Все виды вероятности на егэ по математике - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2 .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже 1/6 .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете яблок, из них — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25 , а зеленое — 17/25 .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно машин: красных, желтых и зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15 , то есть 0,6 .

В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25 , то есть 0,92 .

Родительский комитет закупил пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них с картинами известных художников и с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: 0,6 .

В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменок: — из России, — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — спортсменок). Ответ: 0,25 .

Ученика попросили назвать число от до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна 1/5 .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2 .

Ответ: 0,5 .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно, исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: 3/8 .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего возможных исходов, так как 6^2=36 .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1 . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

10. В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по рублей. Петя не глядя переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134 , а затем:

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

Всего возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20 .

Ответ: 0,6 .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

p_1 – вероятность того, что он сломается на второй год, p_2 – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна $frac{1}{2}.$ Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью $frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4}).$ На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна $frac{1}{2},$ а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна $frac{1}{32},$ то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 1-x .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 0,4 x.

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

16. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности
Основные понятия теории вероятности
- Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
  - Решение.
Независимые, противоположные и произвольные события
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле $P(A) = frac{k}{n}$ . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле $P(A) = frac{k}{n}$ .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

$[ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]$

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

$[ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]$

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: $frac {6 cdot 5 cdot 4}{1cdot 2 cdot 3} = 20$ . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

$[ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]$

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

$P=frac {9}{30}=0,3$ .

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

$P=frac{980}{1000}=0,98$

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Источник

Муниципальное бюджетного общеобразовательное
                           учреждение городского округа Королёв
                             Московской области «Гимназия №17»

Проект
на тему:

«Теория
вероятностей»

Руководитель
проекта:

Селюханова
Алёна Игоревна

Выполнили
ученики 11 класса «В»:

Писаренко
Дмитрий Павлович

Бугулов
Александр Асланбекович

г.
о. Королёв, 2020

Содержание

Вступление:
задачи и цели………………………………………………….. 2-4

Базовые
задачи: первый вид………………………………………………… 5

Базовые
задачи: второй вид…………………………………………………. 6

Введение
о задачах ЕГЭ……………………………………………………….
7

I
пункт ЕГЭ: Классическое определение вероятности…………… 8-11

II
пункт ЕГЭ: Теоремы о вероятностях событий……………… 11-15

Деталь
проекта…………………………………………………… 16

Заключение……………………………………………………….
17

Источники…………………………………………………………
18

Вступление

Теория вероятностей
—
самый интересный раздел математики. Вся

наша жизнь — это результат череды
вероятностей, следующих одна

за другой. Мы никогда не можем знать, что
нас ждет в будущем.

Именно эта непредсказуемость является
тем, за что мы так и любим

жизнь, но, порой, лучше предугадать будущие
ошибки, нежели

допустить их.

Тем более, задачи на теорию
вероятностей будут и в нашем

будущем экзамене. И сейчас мы научим вас
всему тому, что мы

сами узнали и вынесли для себя после столь
долгой и кропотливой

работы.

Основы
теории вероятностей

Теория вероятностей
—
раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства
и операции над ними.

Наша цель
–
научиться решать задачи на теорию вероятностей для подготовки к ЕГЭ.

Наши задачи:

1) Разбить задания №4 ЕГЭ на типы для
того, чтобы создать справочные

материалы с разобранными типами задач для
сдающих экзамен в 11 классах.

2) Найти в справочных материалах формулы и
скомпоновать их для каждой

группы задач.

3) Объяснить доступным языком формулы для
решения задач на теорию

вероятностей.

4) Разобрать каждый тип задач на теорию
вероятностей на отдельном

примере.

Формула
вероятности

P(A)=m/n
Эта формула называется классической формулой
вероятности или классическим определение вероятности, где:

P(A)
– вероятность события А
m
– число благоприятных исходов
n
– число всех исходов

ГЛАВНОЕ ПРАВИЛО:
Вероятность всегда равна от 0 до 1. То есть 0≤P≤1.

События

Случайное событие
– это
явление, которое произойдет или не произойдет.

Пример 1: Вы подбросили монету, выпадение орла – случайное
событие, выпадение решки – случайное событие.

Пример 2: Студент
сдает экзамен, выпадение одного из билетов – случайное событие.

