Все свойства логарифмов таблица для егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2^x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2^x = 7.

По графику функции y = 2^x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2² = 4, 2³ = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log₂7 (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log₂7 = 2,807354922057604107…

Итак, наше число log₂7 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

так как ;

, так как ;

так как ;

, так как .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log₂(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, log_ab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

log_aa^x=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

log_a(bc) = log_ab + log_ac.

(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

$log_{a}frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c$

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

$log_{a}b^{m}=mlog_{a}b.$

(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

$log_{a^{n}}b=frac{1}{n}log_{a}b.$

(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

(8)

В частности, если c = b, то log_bb = 1, и тогда:

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1)).

3. $log^{2}_{sqrt{7}}49=(log_{sqrt{7}}49)^{2}=(log_{sqrt{7}}7^{2})^{2}=(2log_{sqrt{7}}7)^{2}=(2cdot 2)^{2}=16$ (применили формулу (4)).

4. $log_{0,8}3cdot log_{3}1,25=log_{0,8}3cdot frac{log_{0,8}1,25}{log_{0,8}3}=log_{0,8}1,25=log_{frac{4}{5}}frac{5}{4}=-1$ (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. $frac{9^{log_{5}50}}{9^{log_{5}2}}=9^{log_{5}50-log_{5}2}=9^{log_{5}25}=9^{2}=81$ (применили формулу (3) разности логарифмов).

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Свойства логарифмов (формулы) таблица шпаргалка

Основный свойства и формулы логарифмов

Логарифм единицы

1. log_a1 = 0 ⇔ a>0, a≠1

Логарифм основания

2. log_aa = 1 ⇔ a>0, a≠1

Логарифм произведения

3. log_a(b⋅c) = log_a b + log_a c ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1

${log _6}2 + {log _6}3 ={log _6}(2⋅3) ={log _6}6=1$

Логарифм частного

4. ${text{lo}}{{text{g}}_a}frac{b}{c} = {log _a}b — {log _a}c$ ⇔ a>0, b>0, c>0,a≠1

${log _2}frac{2}{5} = {log _2}2 — {log _2}5 = 1 — {log _2}5$

Логарифм степени

5. log_abⁿ = n⋅log_a b ⇔ a>0, b>0, a≠1

${text{3lo}}{{text{g}}_8}4 = {log _8}{4^3} = {log _8}64 = 2$

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

6. ${text{lo}}{{text{g}}_a}b = frac{{{{log }_c}b}}{{{{log }_c}a}}$

${text{lo}}{{text{g}}_{text{4}}}3 = frac{{{{log }_3}3}}{{{{log }_3}4}} = frac{1}{{{{log }_3}4}}$

7. ${text{lo}}{{text{g}}_a}b = frac{1}{{{{log }_b}a}}$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, b≠1

${text{lo}}{{text{g}}_{125}}5 = frac{1}{{{{log }_5}125}} = frac{{text{1}}}{{text{3}}}$

Логарифм степени

8. ${text{lo}}{{text{g}}_{{a^n}}}b = frac{1}{n}{text{lo}}{{text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1, n≠0

${text{lo}}{{text{g}}_{25}}5 = {log _{{5^2}}}5 = frac{{text{1}}}{{text{2}}}{log _5}5 = frac{1}{2}$

9. ${text{lo}}{{text{g}}_{{a^{frac{{text{n}}}{{text{m}}}}}}}b = frac{m}{n} cdot {text{lo}}{{text{g}}_a}b$ ⇔ a>0, b>0, a≠1

${text{lo}}{{text{g}}_{{{text{2}}^{frac{{text{3}}}{{text{4}}}}}}}2 = frac{4}{3}{log _2}2 = frac{4}{3}$

10. ${a^{{{log }_с}b}} = {b^{{{log }_c}a}}$ ⇔ a>0, b>0, c>0, a≠1, b≠1, c≠1

${8^{{{log }_2}5}} = {5^{{{log }_2}8}} = {{text{5}}^{text{3}}} = {text{125}}$

Основное логарифмическое тождество (подробно см. здесь.)

