Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
Анна Малкова
Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №17.
И знать здесь действительно нужно много.
Лучше всего начать с темы «Элементарные функции и их графики».
Повторить, что такое функция, что такое четные и нечетные функции, периодические, взаимно обратные.
Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).
Освоить преобразования графиков функций и приемы построения графиков.
И после этого – учимся решать сами задачи №17 Профильного ЕГЭ.
Вот основные типы задач с параметрами:
Что такое параметр? Простые задачи с параметрами
Базовые элементы для решения задач с параметрами
Графический способ решения задач с параметрами
Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами
Использование четности функций в задачах с параметрами
Условия касания в задачах с параметрами
Метод оценки в задачах с параметрами
Вот пример решения и оформления задачи с параметром
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 18
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 18
И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:
1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.
Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.
4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 17 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на интервале 
2
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).
3
Определите, при каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно два решения.
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
Пройти тестирование по этим заданиям
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи с параметром
Задание
1
#1220
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+3=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-3). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая часть равна (0), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
2) (ane 0). Тогда (x=-dfrac{3}{a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin varnothing; \
ane 0 Rightarrow
x=-dfrac{3}{a}).
Задание
2
#1221
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение (ax+a^2=0) при всех значениях параметра (a).
Уравнение можно переписать в виде (ax=-a^2). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае левая и правая части равны (0), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной (x).
2) (ane 0). Тогда (x=-a).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
ane 0 Rightarrow x=-a).
Задание
3
#1222
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (2ax+5cosdfrac{pi}{3}geqslant 0) при всех значениях параметра (a).
Неравенство можно переписать в виде (axgeqslant -dfrac{5}{4}). Рассмотрим три случая:
1) (a=0). Тогда неравенство принимает вид (0geqslant
-dfrac{5}{4}), что верно при любых значениях переменной (x).
2) (a>0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, (xgeqslant
-dfrac{5}{4a}).
3) (a<0). Тогда при делении на (a) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, (xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xin mathbb{R}; \
a>0 Rightarrow xgeqslant -dfrac{5}{4a}; \
a<0 Rightarrow xleqslant -dfrac{5}{4a}).
Задание
4
#1223
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство (a(x^2-6) geqslant (2-3a^2)x) при всех значениях параметра (a).
Преобразуем неравенство к виду: (ax^2+(3a^2-2)x-6a geqslant 0). Рассмотрим два случая:
1) (a=0). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: (-2x geqslant 0 Rightarrow xleqslant 0).
2) (ane 0). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:
(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2).
Т.к. (a^2 geqslant 0 Rightarrow D>0) при любых значениях параметра.
Следовательно, уравнение (ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0) всегда имеет два корня (x_1=-3a, x_2=dfrac{2}{a}). Таким образом, неравенство примет вид:
[(ax-2)(x+3a) geqslant 0]
Если (a>0), то (x_1<x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вверх, значит, решением являются (xin (-infty; -3a]cup
big[dfrac{2}{a}; +infty)).
Если (a<0), то (x_1>x_2) и ветви параболы (y=(ax-2)(x+3a)) направлены вниз, значит, решением являются (xin big[dfrac{2}{a};
-3a]).
Ответ:
(a=0 Rightarrow xleqslant 0; \
a>0 Rightarrow xin (-infty; -3a]cup big[dfrac{2}{a}; +infty);
\
a<0 Rightarrow xin big[dfrac{2}{a}; -3abig]).
Задание
5
#1851
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких (a) множество решений неравенства ((a^2-3a+2)x
-a+2geqslant 0) содержит полуинтервал ([2;3)) ?
Преобразуем неравенство: ((a-1)(a-2)x geqslant a-2). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:
1) (a=2). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant 0), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
2) (a=1). Тогда неравенство примет вид (0 geqslant -1), что верно при любых значениях (x), следовательно, множество решений содержит полуинтервал ([2;3)).
3) ((a-1)(a-2)>0 Leftrightarrow ain (-infty;1)cup (2;+infty)). Тогда:
(xgeqslant dfrac{1}{a-1}). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал ([2;3)), необходимо, чтобы
(dfrac{1}{a-1} leqslant 2 Leftrightarrow dfrac{3-2a}{a-1}
leqslant 0
Rightarrow ain (-infty; 1)cup [1,5; +infty)).
Учитывая условие (ain (-infty;1)cup (2;+infty)), получаем (ain
(-infty;1)cup (2;+infty)).
