Все справочные материалы для егэ по математике профильный уровень

Геометрия

• Треугольник
• Четырехугольники
• Окружность и круг
• Призма
• Пирамида
• Усеченная пирамида
• Цилиндр
• Конус
• Усеченный конус
• Сфера и шар

1. Формулы сокращённого умножения

Наверх

2. Модуль числа

Определение:

Основные свойства модуля:

Наверх

3. Степень с действительным показателем

Свойства степени с действительным показателем

Пусть Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

4. Корень n-ой степени из числа

Корнем n-ой степени из числа a называется число, n-ая степень которого равна a.
Арифметическим корнем четной степени n из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства арифметического корня:

Наверх

5. Логарифмы

Определение логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Основные свойства логарифмов

Пусть Тогда верны следующие соотношения:

Наверх

6. Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии:

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Наверх

7. Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

Наверх

8. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Наверх

9. Основные формулы тригонометрии

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента:

Формулы сложения:

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

Формулы приведения

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения. Например:

Применение формул приведения укладывается в следующую схему:

— определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, считая, что ;

— определяется знак приводимой функции;

— определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид или , то функция меняется на сходственную функцию, если аргумент приводимой функции имеет вид , то функция названия не меняет.

Например, получим формулу :

— — IV четверть;

— в IV четверти тангенс отрицательный;

— аргумент приводимой функции имеет вид , следовательно, название функции меняется. Таким образом,

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

Наверх

10. Производная и интеграл

Таблица производных некоторых элементарных функций

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

Уравнение касательной к графику функции в его точке :

Таблица первообразных для некоторых элементарных функций

Правила нахождения первообразных

Пусть ― первообразные для функций и соответственно, a, b, k ― постоянные, Тогда:

— ― первообразная для функции

— ― первообразная для функции

— ― первообразная для функции

— Формула Ньютона-Лейбница:

1. Треугольник

Пусть ― длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC соответственно; ― полупериметр треугольника ABC; A, B, C ― величины углов BAC, ABC, ACB треугольника ABC соответственно; ― длины высот AA₂, BB₂, CC₂ треугольника ABC соответственно; R ― радиус окружности, описанной около треугольника ABC; r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC; ― площадь треугольника ABC. Тогда имеют место следующие соотношения:

(теорема синусов);

(теорема косинусов);

Наверх
2. Четырёхугольники

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Наверх

3. Окружность и круг

Соотношения между элементами окружности и круга

Пусть r — радиус окружности, d — ее диаметр, C — длина окружности, S — площадь круга,  — длина дуги в градусов,  — длина дуги в радиан,  — площадь сектора, ограниченного дугой в n градусов,  — площадь сектора, ограниченного дугой в радиан. Тогда имеют место следующие соотношения:

Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Вписанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, ― точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. Таким образом, в многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, ― точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. Таким образом, около многоугольника можно описать окружность, и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Наверх

4. Призма

Пусть H ― высота призмы, AA₁ ― боковое ребро призмы,  ― периметр основания призмы,  ― площадь основания призмы,  ― площадь боковой поверхности призмы,  ― площадь полной поверхности призмы, V ― объем призмы,  ― периметр перпендикулярного сечения призмы,  ― площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Свойства параллелепипеда:

— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

— диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам;

— квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Наверх

5. Пирамида

Пусть H ― высота пирамиды,  ― периметр основания пирамиды,  ― площадь основания пирамиды,  ― площадь боковой поверхности пирамиды,  ― площадь полной поверхности пирамиды, V ― объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

;

.

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то

Наверх

6. Усечённая пирамида

Пусть H ― высота усеченной пирамиды, и  ― периметры оснований усеченной пирамиды, и  ― площади оснований усеченной пирамиды,  ― площадь боковой поверхности усеченной пирамиды,  ― площадь полной поверхности усеченной пирамиды, V ― объем усеченной пирамиды.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Замечание. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то:

Наверх

7. Цилиндр

Пусть h ― высота цилиндра, r ― радиус цилиндра,  ― площадь боковой поверхности цилиндра,  ― площадь полной поверхности цилиндра, V ― объем цилиндра.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

8. Конус

Пусть h ― высота конуса, r ― радиус основания конуса, l ― образующая конуса,  ― площадь боковой поверхности конуса,  ― площадь полной поверхности конуса, V ― объем конуса.

Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

9. Усечённый конус

Пусть h ― высота усеченного конуса, r и  ― радиусы основания усеченного конуса, l ― образующая усеченного конуса,  ― площадь боковой поверхности усеченного конуса, V ― объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

10. Сфера и шар

Пусть R ― радиус шара, D ― его диаметр, S ― площадь ограничивающей шар сферы,  ― площадь сферической поверхности шарового сегмента (шарового слоя), высота которого равна h, V ― объем шара,  ― объем сегмента, высота которого равна h,  ― объем сектора, ограниченного сегментом, высота которого равна h. Тогда имеют место следующие соотношения:

Наверх

• Главная

  
  

• Теория ЕГЭ

  
  

• Математика — теория ЕГЭ

  
  

• 
  Справочные материалы к ЕГЭ по математике (профиль)

Справочные материалы к ЕГЭ по математике (профиль)

03.10.2017

Мы подготовили для вас сборник всех необходимых справочных материалов — теоремы, свойства, признаки, формулы и т.д. — для ЕГЭ по математике профильного уровня.

Материал подготовлен Школой Пифагор.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Сохранить ссылку:

Комментарии (0)
Добавить комментарий

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Имя (обязательное)

E-Mail

Подписаться на уведомления о новых комментариях

Отправить

• Взрослым: Skillbox, Geekbrains, Хекслет, Eduson, XYZ, Яндекс.
• 8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
• До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
• Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.

Справочные материалы ЕГЭ по профильной математике 2022-2023

sin² α + cos² α = 1

sin 2α = 2sin α * cos α

cos 2α = cos²α — sin²α

sin (α + β) = sin α *cos β + cos α *sin β

cos (α + β) = cos α * cos β — sin α * sin β

МБОУ Селивановская СОШ

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

КАЛИТВЯНСКАЯ НИНА ВИКТОРОВНА

Задание №1

Задачи на проценты

1. Число b составляет р % от а: b = а ∙ .

Например: Стоимость билета школьника составляет 30% стоимости взрослого. Который стоит 460 руб.

460 ∙ = 138 руб.

1. Число а увеличивается на р % : b = а ∙(1 + ).

Например: Миксер стоил 520 руб.Сколько стал он стоить после повышения цен на 35%.

520 ∙(1 + ) = 702руб.

1. Число а уменьшается на р % : b = а ∙(1 — ).

Например: Набор стаканов стоит 250 руб. Сколько стал он стоить после скидки 30%.

250 ∙(1 — ) =175 руб.

1. На сколько процентов b больше а (b > a): ∙ 100%.

1. На сколько процентов а меньше b (а < b): ∙ 100%.

1. Число а увеличилось сначала на р₁ % (р₁ = ), а затем на р₂ % (р₂ = ): b = а ∙(1 + р₁) ∙(1 + р₂) = а ∙(1 + р₁ + р₂ + р₁ ∙ р₂).

1. Число а уменьшилось сначала на р₁ % (р₁ = ), а затем на р₂ % (р₂ = ): b = а ∙ (1 — р₁) ∙(1 — р₂) = а ∙ (1 — р₁ — р₂ + р₁ ∙ р₂).

1. Сложные проценты, если р % это ежегодное начисление:

а_n = а ∙(1 + )ⁿ. Например: Клиент взял в банке кредит 24000 руб. на 2 года под 28%. Какую сумму денег он должен отдать в банк за 2 год, учитывая проценты.

24000 ∙ (1 + )² = 24000 ∙ (1,28) ² = 39321,6 руб.

Задание №3

1. Площадь треугольника

В

=

=

c h a =

= r p , где r — радиус вписанной окружности

р = — полупериметр

A b H C = , где R – радиус описанной окружности

1. Площадь параллелограмма

В С

d₁ S = h AD

h S = AB ∙ AD ∙

d₂ S = ∙ d₁ ∙ d₂ ∙

A H D

Для ромба S = ∙ d₁ ∙ d₂

1. Площадь трапеции

а

h S = ∙ h , где а и b — основания трапеции

S = MN h, где MN – средняя линия

b S = ∙ d₁ ∙ d₂ ∙

1. Площадь произвольного четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними

1. Площадь круга 6. Площадь кругового сектора

r S = S_сек. = R² где угол выражен в радианах

S_сек. = , где угол α выражен в градусах

Задание №5

1. Линейные уравнения

1. В левую часть переносим все слагаемые содержащие х, а в правую переносим числа, при этом меняем знаки на обратные.

