Вступительные экзамены мфти математика - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Вступительные испытания

Приём в бакалавриат и специалитет осуществляется по результатам единого государственного экзамена (ЕГЭ) и по результатам вступительных испытаний МФТИ для отдельных категорий поступающих. Победители и призёры олимпиад школьников обладают особыми правами в соответствии с порядком предоставления особых прав победителям и призёрам олимпиад школьников.

Конкурсные группы с указанием перечня вступительных испытаний и их приоритета

Программы вступительных испытаний

Программа вступительного испытания по физике
Entrance Examination in Physics
Пример вступительного испытания по физике
Sample of Entrance Examination in Physics

Программа вступительного испытания по математике
Entrance Examination in Mathematics
Пример вступительного испытания по математике
Sample of Entrance Examination in Mathematics

Программа вступительного испытания по информатике
Entrance Examination in Computer Science
Пример вступительного испытания по информатике
Sample of Entrance Examination in Computer Science

Программа вступительного испытания по химии;
Entrance Examination in Chemistry
Пример вступительного испытания по химии
Sample of Entrance Examination in Chemistry

Программа вступительного испытания по биологии
Entrance Examination in Biology
Пример 1 части вступительного испытания по биологии
Sample of Entrance Examination in Biology (part 1)

Программа вступительного испытания по русскому языку
Пример вступительного испытания по русскому языку
Видео «Подготовка к экзамену по русскому языку»

Программа вступительного испытания по английскому языку

Программа вступительного испытания по истории

Программа вступительного испытания по географии

Программа вступительного испытания по обществознанию

Вступительные испытания МФТИ могут сдавать:

вне зависимости от того, участвовал ли поступающий в сдаче ЕГЭ:

инвалиды (в том числе дети-инвалиды);
иностранные граждане;
лица, поступающие на базе высшего образования;
граждане Российской Федерации, которые до прибытия на территорию Российской Федерации в 2022 г. проживали на территории ДНР, ЛНР, Украины и утратили возможность продолжать обучение или поступать на обучение за рубежом, а также граждане Российской Федерации, которые были вынуждены прервать обучение в иностранных образовательных организациях;
дети военнослужащих и сотрудников, за исключением погибших, получивших увечье или заболевание;

по тем предметам, по которым поступающий не сдавал ЕГЭ в текущем календарном году:

если поступающий получил документ о среднем общем образовании в иностранной организации.

Источник

Абитуриентам
Одним из главных принципов уникальной «системы Физтеха», заложенной в основу образования в МФТИ, является тщательный отбор одаренных и склонных к творческой работе представителей молодежи. Абитуриентами Физтеха становятся самые талантливые и высокообразованные выпускники школ всей России и десятков стран мира.
- Приемная комиссия
- Физтех-центр
- ЗФТШ
- Школы
- Олимпиады и конференции
Студентам
Аспирантам
Выпускникам

О Физтехе
Образование
Наука и инновации
Новости науки

МФТИ
Образование
Институтские кафедры
Кафедра высшей математики
Экзамены (контроль успеваемости)
Вступительные экзамены по математике

Программа по математике для восстанавливающихся и переводящихся в МФТИ из других вузов в 2020 г.
Порядок проведения дистанционного устного экзамена для переводников 2020 г.
Письменные работы по математике для переводащихся в МФТИ из других вузов и поступающих в магистратуру в 2007 году
Варианты вступительных заданий для поступающих в магистратуру и восстанавливающихся

Если вы заметили в тексте ошибку, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

Источник

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

1. Решите уравнение:

Используем формулу «синус двойного угла»:

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим за скобки:

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

$[ sin x(4+2sqrt{3}cos x-2(2cos^2x-1))=0 ]$

$[ sin x(6+2sqrt{3}cos x-4cos^2x)=0. ]$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) .

2) $6+2sqrt{3}cos x-4cos^2x=0.$

Умножим обе части последнего уравнения на и введём замену :

$[ 4t^2-2sqrt{3}t-6=0Leftrightarrowleft[ begin{array}{l} t_1 = -frac{sqrt{3}}{2} \ t_2=sqrt{3}. end{array} ]$

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как ), либо $cos x = -frac{sqrt{3}}{2}$ . Из последнего уравнения получаем $x = pmfrac{5pi}{6}+2pi n,, nin Z$ .

Ответ: $x=pi n,,x=pmfrac{5pi}{6}+2pi n,, nin Z$ .

2. Решите систему уравнений:

$[ begin{cases} x^3+y^3=19 \ (xy+8)(x+y)=2. end{cases} ]$

Преобразуем выражение с суммой кубов:

В скобках заменим член на разность . От этого равенство не нарушится. В результате получим:

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

$[ begin{cases} (x+y)((x+y)^2-3xy)=19 \ (xy+8)(x+y)=2. end{cases} ]$

Теперь используем замену: и . Тогда система принимает вид:

$[ begin{cases} a(a^2-3b)=19 \ a(b+8)=2 end{cases}Leftrightarrow begin{cases} a^3-3ab = 19 \ 3ab+24a=6. end{cases} ]$

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

Корень этого уравнения угадывается автоматически: . Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении .

Итак, , значит . Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

$[ begin{cases} x+y = 1 \ xy=-6. end{cases} ]$

В результате приходим к окончательному ответу: и .

