Все про производные егэ

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

• Учите производную
• Пользуйтесь алгоритмами
• Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось ( Ox) направить вдоль дороги горизонтально, а ( Oy) – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось ( Ox) – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим ( displaystyle Delta x) (читается «дельта икс»).

Греческую букву ( displaystyle Delta ) (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть ( displaystyle Delta x) – это изменение величины ( displaystyle x), ( displaystyle Delta y) – изменение ( displaystyle y); тогда что такое ( displaystyle Delta f)? Правильно, изменение величины ( displaystyle f).

Важно: выражение ( displaystyle Delta x) – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например, ( displaystyle frac{Delta x}{Delta y}ne frac{x}{y})

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на ( displaystyle Delta x). Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции ( displaystyle fleft( x right)), то как мы обозначим подъем?

Конечно, ( displaystyle Delta f). То есть, при продвижении вперед на ( displaystyle Delta x) мы поднимаемся выше на ( displaystyle Delta f).

Величину ( displaystyle Delta f) посчитать легко: если в начале мы находились на высоте ( displaystyle {{f}_{1}}), а после перемещения оказались на высоте ( displaystyle {{f}_{2}}), то ( displaystyle Delta f={{f}_{2}}-{{f}_{1}}).

Если конечная точка оказалась ниже начальной, ( displaystyle Delta f) будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

( displaystyle K=frac{Delta f}{Delta x}).

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на ( 1) км дорога поднимается вверх на ( 1) км. Тогда крутизна в этом месте равна ( 1).

А если дорога при продвижении на ( 100) м опустилась на ( 0,5)км?

Тогда крутизна равна ( displaystyle K=frac{-text{500м}}{text{100м}}=-5).

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в ( 1) км может очень многое поменяться.

Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на ( 2) – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина ( x) бесконечно мала, пишем так: ( displaystyle xto 0) (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (( displaystyle xto infty )).

Ты уже наверняка сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при ( displaystyle xto 0:text{ }frac{1}{x}to infty ), и наоборот: при ( displaystyle xto infty :text{ }frac{1}{x}to 0).

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

( displaystyle K=frac{Delta f}{Delta x}text{ при }Delta xto 0).

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например, ( displaystyle 2). То есть одна малая величина может быть ровно в ( displaystyle 2) раза больше другой.

К чему все это?

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Давай посмотрим как.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент (( displaystyle x)) при продвижении вдоль оси ( displaystyle Ox), называется приращением аргумента и обозначается ( displaystyle Delta x.)

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси ( displaystyle Ox) на расстояние ( displaystyle Delta x), называется приращением функции и обозначается ( displaystyle Delta f).

Итак, производная функции ( displaystyle fleft( x right)) – это отношение ( displaystyle Delta f) к ( displaystyle Delta x) при ( displaystyle Delta xto 0).

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: ( displaystyle {f}’left( x right)) или просто ( displaystyle {f}’).

Как и в аналогии с дорогой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

так как приращение такой функции равно нулю при любом ( Delta x).

А еще?

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси ( Ox):

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.

Но при этом он остался параллелен оси ( Ox), то есть разность высот на его концах ( displaystyle Delta f) равна нулю (не стремится, а именно равна).

Значит, производная

( displaystyle {f}’left( {{x}_{text{вершины}}} right)=frac{Delta f}{Delta x}=frac{0}{Delta x}=0).

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.

Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).

Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть ( displaystyle 0). Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Итак, мы меняем аргумент на величину ( Delta x).

Меняем от какого значения?

Каким он (аргумент) теперь стал?

Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой ( displaystyle {{x}_{0}}). Значение функции в ней равно ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату ( {{x}_{0}}) на ( Delta x).

Чему теперь равен аргумент?

Очень легко: ( {{x}_{0}}+Delta x).

А чему теперь равно значение функции?

Куда аргумент, туда и функция: ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)).

А что с приращением функции?

Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

( Delta f=fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)-fleft( {{x}_{0}} right)).

Производные степенной функции

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем – в любой степени: ( fleft( x right)={{x}^{a}},text{ }ain mathbb{R}).