4) ((a-1)(a-2)<0 Leftrightarrow ain (1;2)). Тогда:
(xleqslant dfrac{1}{a-1} Rightarrow dfrac{1}{a-1} geqslant 3).
Действуя аналогично случаю 3), получаем (ain (1;
dfrac{4}{3}big]).
Ответ:
(ain (-infty;dfrac{4}{3}big]cup [2;+infty)).
Задание
6
#1361
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Определить количество корней уравнения (ax^2+(3a+1)x+2=0) при всех значениях параметра (a).
Рассмотрим два случая:
1) (a=0). Тогда уравнение является линейным: (x+2=0 Rightarrow
x=-2). То есть уравнение имеет один корень.
2) (ane 0). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: (D=9a^2-2a+1).
Рассмотрим уравнение (9a^2-2a+1=0): (D’=4-36<0), следовательно, уравнение (9a^2-2a+1=0) не имеет корней. Значит, выражение ((9a^2-2a+1)) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых (a) (в этом можно убедиться, подставив вместо (a) любое число).
Таким образом, (D=9a^2-2a+1>0) при всех (ane 0). Значит, уравнение (ax^2+(3a+1)x+2=0) всегда имеет два корня: (x_{1,2}=dfrac{-3a-1pm
sqrt D}{2a})
Ответ:
(a=0Rightarrow) один корень
(ane 0 Rightarrow) два корня.
Задание
7
#1363
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решить уравнение (sqrt{x+2a}cdot (3-ax-x)=0) при всех значениях параметра (a).
Данное уравнение равносильно системе:
[begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x=-2a \
&3-(a+1)x=0 qquad (*)
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Рассмотрим два случая:
1) (a+1=0 Rightarrow a=-1). В этом случае уравнение ((*)) равносильно (3=0), то есть не имеет решений.
Тогда вся система равносильна (
begin{cases}
xgeqslant 2\
x=2
end{cases} Leftrightarrow x=2)
2) (a+1ne 0 Rightarrow ane -1). В этом случае система равносильна: [begin{cases}
xgeqslant -2a\
left[ begin{gathered} begin{aligned}
&x_1=-2a \
&x_2=dfrac3{a+1}
end{aligned} end{gathered} right.
end{cases}]
Данная система будет иметь одно решение, если (x_2leqslant -2a), и два решения, если (x_2>-2a):
2.1) (dfrac3{a+1}leqslant -2a Rightarrow a<-1 Rightarrow ) имеем один корень (x=-2a).
2.2) (dfrac3{a+1}>-2a Rightarrow a>-1 Rightarrow ) имеем два корня (x_1=-2a, x_2=dfrac3{a+1}).
Ответ:
(ain(-infty;-1) Rightarrow x=-2a\
a=-1 Rightarrow x=2\
ain(-1;+infty) Rightarrow xin{-2a;frac3{a+1}})
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
23 апреля 2017
В закладки
Обсудить
Жалоба
Параметры. От простого к сложному. Практикум по решению задач
Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение.
Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.
Автор: Агашкова Надежда Анатольевна.
pr-sl-p.pdf
Задание № 18 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Задача с параметром – для обычного школьника одна из самых сложных задач варианта КИМ ЕГЭ: в программах по математике для общеобразовательных школ (за исключением профильных и специализированных классов, школ и лицеев) таким задачам либо не уделяется должного внимания, либо они не рассматриваются вовсе. Несмотря на это, знание набора методов и подходов к решению таких задач и определенная практика их решения позволяют продвинуться в решении задачи с параметром достаточно далеко и если уж не решить ее полностью, то хотя бы получить за нее некоторое количество баллов на экзамене.
Ранее, до появления единого государственного экзамена, задачи с параметрами входили в варианты вступительных экзаменов по математике в ведущие вузы, а сегодня входят в вариант КИМ ЕГЭ профильного уровня. Дело в том, что эти задачи обладают высокой диагностической ценностью: они позволяют не только определить, насколько хорошо выпускник знает основные разделы школьного курса математики, но и проверить, насколько высок уровень его математического и логического мышления, насколько сильны первоначальные навыки математической исследовательской деятельности, а главное – насколько успешно он сможет овладеть курсом математики в вузе.
«Научите меня решать задачи с параметром», – такую просьбу я часто слышу от своих учеников. Что ж, эта задача потребует от выпускника немало интеллектуальных усилий. С чего начать изучение? С освоения методов решения задач с параметром. Собственно, если вы внимательно читали наши рекомендации, как подготовиться к решению сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, то заметили, что это универсальный совет. Именно так построен наш курс «1С:Репетитор»: изучаем как можно более широкий спектр методов и приемов решения задач и тренируемся в применении этих методов на практике.