11. a^log_a b = b ⇔ a>0, b>0, a≠1

Дополнительные свойства логарифма:

$log_a⁡x^{2m}=2m log_a⁡|x|,x≠0,m∈N$
$log_a⁡x=log_{a^n}x^n, x>0,n∈R,a≠1,a>0$
$log_{a^k} x^m=frac{m}{k}log_a⁡x, x>0,m∈R,k∈R,k≠0,a≠1,a>0$

Источник

18
Фев 2013

Категория: Справочные материалы

Логарифм. Определение. Свойства логарифмов

2013-02-18
2021-06-18

Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Обозначение читается как логарифм по основанию .

Например, , так как ( – основание степени, – показатель степени)

ЛОГАРИФМЫ

$;Large{log_{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b;};$

ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО

$;Large{a^{log_{a}b;}=b};$

СВОЙСТВА

$log_{a}a=1$ , $log_{a}1=0$

$log_ax-log_ay=log_afrac{x}{y}$

$log_{a} x^{n}=n:log_{a}x$

$log_{{a}^{p}}x=frac{1}{p}log_{a}x$

Свойства, тождество, определение выполняются при

Чаще всего используют логарифмы

– с основанием (натуральный логарифм), кратко –

– с основанием (десятичный логарифм), кратко – $log_{10}a=lg a.$

Автор: egeMax |

комментариев 14
| Метки: Логарифмы, шпаргалки-таблицы

Источник

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$, $a≠1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

Пример:

$log_{2}8=3$, т.к. $2^{3}=8;$

$log_{3}{1}/{27}=-3$, т.к $3^{-3}={1}/{27}$

Особенно можно выделить три формулы:

$log_{a}a=1;$

$log_{a}1=0;$

$log_{a}a^b=b.$

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$

Пример:

$4^{log_{4}5}=5;$

$3^{-2log_{3}5}={3^{log_{3}5^{-2}}}=5^{-2}={1}/{25}$

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $lg⁡b$ вместо $log_{10}b$.

Пример:

$lg100000=lg10^5=5$

Ответ: $5$

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$, где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2.7$. При этом пишут $lnb$, вместо $log_{e}b$

Свойства логарифмов.

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log{_а}b^m=mlog_{a}b;$

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

Пример:

$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$

$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$

$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

Пример:

Вычислить $log_{12}2+log_{12}72$

Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений

$log_{12}2+log_{12}72=log_{12}2·72=log_{12}144=2$

Ответ: $2$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

Пример:

Вычислить $log_{5}75-log_{5}3$

Решение:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений

$log_{5}75-log_{5}3=log_{5}{75}/{3}=log_{5}25=2$

Ответ: $2$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a$, $b$, $c$, $d>0$, $a≠1$, $b≠1.$

5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}c}$, где $а, b, c>0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

Пример:

Найдите значение выражения: ${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}$

Решение:

В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$. Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$.

${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}=log_{13}∜{13}$

Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня

$∜{13}=13^{{1}/{4}}$

$log_{13}∜{13}=log_{13}13^{{1}/{4}}={1}/{4}=0.25$

Ответ: $0.25$

Источник

Факт 1.
(bullet) Логарифм по основанию (a) от (b) – это число (t), которое показывает, в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b).
Ограничения: числа (a) и (b) такие, что (a>0, ane 1, b>0).
[Large{{color{blue}{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad
a^t=b }}}]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то (tin
mathbb{R}).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество [{Large{a^{log_ab}=b}}]
(bullet) Справедливы следующие формулы: [{large{begin{array}{|ll|l|}
hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}}
&& qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\
&&\
hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\
&&\
textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m —
{small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\
&&\
textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n —
{small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n —
{small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\
&&\
textbf{(8)}
log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \
&&\
textbf{(9)}
a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\
&&\
textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\
&&\
textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\
&&\
&&\
{small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \
textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\
textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\
&&\ hline
end{array}}}]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

Источник

Логарифмы

Основный свойства и формулы логарифмов

Логарифм единицы

1. loga1 = 0 ⇔ a>0, a≠1

Логарифм основания

2. logaa = 1 ⇔ a>0, a≠1

Логарифм произведения

Логарифм частного

Логарифм степени

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Логарифм степени

Логарифм. Определение. Свойства логарифмов

ЛОГАРИФМЫ

Свойства логарифмов.

1. log_a1 = 0 ⇔ a>0, a≠1

2. log_aa = 1 ⇔ a>0, a≠1