Вся теория по тригонометрии для егэ профиль

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$  градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	${π}/{6}$	${π}/{4}$	${π}/{3}$	${π}/{2}$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ {1}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {√3}/{2}$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ {√3}/{2}$	$ {√2}/{2}$	$ {1}/{2}$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ {√3}/{3}$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ {√3}/{3}$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

1. $sin2α=2sinα·cosα$
2. $cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

$cosα+cosβ=2cos{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$cosα-cosβ=2sin{α+β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

$sinα+sinβ=2sin{α+β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

$sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α+β}/{2}$

Формулы произведения

$cosα·cosβ={cos(α-β)+cos(α+β)}/{2}$

$sinα·sinβ={cos(α-β)-cos(α+β)}/{2}$

$sinα·cosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/{2}$

Формулы сложения

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ$

$sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arccos а = t ⇔ {table cos (t)=a; ≤t≤π;$

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

Частные случаи

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = {π}/{2}+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, синус которого равен $а$.

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a = t ⇔ {table sint=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

$sin t = 1, t={π}/{2}+2πk;k∈Z$

$sin t = -1,t=-{π}/{2}+2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-{π}/{2};{π}/{2}]$, тангенс которого равен $а$.

$arctg a = t ⇔ {table tgt=a; -{π}/{2}≤t≤{π}/{2};$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Тригонометрия для многих старшеклассников представляется сложной темой. Но на самом деле это не так. Тригонометрия проста и логична. Главное – начать с самых основ. Вспомнить, что такое градусы и радианы. Что такое синус и что такое косинус для произвольного угла.

Тригонометрию можно понять! И мы поможем вам это сделать. Ведь понимание намного лучше зубрежки. Читайте статьи этого раздела:

^New Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Измерение углов: градусы и радианы

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрические формулы

Формулы приведения

Все формулы тригонометрии

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические уравнения, 1

Простейшие тригонометрические уравнения, 2

Тригонометрические уравнения. Методы решения

Повторим самое главное в тригонометрии.

— Выучи, что такое синус и что такое косинус произвольного угла.

Из курса геометрии ты помнишь, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Однако это частные случаи для углов, больших нуля и меньших 90 градусов. А мы говорим о произвольном угле. Определения синуса и косинуса произвольного угла – в этом разделе.

— Тригонометрический круг, или тригонометрическая окружность, – твоя универсальная шпаргалка. Значения синусов и косинусов основных углов, знаки синуса и косинуса в четвертях, четность и нечетность синуса и косинуса и многое другое – на тригонометрическом круге.

— Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо понять, как они получаются.

— Сколько формул тригонометрии нужно знать, чтобы уверенно решать задачи? Три – это мало. 100 – это много. В нашей таблице 29 формул. Их хватит для решения любой задачи ЕГЭ. И на первом курсе вуза тоже пригодится!

— Как решать тригонометрические уравнения? Не спеши учить формулы. Сначала разберись, почему их решения именно такие. Выучи определения и свойства обратных тригонометрических функций – арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

И тренируйся на реальных задачах ЕГЭ!

Методические материалы по математике, нацеленные главным образом на подготовку к ЕГЭ.

Алгебра и анализ

Метод интервалов: interval.pdf
Уравнения и неравенства с модулем: modul.pdf
Что такое функция: function.pdf
Чтение графика функции: grafik.pdf
Степени и корни: power.pdf
Производная: der.pdf
Геометрический смысл производной: dergeom.pdf

Тригонометрия

Тригонометрический круг: trigcircle.pdf
Тригонометрические формулы: trigform.pdf
Простейшие тригонометрические уравнения. 1: treq1.pdf
Простейшие тригонометрические уравнения. 2: treq2.pdf
Тригонометрические уравнения: trigequations.pdf
Углы в тригонометрии: trigangles.pdf Задачи: protrigangles.pdf
Тригонометрическая окружность: trigok.pdf Задачи: protrigok.pdf
Тригонометрические функции. Синус и косинус: sincos.pdf
Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс: tangens.pdf Задачи: protrigfun.pdf
Основное тригонометрическое тождество: ott.pdf Задачи: proott.pdf
Формулы сложения: fadd.pdf Задачи: profadd.pdf
Формулы приведения: fpriv.pdf Задачи: profpriv.pdf
Формулы двойного и половинного угла: fda.pdf Задачи: profda.pdf
Суммы и произведения тригонометрических функций: trigsum.pdf Задачи: protrigsum.pdf
Тригонометрические формулы (резюме): trigform.pdf
Обратные тригонометрические функции: trigeqprost.pdf
Тригонометрические уравнения: trigequations.pdf