2. Возводим левую и правую части уравнения в квадрат.

3. Решаем полученное уравнение.

4. Делаем проверку (при подстановке корня в первоначальный вид уравнения должно получиться верное равенство)

Например: — 4х – 2 = 6х

— 4х – 6х = 2

— 10х = 2

х = — 0,2

Проверка: -4 (-0,2) -2 = 6 (-0,2) верно, значит корень нашли правильно

Ответ: х = — 0,2

1. Квадратные уравнения

А. Полные квадратные уравнение

1. Преобразуем уравнение, т.е. переносим все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части уравнения был ноль. Записываем уравнение в общем виде:

ах² + bx + c = 0

1. Если перед первым коэффициентом стоит знак «-», то умножаем каждое слагаемое на -1.

2. Если каждый коэффициент делится на одно и тоже число, делим их на общий делитель.

3. Решаем полученное уравнение с помощью формулы или по теореме Виета, если уравнение приведённое.

4. Делаем проверку.

Например: — 54 – 15 х = х²

1. х² + 15х +54 = 0 используем формулу

х_1,2 = =

х₁ = -6 х₂ = — 9

Проверка: х₁ = -6 -54 — 15 (-6) = (-6)² верно, значит х₁ = -6 является корнем

Х₂ = -9 — 54 – 15 (-9) = (- 9)² верно, значит х₂ = -9 является корнем

Ответ: х₁ = -6, х₂ = — 9

2) х² + 15х +54 = 0 это уравнение можно решить с помощью теоремы Виета, т.к. оно приведённое

х_{1 +} х₂ = -15

х₁ х₂ = 54

Ответ: х₁ = -6, х₂ = — 9

Б. Неполые квадратные уравнения

Уравнения вида: х² = d

Если d > 0, то х_1,2 =

Если d < 0, то уравнение не имеет корней

Уравнение вида: ах² + bx = 0. Выносим х за скобки, каждый множитель приравниваем к нулю.

Например: 3х² – 27 = 0 2х² + 14 = 0

3х² = 27 2х² = — 14

х²= 9 х² = — 7 – нет корней

х_1,2 = Ответ: нет корней

Ответ: х_1,2 =

1. Рациональные уравнения

1. Чтобы избавиться от знаменателей, нужно умножить каждое слагаемое левой и правой части на общий знаменатель.

2. Решаем полученное уравнение.

Например: = 2(2х – 1)

2(25х – 3) = 5(2х – 1)

50х – 6 = 10х – 5

40х = 1

х = 0,025

Ответ: х = 0,025

1. Иррациональные уравнения

1. В левой части оставляем только корень, все слагаемые переносим в правую часть.

2. Возводим левую и правую части уравнения в квадрат.

3. Решаем полученное уравнение.

4. Делаем проверку (корень и подкоренное выражение должны быть неотрицательными), т.е. полученные корни подставляем в первоначальный вид уравнения.

Например: + х = 0

= — х

()² =( — х)²

— 54 – 15 х = х²

х² + 15х +54 = 0

х_1,2 = =

х₁ = -6 х₂ = — 9

Проверка: х₁ = -6 + (-6) = 0 верно, значит х₁ = -6 является корнем

Х₂ = -9 + (-9) = 0 верно, значит х₂ = -9 является корнем

Ответ: х₁ = -6, х₂ = — 9

1. Показательные уравнения

1. Преобразуем уравнение, используя свойства степеней, чтобы в левой и правой части уравнения были степени с одинаковыми основаниями.

a^b = a^c

1. Опускаем основания и приравниваем показатели степеней.

b = c

1. Решаем полученное уравнение.

Например: (0,5)^{4х +2} = 64^х

(2^-1)^{4х + 2} =(2⁶)^х

2^{-4х – 2} = 2^6х

— 4х – 2 = 6х

— 10х = 2

х = — 0,2

Ответ: х = — 0,2

1. Свойства степеней:

a^b ∙ a^c = a^{b + c} =

= a^{b — c} =

(a^b)^c = a^{b ∙ c} = a^{— n}

(a ∙ b)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ a⁰ = 1

1. Логарифмические уравнения

1. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов, чтобы в левой и правой части уравнения были логарифмы с одинаковыми основаниями.

=

1. Опускаем логарифмы и приравниваем выражения, стоящие под логарифмами.

b = c

1. Решаем полеченное уравнение.

