Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].
Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.
2
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
4
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
5
На рисунке изображен график некоторой функции 
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
Пройти тестирование по этим заданиям
ЕГЭ Профиль №6. Первообразная
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №6. Первообразная
| Задача 1. На рисунке изображён график функции (y = Fleft( x right)) — одной из первообразных некоторой функции (fleft( x right)), определённой на интервале (left( { — 3;;5} right)). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения (fleft( x right) = 0) на отрезке (left[ { — 2;;4} right]).
Ответ
ОТВЕТ: 10. |
 |
| Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите (Fleft( 8 right) — Fleft( 2 right)), где (Fleft( x right))— одна из первообразных функции (fleft( x right)).
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
 |
| Задача 3. На рисунке изображен график некоторой функции (y = fleft( x right)). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл (intlimits_1^5 {fleft( x right)} ,dx)
Ответ
ОТВЕТ: 12. |
 |
| Задача 4. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = {x^3} + 30{x^2} + 302x — frac{{15}}{8}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
 |
Задача 5. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = — {x^3} — 27{x^2} — 240x —  — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 4. |
 |
| Задача6 . На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = frac{1}{2}{x^3} — frac{9}{2}{x^2} + 14x — 12) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 6. |
 |
| Задача 7. На рисунке изображён график некоторой функции (y = fleft( x right)). Функция (Fleft( x right) = — {x^3} — frac{9}{2}{x^2} — 6x — frac{{123}}{7}) — одна из первообразных функции (fleft( x right)). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ
ОТВЕТ: 0,5. |
 |
| Задача 8. На рисунке изображён график функции (y = Fleft( x right)) — одной из первообразных некоторой функции (fleft( x right)) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. В скольки из этих точек функция (fleft( x right)) положительна?
Ответ
ОТВЕТ: 7. |
 |
| Задача 9. На рисунке изображён график функции (y = Fleft( x right)) — одной из первообразных некоторой функции (fleft( x right)) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольки из этих точек функция (fleft( x right)) отрицательна?
Ответ
ОТВЕТ: 3. |
 |
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задания по теме «Первообразная функции»
Открытый банк заданий по теме первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов
Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема
Задание №1164
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{4+3}{2}cdot 3=10,5.
Ответ
10,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1158
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1155
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3.
Её площадь равна frac{5+3}{2}cdot 3=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1149
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].
Показать решение
Решение
Согласно определению первообразной выполняется равенство: F'(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F'(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.
Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).
Ответ
5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1146
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Ответ
10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №907
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).
Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.
Ответ
12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №307
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+18x^2+221x-frac12 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Показать решение
Решение
По формуле Ньютона-Лейбница S=F(-1)-F(-5).
F(-1)= (-1)^3+18cdot(-1)^2+221cdot(-1)-frac12= -204-frac12.
F(-5)= (-5)^3+18cdot(-5)^2+221cdot(-5)-frac12= -125+450-1105-frac12= -780-frac12.
F(-1)-F(-5)= -204-frac12-left (-780-frac12right)= 576.
Ответ
576
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №306
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x).Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решение
Решение
F(9)-F(3)=S, где S — площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0 и x=3,:x=9. Рассмотрим рисунок ниже.
Данная фигура — трапеция с основаниями 6 и 1 и высотой 2. Ее площадь равна frac{6+1}{2}cdot2=7.
Ответ
7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №104
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
На координатной плоскости изображен график функции y=f(x). Одна из первообразных этой функции имеет вид: F(x)=-frac13x^3-frac52x^2-4x+2. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
.png)
Показать решение
Решение
На рисунке видно, что заштрихованная фигура ограничена по оси абсцисс точками −4, −1, а по оси ординат графиком функции: f(x). Значит площадь фигуры мы можем найти с помощью разности значений первообразных в точках −4 и −1, по формуле определенного интеграла:
intlimits_{-4}^{-1}f(x)dx=F(-1)-F(-4)
Подставим значение первообразной из условия и получим площадь фигуры:
F(-1)-F(-4)=
=frac13-frac52+4+2-frac{64}{3}+frac{80}{2}-16-2=
=-frac{63}{3}+frac{75}{2}-12=-21+37,5-12=4,5
Ответ
4,5
Задание №103
Тип задания: 7
Тема:
Первообразная функции
Условие
Первообразная y=F(x) некоторой функции y=f(x) определена на интервале (−16; −2). Определите сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [−10; −5].
Показать решение
Решение
Формула первообразной имеет следующий вид:
f(x) = F'(x)
По условию задачи нужно найти точки, в которых функция f(x) равна нулю. Принимая во внимание формулу первообразной, это значит, что, нужно найти точки, в которых F'(x) = 0, то есть те точки, в которых производная от первообразной равна нулю.