Чему нужно научиться, решая задачи с параметром
В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.
Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:
Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром
Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия. Есть класс задач, решение которых основано на аналитических свойствах функций (области определения, области значений, четности, периодичности и т.д.), эти свойства и приемы их использования тоже нужно знать.
На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.
В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.
Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.
Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:
- Начать заниматься бесплатно.
Купить доступ к этой задаче в составе
экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Разбор задач с параметрами из ЕГЭ по математике, по теме задачи с параметром ЕГЭ, как решать задание 18 в экзамене ЕГЭ, задачи с параметром ЕГЭ, задания с параметром ЕГЭ, задача 18 ЕГЭ, модуль и окружности, решение параметров ЕГЭ, решение задачи 18, система уравнений с параметром, научиться решать задачи с параметрами, сложных задач варианта КИМ ЕГЭ, начертить графики функций, ЕГЭ по математике профильного уровня, методы решения уравнений и неравенств, выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Задачи с параметром»
Открытый банк заданий по теме задачи с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1227
Условие
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin{cases}(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end{cases} имеет ровно 2 решения.
Показать решение
Решение
Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1(4; 4) радиуса 3, а если y < 0, то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2(4; -4) того же радиуса.
При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.
Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1(1; 4) и B_1(7; 4). То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a < 1 окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 < a < 7 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.
Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt {4^2+(4-(-4))^{2}}= sqrt {80}= 4sqrt 5.
При a < CA_2 или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 < a < CB_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.
Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.
Так как 1<4sqrt 5-3<7<4sqrt 5+3, то условию задачи удовлетворяют значения ain(1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).
Ответ
(1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1226
Условие
При каких значениях параметра a система begin{cases} 15|x-2|+8|y+3|=120,\x^2 -4a^2 +2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 end{cases} имеет ровно 4 решения?
Показать решение
Решение
Преобразуем второе уравнение системы, выделив полные квадраты:
begin{cases}15|x-2|+8|y+3|=120,\ x^2-4a^2+2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 ;end{cases}
begin{cases}15|x-2|+8|y+3|=120,\ (x^2- 4x+4)+(y^2+6y+9)=(2a)^2 ;end{cases}
begin{cases}15|x-2|+8|y+3|=120,\ (x-2)^2 +(y+3)^2 =(2a)^2.end{cases}
Сделав замену переменных t=x-2 и omega=y+3, получим систему:
begin{cases}15|t|+8|omega |=120,enspace (1) \ t^2 +omega^2 =(2a)^2.enspace(2) end{cases}
При такой замене старая и новая система имеют одинаковое число решений.
Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Otomega.
График уравнения (1) — ромб, диагонали которого, равные 16 и 30, лежат соответственно на осях Ot и Oomega , а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=2|a|.
Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию: 8<r<15.
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15, откуда
r=2|a|=frac{8cdot 15}{sqrt {8^2 +15^2 }}=frac{120}{17} ,
|a|=frac{60}{17}=3frac9{17} , тогда a=pm3frac9{17}.
Во втором случае получаем 8<2|a|<15, откуда -7,5<a<-4 или 4<a<7,5.
Ответ
a in (-7,5; -4) cup left{pm3frac9{17} right} cup (4; 7,5).
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1225
Условие
Найдите все значения a>0, при каждом из которых система begin{cases} (|x|-3)^2 +(y-3)^2=4,\ (x+3)^2 +y^2=a^2 end{cases} имеет единственное решение.
Показать решение
Решение
Если x geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1(3; 3) радиуса 2, а если x<0, то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2(-3; 3) того же радиуса.
При a>0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(-3; 0) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность phi имеет единственную общую точку с объединением окружностей phi _1 и phi _2.
Из точки C проведём луч CC_1 и обозначим A_1 и B_1 точки его пересечения с окружностью phi _1, где A_1 лежит между C и C_1.
Так как CC_1=sqrt {6^2 +3^2 }=sqrt {45} =3sqrt 5, то CA_1=3sqrt 5-2, CB_1=3sqrt 5+2.
При a < CA_1 или a > CB_1 окружности phi и phi _1 касаются. При CA_1 < a < CB_1 окружности phi и phi _1 имеют 2 общие точки. При a=CA_1=3sqrt 5-2 или a=CB_1=3sqrt 5+2, окружности phi и phi _1 касаются.
