Все про планиметрию егэ

Анна Малкова

На этой странице – всё, что необходимо для отличного освоения планиметрии и решения задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике. В том числе – уникальные авторские материалы.

New: Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?

Знаете ли вы, что задание 16 Профильного ЕГЭ по математике в 2018 и 2019 годах было значительно проще, чем «параметры» или «экономическая» задача? Получается, те, кто не брался за планиметрию на ЕГЭ, добровольно отказались от трех первичных баллов, и кому-то не хватило их для поступления.

Да, мы знаем, что в школе планиметрией занимаются мало.

У нас даже статья есть о том, как там всё печально: Геометрия в школе: засада для абитуриента

Однако выучить геометрию и сдать ЕГЭ все равно надо. Как же это сделать:  Вам поможет наша Программа по геометрии. Список необходимых фактов и теорем.

Учим определения, формулы и теоремы. Вспоминаем, что такое синус и что такое косинус острого угла в прямоугольном треугольнике. Учим определения и свойства биссектрисы, медианы и высоты треугольника. И 5 (да, 5) формул площади треугольника.

В общем, всё, что необходимо для решения задания №1 первой части Профильного ЕГЭ по математике. До второй части и задачи 16 мы тоже дойдем!

Кратко – в нашем Справочнике.

Подробно – здесь:

Геометрия. Формулы площадей фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

Высота в прямоугольном треугольнике

Сумма углов треугольника

Углы при параллельных прямых и секущей

Высоты, медианы, биссектрисы треугольника

Четырёхугольники

Параллелограмм

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Трапеция

Окружность. Центральный и вписанный угол

Касательная к окружности

Вписанные и описанные треугольники. Теорема синусов

Вписанные и описанные четырёхугольники

Правильный треугольник

Правильный шестиугольник

Обратите внимание на тему «Векторы»:

Векторы на ЕГЭ по математике

Задание 16 из второй части ЕГЭ состоит из пунктов (а) и (б). Пункт (а)  — это доказательство. Как правило, доказать нужно не самый тривиальный факт, и нужно уметь это делать.

Вам помогут «домашние заготовки» — наши Полезные факты для решения задач по планиметрии (с доказательствами)

Докажите их все и проверьте, что у вас получилось. После этого вы сможете доказать любое утверждение, которое вам может встретиться на ЕГЭ в задаче 16.

Но это не всё. Знаете ли вы, что многие задачи 16 Профильного ЕГЭ строятся по одной из так называемых классических схем? И эти Классические схемы для решения задач по планиметрии (с доказательствами) надо знать.

А для тех, кому скучно на уроке, — два геометрических парадокса. Готовы ли вы поверить, что прямой угол равен тупому? И что катет равен гипотенузе? Попробуйте найти ошибку в этих «доказательствах».

Геометрический парадокс: Прямой угол равен тупому

Геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе

Как оформить решение задачи №16 (планиметрия)? Смотри образец решения и оформления!

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 2, задача 16

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 4, задача 16

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 16

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 16

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 12, задача 16

Задача на доказательство. Планиметрия.

И несколько полезных советов:

1) Задачи ЕГЭ по планиметрии решаются без сложных формул. Все необходимые факты, определения и теоремы – на этой странице.

2) Часто пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ содержит подсказку для решения пункта (б).

3) Обратите внимание на теорему о секущей и касательной, а также на свойство биссектрисы. Их трудно найти в учебнике. А в задачах ЕГЭ они применяются постоянно.

4) Старшеклассники очень любят теорему Фалеса. Но на самом деле применяется она очень редко. Намного чаще применяются три признака подобия треугольников:

— по двум углам,

— по углу и двум прилежащим к нему сторонам,

— по трем пропорциональным сторонам.

5) Самое важное – правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – теория. Затем – доказательство полезных фактов и классических схем. И только после этого – задачи №16 Профильного ЕГЭ.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Планиметрия

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Площади фигур

Площадь треугольника

  1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  7. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Параллелограмм

$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB·AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB·DB$

$AC^2=AB·AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC·CB=AB·CD$

Метрические соотношения в окружности

1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AN·NC=BN·ND$

Пример:

Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.

Решение:

Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$

Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:

$ЕD^2=AЕ·ЕВ$

Подставим числовые значения

$ЕD^2=16·9$

$ЕD=√{16·9}=4·3=12$

Ответ: $12$

3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.

$АС·ВС=EC·DC$

4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.

$BD·СB=AB^2$

Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.

1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Вневписанные окружности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.

Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.

Введем обозначения:

$S$ — площадь треугольника;

$p$ — полупериметр треугольника;

$a, b, c$ — стороны треугольника;

$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;

Для данных обозначений справедливы равенства:

$r_a={S}/{p-a};$

$r_b={S}/{p-b};$

$r_c={S}/{p-c}.$

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ угол $С=90°, АС=6, ВС=8$. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы.

Решение:

Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $АВ$ равен:

$r_{АВ}={S}/{p-АВ}$, где $S$ — площадь треугольника, $р$ — полупериметр треугольника.

Чтобы подставить в формулу данные, найдем сначала площадь треугольника и его полупериметр.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S={АС·АВ}/{2}={6·8}/{2}=24$

Нам неизвестна гипотенуза, найдем ее по теореме Пифагора:

$АВ=√{АС^2+СВ^2}=√{6^2+8^2}=√{100}=10$

Зная все стороны, вычислим полупериметр:

$р={6+8+10}/{2}=12$

Теперь можем все данные подставить в формулу нахождения радиуса вневписанной окружности:

$r_{АВ}={S}/{p-АВ}={24}/{12-10}={24}/{2}=12$

Ответ: $12$

Биссектриса

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.

5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:

$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$

Медиана

Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

$S_1=S_2$

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:

$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$

Высота

Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

$BB_1$ — высота

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:

$∆АА_1 В~∆СС_1В;$

$∆АС_1 М~∆СМА1$

3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sin⁡α}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Пример:

В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

${ВС}/{sin⁡A} =2R$

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

${16·5}/{4}=2R$

$R={16·5}/{4·2}=10$

Ответ: $10$

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$

Планиметрия – профильный ЕГЭ по математике (оглавление)

Планиметрия плохо дается многим ученикам. На ЕГЭ эта задача №16 – одна из самых сложных задач и многие даже не пытаются за нее браться.

Весь секрет в том, что понимание планиметрии приходит не постепенно, а сразу. Вчера не получалось, а сегодня уже все понятно. Большинству просто не хватает терпения дойти до этого момента.

Надеемся, что ты не такой и не бросишь занятия на полпути. И вот тебе в помощь все, что нужно знать по планиметрии + несколько вебинаров для отработки навыков!