Мы знаем, что производная равна нулю в точках локального экстремума, т.е. функция имеет решения в тех точках, в которых возрастание F(x) сменяется убыванием и наоборот.
На отрезке [−10; −5] видно что это точки: −9; −7; −6. Значит уравнение f(x) = 0 имеет 3 решения.
.png)
Ответ
3
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Сложно со сдачей ЕГЭ?
Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928
10
Авг 2013
Категория: 07 Производная, ПО
07. Первообразная
2013-08-10
2022-09-11
Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите 
, где 
— одна из первообразных функции 
.
Решение: + показать
Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция 
— одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение: + показать
Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция 
— одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение: + показать
Задача 4. На рисунке изображён график функции 
– одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале 
. Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения 
на отрезке ![[-1;3]](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1ab2b7170da2cd10b4a1c14f6dda8d0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Решение: + показать
Загляните –> + показать
Вы можете пройти тест «Первообразная»
Автор: egeMax |
комментариев 7
ПЕРВООБРАЗНАЯ. ЗАДАНИЕ № 7. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
1.
На рисунке
изображён график функции y = F(x) — одной из
первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале
(−3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения
f(x)=0 на отрезке [−2; 4].
2.
На рисунке
изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной
точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2),
где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
3.
На рисунке
изображён график функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных
функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной
фигуры.
. 
4.
На рисунке изображён график некоторой
функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных
функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
5.
На рисунке изображен график некоторой
функции 
Пользуясь рисунком, вычислите
определенный интеграл 
6.На
рисунке изображён график некоторой функции 
. Функция 
— одна из первообразных функции 
. Найдите площадь закрашенной
фигуры.
7.На
рисунке изображён график некоторой функции . Функция 
— одна из первообразных
функции .
Найдите площадь закрашенной фигуры.
8. На
рисунке изображён график функции (два луча с общей начальной точкой).
Пользуясь рисунком, вычислите 
, где 
— одна из первообразных
функции .
6.На
рисунке изображён график некоторой функции . Функция 
— одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной
фигуры.
7.На
рисунке изображён график некоторой функции . Функция 
— одна из первообразных
функции .
Найдите площадь закрашенной фигуры.
.
11.На
рисунке изображен график функции , определенной на интервале 
. Найдите количество решений
уравнения 
на
отрезке ![[-7; -0,5]](https://documents.infourok.ru/dfde84f5-93d3-4cf6-a401-3c3b1135a640/0/image048.png){kind=small}
.
Блок 1. Физический смысл производной
| 1 | Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^3 — 9t^2 + 2t +30 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени её скорость была равна 50 м/с? | Смотреть видеоразбор |
| 2 | Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=−t^4+6t^3+5t+23, где x−расстояние от точки отсчета в метрах, t−время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с. | Смотреть видеоразбор |
Блок 2. Анализ графика функции, касательные
| 3 | На графике дифференцируемой функции у=f(x) отмечены семь точек: х1 ,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек. |
Смотреть видеоразбор |
| 4 | На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.  |
Смотреть видеоразбор |
| 5 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.  |
Смотреть видеоразбор |
| 6 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.  |
Смотреть видеоразбор |
| 7 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.  |
Смотреть видеоразбор |
| 8 | На рисунке изображен график функции y = f(x), одна из первообразных которой равна F(x). Найдите разность F(4) — F(-1). |
Смотреть видеоразбор |
| 9 | На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 10 | На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. |
Смотреть видеоразбор |
| 11 | На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1, проходит через начало координат. Найдите значение производной функции f(x) в точке -1.  |
Смотреть видеоразбор |
| 12 | На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной y=-2x-7. Найдите значение производной функции y=-frac{1}{4}f(x)+5x-3 в точке x0. |
Смотреть видеоразбор |
| 13 | На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. |
Смотреть видеоразбор |
| 14 | На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. |
Смотреть видеоразбор |
| 15 | На рисунке изображен график функции и шесть точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. В скольких из этих точек производная функции отрицательна? |
Смотреть видеоразбор |
| 16 | Функция f(x) определена на интервале (-4; 6). На рисунке изображен ее график. В скольких целых точках ее производная положительна? |
Смотреть видеоразбор |
Блок 3. Анализ графика производной
| 17 | На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1]. |
Смотреть видеоразбор |
| 18 | На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9]. |
Смотреть видеоразбор |
| 19 | На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение? |
Смотреть видеоразбор |
| 20 | На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] функция f(x) принимает наименьшее значение? |
Смотреть видеоразбор |
| 21 | На рисунке изображён график y = f′(x) производной функции f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1 , x2 , . . . , x6. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает? |