Производная функции первой степени

Итак, аргумент меняется с ( {{x}_{0}}) до ( {{x}_{0}}+Delta x). Каково приращение функции?

Приращение – это ( Delta f=fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)-fleft( {{x}_{0}} right)). Но функция в любой точке равна своему аргументу.

Поэтому:

( Delta f=left( {{x}_{0}}+Delta x right)-{{x}_{0}}=Delta x).

Производная равна:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)=frac{Delta f}{Delta x}=frac{Delta x}{Delta x}=1)

Производная от ( displaystyle x) равна ( displaystyle 1): ( displaystyle {x}’=1)

Производная функции больших степеней

Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

( begin{array}{l}{{left( {{x}^{4}} right)}^{prime }}=4{{x}^{3}}\{{left( {{x}^{5}} right)}^{prime }}=5{{x}^{4}}\{{left( {{x}^{6}} right)}^{prime }}=6{{x}^{5}}\…\{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=n{{x}^{n-1}}end{array})

Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

( {{left( {{x}^{a}} right)}^{prime }}=a{{x}^{a-1}},text{ }ain mathbb{R}) (2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ( displaystyle 1)».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров.

Производная тригонометрических функций

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При ( xto 0) выражение ( frac{sin x}{x}to 1).

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ 😉 ).

Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при ( displaystyle x=0) функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе ( displaystyle x) к значению ( displaystyle0), тем ближе функция к ( displaystyle 1). Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при ( xto 0) это выражение равно ( displaystyle 1): ( frac{sin x}{x}=1).

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ( x=0,1:text{ }frac{sin x}{x}=frac{sin 0,1}{0,1}approx 0,9983);

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для ( displaystyle xtext{ }=text{ }0,01;text{ }0,001;text{ }0,0001) и так далее.

( frac{sin 0,01}{0,01}approx 0,999983…;text{ }frac{sin 0,001}{0,001}approx 0,99999983…) и т.д. Видим, что чем меньше ( displaystyle x), тем ближе значение отношения к ( displaystyle 1).

Убедился? Идем дальше.

Производная синуса

Рассмотрим функцию ( y=sin x). Как обычно, найдем ее приращение:

( Delta y=sin left( x+Delta x right)-sin x).

Превратим разность синусов в произведение.

Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»): ( sin alpha -sin beta =2sin frac{alpha -beta }{2}cdot cos frac{alpha +beta }{2}).

( Delta y=sin left( x+Delta x right)-sin x=2sin frac{x+Delta {x} -x}{2}cdot cos frac{x+Delta x+x}{2}=2sin frac{Delta x}{2}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right))

Теперь производная:

( {y}’=frac{Delta y}{Delta x}=frac{2sin frac{Delta x}{2}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)}{Delta x}=frac{sin frac{Delta x}{2}}{frac{Delta x}{2}}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)).

Сделаем замену: ( t=frac{Delta x}{2}).

Тогда при бесконечно малом ( Delta xtext{ }left( Delta xto 0 right)) ( displaystyle t) также бесконечно мало: ( tto 0). Выражение для ( displaystyle {y}’) принимает вид:

( {y}’=frac{sin frac{Delta x}{2}}{frac{Delta x}{2}}cdot cos left( x+frac{Delta x}{2} right)=frac{sin t}{t}cdot cos left( x+t right)).

А теперь вспоминаем, что при ( tto 0) выражение ( frac{sin t}{t}=1). А также, что если бесконечно малой величиной ( displaystyle t) можно пренебречь в сумме ( x+t) (то есть ( x+tto x) при ( tto 0)).

( {y}’=underbrace{frac{sin t}{t}}_{to text{1}}cdot cos underbrace{left( x+t right)}_{to x}=1cdot cos x=cos x).

Итак, получаем следующее правило:

Производная синуса равна косинусу: ( {{left( sin x right)}^{prime }}=cos x)

Производная экспоненты и натурального логарифма

Есть в математике такая функция, производная которой при любом ( displaystyle  x) равна значению самой функции при этом же ( displaystyle  x). Называется она «экспонента», и является показательной функцией

( displaystyle  fleft( x right)={{e}^{x}}).

