Все виды 1 задания егэ математика профильный уровень 2022

Новые задания №1 ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня — простейшие уравнения.

Для успешного результата необходимо уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

Задание №1 ЕГЭ 2022 математика профильный уровень Прототипы

Источник: math100.ru → Рациональные уравнения

→ Иррациональные уравнения

→ Показательные уравнения

→ Логарифмические уравнения

→ Тригонометрические уравнения
time4math.ru → скачать задания
vk.com/ekaterina_chekmareva → задания

При отработке данного задания будут полезны книги:

решение уравнений и неравенств

Купить ЕГЭ 2022 Математика. 100 баллов. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств

Задание 1 ЕГЭ по математике

Купить Математика: уравнения и неравенства. Подготовка к ЕГЭ: профильный уровень

Решение уравнений и неравенств задание 1 ЕГЭ профильная математика

Купить Показательные и логарифмические уравнения. ЕГЭ. Математика

Методы решения тригонометрических уравнений

Купить Методы решения тригонометрических уравнений. ЕГЭ. Математика

Связанные страницы:

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня

Решение 17 задания ЕГЭ по профильной математике

Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике базового уровня

Купить сборники типовых вариантов ЕГЭ по математике

Задание 9 профильного ЕГЭ по математике. Практика

Источник

Задания первой части (1-11) профильного ЕГЭ по математике в новом формате 2022.

Все задачи для тестов взяты из открытого банка с сайта mathege.ru. Подборка группы vk.com/egeatom/

Предыдущие варианты:
4ege.ru/tr…
4ege.ru/tr…

Источник
Skip to content

ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.

ЕГЭ по математике — Профиль 2022. Открытый банк заданий с ответами.admin2022-08-27T23:17:48+03:00

Источник

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №1 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №1 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, BC = 15, tgA=0,75. Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

AC=frac{BC}{tgA}=frac{15}{0,75}=20.

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен 90^circ, , tgA=frac{9}{40}, , AC=20. Найдите AB.

По определению косинуса угла, cosA=frac{AC}{AB},AB=frac{AC}{{cos A}}.

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

{tg}^2angle { A+1=}frac{{ 1}}{{cos}^2angle { A}}.

Отсюда {cos}^2angle { A=}frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}angle {A=}frac{{ 40}}{{ 41}},AB=frac{20}{40}cdot 41=20,5.

Ответ: 20,5.

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен 122^circ . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен 122^circ. Тогда угол CBA равен 180^circ -122^circ =58^circ. Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^circ, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен 180^circ -58^circ -58^circ =64^circ.

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^circ. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, { S}vartriangle { =}frac{{1}}{{2}}{ a}cdot {b}cdot { sin}angle { C}. Получим:

S=frac{1}{2}cdot 10^2 cdot sin30^circ=25 см2.

Ответ: 25.

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^circ , угол B равен 58^circ, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

angle DCB=angle DBC=58^circ.

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^circ. Отсюда

angle ACD=90^circ -angle DCB=90^circ -58^circ =32^circ.

6. B остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65^circ. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^circ. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и angle DOC = 65^circ. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен 180^circ -65^circ =115^circ.

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^circ и 66^circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

angle MCH=angle C-angle ACM-angle BCH{ =90^circ -24^circ -}left({ 90^circ -66^circ }right){=42^circ }.

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^circ угол B равен 82^circ. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен 180^circ -60^circ -82^circ =38^circ.

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^circ и 19^circ.

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть 49^circ.

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен frac{1}{2}cdot (180^circ -x).

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

2x=frac{1}{2}cdot (180^circ -x).
Отсюда {x }= 36^circ.

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD  AB=3, AD=21, sinA=frac{6}{7}. Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

DH=ADsinA=21cdot frac{6}{7}=3cdot 6 =18.

Ответ: 18.

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда S= a cdot h1 = b cdot h2, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна 40 : 5 = 8.

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b), его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен a^2 +b^2.

Получим: 2 (a+b) = 8, тогда a+b = 4,

ab = 3,5.

По формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Отсюда квадрат диагонали a^2+b^2=left ( a+b right )^2-2ab=4^2-2cdot 3,5 =16-7=9, и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, HG = EF = frac{5}{2}.

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны frac{5}{2}. Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен 4cdot frac{5}{2}=10.

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: AH=frac{AB-CD}{2}=frac{26-14}{2}=6.

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции DH=sqrt{AD^2-AH^2}=8.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=frac{left ( AB+CD right )cdot DH}{2}=160.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5.

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

OF=FC=frac{1}{2}DC,

OE=AE=frac{1}{2}AB.

