Все свойства прямоугольного треугольника для егэ

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. 

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$CD^2=DB∙AD$

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$CB^2=AB∙DB$

$AC^2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Печать страницы

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В буквах это так: 

• ( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

или так: 

• ( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}})

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.

Правда, похоже на какие-то шорты? Ну и на какие стороны и где они равны? Почему и откуда возникла шутка? М-да… Кажется, у людей в античности с юмором явно проблемы.

Вовсе нет! А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора так:

( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}),

а Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений ( displaystyle a,text{ }b,text{ }c,text{ }x) и так далее. Не было надписей ( displaystyle {{a}^{2}},text{ }{{b}^{2}},text{ }{{c}^{2}}).

Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами?! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора

Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

или

( {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}})

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, то… сейчас мы ее докажем)

Нарисуем квадрат со стороной ( a+b).

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин ( a) и ( b)!

А теперь соединим отмеченные точки:

Тут мы, правда, ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата?

Правильно, ( {{left( a+b right)}^{2}}).

А площадь меньшего?

Конечно, ( c^2).

Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.

Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна ( displaystyle 2ab).

Давай теперь соберем всё вместе.

( displaystyle underbrace{{{left( a+b right)}^{2}}}_{{{S}_{большого квадрата}}}=underbrace{2ab}_{{{S}_{“обрезков”}}}+underbrace{{{c}^{2}}}_{{{S}_{малого квадрата}} })

Преобразуем: ( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=2ab+{{c}^{2}})

то есть ( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}})

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом

Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

• ( sin angle A=frac{a}{c});
• ( cos angle A=frac{b}{c});
• ( tg~angle A=frac{a}{b});
• ( ctg~angle A=frac{b}{a}).

А почему же всё только про угол ( A)? Где же угол ( B)?

Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 – 4 записываются словами. 

Смотри, понимай и запоминай!

• ( displaystyle sin angle A=frac{a}{c})

Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол ( displaystyle B)?

Есть ли катет, который находится напротив угла ( displaystyle B), то есть противолежащий (для угла ( displaystyle B)) катет?

Конечно, есть! Это катет ( displaystyle b)!

• Значит, ( displaystyle sin angle B=frac{b}{c})

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. 

( displaystyle cos angle A=frac{b}{c})

Значит, ( displaystyle sin angle B=frac{b}{c})

А как же угол ( displaystyle B)?

Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу ( displaystyle B)? Конечно же, катет ( displaystyle a).

Значит, для угла ( displaystyle B) катет ( displaystyle a) – прилежащий, и

• ( displaystyle cos angle B=frac{a}{c}).

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого!

Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

• ( displaystyle tg~angle A=frac{a}{b})

Как это теперь записать словами?

Катет ( displaystyle a) каким является по отношению к углу ( displaystyle A)? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла ( displaystyle A).

А катет ( displaystyle b)? Прилегает к углу ( displaystyle A).

Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

• ( displaystyle ctg~angle A=frac{b}{a})

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол ( displaystyle angle B). Что будет для него? Правильно:

• ( displaystyle tg~angle B=frac{b}{a})( displaystyle ctg~angle B=frac{a}{b})

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

I. По двум катетам

Прямоугольные треугольники равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника.

II. По катету и гипотенузе

Прямоугольные треугольники равны, если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого.

III. По гипотенузе и острому углу

Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.

IV. По катету и острому углу

Прямоугольные треугольники равны, если катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника.

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

То треугольники не равны, несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих – противолежащим.

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?

Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.

А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Что видим? 

Треугольник ( displaystyle ABC) – половина прямоугольника.

Проведём диагональ ( displaystyle CD) и рассмотрим точку ( displaystyle O) – точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

• Точкой пересечения диагонали делятся пополам
• Диагонали равны

И что из этого следует?

• Точкой пересечения диагонали делятся пополам

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Если медиана, проведенная к какой-нибудь стороне треугольника, оказалась равна половине этой стороны, то треугольник – прямоугольный.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы?

А давай посмотрим на картинку.

Здесь( displaystyle CO) – медиана и равна( frac{AB}{2}).

Что же это получилось за точка ( displaystyle O)?

Посмотри внимательно. У нас есть: ( OA=OB=OC), то есть расстояния от точки ( displaystyle O) до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это – ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Посмотрим на ( Delta ABC) и ( Delta ACH).

У них общий ( angle A), и они оба – прямоугольные. Значит (вспоминаем только что прочитанные признаки подобия прямоугольных треугольников) – они подобны!

Еще раз. ( displaystyle begin{array}{l}Delta ABC, Delta ACH:\left{ begin{array}{l}angle CAB=angle CAH\angle C=90{}^circ ; angle H=90{}^circ end{array} right.Rightarrow \Rightarrow Delta ABCsim Delta ACHend{array})

Но у подобных треугольников все углы равны!

( angle HCA=angle CBA) (Посмотри на рисунок)

То же самое можно сказать и про ( Delta CBH) и ( Delta ABC)

А теперь нарисуем это вместе:

( displaystyle begin{array}{l}Delta ABC, Delta CBH:\left{ begin{array}{l}angle ABC=angle CBH\angle C=90{}^circ ; angle H=90{}^circ end{array} right.Rightarrow \Rightarrow Delta ABCsim Delta CBHRightarrow \Rightarrow angle BAC=angle BCHend{array})

Что видим?

У ( Delta BCH) и ( Delta CHA) одинаковые острые углы!( displaystyle Rightarrow Delta BCHsim Delta CHA)

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Чтобы писать меньше букв, обозначим:

( displaystyle AC=b); 
( displaystyle BC=a ); 
( displaystyle AB=c); 
( displaystyle CH=h) (посмотри на рисунке). 

Применяем подобие:( Delta ABCsim Delta ACH).

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу “Высота в прямоугольном треугольнике”:

( displaystyle h=frac{ab}{c})

Как же получить вторую?

А теперь применим подобие треугольников ( BCH) и ( CAH).

Но сначала обозначим ( BH={{c}_{a}}) и ( CH={{c}_{b}}) ( смотри на рисунок)

Итак, применим подобие: ( displaystyle Delta BCHsim Delta CAH).

Значит,

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу “Высота в прямоугольном треугольнике”:

( displaystyle {{h}^{2}}={{c}_{a}}{{c}_{b}}) ,то есть ( displaystyle h=sqrt{{{c}_{a}}{{c}_{b}}})

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.

Запишем их ещё раз:

( displaystyle h=frac{ab}{c})

( displaystyle h=sqrt{{{c}_{a}}{{c}_{b}}})

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!