Планиметрия

О первичных понятиях, или Зачем аксиомы в геометрии: primaries.pdf

Стереометрия

Многогранники в задаче С2: sm.pdf
Пирамида: piramida.pdf
Призма: prizma.pdf
Взаимное расположение прямых в пространстве: ll.pdf
Угол между скрещивающимися прямыми: lla.pdf Задачи: prolla.pdf
Взаимное расположение прямой и плоскости: lp.pdf
Теорема о трёх перпендикулярах: ttp.pdf
Угол между прямой и плоскостью: lpa.pdf Задачи: lpa.pdf
Взаимное расположение плоскостей: pp.pdf
Угол между плоскостями: ppa.pdf Задачи: proppa.pdf
Расстояние от точки до прямой: dpl.pdf Задачи: prodpl.pdf
Расстояние от точки до плоскости: dpp.pdf Задачи: prodpp.pdf
Расстояние между скрещивающимися прямыми: dll.pdf Задачи: prodll.pdf
Метод объёмов: vol.pdf
Задачи на сечения многогранников: prosec.pdf

(blacktriangleright) Рассмотрим прямоугольную систему координат и в ней окружность с единичным радиусом и центром в начале координат.

Угол в (1^circ) — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна (dfrac1{360}) длины всей окружности.

Точку, в которой вторая сторона такого угла (alpha) пересекает окружность, будет называть (P_{alpha}).
Положение точки (P_{0}) будем называть начальным положением.

Таким образом, можно сказать, что мы совершаем поворот по окружности из начального положения (P_0) до положения (P_{alpha}) на угол (alpha).

(blacktriangleright) Поворот по окружности против часовой стрелки — это поворот на положительный угол. Поворот по часовой стрелке — это поворот на отрицательный угол.

Все углы, находящиеся в точке (P_{30^circ}) можно записать в виде: (alpha=30^circ+ncdot 360^circ, ninmathbb{Z}).

(blacktriangleright) Угол в (1) радиан — это такой центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности:

Т.к. длина всей окружности радиусом (R) равна (2pi R), а в градусной мере — (360^circ), то имеем (360^circ=2pi cdot
1textbf{ рад}), откуда [180^circ=pi textbf{ рад}] Это основная формула, с помощью которой можно переводить градусы в радианы и наоборот.

Пример 1. Найти радианную меру угла (60^circ).

Т.к. (180^circ = pi Rightarrow 1^circ = dfrac{pi}{180}
Rightarrow 60^circ=dfrac{pi}3)

Пример 2. Найти градусную меру угла (dfrac34 pi).

Т.к. (pi=180^circ Rightarrow dfrac34 pi=dfrac34 cdot
180^circ=135^circ).

Обычно пишут, например, не (dfrac{pi}4 text{ рад}), а просто (dfrac{pi}4) (т.е. единицу измерения “рад” опускают). Обратим внимание, что обозначение градуса при записи угла не опускают. Таким образом, под записью “угол равен (1)” понимают, что “угол равен (1) радиану”, а не “угол равен (1) градусу”.

Т.к. (pi thickapprox 3,14 Rightarrow 180^circ thickapprox 3,14
textbf{ рад} Rightarrow 1 textbf{ рад} thickapprox 57^circ).
Такую приблизительную подстановку делать в задачах нельзя, но знание того, чему приближенно равен (1) радиан в градусах часто помогает при решении некоторых задач. Например, таким образом проще найти на окружности угол в (5) радиан: он примерно равен (285^circ).

Опустим перпендикуляр (P_{alpha}K) из точки (P_{alpha}) на ось (Ox). Мы получим прямоугольный треугольник (triangle OP_{alpha}K), из которого имеем: [sinalpha=dfrac{P_{alpha}K}{P_{alpha}O} qquad cos alpha=dfrac{OK}{P_{alpha}O}] Заметим, что отрезок (OK) есть не что иное, как абсцисса (x_{alpha}) точки (P_{alpha}), а отрезок (P_{alpha}K) — ордината (y_{alpha}). Заметим также, что т.к. мы брали единичную окружность, то (P_{alpha}O=1) — ее радиус.
Таким образом, [sinalpha=y_{alpha}, qquad cos alpha=x_{alpha}]

Таким образом, если точка (P_{alpha}) имела координаты ((x_{alpha},;y_{alpha})), то через соответствующий ей угол ее координаты можно переписать как ((cosalpha,;sinalpha)).

