Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.
Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям.
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.
Основные понятия и свойства цилиндра:
- Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
- Все образующие цилиндра параллельны и равны.
- Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
- Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
- Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
- Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
- Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
- Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
- Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
- Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.
$R_{сферы}=R_{цилиндра}={h_{цилиндра}}/{2}$
Площадь поверхности и объем цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
$S_{бок.пов.}=2πR·h$
Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.
$S_{полной.пов.}=2πR^2+2πR·h=2πR(R+h)$
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
$V=πR^2·h$
Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V={πR^2·n°·h}/{360}$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.
Пример:
Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём шара.
Решение:
Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.
$R_{цилиндр}=R_{шар}; h_{цилиндр}=2R_{шар}$
Распишем формулы объема цилиндра и шара.
$V_{цилиндра}=πR_{цилиндр}^2·h_{цилиндр}=πR_{шар}^2·2R_{шар}=2πR_{шар}^3$
$V_{шара}={4π·R_{шар}^3}/{3}$
Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.
${V_{цилиндра}}/{V_{шара}}={2πR_{шар}^3·3}/{4π·R_{шар}^3}={3}/{2}=1.5$
Объем цилиндра больше объема шара в $1.5$ раза, следовательно, чтобы найти объем шара, надо объем цилиндра разделить на $1.5$.
$V_{шара}=30:1.5=20$
Ответ: $20$
Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).
$l=SA$
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.
$SО$ — высота и ось конуса.
Свойства конуса:
- Все образующие конуса равны.
- Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
- Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
- Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
- Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.
Площадь поверхности и объем конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
$S_{бок.пов.}=πR·l$
Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
$S_{полной.пов.}=πR^2+πR·l=πR(R+l)$
Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.
$V={πR^2·h}/{3}$
Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $V={πR^2·n°·h}/{360·3}$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ($R$) от данной точки (центра сферы $О$).
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.
Площадь поверхности сферы: $S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы
Объем шара: $V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.
Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.
Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?
Повторим формулы для вычисления объемов и площадей поверхности многогранников (призмы, пирамиды… ) и тел вращения (цилиндра, конуса и шара)
Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?
Посмотрим, как решаются простые задачи по стереометрии и задачи с секретами.
Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в 
раз, а объем в 
раз.
И решаем задачи. У нас все получится!
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?
Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.
3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия 
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен 
4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.
Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен 
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна 
Найти объем пирамиды SABCD .
Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника SAE получаем, что 
Соответственно, сторона основания пирамиды равна 
Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора, для треугольника SHE – она равна 2.
Применяя формулу для объема пирамиды 
, получаем ответ: 16.
Многие задания №2 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.
Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.
6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.
Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.
Радиус описанной окружности найдем по формуле
Площадь 
найдем по формуле Герона:
, где 
– полупериметр.
Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.
7. В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми 
и 
. Ответ дайте в градусах.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку 
и параллельны, найдем угол между и . Он равен 45 градусов, так как грань – квадрат.
Ответ: 45.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание №2. Стереометрия» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
09.03.2023
Справочник с основными фактами стереометрии
2. Вникай в доказательства
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
({color{red}{textbf{Факт 1. Про параллельность прямых}}})
(bullet) Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
(bullet) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
(bullet) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(bullet) Если прямая (a) параллельна прямой (b), а та в свою очередь параллельна прямой (c), то (aparallel c).
(bullet) Пусть плоскость (alpha) и (beta) пересекаются по прямой (a), плоскости (beta) и (pi) пересекаются по прямой (b), плоскости (pi) и (alpha) пересекаются по прямой (p). Тогда если (aparallel
b), то (pparallel a) (или (pparallel b)):
({color{red}{textbf{Факт 2. Про параллельность прямой и плоскости}}})
(bullet) Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);
2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);
3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
(bullet) Если прямая (a), не лежащая в плоскости (pi), параллельна некоторой прямой (p), лежащей в плоскости (pi), то она параллельна данной плоскости.
(bullet) Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu). Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu), то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p).
({color{red}{textbf{Факт 3. Про параллельность плоскостей}}})
(bullet) Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
(bullet) Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.
(bullet) Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma), то линии пересечения плоскостей также параллельны: [alphaparallel beta, alphacap gamma=a,
betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]
(bullet) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны: [alphaparallel beta, aparallel b Longrightarrow
A_1B_1=A_2B_2]
({color{red}{textbf{Факт 4. Про скрещивающиеся прямые}}})
(bullet) Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
(bullet) Признак:
Пусть прямая (l) лежит в плоскости (lambda). Если прямая (s) пересекает плоскость (lambda) в точке (S), не лежащей на прямой (l), то прямые (l) и (s) скрещиваются.
(bullet) алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми (a) и (b):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b). Как это сделать: проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P); через точку (P) проведем прямую (pparallel b); тогда плоскость, проходящая через (a) и (p), и есть плоскость (pi).
Шаг 2. В плоскости (pi) найти угол между прямыми (a) и (p) ((pparallel b)). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
({color{red}{textbf{Факт 5. Про перпендикулярность прямой и плоскости}}})
(bullet) Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
(bullet) Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
(bullet) Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
({color{red}{textbf{Факт 6. Про расстояния}}})
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
(bullet) алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми (a) и (b):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b). Как это сделать: проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P); через точку (P) проведем прямую (pparallel b); тогда плоскость, проходящая через (a) и (p), и есть плоскость (pi).