Основание этой функции – константа ( displaystyle  eapprox 2,7183…) – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как ( displaystyle  pi )). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой ( displaystyle  mathbf{e}).

Итак, правило:

( displaystyle  {{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}={{e}^{x}})

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

Чему равен ( displaystyle  ln left( {{e}^{a}} right))? Конечно же, ( displaystyle  a).

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

( displaystyle  {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x})

1. Константа выносится за знак производной

Если ( displaystyle  c) – какое-то постоянное число (константа), тогда.

( displaystyle  {{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’)

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть ( displaystyle  yleft( x right)=ccdot fleft( x right)), или проще ( displaystyle  y=cf).

( displaystyle  Delta y=yleft( x+Delta x right)-yleft( x right)=cfleft( x+Delta x right)-cfleft( x right)=cunderbrace{left( fleft( x+Delta x right)-fleft( x right) right)}_{text{Это} text{же}Delta f}=cDelta f).

( displaystyle  {y}’=frac{Delta y}{Delta x}=frac{cDelta f}{Delta x}=ccdot underbrace{frac{Delta f}{Delta x}}_{text{Это }{f}’}=ccdot {f}’), ч.т.д.

Пример 1

Найдите производную функции ( displaystyle  y=3{{x}^{2}}) в точке ( displaystyle  {{x}_{0}}=2).

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение:

3. Производная произведения

( displaystyle  {{left( fcdot y right)}^{prime }}={f}’cdot y+fcdot {y}’)

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию: ( displaystyle  gleft( x right)=fleft( x right)cdot yleft( x right)), или проще ( displaystyle  g=fcdot y).

( displaystyle  Delta g=gleft( x+Delta x right)-gleft( x right)=fleft( x+Delta x right)cdot yleft( x+Delta x right)-fleft( x right)cdot yleft( x right)).

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

( displaystyle  {g}’={f}’y+f{y}’text{ }Rightarrow text{ }{{left( fy right)}^{prime }}={f}’y+f{y}’), ч.т.д.

5 Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, ( displaystyle fleft( x right)={{a}^{x}}), где ( displaystyle a) – это какое-то число ( displaystyle left( a>0,text{ }ane 1 right)).

Мы уже знаем производную функции ( displaystyle {{e}^{x}}), поэтому давай попробуем привести нашу функцию ( displaystyle {{a}^{x}}) к новому основанию ( displaystyle e):

Для этого воспользуемся простым правилом: ( displaystyle a={{e}^{ln a}}). Тогда:

( displaystyle {{a}^{x}}={{left( {{e}^{ln a}} right)}^{x}}={{e}^{xcdot ln a}}).

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

( displaystyle {{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{xcdot ln a}} right)}^{prime }}={{e}^{xcdot ln a}}cdot {{left( xcdot ln a right)}^{prime }}underset{т.к. ln a это константа}{mathop{=}},{{e}^{xcdot ln a}}cdot ln a={{a}^{x}}cdot ln a.).

( displaystyle {{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}cdot ln a)

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было ( displaystyle {{a}^{x}}), так и осталось, появился только множитель ( displaystyle na), который является просто числом, но не переменной.

6. Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

( displaystyle {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x}),

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, ( displaystyle a):

( displaystyle y={{log }_{a}}x),

Нужно привести этот логарифм к основанию ( displaystyle e). А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

( displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}).

Только теперь вместо ( displaystyle {{log }_{c}}) будем писать ( displaystyle ln):

( displaystyle y={{log }_{a}}x=frac{ln x}{ln a}),

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной ( displaystyle )). Производная получается очень просто:

( displaystyle {y}’={{left( {{log }_{a}}x right)}^{prime }}={{left( frac{ln x}{ln a} right)}^{prime }}=frac{1}{ln a}cdot {{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{ln a}cdot frac{1}{x})

( displaystyle {{left( {{log }_{a}}x right)}^{prime }}=frac{1}{xcdot ln a})

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

7. Производная сложной функции

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат.

Итак, нам дают число ( displaystyle  x) (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось?

Функция ( displaystyle  y={{cos }^{2}}x). Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция: ( displaystyle  yleft( fleft( x right) right)).