Планиметрия – часть 1. ЕГЭ №3 (бывшая №6)

Если вы плохо знаете планиметрию, начинайте с этой части и смотрите вебинар за вебинаром, ставьте на паузу и решайте задачи вместе с ведущим вебинаров Алексеем Шевчуком.

Помните, планиметрия требует нарешенности. Чтобы научиться решать любую задачу по планиметрии, нужно решать много задач.

Начните с самого начала.

Планиметрия – прямоугольный треугольник

Итак, прямоугольный треугольник, его свойства, площадь и углы прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, тригонометрический функции острых углов, медиана и высота.

Планиметрия – равнобедренный треугольник и произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ.

Очень часто все “проблемы” с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и “обычные” треугольники.

Убедимся в достоверности утверждении из прошлого урока о прямоугольных треугольниках – очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

Вписанная окружность

В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие ее свойства. В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность.

Научимся решать задачи на вписанную окружность – очень важный навык в понимании планиметрии.

Описанная окружность. Многоугольники

Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства. Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.

Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.

Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.

Что приблизит нас к умению решать любые задачи по планиметрии.

Теорема косинусов и синусов

Универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.

Они подходят для любых треугольников, а не только для прямых (как теорема Пифагора).

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.

Планиметрия – часть 2. ЕГЭ №16

Эта часть планиметрии – для продвинутых, для тех, кто уже хорошо усвоил планиметрию из первой части.

Принцип тот же – смотрите вебинар за вебинаром и, самое главное, ставьте на паузу и решайте задачи.

Планиметрия. Подобие треугольников. Задачи на доказательство. ЕГЭ №16

Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи планиметрии в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года

Метод вспомогательной окружности – это очень классный метод, используемый в планиметрии но, к сожалению, он не всегда очевиден. Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!

Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы – те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.

Это очень крутой и удобный метод – но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.

Теорема Менелая и Чевы. “Секретный” метод решения самой сложной задачи ЕГЭ по математике

Задача №16. Планиметрия. Одна из самых сложных задач на ЕГЭ. Редко кто (менее 1% учеников!) набирает полные баллы по ней и поэтому грех не воспользоваться шорткатами и лайфхаками, если они есть. 

Теорема Менелая и Чевы – один из таких шорткатов. Эти теоремы не входят в стандартную школьную программу, но они невероятно мощный инструмент!  Они могут очень-очень упростить решение и сами по себе они красивые и легко запоминаются. 

Итак, смотрите видео, учите теорему Менелая и Чевы, используйте ее на ЕГЭ.

Теорема Менелая и Чевы — её уже запретили, наконец, или нет?

Каждый год начинают ходить слухи, что теоремами Менелая и Чевы В ЭТОМ ГОДУ НЕЛЬЗЯ будет пользоваться на ЕГЭ. Правда ли это? Чтобы понять это, достаточно заглянуть в обычный…

Впрочем, смотрите это видео и узнаете, как понять, какими теоремами можно, а какими нельзя пользоваться. А также, на этом вебе мы разберём, что это за теоремы такие, и как ими пользоваться.

Вы узнаете, насколько они крутые и мощные, и насколько экономят нам время в некоторых задачах.

Планиметрия Статград март 2021

Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.

Скучно… Раз-два, и ответ готов!

Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…

На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)

Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!

Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020

Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?

Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.

Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом. Никуда не деться от окружностей – остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!

В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?

Нет! Пойдём дальше – разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.

Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче). Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники.

Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.

Разбор задачи №16 (б) из реального варианта ЕГЭ 2021 по профильной математике

Продолжение предыдущего видео. Разбор части (б):

Теперь слово вам…

Как вам наш гид по планиметрии? Что нового вы узнали? Что еще хотите узнать?

Как вам теорема Менелая и Чевы? Один из моих знакомых сказал: “В школе ее от нас утаивали!”. Шутка, в которой есть доля… шутки.

Готовьтесь к планиметрии и забирайте свои 3 балла на ЕГЭ.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – c 2003 года;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Теоремы и определения по Планиметрии

Теоремы и определения по Планиметрии. Справочник по геометрии для 7-11 классов, для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. Часть 1 «Планиметрия». Автор: Нелин Е.П. Использованы цитаты из пособия «Геометрия. 7-11 классы. Определения, свойства, методы решения задач в таблицах / М.: Илекса, 2018» из серии «Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА (ОГЭ). Цитаты использованы в учебных целях.


01. Аксиомы планиметрии.

01. Аксиомы планиметрии.

Аксиомы принадлежности. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиомы измерения. Аксиомы откладывания. Аксиома параллельных


02. Углы

02. Углы

Смежные углы. Вертикальные углы. Углы при пересечении


03. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

03. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

03. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

04. Свойства сторон и углов треугольника

04. Свойства сторон и углов треугольника

Свойства сторон и углов треугольника. Внешний угол. Свойства. Неравенство треугольника. Равнобедренный треугольник

05. Равенство треугольников.

Равенство треугольников.

Равенство треугольников. Свойства. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников

06. Медиана треугольника.

Медиана треугольника.

Медиана треугольника. Свойства.

07. Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника. Свойства

08. Высота треугольника

Высота треугольника

Высота треугольника. Свойства

09. Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника. Свойства

10. Соотношение между элементами прямоугольного треугольника

Соотношение между элементами прямоугольного треугольника

Соотношение между элементами прямоугольного треугольника

11. Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике

Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике

Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике

12. Преобразование фигур. Движение

Преобразование фигур. Движение

Преобразование фигур. Движение. Симметрия относительно точки. Поворот. Симметрия относительно прямой. Параллельный перенос

13. Преобразование подобия

Преобразование подобия

Преобразование подобия. Свойства. Гомотетия.

14. Подобие треугольников.

Подобие треугольников.

Подобие треугольников. Свойства. Признаки подобия треугольников

15. Параллелограмм и его виды.

Параллелограмм и его виды.

Параллелограмм и его виды. Свойства. Признаки

Прямоугольник

Прямоугольник. Ромб. Квадрат.

16. Трапеция

Трапеция

Трапеция. Частные случаи трапеции. Средняя линия трапеции. Дополнительные построения для трапеции

17. Окружность, хорды и дуги

Окружность, хорды и дуги

Окружность, хорды и дуги. Свойства

18. Окружность. Касательные и секущие.

Окружность. Касательные и секущие.

Окружность. Касательные и секущие.

19. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.

Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.

Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.

20. Общие касательные двух окружностей.

Общие касательные двух окружностей.

Общие касательные двух окружностей.

21. Углы в окружности.

Углы в окружности.

Углы в окружности.

22. Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей

Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей

Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей

23. Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.

Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.

24. Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник.

25. Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники

Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники

Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники

26. Площади треугольников.

Площади треугольников.

Площади треугольников.

27. Площади четырехугольников.

Площади четырехугольников.

Площади четырехугольников. Площадь описанного многоугольника


Вы смотрели справочник по геометрии для 7-11 классов «Теоремы и определения по Планиметрии».