Исходы

Испытание
– любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.

Исход –
конечный результат испытания. Испытание может иметь один или несколько исходов.

Вероятности
суммы и произведения событий
(Рисунок 1)

Рисунок
1

Базовые
задачи

Первый
вид

Для введения мы хотим рассмотреть базовые
задачи с монетами и костями:

I.
Монету подбросили 1 раз. Какова вероятность, что выпадет орёл?

Общее кол-во исходов – 2 (О или Р)
Благоприятных – 1 (О)

Следовательно, P(A)=1/2=0,5

Ответ: 0,5

II.
Бросили одну игральную кость. Какова вероятность, что выпадет более 3 очков?

Общее кол-во исходов – 6 (1, 2, 3, 4, 5,
6)
Благоприятных – 3 (4, 5, 6)

Следовательно, P(A)=3/6=0,5

Ответ: 0,5

III.
Монету подбросили 1 раз. Какова вероятность, что выпадет решка?

Общее кол-во исходов – 2 (О или Р)
Благоприятных – 1 (Р)

Следовательно, P(A)=1/2=0,5

Ответ: 0,5

IV.
Бросили одну игральную кость. Какова вероятность, что выпадет менее 4 очков?

Общее кол-во исходов – 6 (1, 2, 3, 4, 5,
6)
Благоприятных – 1 (1, 2, 3)

Следовательно, P(A)=3/6=0,5

Ответ: 0,5

Второй
вид

I.
Монету подбросили 2 раза. Какова вероятность, что выпадет решка ровно два раза?

Чтобы найти общее количество исходов –
нужно возвести возможное количество исходов для 1 броска в степень, где степень
будет равна количеству бросков.
То есть:
Общее кол-во исходов – 2²=4
Благоприятных – 1 (РР)

Следовательно, P(A)=1/4=0,25

Ответ: 0,25

II.
Бросили две игральные кости. Какова вероятность, что выпадет ровно 4 очка?

Здесь та же самая ситуация, что и в
прошлой задаче, но теперь при 1 броске будет не два исхода, а шесть. В квадрат
нужно будет возвести 6.
Общее кол-во исходов – 6²=36
Благоприятных – 3 (1-3, 2-2, 3-1)

Следовательно, P(A)=3/36=1/12

Ответ: 1/12

III.
Монету подбросили 2 раза. Какова вероятность, что выпадет решка хотя бы один
раз?
Общее кол-во исходов – 2²=4
Благоприятных – 3 (ОР, РО, РР)

Следовательно, P(A)=3/4=0,75

Ответ: 0,75

Решение
задач из ЕГЭ

На сайте «Решу ЕГЭ» приведено 2 пункта
номера 4 (рисунок 2), каждый из которых будет разобран подробно дальше.

I.
Классическое определение вероятности
В данном пункте 52 задачи, которые мы разбили на 4 подпункта.

II.
Теоремы о вероятностях событий
В данном пункте 33 задачи, которые мы разбили на 4 подпункта.

Рисунок
2

I.
Классическое определение вероятности

1. Задачи на классическую формулу P(A)=m/n

Это задачи:
1 (320208), 2 (1001), 3 (283579), 4 (282857), 5 (282856), 6 (283639), 7
(320186),
8 (320189), 9 (320190), 10 (320191), 11 (320192), 12 (320193), 13 (320194),
14 (320195), 15 (320209), 22 (500037), 23 (500250), 24 (501210), 25 (504230),
26 (509081), 27 (509110), 31 (510381), 32 (510419), 33 (1011), 34 (1024),
36 (282855), 37 (282858), 38 (285922), 39 (285923), 40 (285924), 41 (285925),
42 (285926), 43 (285927), 44 (285928), 45 (320169), 46 (320170), 47 (320178), 48
(320179), 49 (320181).

Это самая классическая базовая задача. В
ней на поверхности лежат все исходы и благоприятные. Чтобы решить ее,
необходимо всего лишь найти количество благоприятных исходов и поделить их на
количество всех исходов.

Пример 1:
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 27 из них чёрного цвета,
остальные — жёлтого цвета. Найдите вероятность того, что на случайный вызов
приедет машина жёлтого цвета.

Машин желтого 50-27=23, всего машин 50.
P(A)=23/50=0,46
Ответ: 0,46

Пример 2:
На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность
того, что Андрею попадется невыученный вопрос.