Для нашего примера ( displaystyle  fleft( x right)=cos x), ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{2}}).

Тогда ( displaystyle yleft( fleft( x right) right)={{left( fleft( x right) right)}^{2}}={{left( cos x right)}^{2}}={{cos }^{2}}x).

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь ( displaystyle  x) в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: ( displaystyle  f=cos left( {{x}^{2}}right)). Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример: ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{2}};text{ }fleft( x right)=cos x)(то же самое). ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=cos yleft( x right)=cos left({{x}^{2}}right)).

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. 

Значит, внутренняя функция ( displaystyle  yleft( x right)=sin x), а внешняя ( displaystyle  fleft( x right)={{x}^{3}}).

А исходная функция является их композицией: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)={{y}^{3}}left( x right)={{sin }^{3}}x).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=sqrt{x}); внешняя:( displaystyle  f(x)=tg x).

Проверка:( displaystyle  f(y(x))=tg(y(x))=tgsqrt{x}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=cos x); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)=sqrt{x}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=sqrt{yleft( x right)}=sqrt{cos x}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)={{x}^{3}}+2x+1); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)={{x}^{5}}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)={{left( yleft( x right) right)}^{5}}={{left( {{x}^{3}}+2x+1 right)}^{5}}).

1. Внутренняя: ( displaystyle  yleft( x right)=2{{x}^{2}}+3); внешняя: ( displaystyle  fleft( x right)=sqrt[3]{x}).

Проверка: ( displaystyle  fleft( yleft( x right) right)=sqrt[3]{yleft( x right)}=sqrt[3]{left( 2{{x}^{2}}+3 right)}).

( displaystyle  fleft( x right)=sqrt{cos x}) производим замену переменных ( displaystyle  y=cos x) и получаем функцию ( displaystyle  fleft( y right)=sqrt{y}).

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную.

Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции.

Применительно к исходному примеру это выглядит так:

( displaystyle  {{left[ fleft( yleft( x right) right) right]}^{prime }}={f}’left( yleft( x right) right)cdot {y}’left( x right))

или проще:

( displaystyle  {{left[ fleft( y right) right]}^{prime }}={f}’left( y right)cdot {y}’)

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Алгоритм	Пример: ( displaystyle  sqrt{sin x})
1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.	Внутренняя функция: ( displaystyle  y=sin x).( displaystyle  {y}’=cos x)
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.	Внешняя функция:( displaystyle  fleft( y right)=sqrt{y}={{y}^{frac{1}{2}}}).( displaystyle  {f}’left( y right)=frac{1}{2}{{y}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{2sqrt{y}}=frac{1}{2sqrt{sin x}})
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.	( displaystyle  {f}’left( x right)=frac{cos x}{2sqrt{sin x}}).

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 1 из 5. Геометрический смысл производной – основы

Знаете, с чего начнётся ваша учёба в универе? Я имею в виду не общагу, а первые лекции по математике. 

С производной (ну, почти сразу).

Но чтобы в этот самый универ поступить, нужно сдать ЕГЭ, в котором, оказывается, тоже есть производная. И если мы уже привыкли, что в первой части есть две задачи на неё, то во второй мы её не ожидаем увидеть.

Но она там частенько бывает нужна: в экономической задаче №16 (бывшая 17). А иногда и в 18 на параметр (бывшая 19).  Поэтому, плохо зная производную, вы рискуете лишиться 4 первичных баллов!

На этом курсе я вам очень просто и понятно расскажу, что такое производная, и вы научитесь решать задачи из ЕГЭ без ошибок!

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 2 из 5. Более сложные задачи

На прошлом уроке мы познакомились с производной, узнали, что это такое, в чём её смысл и где она применяется.

А также мы научились решать один из самых распространённых типов задач № 6 из профильного ЕГЭ (бывший №7).

Теперь мы возьмёмся за более сложные типы задач, и увидим, что если мы поняли, что такое производная и в чём её “геометрический смысл” (если ещё не знаете – посмотрите первый урок), то любая задача №6 нам по зубам.