Координаты точки касания окружностей phi и phi _2 явно видны на чертеже: это точки A_2(-3; 1) и B_2(-3; 5). То есть при a=1 и a=5 окружности phi и phi _2 касаются. При остальных значениях параметра a окружности phi и phi _2 либо имеют 2 общие точки, либо не имеют общих точек.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность phi касается ровно одной из двух окружностей phi _1 и phi _2 и не пересекается с другой.
Так как 1<3sqrt 5-2<5<3sqrt 5+2, то условию задачи удовлетворяют только числа a=1 и a=3sqrt 5+2.
Ответ
1; 3sqrt 5+2.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1224
Условие
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} sqrt {(x-3)^2 +y^2 }+sqrt {x^2 +(y-a)^2 }=sqrt {a^2 +9}, \ y=|2-a^2 | end{cases} имеет единственное решение.
Показать решение
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы. Выражение AB=sqrt {(x-3)^2 +y^2 } определяет расстояние между точками A(x; y) и B(3; 0). Аналогично выражение AC=sqrt {x^2+(y-a)^2 } определяет расстояние между точками A(x; y) и C(0; a), а выражение BC=sqrt {a^2 +9} определяет расстояние между точками B(3;0) и C(0; a).
По неравенству треугольника AB+AC geqslant BC, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка A принадлежит отрезку BC. Это значит, что для координат точки A(x; y) справедливы неравенства: 0 leqslant x leqslant 3, 0 leqslant y leqslant a.
Тогда из второго уравнения системы имеем:
0leqslant |2-a^2 |leqslant a, |2-a^2 |leqslant a, -aleqslant 2-a^2 leqslant a,begin{cases} 2-a^2 geqslant -a,\2-a^2 leqslant a, end{cases} enspace begin{cases} a^2 -a-2leqslant 0,\a^2+a-2geqslant 0, end{cases} enspace begin{cases} -1leqslant aleqslant 2,\aleqslant -2, ageqslant 1, end{cases}enspace ain[1;2].
Итак, первое уравнение системы определяет на плоскости xOy отрезок с концами в точках B и C, не параллельный оси Ox; второе уравнение системы определяет прямую, параллельную оси Ox. При a in [1; 2] они имеют одну точку пересечения, то есть исходная система уравнений имеет единственное решение.
Ответ
[1; 2].
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1223
Условие
При каких значениях параметра a система begin{cases} x-sqrt 3|y|=0,\ (x-2a)^2+(y-cos pi a)^2 leqslant (5a-21)^2 end{cases} имеет ровно два решения?
Показать решение
Решение
Решим задачу графически. Если |5-2a|=0, то неравенство системы задаёт круг с центром в точке (2a; cos pi a) и радиусом |5a-21|. Если |5a-21|=0, то решением
неравенства будет единственная точка: x=2a=frac{42}5 , y=cos pi a=cos frac{21pi }5 , а тогда у системы не может быть более одного решения.
Уравнение системы задаёт угол, биссектрисой которого является ось Ox. Сторона этого угла проходит через точки (0; 0) и left(1; frac1{sqrt 3}right), и поэтому образует угол 30^{circ} с положительным направлением оси Ox.
Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла. Тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Ox. Следовательно, ордината центра круга должна равняться нулю, а абсцисса быть больше нуля. Ордината равна нулю, если cos pi a=0, pi a=frac pi 2+pi k, k in mathbb Z, a=frac12+k, k ∈ Z.
Абсцисса центра круга равна 2a и равна 2k+1, она больше нуля, если k geqslant 0. Рассмотрим triangle O_1OM , где O_1 — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_1M=|5a-21|, OO_1=2a, angle O_1MO =90^{circ}, angle MOO_1 =30^{circ}. Тогда O_1M= O_1Ocdot sin angle O_1OM= 2asin 30^{circ}= a. Значит, a=|5a-21|, k+frac12= left|5k+frac52 -21right|, k+frac12=left|5k-frac{37}2 right|; отсюда либо k+frac12 =5k-frac{37}{2,} то есть 4k=19,, k=frac{19}4 ; либо k+frac12 =frac{37}2-5k,, 6k=18, k=3. k — целое число, frac{19}4 notin Z. 3in mathbb Z и 3geqslant 0. Таким образом, k=3, a=frac12+k=3,5.
Ответ
3,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1222
Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение frac{x^2+ax+2}2=sqrt {4x^2+ax+1} имеет ровно три различных корня.