Оглавление:

  • Основные теоретические сведения
    • Треугольник
    • Трапеция
    • Параллелограмм
    • Квадрат
    • Ромб и прямоугольник
    • Произвольные фигуры
    • Многоугольники
    • Окружность

Основные теоретические сведения

Треугольник

К оглавлению…

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

  • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
  • Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Произвольный треугольник

Тогда, сумма углов треугольника:

Формула Сумма углов треугольника

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Формула Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Формула Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Полупериметр треугольника

Формула Герона для площади треугольника:

Формула Герона для площади треугольника

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Формула медианы

Свойства медиан:

  • Все три медианы пересекаются в одной точке.
  • Медианы  делят  треугольник  на  шесть  треугольников  одинаковой  площади.
  • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Формула Свойство биссектрисы

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Формула биссектрисы

Формула биссектрисы

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Формула Основное свойство высот треугольника

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

  • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
  • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Формула высоты

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Формула Свойство высот треугольника

Теорема косинусов:

Формула Теорема косинусов

Теорема синусов:

Формула Теорема синусов

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Формула Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Формула Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Площадь правильного треугольника:

Формула Площадь правильного треугольника

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Формула Теорема Пифагора

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Формула Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Формула Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Формула Площадь прямоугольного треугольника

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Формула Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Трапеция

К оглавлению…

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Формула Длина средней линии трапеции

Площадь трапеции:

Формула Площадь трапеции

Некоторые свойства трапеций:

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей  трапеции,  равен  полуразности  оснований.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
  • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

Параллелограмм

К оглавлению…

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Формула Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Формула Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

Квадрат

К оглавлению…

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Формула Площадь квадрата через длину его стороны

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Формула Площадь квадрата через длину его диагонали

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

Ромб и прямоугольник

К оглавлению…

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Формула Площадь ромба

Свойства ромба:

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Формула Площадь прямоугольника через две смежные стороны

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Произвольные фигуры

К оглавлению…

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Формула Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Формула Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника

Многоугольники

К оглавлению…

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна:

Формула Сумма углов многоугольника

Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон):

Формула Число диагоналей многоугольника

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен:

Формула Внутренний угол правильного многоугольника

Центральный угол правильного n-угольника равен:

Формула Центральный угол правильного многоугольника

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:

Формула Площадь правильного многоугольника

Формула Площадь правильного многоугольника через сторону

Формула Площадь правильного многоугольника через радиус описанной окружности

Формула Площадь правильного многоугольника через радиус вписанной окружности

Окружность

К оглавлению…

Свойство касательных:

Свойство касательных

Свойство хорды:

Свойство хорды

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Формула Теорема о пропорциональных отрезках хорд

Теорема о касательной и секущей:

Формула Теорема о касательной и секущей

Теорема о двух секущих:

Формула Теорема о двух секущих

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Формула Теорема о центральном и вписанном углах

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство вписанных углов

Свойство центральных углов и хорд:

Формула Свойство центральных углов и хорд

Свойство центральных углов и секущих:

Формула Свойство центральных углов и секущих

Длина окружности:

Формула Длина окружности

Длина дуги окружности:

Формула Длина дуги окружности

Площадь круга:

Формула Площадь круга

Площадь сектора:

Формула Площадь сектора

Площадь кольца:

Формула Площадь кольца

Площадь кругового сегмента:

Формула Площадь кругового сегмента

Содержание:

В окружающем нас мире существует много разнообразных предметов, каждый из которых обладает определенным набором характеристик: размеры, форма, цвет, твердость, химический состав и т.д. Например, круг радиуса 10 см можно вырезать из металлического листа или из бумаги. Понятно, что эти предметы будут иметь как одинаковые характерные свойства, так и различные. Что касается формы и количественных характеристик, то они являются одинаковыми фигурами — два круга радиуса 10 см. Школьные дисциплины, изучающие пространственную форму и количественные характеристики предметов и явлений материального мира, — алгебра и геометрия -относятся к математическим.

Геометрия — это наука о пространственной форме и количественных характеристиках предметов реального мира.
Исследованием прочих характеристик предметов окружающей среды занимаются другие дисциплины. Если в процессе изучения предмета не учитывать никаких других его характеристик, кроме пространственной формы и размеров, получим абстрактный объект, который называют геометрической фигурой.

Слово «геометрия» — греческого происхождения и в переводе означает землеизмерение. Геометрия, которую изучают в школе, называется евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида (см. рубрику «Из летописи геометрии» на с. 45). Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. С планиметрией вы ознакомились в основной школе, а стереометрию будете изучать в старших классах.

Что такое планиметрия

Планиметрия — это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости (рис. 1.1).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве.
Геометрические фигуры — это абстрактные фигуры, которые напоминают окружающие предметы. Чтобы отличить одну геометрическую фигуру (или понятие) от другой, их описывают в виде утверждения, которое называют определением.

Определение — это утверждение, которое описывает существенные свойства предмета (понятия), позволяющие отличить его от других. Как выяснилось, определить все геометрические фигуры невозможно. Например, точка, прямая, плоскость. Их называют неопределяемыми, начальными (с которых все начинается), или, как принято в планиметрии, основными.

Логическое построение планиметрии можно описать как последовательность следующих этапов.

  1. Выбор геометрических понятий, которые называют основными (абстрактных фигур).
  2. Формулирование основных свойств для этих геометрических понятий с помощью утверждений, которые считаются истинными без доказательств.
  3. Построение других понятий, определяемых через основные понятия и их свойства, и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.

Такое построение науки называют аксиоматическим (греч. «аксиома», что в переводе означает уважение, авторитет, неопровержимая истина). Аксиома — это утверждение, принимающееся как истинное без доказательств. Основные свойства простейших геометрических фигур, которые считаются истинными без доказательства и являются исходными при доказательстве других свойств, называют аксиомами геометрии.

Для школьного курса планиметрии определены:

  1. Основные геометрические фигуры (понятия) — точка, прямая. (Точка — простейшая геометрическая фигура. Все другие геометрические фигуры состоят из точек, в том числе и прямая.)
  2. Аксиомы планиметрии — это основные свойства простейших геометрических фигур.
  3. Система определений планиметрических фигур и теорем, выражающих их свойства.

К определяемым понятиям в геометрии относят отрезок, луч, треугольник и т. п., поскольку для них существуют объяснения «что это такое?». Определяемых понятий много. Приведем пример.

Пусть на прямой а заданы две различные точки Аи В. Фигуру, состоящую из всех точек прямой а, которые лежат между точками А и В, включая точки А и В, называют отрезком (рис. 1.2). Точки А и В называются концами отрезка, а все другие точки — внутренними точками отрезка. Таким образом, отрезок — определяемое понятие.  