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200^circ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это 360^circ. Из условия мы получим, что дуга ABC равна 360^circ - 200^circ = 160^circ. Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна 160^circ - 80^circ = 80^circ. Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 40^circ.

Ответ: 40.

19. Угол ACB равен. 3^circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124^circ. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен 124^circ, так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

angle DAC =62^circ - 3^circ =59^circ.

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32^circ. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^circ, и тогда угол ОBA равен 90^circ - 32^circ = 58^circ. Угол ОAB также равен 58^circ, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен 180^circ -58^circ cdot 2=64^circ.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна 64^circ.

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122^circ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна 360^circ, и тогда угол AОB равен 180^circ - 122^circ = 58^circ.

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна 58^circ.

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=pr=sqrt{pleft ( p-a right )left ( p-b right )left ( p-c right )}, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника S_{ABC}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=sqrt{16cdot 9}=12.

Тогда

r=frac{2cdot 12}{16}=frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна 3+ 3 = 6.

Периметр треугольника: p= 8 + 8 + 6 = 22.

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

Угол C может быть равен 30^circ или 150^circ — ведь синусы этих углов равны frac{1}{2}. Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен 30^circ.

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, frac{AB}{{sin C}}=2R. Тогда {sin C}=frac{1}{2}.

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен 150^circ.

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в sqrt{2} раз больше катета. Получим:

newline r=frac{a+b-c}{2}=frac{2left(82+41sqrt{2}right)-sqrt{2}(82+41sqrt{2})}{2}= newline frac{164+82sqrt{2}-82sqrt{2}-82}{2}=frac{82}{2}=41.

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

AD+BC=AB+DC=10+16=26.
Тогда периметр четырехугольника равен AD+BC+AB+DC=26cdot 2=52.

Ответ: 52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен frac{1}{2}cdot left ( 145^circ + 71^circ right )=108^circ.

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^circ. Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, angle ABO=angle BAO=84^circ.

angle AOB=180^circ -angle ABO - angle BAO = 12^circ, , n=frac{360^circ}{angle AOB}=frac{360^circ}{12^circ}=30.

Ответ: 30.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 1 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

В этом разделе представлен тематический классификатор задачной базы. Вы можете прорешать все задания по интересующим вас темам. Зарегистрированные пользователи получат информацию о количестве заданий, которые они решали, и о том, сколько из них было решено верно. Цветовая маркировка: если правильно решено меньше 40% заданий, то цвет результата красный, от 40% до 80%  — желтый, больше 80% заданий  — зеленый. Если в оба столбца таблицы выделены зеленым, уровень вашей готовности можно считать достаточно высоким. В столбцах первое число  — количество различных уникальных заданий (прототипов), второе число  — общее количество заданий, включая задания (клоны), отличающиеся от прототипов только числовыми данными.

Тема Кол-во
заданий
в базе		 Кол-во
решенных
заданий		 Из них
решено
правильно		 Проверить себя

Дополнительные задания для подготовки

Источник

За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 3 минут. Уровень сложности: базовый.
Средний процент выполнения: 80.6%
Ответом к заданию 1 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Разбор сложных заданий в тг-канале

Задачи для практики

Задача 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=7$, $cos A={3} / {5}$
(см. рис.). Найдите $AB$.

Решение

$sin A = {BC}/{AB}$.

$sin^2A + cos^2A = 1$, то есть $sin A = √{1 — {9}/{25}} = {4}/{5}$.

${4}/{5} = {7}/{AB}, AB = {35}/{4}=8.75$.

Ответ: 8.75

Задача 2

Угол $ACO$ равен $32^°$. Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O$. Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠ AOC=90°-∠ ACO$, так как $∠ OAC=90°$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $∠ AOC=90°-32°=58°$. $∠ AOC$ — центральный и измеряется дугой $AB$, то есть $⌣ AB=58°$. Отсюда: дуга $AD$ равна $180°-58°=122°$, так как дуга $DB=180°$.

Ответ: 122

Задача 3

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC$ (см. рис.). Меньшая дуга $AB$ равна $48^°$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠C AB = ∠C BA$, как углы между хордой и касательной, они измеряются половиной дуги $AB$, то есть $∠C AB = {1}/{2} ︶ AB$ и $∠C BA = {1}/{2} ︶ AB$.

Отсюда, $∠AC B = 180°- ︶AB = 180° — 48° = 132°$.

Ответ: 132

Задача 4

Периметр треугольника равен $73$, а радиус вписанной окружности равен $4$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {73}/{2} · 4 = 146$.

Ответ: 146

Задача 5

Периметр треугольника равен $40$, а радиус вписанной окружности равен $3$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

$S_{ABC} = p · r$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности, тогда $S_{ABC} = {40}/{2} · 3 = 60$.