Андрей не выучил 3 вопроса, всего вопросов
60.
P(A)=3/60=0,05
Ответ: 0,05

2. Задачи с монетами

Это задачи:
28 (282854), 29 (283467), 30 (510333), 50 (320183), 52 (320185).

Для решения таких задач мы рекомендуем
запомнить отрицательные степени двойки до -4 в десятичной записи: 0,5; 0,25;
0,125 и 0,0625. Это существенно поможет в задачах, где монету бросают 2 и более
раз. Если вы вдруг забыли эти степени, можно просто выписать все комбинации и
найти нужные нам, таких обычно не более 16.

Пример 1:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Возможные комбинации: ОО, ОР, РО, РР
Нам подходят комбинации ОР и РО, следовательно,
P(A)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

Пример 2:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите
вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

Возможные комбинации: ООО, РРР, ООР, РРО, ОРО,
РОР, РОО, ОРР
Нам подходят комбинации РРО и ОРР, следовательно,
P(A)=2/8=0,25
Ответ: 0,25

Пример 3:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Возможные комбинации: ООО, РРР, ООР, РРО, ОРО,
РОР, РОО, ОРР
Нам подходит комбинация ООО, следовательно,
P(A)=1/8=0,125
Ответ: 0,125

3. Задачи с костями

Это задачи:
35 (282853), 51 (320184).

Всегда дают задачу, где игральный кубик
бросали единожды или дважды, и получили какую-то конкретную сумму очков или сумму
очков больше/меньше X, где X
– число от 2 до 12. Нужно просто перебрать все варианты, когда сумма очков
равна той, что нам нужно найти и поделить количество комбинаций на 6 (если 1
кубик) или на 36 (если 2 кубика).

Пример 1:
Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков будет равна
5? Результат округлить до сотых.

Сумма очков может быть равна 5 в четырех
случаях: «3+2», «2+3», «1+4»,
«4+1».
P(A)=4/36=0,111…
Округляем до сотых и получаем 0,11.
Ответ: 0,11

Пример 2:
Бросили игральный кубик. Какова вероятность, что сумма очков будет равна 6?
Результат округлить до сотых.

Сумма очков может быть равна 6, только
когда выпадет «6».
P(A)=1/6=0,166…
Округляем до сотых и получаем 0,17.
Ответ: 0,17

Пример 3:
Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков будет больше
10? Результат округлить до сотых.

Сумма очков будет больше 10 в трех
случаях: «5+6», «6+5» и «6+6».
P(A)=3/36=0,083…
Округляем до сотых и получаем 0,08.
Ответ: 0,08

4. Задачи со стульями

Это задачи:
16 (325904), 17 (325905), 18 (325907), 19 (325909), 20 (325913), 21 (325917).

Для решения задач про стулья необходимо
сделать два действия:
1) Из количества всех стульев вычесть 1 (там, где должен сидеть человек №1)
2) Поделить 2 на количество оставшихся мест (так как человек №2 может сидеть
слева или справа)

Пример 1:
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2
девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

1) Занимаем место первой девочкой,
остается 5-1=4 свободных стула
2) Благоприятный исход будет, если вторая девочка сядет слева или справа от
первой, следовательно, благоприятных исходов 2, а стула 4.
P(A)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

Пример 2:
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и
2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.

1) Занимаем место первой девочкой,
остается 5-1=4 свободных стула
В этой задаче лучше всего будет найти неблагоприятные исходы, а затем из
всех исходов вычесть неблагоприятные, чтобы получить благоприятные.
2) Неблагоприятный исход будет, если вторая девочка сядет слева или справа от
первой, следовательно, неблагоприятных исходов 2.
3) Всего исходов 4, неблагоприятных 2, значит благоприятных 4-2=2
P(A)=2/4=0,5
Ответ: 0,5

II.
Теоремы о вероятностях событий

1. Вероятность независимых событий

Это задачи:
1 (319355), 2 (320212), 3 (320210), 4 (509011), 7 (320201), 12 (320173),
13 (320175), 16 (320188), 17 (320206), 18 (320174), 20 (319353), 27 (320202),
28 (320205), 33 (526004).