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Аксиомы планиметрии

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

С целью установления правильности утверждения о свойствах той или иной геометрической фигуры прибегают к некоторым рассуждениям. Среди них есть такие, которые требуют доказательства (теоремы, задачи). Утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства и которое используется для доказательства других утверждений, называют теоремой.

Теорема состоит из: условия и вывода. Для доказательства теорем в школьном курсе геометрии в основном используют следующие методы:

  • а)    по структуре доказательства — прямой (аналитический и синтетический), от противного;
  • б)    по использованию математического аппарата — алгебраический, координатный, векторный и др.

Все рассуждения при доказательстве теорем произвольным методом основываются на аксиомах и известных доказанных фактах. Т.е. чтобы доказать теорему, разрешается пользоваться только основными свойствами простейших фигур (аксиомами) и свойствами, доказанными ранее (теоремами). Никакими другими свойствами фигур, даже если они представляются очевидными, пользоваться нельзя. Например, доказывая теоремы, можно использовать рисунки. Однако это лишь геометрическая модель содержания текста, выраженного словами, поэтому делать по рисунку выводы о свойствах фигур не разрешается.

Итак, геометрия, как и другие математические науки, строится по такой схеме: сначала следует ввести основные понятия, задать аксиомы (правила игры), а потом, опираясь на аксиомы, выводить другие факты (проводить игру по определенным правилам, не противоречащим друг другу).

Опорные факты курса планиметрии

Данный параграф предназначен для повторения курса планиметрии. Необходимость в нем обусловлена тем, что многие вопросы планиметрии на первом этапе обучения в школе рассматриваются несколько поверхностно. В следующих классах уровень изучения материала повышается, а вернуться и углубить пройденное удается не всегда. Поэтому мы систематизируем и обобщим основные сведения по планиметрии, условно разбив их на блоки: взаимное расположение прямых на плоскости; окружность и круг; многоугольники; треугольник и его элементы; выпуклые четырехугольники.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут пересекаться только в одной точке или не пересекаться, т.е. быть параллельными. При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°, а вертикальные — равны. Меньший из них называется углом между прямыми. На рисунке 1.3 изображены две прямые Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, которые пересекаются в точке Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, образуя смежные и вертикальные углы:

  1. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — вертикальные;
  2. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения иПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — смежные.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Если один из углов при пересечении двух прямых равен 90°, то все другие углы — смежные и вертикальные — также равны 90°. Такие прямые называют взаимно перпендикулярными. Записывают, например, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения или Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Расстоянием от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения до прямой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (рис. 1.4) называют длину отрезка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, перпендикулярного к прямой а, где точка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияоснование перпендикуляра. Расстояние от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения до любой точки прямой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, отличной от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, больше расстояния от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения до прямой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Т.е. любой отрезок Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения -точка прямой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, отличная от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, длиннее отрезка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Две различные прямые Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Коротко записывают Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Если прямые не параллельны (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения), то они пересекаются (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Вследствие пересечения двух прямых третьей прямой образуется восемь углов (рис. 1.5) (прямые а и Ь могут пересекаться, но прямая с через точку их пересечения не проходит):

  • внутренние односторонние (углы 4 и 5, 3 и 6);
  • внутренние разносторонние (углы 3 и 5, 4 и 6);
  • внешние односторонние (углы 1 и 8, 2 и 7);
  • внешние разносторонние (углы 1 и 7, 2 и 8);
  • соответствующие (углы 1 и 5, 2 и 6, 8
     

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения третьей прямой внутренние (или внешние) разносторонние углы равны или внутренние односторонние в сумме составляют 180°, то Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения параллельны.
  2. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Окружность и круг

Кругом с центром Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и радиусом Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения называют фигуру, образованную всеми точками плоскости, которые отдалены от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения на расстояние, не больше чем Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияКруг ограничен окружностью. Окружностью с центром Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и радиусом Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения называют множество точек плоскости, отдаленных от точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения на расстояние, равное Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (рис. 1.7, а).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Отрезки, которые соединяют центр с точками окружности и имеют длину Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, называют радиусами окружности (круга). 

Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называют круговыми секторами (рис. 1.7, б).
 

Хорда — отрезок, который соединяет две точки окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, — делит круг на два сегмента, а окружность — на две дуги. Диаметр — наибольшая хорда окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит пополам эту хорду и обе дуги, которые стягиваются ею, и наоборот, если диаметр проведен через середину хорды, то он перпендикулярен этой хорде и делит пополам дугу, которую она стягивает (рис. 1.8, а).

Дуги, которые находятся между параллельными хордами, равны между собой. Равные дуги стягиваются равными хордами, и наоборот, равные хорды стягивают равные дуги.

Равные хорды одинаково отдалены от центра, и наоборот, хорды, одинаково отдаленные от центра, равны между собой. Большая из двух хорд меньше отдалена от центра, и наоборот, из двух хорд больше та, которая меньше отдалена от центра (рис. 1.8, а).
 

Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим окружность с центром Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и прямую Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения(рис. 1.8, б). Из точки Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения проведем перпендикуляр к прямой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Пусть Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения -основание этого перпендикуляра. Возможны три случая: точка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения находится вне окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, на окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и внутри окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. В каждом из этих случаев окружность и прямая Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — касательная к окружности), либо имеют две общие точки (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — секущая).

Прямая, проходящая через точку окружности, является касательной к окружности только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Если касательная параллельна хорде окружности, то точка касания делит пополам дугу, которую стягивает хорда (рис. 1.8, в; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).

Если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки этих касательных (от точек касания до данной точки) равны между собой, а луч, проведенный через данную точку и центр окружности, делит пополам угол между касательными (рис. 1.8, в; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Вписанным углом в окружность называют угол, образованный двумя хордами, выходящими из одной точки на окружности (рис. 1.9). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, между собой равны. Вписанный угол, который опирается на полуокружность (на диаметр), — прямой.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Центральный угол, стороны которого пересекают окружность в тех же точках, что и вписанный, называется соответствующим центральным углом вписанного (рис. 1.10). Мера вписанного угла равна половине меры соответствующего центрального или дополняет его половину до 180°. Угол, образованный хордой и касательной, которая проходит через конец хорды, измеряется половиной дуги, находящейся между сторонами этого угла (рис. 1.11; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения). Угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых находится между сторонами этого угла, а другая — между продолжениями этих сторон.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Угол, образованный двумя касательными, называется описанным (рис. 1.8, в; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения). Описаный угол измеряется полуразностью двух дуг, которые находятся между его сторонами Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Длину окружности находят по формуле: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — диаметр окружности, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — радиус окружности; а длину дуги окружности — по формуле: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — градусная мера соответствующего центрального угла. Площадь круга: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения ; площадь кругового сектора: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — радиус круга, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — градусная мера соответствующего центрального угла. Площадь сегмента: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — площадь треугольника с вершинами в центре круга и на концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «-» следует использовать, когда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения < 180°, а знак «+» — когда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения > 180°.