Определение: 1. Синусом угла (alpha) называется ордината точки (P_{alpha}), соответствующей этому углу, на единичной окружности.

2. Косинусом угла (alpha) называется абсцисса точки (P_{alpha}), соответствующей этому углу, на единичной окружности.

Поэтому ось (Oy) называют осью синусов, ось (Ox) — осью косинусов.

(blacktriangleright) Окружность можно разбить на (4) четверти, как показано на рисунке.

Т.к. в (I) четверти и абсциссы, и ординаты всех точек положительны, то косинусы и синусы всех углов из этой четверти также положительны.
Т.к. во (II) четверти ординаты всех точек положительны, а абсциссы — отрицательны, то косинусы всех углов из этой четверти — отрицательны, синусы — положительны.
Аналогично можно определить знак синуса и косинуса для оставшихся четвертей.

Пример 3. Так как, например, точки (P_{frac{pi}{6}}) и (P_{-frac{11pi}6}) совпадают, то их координаты равны, т.е. (sindfrac{pi}6=sin left(-dfrac{11pi}6right), cos
dfrac{pi}6=cos
left(-dfrac{11pi}6right)).

Таким образом доказываются и другие формулы, называемые формулами приведения: [{large{begin{array}{l|r}
hline sin(pi-alpha)=sinalpha &
cos(pi-alpha)=-cosalpha\[2ex]
sin(pi+alpha)=-sinalpha &
cos(pi+alpha)=-cosalpha\[2ex]
sin(2pipmalpha)=pmsinalpha & cos
(2pipmalpha)=cosalpha\[2ex]
sin left(dfrac{pi}2pmalpharight)=cosalpha &
cosleft(dfrac{pi}2pmalpharight)=pmsinalpha\[2ex]
hline
end{array}}}]

С помощью этих формул можно найти синус или косинус любого угла, сведя это значение к синусу или косинусу угла из (I) четверти.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:
[{large{begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline &&&&&\[-17pt]
& quad 0 quad (0^ circ)& quad dfrac{pi}6 quad (30^circ)
& quad dfrac{pi}4
quad (45^circ) & quad dfrac{pi}3 quad (60^circ)& quad dfrac{pi}2 quad
(90^circ) \
&&&&&\[-17pt]
hline sin & 0 &frac12&frac{sqrt2}2&frac{sqrt3}2&1\[4pt]
hline cos &1&frac{sqrt3}2&frac{sqrt2}2&frac12&0\[4pt]
hline mathrm{tg} &0 &frac{sqrt3}3&1&sqrt3&infty\[4pt]
hline mathrm{ctg} &infty &sqrt3&1&frac{sqrt3}3&0\[4pt]
hline
end{array}}}]

Заметим, что данные значения были выведены в разделе “Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II” в теме “Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе”.

Пример 5. Найдите (sin{dfrac{3pi}4}).

Преобразуем угол: (dfrac{3pi}4=dfrac{4pi-pi}{4}=pi-dfrac{pi}4)

Таким образом, (sin{dfrac{3pi}4}=sinleft(pi-dfrac{pi}4right)=sindfrac{pi}4=dfrac{sqrt2}2).

(blacktriangleright) Для упрощения запоминания и использования формул приведения можно следовать следующему правилу.

Случай 1. Если угол можно представить в виде (ncdot pipm
alpha), где (ninmathbb{N}), то [sin(ncdot pipm
alpha)=bigodot sinalpha] где на месте (bigodot) стоит знак синуса угла (ncdot pipm alpha). [cos(ncdot pipm
alpha)=bigodot cosalpha] где на месте (bigodot) стоит знак косинуса угла (ncdot pipm alpha).

Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол (alpha) находится в (I) четверти.