2. Делаем проверку (выражение, стоящее под логарифмом, должно быть положительным), т.е. полученные корни подставляем в первоначальный вид уравнения.

Например: = 2 +

= +

=

=

9 – 3х = 75

— 3х = 66

х = — 22

Проверка: = 2 + верно, значит х = — 22 является корнем.

Ответ: х = — 22

1. Свойства логарифмов:

у = а^у = х = х

+ = =

— = =

= р =

=

1. Тригонометрические уравнения

1. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой части была тригонометрическая функция, а в правой части число, т.е.

= a

= a

tg b = a

ctg b = a, где b зависит от х

1. Для уравнений = a и = a проверяем, чтобы -1 а 1.

2. Если а , то уравнение не имеет корней.

3. Если -1 а 1, то решаем уравнение.

= a b = (-1)ⁿ arc + , n Z

= — a b = (-1)ⁿ⁺¹ arc + , n Z

= a b = arc + , n Z

= — a b = arc + , n Z

Частные случаи:

= 0 b = , n Z

= 1 b = + , n Z

= — 1 b = — + , n Z

= 0 b = + , n Z

= 1 b = 2 , n Z

= — 1 b = + 2 , n Z

1. Для уравнений tg b = a и ctg b = a число a – любое.

tg b = a b = arc + , n Z

tg b =- a b = — arc + , n Z

ctg b = a b = arc + , n Z

tg b =- a b = — arc + , n Z

1. Так как b зависит от х, то выражаем х.

Например: Решите уравнение и в ответе запишите наибольший отрицательный корень =

= + 2, n Z

= + 2, n Z

2x + 4 = 1 + 8, n Z

2x = 1 – 4 + 8, n Z

x = – 2 + 4, n Z

n = 0, x₁ = — 1,5; х₂ = — 2,5

n = 1, x₁ = 2,5; х₂ = 1,5

n = — 1, x₁ = — 5,5; х₂ = — 6,5

Ответ: х = — 1,5

1. Уравнения, содержащие модуль

 По определению, модуль неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a: 

Модуль числа всегда неотрицателен.

Например:

Пример 1. |x – 1| = 5 – x.

1. Пусть х – 1 > 0, т.е. х > 1. Тогда уравнения примет вид: х – 1 = 5 – х

2х = 6

х = 3 верно, т.к. 3 > 1

1. Пусть х – 1 < 0, т.е. х < 1. Тогда уравнения примет вид: — х + 1 = 5 – х

0 = 4 неверно, значит в этом случае нет корней

Ответ: х = 3

Пример 2. |𝑥 − 2| + |0,5𝑥 + 3| = 7

1. Найдем х при которых модули равны нулю:

𝑥 − 2 = 0 0,5х+3=0

𝑥 = 2 х = — 6

1. Они разбивают числовую прямую на три промежутка.

-6 2 х

1. Рассмотрим данное уравнение на каждом из промежутков.

а) 𝑥 ∈ (−∞; −6). Тогда имеем:

−𝑥 + 2 − 0,5 𝑥 − 3 = 7

−1,5𝑥 = 8

𝑥 = −5 ; −5(−∞; −6).

б) 𝑥 ∈ [−6; 2). Тогда данное уравнение примет вид:

−𝑥 + 2 + 0,5 𝑥 + 3 = 7

−0,5𝑥 = 2

𝑥 = −4; − 4 ∈ [−6; 2).

в) 𝑥 ∈ [2; +∞). Имеем уравнение:

𝑥 − 2 + 0,5 𝑥 + 3 = 7

1,5𝑥 = 6

𝑥 = 4; 4 ∈ [2; +∞)

Ответ: 𝑥 = −4, 𝑥 = 4.

5. Уравнения высших степеней

1. Введение новой переменной

Пример 1. (х² + х + 1)² – 3х² — 3x – 1 = 0.

Решение: (х² + х + 1)² – 3х² — 3x – 1 = 0.

(х² + х + 1)² – 3(х² + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х² + х + 1) = t.

t² – 3t + 2 = 0.

t₁ = 2, t₂ = 1. Обратная замена:

х² + х + 1 = 2 или х² + х + 1 = 1;

х² + х — 1 = 0 или х² + х = 0;

Из первого уравнения: х_{1, 2} = , из второго: х₃ = 0, х₄ = -1. Ответ: х_{1, 2} = х₃ = 0, х₄ = -1.