Многоугольники

Многоугольником называется простая замкнутая ломанная. Например, многоугольником Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения называется линия, полученная путем последовательного соединения п различных точек Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения отрезками таким образом, чтобы каждая точка была соединена со следующей, а последняя — с первой (рис. 1.12). Различают многоугольники плоские и неплоские.

Плоский многоугольник — часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым.

Многоугольник выпуклый, если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (рис. 1.12, б, г, д).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Многоугольники называют равными, если при наложении они совмещаются. Для выпуклого Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольника сумма внутренних углов равна Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, а количество диагоналей любогоПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольника равно Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Если все стороны выпуклого многоугольника равны между собой и все углы также равны между собой, то его называют правильным (рис. 1.12, д). Если все вершины многоугольника лежат на некоторой окружности, он называется вписанным в эту окружность (рис. 1.13, а). Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, он называется описанным вокруг окружности (рис. 1.13, б). По количеству сторон Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольника ему дают название. Например, треугольник Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, четырехугольник Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, пятиугольник Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и т.д.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Как построить правильный Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольник?

Если окружность разделить на Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения равных частей и точки последовательно соединить отрезками, то получим правильный Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольник, вписанный в окружность (рис. 1.14).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Если окружность разделить на Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения равных частей и через точки деления провести касательные к окружности, то отрезки этих касательных образуют правильный Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольник, описанный вокруг окружности (рис.1.15).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Вокруг каждого правильного многоугольника можно описать окружность или в каждый правильный многоугольник можно вписать окружность.

В правильном многоугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Общий центр описанной и вписанной окружностей называется центром правильного многоугольника. Радиус вписанной окружности называют апофемой правильного многоугольника.
Угол, образованный двумя радиусами, проведенными через смежные вершины правильного многоугольника, называется его центральным углом. Все центральные углы правильного многоугольника равны между собой и составляют Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — количество сторон (углов) многоугольника.
В правильном Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольнике, как и в произвольном Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-угольнике, сумма всех углов (внутренних) составляет Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Поэтому каждый его угол определяется по формуле   Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, является точкой пересечения серединных перпендикуляров его сторон (рис. 1.15).

Если сторона правильного многоугольника равна Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, радиус вписанной в него окружности — Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, а радиус описанной вокруг него окружности — Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, то между ними существует связь, которая выражается формулами:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Простейшим многоугольником является треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. На рисунке 1.16, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения изображена окружность с центром Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, вписанная в треугольник Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — радиус. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис и находится внутри треугольника. Поскольку площадь треугольника находят по формуле Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — полупериметр треугольника, то отсюда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника. Центр окружности, вписанной в треугольник, равноудален от его сторон.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Можно ли в любой четырехугольник вписать окружность?
Ответ. Нельзя. В четырехугольник можно вписать окружность только при условии, что суммы длин его противоположных сторон равны.

Вокруг произвольного треугольника можно описать окружность, притом только одну (см. рис. 1.16, б). Центр окружности, описанной вокруг треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам. Центр окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, описанной вокруг треугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, равноудален от его вершин.

На рисунке 1.16, б изображена окружность с центром Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, описанная вокруг треугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — ее радиус. Если радиус описанной окружности Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, стороны треугольника, вписанного в окружность, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — полупериметр треугольника, то

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Можно ли описать окружность вокруг произвольного четырехугольника?
Ответ. Нельзя. Вокруг четырехугольника можно описать окружность только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°.
 

Треугольник и его элементы

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки. Рассмотрим Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (рис. 1.17), в котором выделяют шесть основных элементов: три внутренних угла Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и три соответственно противолежащие им стороны Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным, если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90°.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (боковые стороны). Основанием равнобедренного треугольника является сторона, которая не равна ни одной из двух других равных сторон.
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним, или правильным.
 

Соотношение между сторонами и углами треугольника:

Треугольник можно определить любой тройкой таких основных элементов: либо двумя сторонами и углом между ними, либо одной стороной и двумя углами, либо тремя сторонами.

Например, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения со сторонами Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения можно задать так:

  1. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения;
  2. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
  3. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
     

Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника: любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Из трех отрезков можно образовать треугольник тогда и только тогда, когда любая его сторона меньше суммы и больше разности двух других его сторон. В любом треугольнике можно провести три медианы, три биссектрисы и три высоты.
 

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Свойства биссектрисы угла треугольника: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника и является центром вписанной 
в него окружности.

Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам (рис. 1.18; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — биссектриса, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).

Основные свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит в середине треугольника.
  2. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в соотношении 2 : 1 (считая от вершин треугольника).
  3. Медиана делит треугольник на два треугольника, площади которых равны (рис. 1.18; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — медиана, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).
  4. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть треугольников, площади которых равны.

Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника, которая может находиться во внутренней или внешней области треугольника. Высоты треугольника, проведенные к его сторонам Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, обозначаются Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения соответственно. Высота треугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения определяется через его стороны по формуле:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Медиана треугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, проведенная к стороне Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, определяется через стороны треугольника по формуле:
 

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

В каждом треугольнике можно построить три средние линии — отрезки, соединяющие середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник, площадь которого относится к площади основного треугольника как 1 : 4.
 

Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании треугольника равны; высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой.
 

Свойства равностороннего треугольника: все углы равны (каждый угол равен 60°); каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой; центр окружности, описанной вокруг треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него.
 

Прямоугольный треугольник имеет сторону, которая лежит против прямого угла, — гипотенузу Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и две стороны, образующие прямой угол, — катеты Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (рис. 1.19).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Стороны прямоугольного треугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — гипотенуза) связаны между собой соотношением, называемым теоремой Пифагора: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Читается так: квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов
.
 

Свойства прямоугольного треугольника:

  1. Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (рис. 1.19).
  2. Высота, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
  3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
  4. Для сторон прямоугольного треугольника справедливы отношения: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Запомните!

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Выпуклые четырехугольники

Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 1.20).

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Свойства параллелограмма:

  1. Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.
  2. Противоположные стороны параллелограмма равны.
  3. Противоположные углы параллелограмма равны.
  4. Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  5. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
  6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения) равна сумме квадратов всех его сторон:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Чтобы доказать, что некоторый заданный четырехугольник является параллелограммом, следует, согласно определению, убедиться в параллельности его противоположных сторон. Иногда такие рассуждения являются громоздкими, а иногда -излишними. Существуют другие доказанные признаки, на основании которых можно утверждать, что данный четырехугольник является действительно параллелограммом.
 

Если в четырехугольнике исполняется любое из таких условий:

  1. противоположные стороны попарно равны;
  2. две противоположные стороны равны и параллельны;
  3. противоположные углы попарно равны;
  4. диагонали в точке пересечения делятся пополам, — то такой четырехугольник является параллелограммом.
     