Случай 2. Если угол можно представить в виде (ncdot
pi+dfrac{pi}2pmalpha), где (ninmathbb{N}), то [sin(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot cosalpha] где на месте (bigodot) стоит знак синуса угла (ncdot pipm alpha). [cos(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot sinalpha] где на месте (bigodot) стоит знак косинуса угла (ncdot pipm alpha).

Знак определяется таким же образом, как и в случае (1).

Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).

Пример 6. Найти (sin dfrac{13pi}{3}).

Преобразуем угол: (dfrac{13pi}{3}=dfrac{12pi+pi}{3}=4pi+dfrac{pi}3), следовательно, (sin dfrac{13pi}{3}=sin
left(4pi+dfrac{pi}3right)=sindfrac{pi}3=dfrac{sqrt3}2)

Пример 7. Найти (cos dfrac{17pi}{6}).

Преобразуем угол: (dfrac{17pi}{6}=dfrac{18pi-pi}{6}=3pi-dfrac{pi}6), следовательно, (cos dfrac{17pi}{6}=cos
left(3pi-dfrac{pi}6right)=-cosdfrac{pi}6=-dfrac{sqrt3}2)

(blacktriangleright) Область значений синуса и косинуса.
Т.к. координаты (x_{alpha}) и (y_{alpha}) любой точки (P_{alpha}) на единичной окружности находятся в пределах от (-1) до (1), а (cosalpha) и (sinalpha) — абсцисса и ордината соответственно этой точки, то [{large{-1leq cosalphaleq 1 ,qquad -1leqsinalphaleq 1}}]

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем: (x^2_{alpha}+y^2_{alpha}=1^2)
Т.к. (x_{alpha}=cosalpha, y_{alpha}=sinalpha Rightarrow) [{large{sin^2alpha+cos^2alpha=1}} — textbf{основное тригонометрическое тождество (ОТТ)}]

(blacktriangleright) Тангенс и котангенс.

Т.к. (mathrm{tg},alpha=dfrac{sinalpha}{cosalpha}, cosalphane 0)

(mathrm{ctg},alpha=dfrac{cosalpha}{sinalpha}, sinalphane 0), то:

1) ({large{mathrm{tg},alphacdot mathrm{ctg},alpha=1, cosalphane 0, sinalpha ne 0}})

2) тангенс и котангенс положительны в (I) и (III) четвертях и отрицательны в (II) и (IV) четвертях.

3) область значений тангенса и котангенса — все вещественные числа, т.е. (mathrm{tg},alphainmathbb{R},
mathrm{ctg},alphainmathbb{R})

4) для тангенса и котангенса также определены формулы приведения.

Случай 1. Если угол можно представить в виде (ncdot pipm
alpha), где (ninmathbb{N}), то [mathrm{tg},(ncdot pipm
alpha)=bigodot mathrm{tg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак тангенса угла (ncdot pipm alpha) ((cosalphane 0)). [mathrm{ctg},(ncdot pipm
alpha)=bigodot mathrm{ctg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак котангенса угла (ncdot pipm alpha) ((sinalphane 0)).

Случай 2. Если угол можно представить в виде (ncdot
pi+dfrac{pi}2pmalpha), где (ninmathbb{N}), то [mathrm{tg},(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot mathrm{ctg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак тангенса угла (ncdot pipm alpha) ((sinalphane 0)). [mathrm{ctg},(ncdot pi+dfrac{pi}2pm
alpha)=bigodot mathrm{tg},alpha] где на месте (bigodot) стоит знак котангенса угла (ncdot pipm alpha) ((cosalphane 0)).

5) ось тангенсов проходит через точку ((1;0)) параллельно оси синусов, причем положительное направление оси тангенсов совпадает с положительным направлением оси синусов;
ось котангенсов — через точку ((0;1)) параллельно оси косинусов, причем положительное направление оси котангенсов совпадает с положительным направлением оси косинусов.

Доказательство этого факта приведем на примере оси тангенсов.

(triangle OP_{alpha}K sim triangle AOB Rightarrow
dfrac{P_{alpha}K}{OK}=dfrac{BA}{OB} Rightarrow
dfrac{sinalpha}{cosalpha}=dfrac{BA}1 Rightarrow
BA=mathrm{tg},alpha).

Таким образом, если точку (P_{alpha}) соединить прямой с центром окружности, то эта прямая пересечет линию тангенсов в точке, значение которой равно (mathrm{tg},alpha).