Пример 2. Биквадратное уравнение вида ax⁴ + bx² + с = 0.

 x⁴ + 5x² – 36 = 0.

Замена y = x².

у² + 5у – 36 = 0

y₁ = 4, y₂ = -9. Обратная замена:

х² = 4 х² = — 9 нет решения

x_1,2 = +2

Ответ: x_1,2 = +2

Пример 3. Возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида z = x +

6x⁴ – 35x³ + 62x² – 35x + 6 = 0

Т.к. х=0 не является корнем этого уравнения, разделим обе части уравнения на х².

6x² – 35x + 62 – + = 0

(6x²+ ) – (35x + + 62 =0

6(x² + ) – 35(x + + 62 = 0

Пусть z = x + , тогда x² + = z² – 2

Получили уравнение 6 z² — 35z + 50 = 0

z₁ = z₂ = Вернёмся к замене

x + = x +

2х² – 5х + 2 = 0 3х² – 10х + 3 = 0

Ответ:

2. Метод группировки

Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1. x³ – 4x² – x + 4 = 0 

(x³ – 4x²) – (х – 4) = 0

 (x – 4)(x² – 1) = 0 

 x – 4 = 0 x² – 1

Ответ: x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.

Пример 2.  х⁴ — 3x² + 4х – 3 = 0.

Представим — 3x² = -2x² – x² и сгруппируем:

(х⁴ — 2x²) – (x² — 4х + 3) = 0.

(х⁴ — 2x² +1 – 1) – (x² — 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х² – 1)² – 1 – (x – 2)² + 1 = 0.

(х² – 1)² – (x – 2)² = 0.

(х² – 1 – х + 2)(х² – 1 + х — 2) = 0.

(х² – х + 1)(х² + х — 3) = 0.

х² – х + 1 = 0 или х² + х — 3 = 0.

В первом уравнении нет корней, из второго: х_{1, 2} = (-1 ± √13)/2.

Ответ: х_{1, 2} =

1. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2. Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q — натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а₀, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример: 6х³ + 7x² — 9х + 2 = 0.

Решение:

Делители числа 2 : ±1, ±2

Найдя один корень, например х_{1 =}– 2, другие корни найдем, используя деление уголком.

6х³ + 7x² — 9х + 2 х + 2

6х³ + 12x²  6х² – 5х + 1 6х² – 5х + 1 = 0

— 5x² – 9х х₂ = ; х₃ =

— 5x² –10х

х + 2

х + 2

0

Ответ: х_{1 =} -2; х₂ = ; х₃ = .

4. Графический метод.

Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций.

Пример: х⁵ + х – 2 = 0

Представим уравнение в виде х⁵ = — х + 2. Функция у = х⁵ является возрастающей, а функция у = — х + 2 — убывающей. Значит, уравнение х⁵ + х – 2 = 0 имеет единственный корень -1.

Задание №6

Треугольники

1. Прямоугольный треугольник

А

1) =

=

С В

=

=

tg =

tg =

2) Теорема Пифагора: АВ² = АС² + ВС²

АВ =

АС =

ВС =

3) Против угла равного 30лежит катет равный половине гипотенузы.

4) Высота, проведенная к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике.

А СН² = АН ∙ ВН

Н АС² = АН ∙ АВ

ВС² = ВН ∙ АВ

С В СН =

5) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

R = — радиус описанной окружности

6)Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

r =

1. Равнобедренный треугольник

А

К

В Н С

1. Высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

2. Углы при основании равны.

3. Чтобы найти высоту, проведенную к боковой стороне, нужно использовать формулы площадей треугольника.

ВК = , где = или = , где р –полупериметр

1. Равносторонний треугольник.

S = a²

r = — радиус вписанной окружности

R = — радиус описанной окружности

h_a = a — медиана, высота и биссектриса

1. Свойство биссектрис треугольника

Биссектриса угла делит угол на два равных угла.

1. Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону:

AN² = AB AC – BN NC

1. Биссектрису можно вычислить по формуле: AN =

2. Биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника:

=

1. Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

1. Свойства медиан треугольника

Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам: BN = NC

1. Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями):

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин:

1. Все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников:

1. Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

1. Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

   Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

1. Средняя линия треугольника

Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине:   и 

1. Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.

 

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними:
;

;

1. Теорема Менелая

   Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

 

11. Теорема Чевы
Теорема: если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.