Прямоугольник — это параллелограмм, в котором все углы равны. Поскольку сумма углов четырехугольника равна Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, то в прямоугольнике все углы прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма. Кроме того, он имеет еще одно свойство: диагонали прямоугольника равны.
Для прямоугольника справедлива и обратная теорема: если у параллелограмма диагонали равны, то он — прямоугольник. Эта теорема является признаком прямоугольника.
 

Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны. Кроме общих свойств параллелограмма, ромб имеет и другие, характерные только для него.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Справедлива и обратная теорема, которая является признаком ромба: если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны или если в нем диагонали делят углы пополам, то такой параллелограмм — ромб.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Квадрат — это параллелограмм, в котором все углы равны и все стороны равны.

Таким образом, квадрат — это прямоугольник с равными сторонами или квадрат — это ромб с равными углами (прямыми). Очевидно, что квадрат имеет все свойства прямоугольника и ромба.
 

Трапеция — это четырехугольник, в котором только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие стороны — боковыми сторонами.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Если боковые стороны трапеции равны между собой, такую трапецию называют равнобокой (рис. 1.21; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).
 

Равнобокая трапеция имеет такие свойства:

  1. Углы, прилежащие к основанию равнобокой трапеции, равны. Справедливо и обратное утверждение: если углы, прилежащие к основанию трапеции, равны, то такая трапеция равнобокая.
  2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
  3. Сумма противоположных углов равнобокой трапеции равна 180°.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией (рис. 1.21; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — средняя линия, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).
 

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме (рис. 1.21; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).

Задачи и методы их решения

Для геометрии закономерным является то, что введенные основные понятия и сформулированная аксиоматика составляют основу для новых утверждений. Однако справедливость последних необходимо доказывать путем определенных рассуждений, основывающихся на ранее доказанных утверждениях или аксиомах. Так формируются математические задачи.

Что такое математическая задача?

Существуют разные определения этого понятия, например: математическая задача — это любое требование вычислить, построить, доказать, исследовать что-либо, или вопрос, равносильный такому требованию.

В каждой задаче что-то дано (условие) и что-то нужно доказать или найти (требование, вывод). Выполнить поставленное требование — и означает решить задачу. Отметим, что если истинность какого-либо, часто используемого математического утверждения установлена путем рассуждения (доказательства), то такое утверждение называют теоремой.

Можно ли утверждать, что для успешного решения геометрических задач и доказательства теорем достаточно свободно владеть всем теоретическим материалом?

Нет. Это не так. При хорошем знании теории следует овладеть еще и практическими навыками. А это возможно только в процессе решения задач, начиная с простейших и постепенно переходя к более сложным.

Математические задачи условно разделены на четыре вида, в соответствии с их требованиями: задачи на вычисление, доказательство, исследование и построение. С ними вы уже ознакомились в курсе планиметрии.

Приступая к решению задачи, следует выбрать метод. Методы делят:

  • а)    по структуре — синтетический, аналитический, от противного и др.;
  • б)    по использованию математического аппарата — алгебраический, векторный, координатный, метод площадей, метод геометрических преобразований и др.
     

Суть синтетического метода заключается в том, что, исходя из условия задачи или теоремы с использованием известных утверждений строится цепочка логических рассуждений, последнее из которых совпадает с требованием задачи. Приведем пример.
 

Пример №1

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Биссектриса угла прямоугольника делит большую сторону на два отрезка -7 см и 9 см. Найдите периметр этого прямоугольника.
Дано: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — прямоугольник; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — биссектриса, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения(или Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения).
Найти: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — биссектриса прямого угла Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения -секущая, поэтому Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения как внутренние разносторонние. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — биссектриса, следовательно, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
В Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — равнобедренный и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
1. Если Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, то Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
2. Если Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Ответ. 46 см или 50 см.

Почему именно так?
Пусть по условию Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — заданная биссектриса. Точка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения разбивает отрезок Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения на два отрезка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Далее, учитывая параллельность противоположных сторон прямоугольника и их пересечение секущей (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — биссектриса), устанавливаем равность двух углов треугольника. Это определяет вид треугольника -равнобедренный, а значит, равность двух сторон. Т.е. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Если Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, то Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения; периметр: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Если Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, то Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения; периметр: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, периметр прямоугольника может быть 46 см или 50 см.

Эта задача является опорной, поскольку на такой идее строятся многие задачи и для параллелограмма, и для трапеции. У этих фигур биссектриса угла отсекает всегда равнобедренный треугольник.
 

Отметим, что сокращенное обозначение углов в видеПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения … упрощает запись и экономит время, поэтому в таких случаях им пользоваться удобнее.
Как видим, в процессе решения задачи 1 используются только известные геометрические утверждения и производятся соответствующие вычисления. Причем для каждой геометрической задачи такие рассуждения свои.
 

Суть аналитического метода состоит в том, что, исходя из требования (вывода) утверждения (теоремы или задачи) и опираясь на известное утверждение, строится цепочка логических рассуждений, которая показывает, что требование является следствием условия. Приведем пример.
 

Пример №2

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — четырехугольник; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения;Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения; Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
Доказать:Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — параллелограмм.

Доказательство:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — заданный четырехугольник. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — середины соответствующих сторон. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — диагонали четырехугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
В Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — средняя линия, следовательно, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
В Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — средняя линия, следовательно, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Имеем: 1. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (по признаку параллельных прямых).

2. Аналогично Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения как средний линии треугольников Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Итак, в четырехугольнике Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения противоположные стороны параллельны, следовательно, он — параллелограмм, согласно признаку параллелограмма. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
 

Почему именно так?

Требование задачи: доказать. Это означает, что истинность утверждения следует подтвердить цепочкой рассуждений.
Чтобы четырехугольник Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решениябыл параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны. Для этого заданный четырехугольник разбиваем на два треугольника одной диагональю, а потом — второй. Средние линии одной пары треугольников параллельны диагонали Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, а второй пары — Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. (Отрезок, соединяющий середины двух сторон, является средней линией треугольника, которая имеет свойство: параллельна третьей стороне треугольника.) Отсюда, средние линии каждой пары треугольников параллельны между собой. Таким образом, получаем, что в четырехугольнике Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения противоположные стороны параллельны, следовательно, он — параллелограмм.

Отметим: доказательство того, что четырехугольник, вершины которого являются серединами произвольного выпуклого четырехугольника, — параллелограмм, можно проводить и другими методами.
Синтетический и аналитический методы называют также прямыми методами решения математических задач.

Чтобы решить задачу прямым методом, следует начать с анализа содержания задачи, от которого зависит выбор метода решения. Далее необходимо создать модель в виде рисунка и продолжить рассуждать над каждым действием, которые в совокупности образуют цепочку действий, ведущих либо от условия к требованию, либо от требования к условию.
 