6) из основного тригонометрического тождества вытекают следующие формулы: [1+mathrm{tg},^2alpha=dfrac1{cos^2alpha},cosalphane 0 qquad qquad 1+mathrm{ctg},^2alpha=dfrac1{sin^2alpha}, sinalphane 0] Первую формулу получают делением правой и левой частей ОТТ на (cos^2alpha), вторую — делением на (sin^2alpha).

Обращаем внимание, что тангенс не определен в углах, где косинус равен нулю (это (alpha=dfrac{pi}2+pi n, ninmathbb{Z}));
котангенс не определен в углах, где синус равен нулю (это (alpha=pi+pi n, ninmathbb{Z})).

(blacktriangleright) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса, котангенса.

Напомним, что функция (f(x)) называется четной, если (f(-x)=f(x)).

Функция называется нечетной, если (f(-x)=-f(x)).

По окружности видно, что косинус угла (alpha) равен косинусу угла (-alpha) при любых значениях (alpha):

Таким образом, косинус — четная функция, значит, верна формула [{Large{cos(-x)=cos x}}]

По окружности видно, что синус угла (alpha) противоположен синусу угла (-alpha) при любых значениях (alpha):

Таким образом, синус — нечетная функция, значит, верна формула [{Large{sin(-x)=-sin x}}]

Тангенс и котангенс также нечетные функции: [{Large{mathrm{tg},(-x)=-mathrm{tg},x}}] [{Large{mathrm{ctg},(-x)=-mathrm{ctg},x}}]

Т.к. (mathrm{tg},(-x)=dfrac{sin (-x)}{cos(-x)}=dfrac{-sin
x}{cos x}=-mathrm{tg},x qquad mathrm{ctg},(-x)=dfrac{cos(-x)}{sin(-x)}=-mathrm{ctg},x))

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

	0°	30°	45°	60°	90°
sinα	0	12	22	32	1
cosα	1	32	22	12	0
tgα	0	33	1	3	нет
ctgα	нет	3	1	33	0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Чуть больше 30% выпускников справляется с тригонометрией на ЕГЭ по математике. И неудивительно: для решения заданий из базы и профиля надо знать очень много формул, которые сложно освоить за 1-2 года. На самом деле, это миф! Чтобы решить задания по тригонометрии, нужно знать всего 5 формул — и просто уметь ими пользоваться.

Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы

Чаще всего тригонометрию начинают изучать в 10 классе — но в некоторых школах оставляют до 11. В первом случае у учеников есть 2 года, чтобы освоить новую тему. А во втором, к сожалению, всего год. И это проблема. Дело в том, что в тригонометрии очень много формул, которые нужно знать, чтобы успешно решать задания. Если за 2 года их можно успеть выучить, то за год это будет сделать проблематично.

Ситуация осложняется ещё двумя факторами. Во-первых, в самой математике много формул, признаков, теорем и т.д. Во-вторых, кроме математики есть и другие экзамены, для которых нужно выучить большой объём информации.

Именно поэтому я всегда советую своим ученикам не учить формулы для тригонометрии на ЕГЭ, а выводить! Но об этом мы поговорим чуть позже, а сейчас давайте обсудим, почему тригонометрия так важна и где в ЕГЭ ее можно встретить.

Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ

Так как ЕГЭ по математике делится на базовый и профильный, а тригонометрия встречается в обоих, то давайте рассмотрим оба уровня экзамена.

Тригонометрия в базе

Что касается Базового уровня, то в нём всего 3 задания, в которых можно столкнуться с тригонометрией:

В № 7 в виде простейшего выражения

Как правило, для успешного решения таких заданий достаточно воспользоваться формулами из справочного материала.

В № 8 в виде формулы прикладной задачи

Стоит отметить, что в базовом ЕГЭ в прикладных задачах тригонометрия попадается редко, но нужно быть готовыми.

В № 15 как тригонометрия в геометрии

В справочном материале есть вся необходимая информация для успешного решения данного задания, а именно определение всех тригофункций в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрия в профиле

Базовый уровень мы рассмотрели, теперь перейдём к профильному. Здесь уже больше вариантов, в которых можно встретиться с тригонометрией. Давайте посмотрим на Части 1 и 2.

В № 3 как тригонометрия в геометрии (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ, вот только в справочном материале уже нет необходимой информации.