Два случайных события называются независимыми,
если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

Вероятность произведения независимых
событий равна произведению их вероятностей: P(A+B)=P(A)*P(B)

Пример 1:
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Покупатель в магазине
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность,
что обе батарейки окажутся исправными.

P(A+B)=P(A)*P(B)
P(A+B)=0,94*0,94=0,8836
Ответ: 0,8836

Пример 2:
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается
двумя чётными цифрами?

Всего цифр 10, из них четных 5 (0, 2, 4, 6,
8), следовательно,
P(A)=P(B)=5/10=0,5

P(A+B)=P(A)*P(B)
P(A+B)=0,5*0,5=0,25
Ответ: 0,25

2. Вероятность несовместных событий

Это задачи:
5 (509569), 6 (509916), 10 (320176), 15 (320171), 16 (320188), 17 (320206),
20 (319353), 24 (320203), 26 (320198), 29 (320207), 30 (320211), 31 (500998),
32 (501061).

События называются несовместными,
если появление одного из них исключает появление других. То есть, может
произойти только одно определённое событие, либо другое.

Вероятность суммы несовместных событий
равна сумме вероятности событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример 1:
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна
0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность
того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Пусть A
= «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит
больше двух лет», тогда A + B
= «чайник прослужит больше года».

P(A+B)=P(A)+P(B)
0,93=P(A)+0,87
P(A)=0,93-0,87=0,06
Ответ: 0,06

Пример 2:
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в
понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность
того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того,
что число пассажиров будет от 10 до 17.

Пусть A
= «в автобусе меньше 10 пассажиров», В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров»,
тогда A
+ B
= «в автобусе меньше 18 пассажиров».

P(A+B)=P(A)+P(B)
0,82=P(B)+0,51
P(B)=0,82-0,51=0,31
Ответ: 0,31

3. Вероятность противоположных
событий

Это задачи:
8 (510117), 11 (320196), 12 (320173), 18 (320174), 27 (320202).

Два события называются противоположными,
если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Сумма вероятности противоположных событий
всегда равна 1:
P(A)=1-P(¬A)

Пример 1:
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового
человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или
выше.

P(A)=1-P(¬A)
P(A)=1-0,81=0,19
Ответ: 0,19

Пример 2:
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр
будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите
вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99
мм или больше чем 67,01 мм.

P(A)=1-P(¬A)
P(A)=1-0,965=0,035
Ответ: 0,035

Пример 3:
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина, равна 0,8. Иван
Иванович заказал из него товар. Найдите вероятность того, этот магазин не
доставит товар.

P(A)=1-P(¬A)
P(A)=1-0,8=0,2
Ответ: 0,2

4. Вероятность совместных событий

Это задачи:
8 (510117), 18 (320174), 19 (320172), 23 (320199)

События называют совместными,
если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет
выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Сумма двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

Пример 1:
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй
выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна
0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо
вторым выстрелом).

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)
P(A+B)=0,7+0,7-0,7*0,7=0,91
Ответ: 0,91

Пример 2:
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что
хотя бы один автомат исправен.

Автомат неисправен с вероятностью 0,05, следовательно,
автомат исправен с вероятностью P(A)=P(B)=1-0,05=0,95

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)
P(A+B)=0,95+0,95-0,95*0,95=0,9975
Ответ: 0,9975