Показать решение
Решение
Уравнение frac{x^2+ax+2}2=sqrt {4x^2+ax+1} при frac{x^2+ax+2}2<0 не имеет корней. При x^2+ax+2 geqslant 0 обе части уравнения можно возвести в квадрат.
(x^2+ax+2)^2 =4(4x^2+ax+1),
x^4+ax^3+2x^2+ax^3+a^2x^2,+ 2ax+2x^2+2ax+4= 16x^2+4ax+4,
x^4+2ax^3+x^2(a^2-12)=0,
x^2(x^2+2ax+a^2-12)=0,
x^2((x+a)^2-12) =0,
x_1=0, (x+a-sqrt {12})(x+a+sqrt {12})=0,
x_2=-a+sqrt {12},
x_3=-a-sqrt {12}.
Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа x_{1,} x_{2,} x_3 были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие x^2 +ax+2 geqslant 0.
x_2 neq 0 и x_3 neq 0, если a neq sqrt {12}=2sqrt 3 и a neq -sqrt {12}=-2sqrt 3.
Обозначим g(x)=x^2+ax+2. g(0)=2>0. Числа x_2=-a+2sqrt 3 и x_3=-a-2sqrt 3 будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:
begin{cases} g(x_2)geqslant 0,\g(x_3)geqslant 0; end{cases}enspace begin{cases} (-a+2sqrt 3)^2+a(-a+2sqrt 3)+2geqslant 0,\( -a-2sqrt 3)^2+a(-a-2sqrt 3)+2geqslant 0; end{cases}
begin{cases} -2asqrt 3+14geqslant 0,\2asqrt 3+14geqslant 0; end{cases}enspace begin{cases} aleqslant frac7{sqrt 3} ,\ageqslant -frac7{sqrt 3}. end{cases}
Таким образом, ainleft[-frac7{sqrt3};-2sqrt3right),cup (-2sqrt 3;2sqrt3),,,cup left( 2sqrt3;frac7{sqrt3}right].
Ответ
left[-frac7{sqrt3};-2sqrt3right),cup (-2sqrt3;2sqrt3),,,cup left(2sqrt3;frac7{sqrt3}right].
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1221
Условие
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений begin{cases} frac{xy^2-5xy-5y+25}{sqrt {x+5}}=0, \ y=ax end{cases} имеет ровно два различных решения.
Показать решение
Решение
Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.
Первое уравнение frac{xy^2-5xy-5y+25}{sqrt {x+5}}=0 параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.
Запишем уравнение в виде frac{(y-5)(xy-5)}{sqrt {x+5}}=0, разложив числитель на множители. При x leqslant -5 левая часть не имеет смысла. При x>-5 уравнение задаёт прямую y=5 и гиперболу y=frac5x.
Найдём координаты точек A, B и C. B — точка пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений begin{cases} y=5,\y=frac5x. end{cases}
Получаем B(1; 5).
У точек A и C абсцисса равна -5, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(-5;5) и C(-5;-1).
При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение a, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.
Например, для точки A(-5; 5) получаем x=-5, y=5, 5=acdot (-5), a=-1.
Аналогично для B(1;5),, a=5 и для C(-5;-1), a=frac15.
При x>-5 прямая y=ax пересекает прямую y=5 при a<-1 и a>0, пересекает правую ветвь гиперболы y=frac5x при a>0, пересекает левую ветвь гиперболы y=frac5x при a>frac15. При этом прямая y=ax проходит через точку пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x при a=5.
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x с прямой y=ax при условии x>-5.
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 < a leqslant 0,2; a=5.
Ответ
(0; 0,2]; {5}.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1220
Условие
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение frac{x-3a}{x+3}+frac{x-2}{x-a}=1 имеет единственный корень.
Показать решение
Решение
frac{(x-3a)(x-a)+(x+3)(x-2)-(x+3)(x-a)}{(x+3)(x-a)}=0,
frac{x^2-ax-3ax+3a^2+x^2+x-6-x^2+ax-3x+3a}{(x+3)(x-a)}=0,
frac{x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6}{(x+3)(x-a)}=0,
begin{cases} x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,\(x+3)(x-a)neq 0 end{cases}
Решим уравнение x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,
x_{1,2}=frac{(3a+2)pmsqrt {-3a^2+28}}2.
1. При D<0 уравнение корней не имеет.
2. При D=0,enspace -3a^2+28=0, a=pm 2sqrt frac73. Уравнение имеет единственный корень x =frac{3a+2}2 при a=pm 2 sqrt frac73.