 

1. Подобие треугольников

Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
 и 

Обозначение: 

Признаки подобия двух треугольников

1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Коротко: если  , то 

2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны. Коротко: если  и , то 

3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть

Коротко: если  , то 

Свойства подобных треугольников

1. если , то

, где

 и  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)

 и  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)

 и  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)

1. если , то = k² , где k = = = – коэффициент подобия

2. если , то = k

Трапеция

1. Равнобедренная трапеция: проводим две высоты

А В

ADH = BKC DH = KC

ABHK – прямоугольник АВ = НК

DC = DH + HK + KC = AB + 2DH

D H K C

1. Прямоугольная трапеция: проводим высоту

А В

AB = DK

D K C

1. Cредняя линия в трапеции

   Теорема о средней линии:Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
     и

1. Средняя линия в равнобедренной трапеции

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты: MN = HD

Параллелограмм

В С

Проводим высоту и используем приемы решения прямоугольного треугольника.

А Н D

Свойства параллелограмма

В параллелограмме:
 противолежащие стороны и углы равны

 диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть

Окружность

1. Вписанный и центральный углы окружности

Центральный угол окружности равен градусной меры дуги, на которую он опирается: АОС =
Вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .

Свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу.

Если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнительные дуги, их сумма равна 

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.
Вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

AC-диаметр 

1. Касательные к окружности
   Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной: СО РС
   Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.
   1) Если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.  2) Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

Свойства квадрата отрезка касательной
Теорема 1: Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей:

Теорема 2:угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

Угол между касательной и секущей

Теорема: угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

.

Свойство общей касательной для двух окружностей

Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части.

1. Хорды окружности

Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть =
Теорема 2: угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть

Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.
Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

 = .
Теорема 2: угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

Задание №7

1. Касательная к графику функции в точке с абсциссой х₀

Значение производной функции в точке с абсциссой х₀

(х₀) = k = tg

k – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀

y = kx + b – уравнение касательной

α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох

у у = kx +b y

α x α x

y = kx + b

k > 0 (х₀) > 0 k < 0 (х₀) < 0

(х₀) = tg = =

т. е. ищем прямоугольный треугольник, к котором целое число клеток в катетах.

1. Касательная параллельная прямой y = kx + b

1. Дана функция f(x) и прямая y = kx + b параллельная касательной. Найти (х₀).

(х₀) = k

1. Находим производную функции. Если она есть.

2. Приравниваем её к k.

3. Решаем уравнение и находим х₀.

В. Дан график производной. Найти абсциссы х₀ в которых касательные параллельны прямой y = kx + b. У у = (х)

1. Проводим прямую у = k. у = k

2. Точки пересечения прямой у = k с 0 графиком производной и есть х₁ х₂ х₃ х искомые х₀.

1. Возрастание и убывание функции.

Если (х₀) > 0, то функция убывает.

Если (х₀) < 0, то функция возрастает.

1. Точки экстремума (min и max)

1. В точках экстремума производная равна нулю, т.е. (х₀) = 0.

2. На графике это точка пересечения графика (х₀) с осью Ох.

3. Точка min – производная при переходе через эту точку меняет знак с на знак .

4. Точка max – производная при переходе через эту точку меняет знак с на знак .

Задание №8

Объёмы и площади поверхностей.

1. Параллелепипед.

В₁ С₁ V = а ∙ b ∙ c

S_бок = 2с ∙ (а + b)

А₁ D₁ S_полн = S_бок + 2S_осн = 2с ∙ (a + b) + 2ab

d

Диагональ параллелепипеда

c B C

а d² = a² + b² + c²

A b D

2. Прямая призма.

1. В основании правильный треугольник.

V = h ∙ S_осн = h ∙ a²

S_бок = 3a∙h

h S_полн = S_бок + 2S_осн = 3a∙h + a²

если цилиндр вписан в призму, то

a r =

a a если цилиндр описан около призмы, то

R =

1. В основании правильный четырехугольник (квадрат).

V = h ∙ S_осн = h∙a²

S_бок = 4a∙h

h S_полн = S_бок + 2S_осн = 4a∙h + 2 a²

а если цилиндр вписан, то r =

а если цилиндр описан, то R =

1. В основании правильный шестиугольник.