Суть метода доказательства от противного состоит в том, что, имея утверждение, строим новое, возразив выводу данного. Формулируется утверждение. Исходя из вывода противоположного утверждения, строим цепочку истинных утверждений, пока не получим утверждение, которое противоречит либо условию, либо известной аксиоме или теореме, либо предположению. Таким образом приходим к выводу, что противоположное утверждение ошибочно, а потому исходное является истинным (тут действует логический закон: из двух противоположных утверждений одно истинное, другое ошибочное, третьего не дано). Рассмотрим пример.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Докажите утверждение: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Строим противоположное утверждение: существуют две прямые, параллельные третьей и не параллельные между собой.
 

Доказательство:

От противного. Предположим, что Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, но Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Тогда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Получили утверждение, которое противоречит аксиоме параллельности: через точку Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения на плоскости проходят две различные прямые, параллельные третьей. Следовательно, противоположное утверждение ошибочно, поэтому исходное утверждение — истинное. Т.е. две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу. Ч.т.д.

Почему именно так?

Исходим из вывода нового утверждения: пусть прямые Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, параллельные третьей прямой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Получили, что через точку проходят две различные прямые, параллельные третьей. Это противоречит аксиоме параллельности. Пришли к противоречию. Последнее утверждение ошибочно, следовательно, исходное утверждение — истинное.

Математическую задачу считают решенной, если:

  1. записан ответ в виде числа, выражения, указан алгоритм построения рисунка, если это задача на вычисление, построение или исследование;
  2. подтверждено сформулированное в задаче утверждение, если это задача на доказательство.

Метод от противного называют непрямым методом решения математических задач.

Рассмотрим некоторые другие методы решения геометрических задач, которые делят на виды по использованию математического аппарата. 

Алгебраический метод решения задач

Решая задачу алгебраическим методом, следует уделить внимание таким этапам:

  1. Моделирование текста задачи с помощью рисунка (в большинстве случаев).
  2. Введение обозначений искомых величин или тех, которые приводят к искомым (чаще всего буквами латинского алфавита).
  3. Составление уравнения или системы уравнений с использованием введенных определений и известных геометрических соотношений между искомыми и данными величинами.
  4. Решение составленного уравнения или системы уравнений. Возврат к введенным обозначениям и определение искомых геометрических величин. По необходимости, выполнение исследования найденных решений.
  5. Запись ответа.

Задачи, в которых задана зависимость между двумя измерениями, сводятся к решению уравнения. Например, одна из сторон параллелограмма на 3 см длиннее другой, а периметр -30 см. Нужно найти длины сторон параллелограмма. Тогда, введя переменную Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения как длину стороны этого параллелограмма, имеем длину второй стороны Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Учитывая определение периметра параллелограмма и его известное значение, получаем уравнение:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Приведем другие примеры решения задач алгебраическим методом.

Пример №4

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Гипотенуза относится к катету как 5 : 3. Найдите стороны треугольника.

Дано: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
Найти: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим коэффициент пропорциональности через Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Тогда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения или Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения 
Ответ. 15 см, 9 см и 12 см.

Почему именно так?
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — единственное линейное измерение, с которым связаны стороны треугольника.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Пусть Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, отсюда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Определить сторону Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения можно по теореме Пифагора: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, отсюда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Метод решения — алгебраический, поскольку используется математическая модель — уравнение Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Пример №5

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

В параллелограмме диагонали равны 16 см и 20 см. Меньшая из них перпендикулярна к его стороне. Найдите площадь этого параллелограмма.
Дано: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — параллелограмм;
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Найти: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Почему именно так?
Пусть Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — заданный параллелограмм, в котором Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Обозначим стороны параллелограмма:
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Тогда имеем уравнение: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, отсюда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
По теореме Пифагора из Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения):

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, т.е. имеем: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения или Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Составим систему уравнений:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Почему именно так?

В ходе решения этой задачи сначала выбираем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — основание параллелограмма, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к нему. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, поэтому Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения является высотой параллелограмма, проведенной к сторонам Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения или Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, длины которых неизвестны. Стороны параллелограмма связаны с его диагоналями формулой Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Длины сторон параллелограмма являются неизвестными, поэтому, очевидно, следует составить систему уравнений. Одно уравнение можно получить по вышеуказанной формуле, а второе — исходя из того, что диагональ параллелограмма перпендикулярна, имеем прямоугольный треугольник с двумя неизвестными сторонами (они же и стороны параллелограмма).
Отметим, что, принимая во внимание требование задачи, можно не искать обе стороны параллелограмма, а только, например, сторону Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Метод площадей

Если условие задачи содержит данные, по которым легко найти площадь одним из способов, то это делают в первую очередь. С помощью другого способа для вычисления площади этой самой фигуры делают второй шаг — составляют уравнение, в котором одно из линейных измерений неизвестно. Приравнивая площади, получают уравнение с одним неизвестным.
 

Пример №6

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите высоту, проведенную к стороне, которая имеет длину 14 см.

Решение:

Пусть Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — стороны некоторого Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, причем Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к средней стороне. По формуле Герона: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения а по другой формуле: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Почему именно так?

Имея три стороны треугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения можно найти его площадь по формуле Герона: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решениягде Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формулам: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения-й стороне. Осталось выбрать сторону треугольника и получить уравнение: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияв котором неизвестным будет Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что хотя во время решения задачи 6 использовалось алгебраическое уравнение, более существенными в решении этой задачи являются рассуждения о площади фигуры. Поэтому такой метод получил название метод площадей.
 

Пример №7

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 6 см. Найдите длину биссектрисы прямого угла.

Решение:

Пусть Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — данный прямоугольный треугольник (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения), в котором Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения -биссектриса прямого угла.
Введем обозначение: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Найдем площадь Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения двумя разными способами:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Почему именно так?

Площадь Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — два катета.
Биссектриса разделила Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения на два треугольника, площади которых неизвестны. Их площади можно найти по формуле:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

где Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника, а Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — угол между ними, т.е. Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения а биссектриса Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения является неизвестной, то получим уравнение с одним неизвестным.

Метод векторов

Чтобы применить метод векторов к решению задачи, необходимо выполнить следующие действия:

  1. Перевести задачу на язык векторов, т.е. рассмотреть некоторые данные в ней отрезки как векторы и составить векторное равенство.
  2. Осуществить преобразование для векторного равенства, пользуясь соответствующими свойствами действий над векторами и известными векторными равенствами.
  3. Вернуться от векторного языка к геометрическому.
  4. Записать ответ.

Метод векторов чаще всего используется при решении задач, в которых требуется доказать: параллельность прямых (отрезков), деление отрезка в определенном соотношении; что три точки лежат на одной прямой; что данный четырехугольник — параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция). Проиллюстрируем суть этого метода на примере решения задачи.