Смотреть видеоразбор |
| 22 | На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2; 15]. |
Смотреть видеоразбор |
| 23 | На рисунке изображен график производной функции f(x) и отмечены одиннадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?  |
Смотреть видеоразбор |
| 24 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.  |
Смотреть видеоразбор |
| 25 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-17; 2). Найдите число точек минимума функции y=f(x).  |
Смотреть видеоразбор |
| 26 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 4). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-3x-11 или совпадает с ней. |
Смотреть видеоразбор |
| 27 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество таких чисел x, что касательная к графику функции f(x) в точке x параллельна прямой y=2x-5 или совпадает с ней. |
Смотреть видеоразбор |
| 28 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -2] функция f(x) принимает наибольшее значение?  |
Смотреть видеоразбор |
| 29 | Функция f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую длину промежутка возрастания функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 30 | Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-5; 5]. На рисунке изображен график её производной. Найдите точку x, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) больше либо равна f(5).  |
Смотреть видеоразбор |
Блок 4. Задачи на производную без готовых графиков
| 31 | Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания. | Смотреть видеоразбор |
| 32 | Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x^2+6x-8. Найдите абсциссу точки касания. | Смотреть видеоразбор |
Блок 5. Первообразная, интеграл
| 33 | На рисунке изображен график функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-21x^2-144x-frac{11}{4} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. |
Смотреть видеоразбор |
| 34 | На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-5; 5].  |
Смотреть видеоразбор |
| 35 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислить F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 36 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите intlimits_{-7}^{-1} f(x)dx |
Смотреть видеоразбор |
| 37 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x) = x^3+30x^2+302x-frac{15}{8} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. |
Смотреть видеоразбор |
| 38 | На рисунке изображен график одной из первообразных некоторой функции, определенной на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите число корней уравнения на отрезке [-2;4]  |
Смотреть видеоразбор |
| 39 | На рисунке изображен график функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). |
Смотреть видеоразбор |
| 40 | На рисунке изображен график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь графиком, определите число корней уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 4]. |
Смотреть видеоразбор |
| 41 | На рисунке изображен график функции y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [1; 4].  |
Смотреть видеоразбор |
| 42 | Значение первообразной F(x) функции f(x)=frac{7}{x} в точке 1 равно -11. Найдите F(e^2) | Смотреть видеоразбор |
Блок 6. Нестандартные задачи
Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$
Таблица первообразных
Первообразная нуля равна $С$
| Функция | Первообразная |
| $f(x)=k$ | $F(x)=kx+C$ |
| $f(x)=x^m, m≠-1$ | $F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$ |
| $f(x)={1}/{x}$ | $F(x)=ln|x|+C$ |
| $f(x)=e^x$ | $F(x)=e^x+C$ |
| $f(x)=a^x$ | $F(x)={a^x}/{lna}+C$ |
| $f(x)=sinx$ | $F(x)-cosx+C$ |
| $f(x)=cosx$ | $F(x)=sinx+C$ |
| $f(x)={1}/{sin^2x}$ | $F(x)=-ctgx+C$ |
| $f(x)={1}/{cos^2x}$ | $F(x)=tgx+C$ |
| $f(x)=√x$ | $F(x)={2x√x}/{3}+C$ |
| $f(x)={1}/{√x}$ | $F(x)=2√x+C$ |
Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$
Правила вычисления первообразных:
- Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
- Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.
Пример:
Найти первообразную для функции $f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}$.
Решение:
Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого
$f(x)=2sinx+{4}/{x}-{cosx}/{3}=2∙sinx+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cosx$
Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$
$f_1=sinx$
$f_2={1}/{x}$
$f_3=cosx$
Для $f_1=sinx$ первообразная равна $F_1=-cosx$
Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln|x|$
Для $f_2=cosx$ первообразная равна $F_3=sinx$
По первому правилу вычисления первообразных получаем:
$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cosx)+4∙ln|x|-{1}/{3}∙sinx$
Итак, общий вид первообразной для заданной функции
$F(x)=-2cosx+4ln|x|-{sin x}/{3}+C$
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
- Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
- Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Пример:
На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$
Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).
Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.
У нас получилось $6$ таких точек.
Ответ: $6$
Неопределенный интеграл
Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:
$∫f(x)dx$
Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)
$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования
Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной
Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле
$S=∫_a^bf(x)dx$
Формула Ньютона — Лейбница
Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство
$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$
Пример:
На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение:
Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$
$S=F(1)-F(-2)$
Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить
$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$
$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$
$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$
Ответ: $12$