В № 4 в виде выражения (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ.

В № 7 в виде формулы прикладной задачи (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ. Для успешного решения подойдут базовые навыки работы с тригонометрией.

В № 11 как часть функции (Часть 1)

Функцию нужно проанализировать для поиска наибольшего/наименьшего значения или точек максимума/минимума.

Если с Частью 1 профиля всё более-менее очевидно, то во второй части бывают сюрпризы, о которых ученики даже не подозревают. Да-да, тригонометрия на ЕГЭ умеет прятаться и в Части 2. Давайте посмотрим на эти задания.

В № 12 (Часть 2)

Тут сюрпризов нет. Это уравнение второй части, в котором ученики как раз ожидают увидеть тригонометрию, хотя она там бывает не всегда!

В № 13 — стереометрия (Часть 2)

Да, тригонометрия может встретиться здесь в виде теоремы синусов или теоремы косинусов, а ещё в виде формул в методе координат (для любителей решать этим методом).

В № 16 — планиметрия (Часть 2)

Здесь всё аналогично стереометрии: есть геометрические формулы, в которых прячется тригонометрия. Ведь, как я и сказала выше, в геометрии она тоже бывает!

5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ

А теперь предлагаю перейти к самому интересному — а именно к формулам. К сожалению, их действительно много. А ещё они похожи, и если их просто учить (или бездумно зубрить), то велик риск перепутать «+» с «–» или забыть какую-нибудь единичку.

Именно поэтому я рекомендую не учить формулы, а выводить. Это очень удобно тем более, что в профильном ЕГЭ по математике весь справочный материал состоит из 5-ти формул тригонометрии, из которых очень легко выводятся все остальные.

Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам.

Вот формулы, которые будут у вас в справочном материале:

Формула № 1 и как она пригодится в поиске котангенса и тангенса

Первая формула — основное тригонометрическое тождество (ОТТ):

Обычно ученики знают ее очень хорошо. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую.

С этой формулой косвенно связана другая (ее нет в справочном материале), которая тоже легко дается школьникам:

Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус:

Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Но иногда требуется, чтобы были связаны все 4 функции, и здесь на помощь приходят следствия из ОТТ (как раз та самая формула № 1).

Чтобы вывести следствия нужно всего лишь разделить ОТТ на sin² и cos²:

Теперь можно легко найти:

• котангенс, зная синус,
• или тангенс, зная косинус.

Формула № 2 и что из нее можно вывести

С тождествами разобрались, давайте перейдём к формулам двойного угла. Что касается синуса двойного угла (вторая формула в справочном материале):

Здесь всё просто, берёте и применяете формулу, если видите, что она нужна для задания.

Формула № 3 и что из нее можно вывести

А вот с косинусом двойного угла (третья формула в справочном материале) всё интереснее. Безусловно, косинус двойного угла:

в чистом виде встречается, и тогда вы делаете всё тоже самое, что с синусом. Но на самом деле есть ещё 2 формулы, которые очень просто вывести, используя ОТТ (формулу № 1). Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ (Шаг 1):

А потом нужно подставить эти значения в формулу (6, или третья формула справочного материала) (Шаг 2):

Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Смотрите, нужно всего лишь выразить одно из другого:

Формулы № 4 и 5 и что из них можно вывести

Давайте посмотрим на справочный материал, у нас там ещё целых 2 формулы, из которых мы получим конечно же ещё 2! Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Вот формулы, которые уже даны:

Как вы заметили, они для суммы углов, а чтобы получить формулы для разности углов, нам нужно всего лишь поменять знаки в формуле на противоположные (разумеется, я говорю про «+» и «–»):

Вот так при помощи нехитрых преобразований из 5-ти формул справочного материала мы получили целых 14!

Все скриншоты взяты из открытого банка заданий ФИПИ или из демоверсий ЕГЭ по математике 2022.

Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ

Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие:

• некоторые можно вывести из вышеуказанных,
• некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило.

Но мне кажется, что пока этого и так много!

А чтобы отрабатывать выведение было не так скучно, держите моего котика, который любезно согласился позировать в позе котангенса:

Инфоурок

›

Алгебра

›Другие методич. материалы›Справочный материал по тригонометрии для ЕГЭ

Справочный материал по тригонометрии для ЕГЭ