Проверим условие x neq -3,, x neq a.
frac{3a+2}2 =-3, a=-frac83 neq pm2sqrt frac73 ,
frac{3a+2}2 =a, a=-2neq pm2sqrt frac73.
Значит, a=pm 2sqrt frac73 удовлетворяет условию.
3. При D>0 уравнение имеет два корня x_{1,2}=frac{(3a+2) pm sqrt {28-3a^2}}2. Проверим, при каких значениях a значения x=-3 и x=a являются корнями уравнения x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0.
При x=-3 должно выполняться равенство 9+3(3a+2)+3a^2+3a-6=0,
3a^2+12a+9=0, a^2+4a+3=0, a=-1, a=-3.
При x=a должно выполняться равенство a^2-2a+3a-6=0,
a^2+a-6=0, a_1=-3, a_2=2.
При a=-3, a=-1 и a=2 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ
-3; −1; pm 2sqrt frac73 ; 2.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1019
Условие
При каких значениях параметра a система
begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \ y^2-a^2=4(y-1)-x^2end{cases}
имеет ровно 4 решения?
Показать решение
Решение
Преобразуем второе уравнение системы, выделив полный квадрат y^2-4y+4=(y-2)^2.
begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \ y^2-a^2=4(y-1)-x^2;end{cases} Leftrightarrow begin{cases}5|x|+12|y-2|=60, \ x^2+(y-2)^2=a^2. end{cases}
Сделав замену переменных t=y-2, получим систему
begin{cases} 5|x|+12|t|=60,enspace(1)\ x^2+t^2=a^2.enspace(2)end{cases}
При такой замене число решений новой и старой системы одинаково. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.
График уравнения (1) — ромб, диагнали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=|a|.
Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно, система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию 5 < r < 12.
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, откуда
r=|a|=frac{5 cdot 12}{sqrt{5^2+12^2}}=frac{60}{13}=4frac{8}{13}, a=pm 4frac{8}{13}.
Во втором случае получаем 5 < |a| < 12, откуда -12 < a < -5 или 5 < a < 12.
Ответ
a in (-12;-5) cup left { pm 4frac{8}{13}right } cup (5;12).
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1018
Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^3+3x^2-xlog_{3}(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2]
Показать решение
Решение
Уравнение x^3+3x^2-xlog_{3}(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2], если графики функций y=x^3+3x^2 и y=xlog_{3}(a+1)-5 имеют единственную точку пересечения на отрезке [0;2].
Построим графики этих функций.
1) y=x^3+3x^2.
Найдём стационарные точки: y’=3x^2+6x=3x(x+2). y’=0 при x=0, x=-2
.png)
y(-2)=-8+3(-2)^2=-8+12=4, y(0)=0. Отсюда получаем график y=x^3+3x^2.
2) y=xlog_{3}(a+1)-5. Графиком функции является прямая, угловой коэффициент которой k=log_{3}(a+1). Прямая y=kx-5 проходит через точку (0;-5).
Найдём точку x_{0}, в которой прямая y=kx-5 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2.
Уравнение касательной y=(x_{0}^3+3x_{0}^2)+(3x_{0}^2+6x_{0})(x-x_{0}) проходит через точку (0;-5), следовательно, -5=(x_{0}^3+3x_{0}^2)-x_{0}(3x_{0}^2+6x_{0}),
2x_{0}^3+3x_{0}^2-5=0. x_{0}=1 — точка касания.
2x_{0}^3+3x_{0}^2-5=(x_{0}-1)(2x_{0}^2+5x_{0}+5).
Других точек касания нет, так как уравнение 2x_{0}^2+5x_{0}+5=0 корней не имеет.
Если x=1, то y=4, тогда 4=k-5, откуда k=9.
Найдем значение k, при котором прямая y=kx-5 проходит через точку (2;20). 20=2k-5, k=12,5, y=12,5x-5.
Для k=9 и k > 12,5 графики функций y=x^3+3x^2 и y=kx-5 имеют на отрезке [0;2] единственную общую точку. Найдем значения параметра a.
log_{3}(a+1)=9, a+1=3^9, a=3^9-1.
log_{3}(a+1) > 12,5, a+1 > 3^{tfrac{25}{2}}. a > 3^{12,5}-1.
Итак, если a=3^9-1 или a > 3^{12,5}-1, то уравнение x^3+3x^2-xlog_{3}(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2].
Ответ
a=3^9-1,, a > 3^{12,5}-1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928