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 3 из 5. Формулы производных и правила дифференцирования

Геометрический (а также физический) смысл производной мы с вами уже поняли, задачу №6 научились решать вдоль и поперёк. В основном это задачи с рисунками: по рандомному графику нужно определить, где функция возрастает, а где убывает.

Теперь же пришло время рассмотреть конкретные функции (заданные формулой, а не графиком) и научиться находить их производные. 

Мы с вами выучим формулы производных всех элементарных функций, а также все базовые правила дифференцирования. Это поможет нам научиться решать половину всех задач №11 (бывшая №12) из профиля.

Более того, вы узнаете, откуда все эти правила и формулы появились! Мало в какой школе это объясняют на уроках математики. Но это помогает очень хорошо понять и “почувствовать” производную, чтобы она уже никогда не казалась чем-то сложным и пугающим.

Производная на ЕГЭ 2022. Урок 5 из 5. Задача на оптимизацию с применением производной

Окей, вот мы и натренировались искать производные данных нам функций, понимаем, что это такое и как с их помощью находить минимумы и максимумы.

Но зачем?

Банальный ответ “чтобы решать задачи №6 и 11” звучит довольно глупо, если вспомнить, сколько я распрягал про смысл и понимание производной. Можно было бы просто зазубрить пару формул, запомнить схему решения задач и благополучно забыть их, выйдя с экзамена.

Но оказывается, что производная бывает нужна ещё и в других задачах, например – в экономической №15 (бывшая 17). А без понимания производной будет просто нереально догадаться, что её нужно в этой задаче применять!

Как не лишиться 2 первичных баллов – смотрите в этом видео на примере задачи №15 на оптимизацию.

ЕГЭ №6 (бывшая №7) Производная функции – геометрический смысл, дифференцирование (ЕГЭ – 2021)

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

Экономическая задача на производную (ЕГЭ №15, бывшая 17-я задача)

В 2017 году, придя на экзамен, выпускники облегченно выдохнули: они увидели под 17 номером стандартную задачу на кредиты. Они боялись, что им попадется такая же задача, как на пробном ЕГЭ.

Задача-убийца, которая была чуть ли не сложнее, чем 18 и 19 вместе взятые. Кстати, те, кто сдавал в резервный день, халявы уже не получили, им тоже досталась сложная задача.

На ЕГЭ можно ожидать чего угодно, поэтому готовьтесь с нами к самым сложным задачам. Смотрите это видео и вы научитесь решать самую сложную задачу на оптимизацию и подобные ей.

1. Геометрический смысл производной

На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

2.1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.2. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.3 Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.4 Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.5. Прямая является касательной к графику функции

 . Найдите абсциссу точки касания.

2.6 Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2.7. Прямая является касательной к графику функции

. Найдите абсциссу точки касания.

2.8 Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

3. 1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  или совпадает с ней.

3.2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение.

4.1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение.
4.2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

7.1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
7.2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
7.3. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
7.4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .
7.5. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на отрезке .
7.6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
7.7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на отрезке .
7.8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на отрезке .
7.9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на отрезке .
7.10. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
7.11. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
7.12.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
7.13. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
7.15. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
7.16. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Ответы
1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	2.1	2.2
0,25	-0,75	0,25	0,25	-0,25	1	-0,5	0,25	4,5	-0,5
2.3	2.4	2.5	2.6	2.7	2.8	3.1	3.2	4.1	4.2
4,5	5,5	1	1	-1	-5	2	-2	-4	12
5.1	5.2	5.3	6.1	6.2	6.3	7.1	7.2	7.3	7.4
-1	5	4	-10	3	4	5	3	3	-1
7.5	7.6	7.7	7.8	7.9	7.10	7.11	7.12	7.13	7.14
-1	7	4	-2	-4	18	6	-3	2	7
7.15	7.16
-3	6

Производная функции на ЕГЭ

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Производная функции».

Содержание темы:

17.  ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 
17.1.  Правила дифференцирования 
17.2.  Таблица производных элементарных и сложных функций
17.3.  Геометрический и физический смысл производной 
Тест для проверки теоретических знаний 
Примеры 
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест 

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.