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: . Известно, что эта прямая проходит через точку , то есть имеет место равенство:

(1)

Кроме того, прямая касается графика функции . Значит уравнение

должно иметь ровно один корень. Введём замену . Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2) $begin{equation*} kt^2-8t+7+b =0 end{equation*}$

равен нулю, и корень при этом неотрицателен. То есть получаем:

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

$[ begin{cases} k+b = 3 \ 16-7k-kb=0. end{cases} ]$

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: ( и ) или ( и ). При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень . При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень $x=frac{1}{2}$ .

То есть из двух прямых и нужно выбрать такую, которая пересекает график функции в двух различных точках.

Решаем сперва уравнение:

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

Решаем теперь уравнение:

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: .

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Пусть радиус окружности равен . Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

$[ begin{cases} x^2 = R^2-(2x+15)^2 \ y^2 = R^2 - (2y-15)^2. end{cases} ]$

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

Поделим обе части этого уравнения на и обозначит разность за . В результате приходим к следующему уравнению:

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна .

Ответ: 24.

5. Решите неравенство

$[ log_4left(5-3^xright)cdotlog_2left(frac{5-3^x}{8}right)geqslant -1. ]$

Введём замену: . Тогда неравенство принимает вид:

$[ log_{2^2} tcdotlog_2left(frac{t}{8}right)geqslant -1. ]$

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

$[ frac{1}{2}log_2 tleft(log_2 t - 3right)geqslant -1. ]$

Введём ещё одну замену: . Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число неравенство принимает вид:

$[ z^2-3z+2geqslant 0Leftrightarrow left[ begin{array}{l} zleqslant 1\ zgeqslant 2. end{array} ]$

Последовательно возвращаемся к исходной переменной :

$[ left[ begin{array}{l} log_2 tleqslant 1\ log_2 tgeqslant 2. end{array}Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 0< tleqslant 2\ tgeqslant 4. end{array}Leftrightarrow ]$

$[ left[ begin{array}{l} 0< 5-3^xleqslant 2\ 5-3^xgeqslant 4. end{array}Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 3leqslant 3^x < 5\ 3^xleqslant 1. end{array} ]$

Окончательно получаем следующий ответ: $xin(-mathcal{1};0]cup[1;log_3 5).$

Пусть в первую бочку долили кг воды, а во вторую — кг. Пусть в первой бочке находится кг, а во второй кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

$[ frac{a}{16}times 100%, ]$

а после доливания воды оно стало равно:

$[ frac{a}{x+16}times 100%. ]$

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

$[ frac{b}{25}times 100%, ]$

а после доливания воды оно стало равно:

$[ frac{b}{y+25}times 100%. ]$

Тогда справедливы равенства:

(3) $begin{equation*} frac{a}{16}:frac{a}{x+16}=frac{x+16}{16}=1+frac{x}{16} = k end{equation*}$

(4) $begin{equation*} frac{b}{25}:frac{b}{y+25}=frac{y+25}{25} = 1+frac{y}{25} = m. end{equation*}$

Из уравнения (3) выражаем , из уравнения (4) выражаем , а из уравнения выражаем $k=frac{m+3}{m-1}$ . Мы ищем минимальное значение суммы . Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

$[ =40sqrt{left(frac{m+3}{m-1}-1right)(m-1)}= ]$

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Этот случай реализуется при , когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при $k = dfrac{25}{16}m-dfrac{9}{16}$ . Подставляя это в выражение , получаем после преобразований, что $m = dfrac{13}{5}$ . Отрицательный корень мы в расчёт не берём.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Выполним следующие дополнительные построения:

проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
∠CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что , то есть ;
тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна .

Ответ: 40.

8. Найдите все значения параметра

, для каждого из которых неравенство

выполняется для всех значений .

Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:

Ведём замену , причём . Тогда получим следующее неравенство:

Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра , при котором последнее неравенство выполняется при всех .

Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:

Легко видеть, что при любых значениях , так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение , при этом знак неравенства не поменяется:

(5) $begin{equation*} a <frac{t+3}{t^2-6t+11}. end{equation*}$

Исследуем функцию $y=dfrac{t+3}{t^2-6t+11}$ на возрастание. Для этого определим при каких значениях её производная положительна:

$[ y'=-frac{t^2+6t-29}{(t^2-6t+11)^2}>0Leftrightarrow ]$

Так как , а , то на промежутке данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом при условии, что , то есть $a<dfrac{3}{11}$ .

Ответ: $ainleft(-mathcal{1};dfrac{3}{11}right)$ .

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!

Источник

— МЕНЮ —
ЯГУБОВ.РФ
ЕГЭ (ПРОФИЛЬ)
ЕГЭ (БАЗА)
ОГЭ (ГИА)
ГЕНЕРАТОР
ОЛИМПИАДЫ
ЭКЗАМЕНЫ [МФТИ…]
ЛИТ-РА
ДВИ (МГУ)
От Ягубова Р. Б.
ЗАДАНИЯ
ТЕМАТИКА
РАСПИСАНИЕ
ЗАНЯТИЯ
ПРОГУЛЫ
ПЛАТЕЖИ
ФОРМУЛЫ
ТЕТРАДЬ
ЗАГАДКИ
СОБЫТИЯ
ИНВЕСТИЦИИ
ГРУППА «ВК»
МЫ В «YOUTUBE»
ЯНДЕКС.КАРТЫ
ПОИСК
ОТЗЫВЫ
— ВХОД —

Источник

Public user contributions licensed under
cc-wiki license with attribution required

Источник