V = h ∙ S_осн = h ∙ a²

S_бок = 6a∙h

h S_полн = S_бок + 2S_осн = 6a∙h + 3 a²

если цилиндр вписан, то r =

a если цилиндр описан, то R = а

1. В основании прямоугольный треугольник.

a V = h ∙ S_осн = h∙a∙b

b C S_бок = h∙(a + b + c)

S_полн = S_бок + 2S_осн = h∙(a + b + c) + h∙a∙b

если цилиндр вписан, то r =

если цилиндр описан, то R = , где с = — гипотенуза

C. В основании ромб.

a d₁ V = h ∙ S_осн = h∙d₁ ∙d₂

d₂ S_бок = 4a∙h

S_полн = S_бок + 2S_осн = 4a∙h + d₁ ∙d₂

3. Цилиндр.

V = h ∙ S_осн = h∙π∙r²

S_бок = 2π∙r ∙h

S_полн = S_бок + 2S_осн =2π∙r ∙h + 2 π∙r²= 2π∙r∙(r + h)

H h

4. Конус.

V = ∙h ∙ S_осн = ∙h∙π∙r²

S_бок = π∙r ∙l

h S_полн = S_бок + S_осн = π∙r ∙l + π∙r²= π∙r∙(r + l)

5. Усеченный конус.

V = ∙h∙(S₁ + + S₂)

S_бок = π∙(r + R)∙l

S_полн = S_бок + S_осн1 + S_осн2 = π∙(r + R)∙l + π∙r² + π∙R²

6. Куб.

V = а³

S_бок = 4a²

S_полн = 6 a²

7. Пирамида.

1. Правильная треугольная пирамида.

V = ∙h ∙ S_осн = ∙h∙а²

h h_a S_бок = h_a∙a =

a S_полн = S_бок + S_осн = + a²

1. Правильная четырехугольная пирамида.

V = ∙h ∙ S_осн = ∙h∙а²

h h_a S_бок =4 ∙ h_a∙a =

a S_полн = S_бок + S_осн = + a²

1. Правильная шестиугольная пирамида.

V = ∙h ∙ S_осн = ∙h∙а²

h h_a S_бок =6 ∙ h_a∙a =

a S_полн = S_бок + S_осн = + a²

8. Правильный тетраэдр с ребром а

V = ; S_бок = h_a∙a = a²

a h h_a S_полн = S_бок + S_осн = a² + a²=

R = a – радиус описанной сферы

a R = a — радиус вписанной сферы

9. Сфера. Шар.

V = πR³

R S = 4 πR²

а) Шар, вписанный в параллелепипед (с измерениями: a, b, c).

а = 2R, b = 2R, c = 2R V_парал = 8R³

b) Шар, описанный около параллелепипеда (с измерениями: a, b, c).

R = =

c) Шар, вписанный в цилиндр .

r = R – радиус основания цилиндра

h = 2R – высота цилиндра

V_цил = 2πR³

10. Объём многогранника.

V = V₁ + V₂

V₁

V₂

11. Равносторонний треугольник.

S = a²

r = — радиус вписанной окружности

R = — радиус описанной окружности

h_a = a — медиана, высота и биссектриса

Задание №9

1. Формулы сокращенного умножения:

1)  Разность квадратов

2)  Квадрат суммы

3)  Квадрат разности

4)  Сумма кубов

5)  Разность кубов

6) Куб суммы

7)  Куб разности

  Квадрат суммы трех чисел

9)  выражение суммы квадратов двух чисел через их сумму

10)  выражение суммы квадратов двух чисел через их разность

1. Арифметическая прогрессия

Рекурентная форма задания арифметической прогрессии: 
Формула n-ного члена: 
Формулы суммы первых n-членов арифметической прогрессии:


Характеристическое свойство арифметической прогресии:
Числа a,b,c являются членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда второе число равно среднему арифметическому двух крайних чисел, то есть 

1. Геометрическая прогрессия

Рекурентная форма задания геометрической прогрессии: 
Формула n-ного члена: 
Формулы суммы первых n-членов геометрической прогрессии:


Характеристическое свойство геометрической прогресии:
Три ненулевых числа a,b,c являются членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат среднего числа равен произведению крайних, то есть: 

1. Логарифмические выражения

1. = b

2. = a^c = a^c

3. = = b^c

4. = =

5. = ()ⁿ = b

6. = p

7. =

8. = = c

9. = = c

10. = 1

11. =

1. Степенные выражения

Свойства степеней:

a^b ∙ a^c = a^{b + c} =

= a^{b — c} =

(a^b)^c = a^{b ∙ c} = a^{— n}

(a ∙ b)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ a⁰ = 1

Например:

7⁴ ∙ 3⁷ : 21³ = = = 7¹ ∙ 3⁴ = 7 ∙ 81 = 567

1. Тригонометрические выражения

1. Основные тригонометрические тождества

+ = 1; = 1;

1 + = ; 1 + = .