Пример №8

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — четырехугольник;

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Доказать: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — параллелограмм.

Доказательство:

1.    Переведем задачу на язык векторов, заменив отрезки векторами: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

2.    Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Учитывая, что Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения ( Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения— середина Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения) и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения (Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — середина Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения), получаем равенство: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
Поэтому Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Аналогично Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

3.    Поэтому Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Т.е. векторы одинаково направлены, лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Это доказывает, что Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — параллелограмм. Ч.т.д.

Почему именно так?

Переведя задачу на язык векторов, получаем требование задачи: доказать равность векторов Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Воспользовавшись правилом треугольника для нахождения суммы векторов, имеем:

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Однако Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решенияПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения поэтому Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Аналогично получаем, что Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.
Таким образом, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, что и требовалось доказать.

Метод координат

Решая задачу координатным методом, следует выполнить такие действия:

  1. Записать геометрическую задачу на языке координат.
  2. Преобразовать выражение или вычислить его значение.
  3. Перевести найденный результат на язык геометрии.
  4. Записать ответ.

Методом координат чаще всего решают задачи:

  • на нахождение геометрических мест точек;
  • на доказательство зависимостей между линейными элементами геометрических фигур.

Решая задачу методом координат, необходимо рационально выбрать систему координат: данную фигуру следует разместить относительно осей координат таким образом, чтобы как можно больше координат нужных точек равнялось нулю, а также одному и тому же числу. Например, координаты вершин прямоугольника Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения можно выбрать так, как на рисунке 1.35: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

Проиллюстрируем суть метода координат на примере.

Пример №9

Докажите, что когда у параллелограмма диагонали равны, то он прямоугольник.

Доказательство:

Разместим параллелограмм в системе координат таким образом, чтобы его вершины имели координаты: Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, причем Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения

По условию Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения. Выразим расстояние между точками Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения и Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения через их координаты:
Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения
ТогдаПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, или Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения , отсюда Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Поскольку Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, тоПланиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения, а это означает, что точка Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения лежит на оси Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения.

Поэтому угол Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения прямой. Отсюда следует, что параллелограмм Планиметрия - формулы, определение и вычисление с примерами решения — прямоугольник.

Метод геометрических преобразований: метод поворота, метод симметрии, метод параллельного переноса, метод гомотетии.

Решая задачи методом геометрических преобразований, наряду с данными фигурами рассматривают новые, полученные из данных с помощью определенного преобразования. Выясняют свойства новых фигур, переносят эти свойства на данные фигуры, а затем находят способ решения задачи.

Говорят, что задачи, решенные методами векторов, координат, геометрических преобразований, площадей и другими методами, в которых используется больше свойств геометрических фигур, решены геометрическими методами.

Геометрия — одна из древнейших математических наук. Первые геометрические факты отображены в вавилонских клинописных таблицах, египетских папирусах и других источниках VI-III в. до н.э. 

Название науки «геометрия» происходит от двух древнегреческих слов: «geo» (гео) — земля и «metreo» (метрео) — измере ние. В развитии геометрии выделяют четыре основных периода.
 

Первый период — зарождение геометрии как науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до V в. до н.э. Именно тогда ученые установили первые общие закономерности в природе и воспроизвели их в зависимостях между геометрическими величинами. Основной проблемой геометров того периода было вычисление некоторых площадей и объемов. Логических обоснований в задачах было очень мало. В основном геометрические свойства доказывались практическими наблюдениями, поиском закономерностей, экспериментальным путем, т.е. эмпирически.
 

Второй период — формирование геометрии в структурную систему. В VII в. до н.э. центром развития геометрии стала Греция. Древние геометры работали над систематизацией накопленных и новых знаний, устанавливали связи между геометрическими фактами, разрабатывали приемы доказательств. Значительный вклад в развитие математики, в частности геометрии, в этот период сделали Пифагор, Платон, Аристотель, Фалес, Анаксигор, Демокрит, Евклид. В книге «Начала» Евклида сформулированы понятия о фигуре, о геометрическом утверждении и доказательстве. Они остаются актуальными и сегодня.
 

Третий период — дополнение геометрии новыми методами -начался в первой половине XVII в., когда французский ученый Рене Декарт разработал метод координат, связавший евклидову геометрию с алгеброй и математическим анализом. Использование методов этих наук в геометрии дало возможность создать новые науки — аналитическую, а позднее — дифференциальную геометрию, проективную и начертательную геометрию. Таким образом, евклидова геометрия поднялась на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматривались гораздо более общие фигуры и использовались новые методы.
 

Четвертый период — создание неевклидовой геометрии -связан с именем российского ученого Николая Ивановича Лобачевского, открывшего в 1826 г. возможности для создания неевклидовых геометрий. Им была построена совершенно новая, неевклидова геометрия, которую теперь называют геометрией Лобачевского.

Особенность начатого Н.И. Лобачевским периода в истории геометрии состоит в том, что после его открытия начали развиваться новые геометрические теории, новые «геометрии» и соответствующие обобщения самого предмета геометрии. В этот период возникло понятие о разновидностях пространства (термин «пространство» в науке может означать как обычное реальное пространство, так и абстрактное, «математическое», пространство). Некоторые теории создавались внутри евклидовой геометрии, как ее особые разделы, а позднее приобретали статус самостоятельных. Другие, подобно геометрии Лобачевского, вводили изменения аксиом и структурировались на основе этих изменений, обобщая и строя науку.

Именно так была создана геометрия Римана (Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) — немецкий ученый) и ее обобщения (1854-1866), получившие применение в теории относительности, механике и др.

В школьном курсе мы изучаем геометрию Евклида. Перевел труд древнегреческого ученого «Начала» украинский математик Михаил Егорович Ващенко-Захарченко (1825-1912) в 1880 г. На основе этой книги написано множество учебников по геометрии. Например, преподавание геометрии в советской школе почти до 1982 г. осуществлялось по учебнику российского педагога-математика А.П. Киселева (1852-1940). В 1980-х годах украинским математиком А.В. Погореловым было создано новое учебное пособие. Его и сегодня можно найти в библиотеках общеобразовательных учебных заведений.
Современная геометрия является многовекторной и стремительно развивается в совокупностях математических теорий, изучающих различные пространства и их фигуры. Значительный вклад в геометрию сделали и наши соотечественники: М.В. Остроградский, А.М. Астряб, А.П. Киселев, А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и др.  

  • Стереометрия — формулы, определение и вычисление
  • Возникновение геометрии
  • Призма в геометрии
  • Цилиндр в геометрии
  • Ортогональное проецирование
  • Декартовы координаты на плоскости
  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Все про логарифмы для егэ
  • Все про лишайники для егэ
  • Все про куб для егэ
  • Все про клетку биология егэ
  • Все про истину обществознание егэ