Ответ: 60

Задача 6

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $AOM$ равен $28^°$. Найдите вписанный угол $MNB$. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠AOM$ — центральный, он измеряется дугой $AM$, то есть $︶AM = 28°$. $AB$ — диаметр, значит $︶AB = 180°$, а $︶MB = 180° — 28° = 152°$. $∠MNB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠MNB = 76°$.

Ответ: 76

Задача 7

Отрезки $MN$ и $AB$ — диаметры окружности с центром $O$ (см. рис.). Угол $MOB$ равен $116^°$. Найдите вписанный угол $MAB$. Ответ дайте в градусах.

Решение

$∠ MOB$ — центральный, он измеряется дугой $MB$. $∠ MAB$ — вписанный и он измеряется половиной дуги $MB$, то есть $∠ MAB={116°} / {2}=58°$.

Ответ: 58

Задача 8

В треугольнике $ABC$ равны боковые стороны $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$,
$sin ∠ BAC=0{,}6$ (см. рис.). Найдите $BH$.

Решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$∠BAC = ∠ABC, sin ∠ABC = {AH}/{AB}, AH = AB sin ∠ABC. AH = 15 · 0.6 = 9$.

Из $△AHB: HB = √{AB^2 — AH^2} = √{225 — 81} = √{144} = 12$.

Ответ: 12

Задача 9

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AH$ — высота, $AB=15$, $sin ∠ BAC={√ {5}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $BH$.

Решение

В треугольнике напротив равных сторон лежат равные углы. $∠ BAC=∠ ABC$, $sin ∠ ABC={AH} / {AB}$, $AH=AB sin ∠ ABC$. $AH=15⋅ {√ {5}} / {3}=5√ {5}$. Из $▵ AHB:$ $HB=√ {AB^2-AH^2}=√ {225-125}=√ {100}=10$.

Ответ: 10

Задача 10

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $BC=9$, $sin A={4} / {11}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

Решение

$sin A = {BC}/{AB}, AB = {BC}/{sin A} = {9}/{{4}/{11}} = {99}/{4} = 24.75$.

Ответ: 24.75

Задача 11

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $224$, а отношение соседних сторон равно ${2} / {7}$.

Решение

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$

$AD : AB = 2 : 7, S_{ABCD} = AD · AB$

$S_{ABCD} = 224$, тогда $224 = AD · AB$

Пусть $x$ — некоторое положительное действительное число, тогда $AD = 2x, AB = 7x$

Отсюда, $224 = 2x · 7x$

$224 = 14x^2$

$x^2 = {224}/{14}$

$x^2 = 16$

$x = 4$

Следовательно, $P = 2(AD+AB) = 2(2·4+7·4) = 2·4(2+7) = 8·9 = 72$.

Ответ: 72

Задача 12

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $48$, а отношение соседних сторон равно $3:4$.

Решение

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ (см. рис.). $AD:AB=3:4$, $S_{ABCD}=AD⋅ AB$; $S_{ABCD}=48$, тогда
$48=AD⋅ AB$. Пусть $k$ — некоторое положительное действительное число и
$AD=3k$, $AB=4k$. Отсюда $48=3k⋅ 4k$; $48=12k^2$; $k^2=4$, $k=2$. Следовательно, $P=2(AD+AB)=2(3⋅ 2+4⋅ 2)=28$.

Ответ: 28

Задача 13

Площадь прямоугольника равна $22$. Найдите его большую сторону, если она на $9$ длиннее меньшей стороны.

Решение

$S_{ABCD} = AB·CB$.

Обозначим большую сторону через $x$, тогда меньшая сторона $x — 9$. Итак, $22 = x(x — 9)$

$ x^2 — 9x — 22 = 0$

$D = 81 + 88 = 169 = 13^2$

$ x = {9±13}/{2}$

$ x_1 = 11$

$ x_2 = -2$ (не подходит).

Ответ: 11

Задача 14

Основания равнобедренной трапеции равны $15$ и $9$. Высота трапеции равна $6$. Найдите тангенс острого угла.

Решение

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ — высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.

$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {15 — 9}/{2} = 3, BK = 6$ (по условию). $tg ∠BAD = {6}/{3} = 2$.

Ответ: 2

Задача 15

Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $6$. Высота трапеции равна $7$. Найдите тангенс острого угла.

Решение

Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $AB = CD, BK$ и $CM$ высоты. Тогда $AK = MD$ и $AD = BC + 2AK$.

$tg ∠BAD = {BK}/{AK}, AK = {AD — BC}/{2} = {14 — 6}/{2} = 4, BK = 7$ (по условию). $tg ∠BAD = {7}/{4} = 1.75$.