Деталь
проекта

Тип	Теория	Пример решенной задачи
I. Классическое определение вероятности
Задачи на классическую формулу	В этой задаче на поверхности лежат все исходы и благоприятные. Чтобы решить ее, необходимо всего лишь найти количество благоприятных исходов и поделить их на количество всех исходов.	В фирме 50 автомобилей: 27 чёрного цвета, остальные — жёлтого цвета. Найдите вероятность, что приедет машина жёлтого цвета. Машин желтого 50-27=23, всего машин 50. P(A)=23/50=0,46
Задачи с монетами	Необходимо запомнить отрицательные степени двойки до -4 в десятичной записи: 0,5; 0,25; 0,125 и 0,0625. Если забыли эти степени — просто выписать комбинации и найти нужные.	В случайном эксперименте монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Комбинации: ОО, ОР, РО, РР Подходят: ОР и РО. P(A)=2/4=0,5
Задачи с костями	Необходимо перебрать все варианты, когда сумма очков равна той, что нам нужно и поделить количество комбинаций на 6 (если 1 кубик) или на 36 (если 2 кубика).	Игральный кубик бросают дважды. Какова вероятность, что сумма очков будет равна 5? Сумма будет равна 5 в четырех случаях: «3+2», «2+3», «1+4» и «4+1». P(A)=4/36=1/9
Задачи со стульями	Для решения задач про стулья необходимо сделать два действия: 1) Из количества всех стульев вычесть 1 (там, где человек №1) 2) Поделить 2 на количество оставшихся мест (так как человек №2 может сидеть слева или справа)	За круглый стол на 5 стульев рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Какова вероятность того, что девочки будут сидеть рядом? 1) Nобщ=5-1=4 свободных стула 2) Nблаг=2 (слева или справа от 1 девочки). P(A)=2/4=0,5
II. Теоремы о вероятностях событий
Вероятность независимых событий	Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: P(A+B)=P(A)*P(B)	Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Покупатель выбирает две таких батарейки. Каковая вероятность, что обе батарейки исправны? *P(A+B)=0,940,94=0,8836**
Вероятность несовместных событий	Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятности событий: P(A+B)=P(A)+P(B)	Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93, что больше двух лет — 0,87. Какова вероятность, что он прослужит меньше двух лет, но больше года? 0,93=P(A)+0,87; P(A)=0,93-0,87=0,06
Вероятность противоположных событий	Сумма вероятности противоположных событий всегда равна 1: P(A)=1-P(¬A)	Вероятность того, что температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Какова вероятность того, что у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше? P(A)=1-0,81=0,19
Вероятность совместных событий	Сумма двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)	Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена либо первым, либо вторым выстрелом. *P(A+B)=0,7+0,7-0,70,7=0,91**

Заключение

После всей проделанной нами работы мы достигли
поставленных целей и задач, а именно:

I.
Мы научились решать задачи на теорию вероятностей.

II.
Мы разбили задания из ЕГЭ на группы, подобрав к каждой

формулы, объяснили, как их применять.

III.
Мы разобрали каждый тип задач на отдельном примере.

   Закончить мы хотим словами о
проделанной нами работе. За это время мы научились анализировать задачи по
теории вероятностей и искать различные пути решения.
   Мы нашли множество разных формул и научились их применять, научились решать
задачи на теорию вероятностей из ЕГЭ.
   И самое главное, мы сделали небольшую «шпаргалку», как итог проекта, что
несомненно поможет нам и всем остальным выпускникам 11 классов, сдающих
профильный экзамен по математике.

Источники

1. Решу
ЕГЭ

https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=166

https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=185

2. PARTA
MATH

https://vk.com/partamath?w=wall-170347806_18525

3. EN-PPT-ONLINE

https://en.ppt-online.org/603820

4. INFOUROK

https://infourok.ru/prezentaciya-po-teme-slozhenie-i-umnozhenie-veroyatnostey-1977395.html

5. EGEMAXIMUM

https://egemaximum.ru/teoriya-veroyatnosti-chast-2/

6. REPETITOR
MATHEMATICS

https://repetitor—mathematics.ru/teoriya—veroyatnosti—formulyi—i—primeryi—resheniya—zadach/

Источник

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна .

Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.

Ответ: 0,25.

Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна

Ответ: 0,2.

Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов	Первое бросание	Второе бросание
1	Решка	Решка
2	Орёл	Орёл
3	Орёл	Решка
4	Решка	Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:

Ответ: 0,5.

Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна

Ответ: 0,75.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна .

Ответ: 0,25.

Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность .

Ответ: 0,5.

Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.

Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел По классической формуле вычисляем вероятность .

Ответ: 0,04.

Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.

Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего

Ответ: 0,03.

Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением

Ответ: 0,2.

Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: 0,35.

Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=

Ответ: 0,75.

Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: .

Ответ: 0,32.

Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: .

Ответ: 0,14.

Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:

Ответ: 0,75.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. . Здесь — вероятность события, противоположного событию А.

Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие — ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(

Ответ: 0,79.

Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Событие А — насос подтекает, событие – насос не подтекает.

Ответ: 0,95.

Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?

Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому .

Ответ: 0,92.

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: .

Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.

Ответ: 0,55.

Источник