1. Формулы суммы и разности аргументов

=

=

=

1. Формулы двойного аргумента

= —

= – 1

= 1 —

1. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

1. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

1. Формулы приведения

1. представляем угол в виде суммы или разности, используя: = 90°, °, = 270°, 2 = 360°.

2. определяем, меняется или нет функция

(90°) – меняется

°) – не меняется

(270°) – меняется

2 (360°) – не меняется

1. определяем угол, для этого смотрим в какой четверти находится первоначальный угол первоначальной функции

1. Значение тригонометрических функций некоторых углов

1. Радианное измерение углов

1. Иррациональные выражения

Свойства квадратных корней:

1)  , формула верна при 

2)  , формула верна при любом значении а

3)  формула верна при  , 

4) 

Свойства корней n-ной степени:

1) 

2) , если n-четное

3) , если n -нечетное

4) 

5) 

6) 

7) 

 

9) если , то 

Как сравнивать корни?

внести числа под знак корня

если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

Задание №11

1. Задачи на движение.

1. S = v ∙ t , v = , t = , где S – путь, v – скорость, t – время

1. Тела движутся навстречу друг другу.

Время встречи t = ,

где S₀ – расстояние между первым и вторым в начальный момент,

v₁ – скорость первого,

v₂ – скорость второго.

t = + = ,

где — время движения первого до встречи,

— время движения второго до встречи.

1. Одно тело догоняет другое.

Время, за которое второй догоняет первого t = ,

где S₀ – расстояние между первым и вторым в начальный момент,

v₁ – скорость первого,

v₂ – скорость второго.

t = — = ,

где — время движения первого,

— время движения второго.

1. Движение по течению и против течения реки.

v_{по теч.} = v_{собств.} + v_теч.

v_{пр теч.} = v_{собств.} — v_теч.

v_{собств.} =

v_теч. =

1. Задачи на работу.

А = Р ∙ t, P = , t = .

где А – работа,

Р – производительность (т.е. часть работы, выполненной за единицу времени),

t – время за которое была выполнена работа.

Время выполнения работы при совместной работе t = ,

где t₁ – время выполнения работы первым,

t₁ — время выполнения работы вторым.

t = + =

1. Задачи на сплавы, смеси и растворы.

c_m = ∙ 100%, m_k = ∙ , m_o = ∙ 100%

m₀ – общая масса,

с_m – процентное отношение массы компонентов,

m_k — масса компонентов.

Задание №12

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

1. Находим производную функции (х).

2. Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение: (х₀) = 0.

3. Из полученных корней выбираем те, которые принадлежат отрезку.

4. Находим значение функции в выбранных корнях и на концах отрезка.

5. Из полученных значений выбираем наибольшее или наименьшее.

1. Нахождение точек экстремума (min или max).

1. Находим производную функции (х).

2. Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение: (х₀) = 0.

3. Если производная функции меняет знак с «+» на «-» при переходе через полученный корень, то эта точка — max.

4. Если производная функции меняет знак с «-» на «+» при переходе через полученный корень, то эта точка – min.

1. Производная произведения.

(uv)^, = u^,v + uv^,

1. Производная дроби.

=

1. Производные основных функций.

()^’= — ; ( )^’ = ;

(х^р)^’= p x^{p – 1}; (sin x)^’ = cos x;

(е^х)^’ = е^х; (cos x)^’ = — sin x;

()^’ = ; (tg x)^’ = ;

()^’ = ; (сtg x)^’ = — ;

(а^х)’ = а^х∙ln a.

1. Производные сложных функций.

()^’= — ∙ u^’; ( )^’ = ∙ u^’;

(е^u)^’ = е^u∙u^’; (sin u)^’ = cos u ∙ u^’;

(u^р)^’= p u^{p – 1} ∙ u^’; (cos u)^’ = — sin u ∙ u^’;

()^’ = ∙ u^’; (tg u)^’ = ∙ u^’;

()^’ = ∙ u^’; (сtg u)^’ = — ∙ u^’;

(а^u)’ = а^u∙ln a ∙ u^’.