теорема Стюарта

 

py

                                               a
                                                                                               

Теорема
Птолемея

Если
четырехугольник вписан в окружность, то

                                    AB+ AD = AC  

Теорема Аполлония

                                                             A
             Если AD – медиана треугольника ABC, то

Желаем вам успехов!