Ответ: 1.75

Задача 16

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, $AC=6√ {3}$, $tg A={√ {3}} / {3}$ (см. рис.). Найдите $AB$.

Решение

$tgA = {BC}/{AC}, {√3}/{3} = {BC}/{6√3}, BC = {6√3·√3}/{3} = 6$.

Из $△ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2$;

$AB^2 = (6√3)^2 + 6^2 = 36·3 + 36 = 36·4 = 144, AB = 12$.

Ответ: 12

Задача 17

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $5$ и $16$.

Решение

Рассмотрим ромб $ABCD$.

$S_{ABCD} = {1}/{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

$S_{ABCD} = {1}/{2}·5·16 = 40$.

Ответ: 40

Задача 18

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150^°$. Боковая сторона треугольника равна $12$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть в $△ABC ∠C = 150°, AC = CB$.

$S_{ACB} = {1}/{2}AC·CB·sin∠ACB = {1}/{2}·12·12·sin150° = 72·sin 30° =72·{1}/{2} = 36$.

Ответ: 36

Задача 19

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Пусть в $▵ ABC$ $∠ C=30°$, $AC=BC=7$ (см. рис.). $S_{ACB}={1} / {2} AC⋅ CB⋅ sin ∠ ACB={1} / {2}⋅ 7⋅ 7⋅ sin 30°={1} / {2}⋅ 49⋅ {1} / {2}={49} / {4}=12{,}25$.

Ответ: 12.25

Задача 20

Периметр прямоугольника равен $28$, а площадь $48$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Решение

Пусть $x$ и $y$ — две стороны прямоугольника. Из условия следует система уравнений:
${{table {2(x+y)=28{,}}; {xy=48{.}};}$

Из первого уравнения системы: $x+y=14$

$y=14-x$.

Подставляя выражение для переменной $y$ во второе уравнение системы, получим:

$x(14-x)=48$

$x^2-14x+48=0$

$x_1=8$

$x_2=6$

Тогда $y_1=14-8=6$

$y_2=14-6=8$

Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна $6$.

Ответ: 6

Рекомендуемые курсы подготовки

Источник

ЕГЭ-2022 (профиль)

Задание 1  Простейшие уравнения.

1.      Решите
уравнение   

2.   Найдите
наибольший корень уравнения 

3.   Решите
уравнение 

4.   Решите
уравнение 

5.   Найдите
сумму корней уравнения 

6.   Квадратный
трехчлен разложили на множители                                  . Найдите .

7.   Решите
уравнение

8.   Решите
уравнение

9.   Решите
уравнение 

10.  Решите
уравнение 

11.  Решите
уравнение 

12. Решите
уравнение 

13.  Решите
уравнение 

14.  Решите
уравнение 

15.  Найдите
наименьший корень уравнения 

16.  Найдите
сумму корней уравнения 

17. Найдите
наибольший корень уравнения                                                 

18. Решите
уравнение 

19. Найдите
наибольший корень уравнения 

20. Решите
уравнение 

21. Решите
уравнение 

22. Найдите
наименьший положительный корень уравнения            

23. Найдите
наибольший корень уравнения 

24. Найдите
наименьший корень уравнения 

25. Найдите
рациональный корень уравнения 

26. Найдите
наибольший корень уравнения 

27.  Найдите
наименьший корень уравнения                                               

28.  Решите
уравнение 

29.  Решите
уравнение 

30.  Найдите
наименьший корень уравнения  

31.  Решите
уравнение 

32.  Решите
уравнение 

33.  Решите
уравнение 

34. Найдите
наибольший отрицательный корень уравнения                           

35.  Найдите
наименьший положительный корень уравнения          

36. Найдите
наибольший отрицательный корень уравнения                

37.  Найдите
корни уравнения (в градусах)      из промежутка           

Ответы:  

1.  -4

11.  -4

21.  8

31. 
-0,5

2.  5

12.  16

22. 
0,75

32.  1

3.  -2

13.  -4

23.  2

33.  -2

4.  -3,3

14.  1,5

24.  2

34.

5.  0

15.  -2

25.  1

35.  4

6.  3

16.  0

26.  -8

36.  -7

7. 
-0,2; 0,2

17.  2

27.  -2

37.  330

8.  -4;
4

18.  1

28. 
-0,5

9.  1

19.  -2

29.  2

10.  -7

20.  2

30.  1,4
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Все вводные слова для егэ по русскому
  • Все варианты текстов устного экзамена по русскому языку
  • Все варианты заданий егэ математика профиль
  • Все варианты егэ по математике прошлых лет
  • Все варианты егэ по математике за все года