Шаг 2. Найдите расстояние от любой точки прямой (b) до плоскости (pi). Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
({color{red}{textbf{Факт 7. Про теорему о трех перпендикулярах (ТТП)}}})
(bullet) Пусть (AH) – перпендикуляр к плоскости (beta). Пусть (AB, BH) – наклонная и ее проекция на плоскость (beta). Тогда прямая (x) в плоскости (beta) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции: [begin{aligned}
&1. AHperp beta, ABperp xquad Rightarrowquad BHperp x\[2ex]
&2. AHperp beta, BHperp xquadRightarrowquad ABperp
xend{aligned}] 
Заметим, что прямая (x) необязательно должна проходить через точку (B). Если она не проходит через точку (B), то строится прямая (x’), проходящая через точку (B) и параллельная (x). Если, например, (x’perp BH), то и (xperp BH).
({color{red}{textbf{Факт 8. Про угол между прямой и плоскостью,
а также угол между плоскостями}}})
(bullet) Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ((0^circ;90^circ)).
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным (0^circ). Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен (90^circ).
(bullet) Чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку (A) на этой прямой и провести перпендикуляр (AH) к плоскости. Если (B) – точка пересечения прямой с плоскостью, то (angle ABH) и есть искомый угол.
(bullet) Для того, чтобы найти угол между плоскостями (alpha) и (beta), можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку (A) в плоскости (alpha).
Провести (AHperp h), где (h) — линия пересечения плоскостей.
Провести (AB) перпендикулярно плоскости (beta).
Тогда (AB) – перпендикуляр к плоскости (beta), (AH) – наклонная, следовательно, (HB) – проекция. Тогда по ТТП (HBperp h).
Следовательно, (angle AHB) — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.
Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник (triangle AHB) ((angle B=90^circ)). Как правило, находить (angle AHB) удобно из него.
({color{red}{textbf{Факт 9. Про перпендикулярность плоскостей}}})
(bullet) Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. [aperp beta, ain alphaquadRightarrowquad alphaperp beta] 
(bullet) Заметим, что так как через прямую (a) можно провести бесконечное множество плоскостей, то существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных (beta) (и проходящих через (a)).
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.
Призма
1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные (n)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные (n) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.
2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.
3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}).
4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: (V_{призмы}=S_{осн}cdot h).
Параллелепипед
5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой (d^2=a^2+b^2+c^2).
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром (a): (d=asqrt{3}).
Пирамида
6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — (n)—угольник, а остальные (n) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.
7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.
8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: (S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}).
9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: (V=frac{1}{3} S_{осн}cdot h).
Сфера и шар
10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.
11. Площадь сферы находится по формуле: (S_{сф}=4πR^2).
12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом (R) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.
13. Объем шара находится по формуле (V_{шара}=frac{4}{3} πR^2).
Цилиндр
14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами (2r) и (l), где (r) — радиус основания цилиндра, (l) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается (l) или (L)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается (h) или (H)).
15. Площадь боковой поверхности цилиндра: (S_{бок}=2πrh); (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2).
16. Объем цилиндра (V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h).
Конус
17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания (2r) боковой стороной (l), где (r) — радиус основания конуса, (l) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается (l) или (L)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается (h) или (H)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.
18. Площадь боковой поверхности конуса: (S_{бок кон}=πrl), (S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2).
19. Объем конуса: (V_{кон}=frac{1}{3}S_{осн}h=frac{1}{3}πr^2 h).
Задание ЕГЭ №13 (бывшая ЕГЭ №14) по стереометрии считается очень сложным на ЕГЭ. И многие за нее не берутся.
А зря!
Если проходить стереометрию от простого к сложному освоить стереометрию можно. В 2022 году за ЕГЭ №13 дают не 2, а целых 3 балла на ЕГЭ! И вы можете их получить.
Читайте эту статью, смотрите вебинары и решайте задачи вместе с Алексеем Шевчуком и вы полюбите стереометрию.
ЕГЭ 13 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой
Расстояние между точками и от точки до прямой – это первое видео раздела “Стереометрия”, входящее в наш курс подготовки к ЕГЭ (о нем ниже).
В этом видео мы научимся “видеть” 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).
Затем мы научимся двум основным вещам – находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.
На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии. Не перескакивайте, не пропускайте его!
Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.
ЕГЭ 13 (14). Стереометрия. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020
Нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.
Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.
Давайте этим займемся.
- 00:00 Условие задачи
- 00:25 Как нарисовать шестиугольную пирамиду
- 05:52 Как подписать вершины пирамиды
- 06:24 Как исправить рисунок, если грани пирамиды сливаются
- 10:18 Доказательство пункта А
- 14:13 Запись доказательства пункта А
- 18:50 Доказательство (решение) пункта Б (Найти объем пирамиды)
- 23:45 Запись доказательства (решения) пункта Б
- 26:08 Найдем площадь основания пирамиды (чтобы найти объем) и запишем решение
- 29:18 Нахождение объема пирамиды
- 29:59 На что рекомендуем обратить внимание
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.