Ященко егэ 2023 математика профиль 36 вариантов ответы с решением 21 вариант

Задание 1

Найдите корень уравнения $$0,5^{4-5х}=64.$$

Ответ: 2

Скрыть

Представим число $$0,5=frac{1}{2}=2^{-1},$$ а число $$64=2^6,$$ получаем такое уравнение:

$$2^{-1(4-5x)}=2^6,$$

и, так как основания у степеней равны, то можно перейти к их равенству:

$$-(4-5x)=6$$

$$5x=6+4$$

$$x=2$$

Задание 2

Фабрика выпускает сумки. В среднем 2 сумки из 120 имеют скрытые дефекты.
Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,98

Скрыть

m  — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда купленная сумка окажется без дефектов. Это число равно количеству сумок без дефектов:

$$m=120–2=118$$

n – общее число всевозможных исходов, оно равно общему количеству сумок:

$$n=120$$

$$Р(А)=frac{m}{n}=frac{118}{120}=0,9833….$$

Результат округляем до сотых:

$$Р(А)=0,98$$

Задание 3

Ответ: 6,5

Скрыть

Радиус окружности будет равен половине стороны AD, т.к. AD по длине совпадает с диаметром окружности. Найдем сторону AD. Воспользуемся свойством четырехугольника вписанного в окружность. Для длин его сторон можно записать такое равенство:

$$AD+CB=DC+AB$$  (1)

Далее, по условию задания нам дана длина стороны CB=37 и периметр трапеции:

$$AD+CB+DC+AB=100$$

Из условия (1) следует, что

$$AD+CB=frac{100}{2}=50$$

откуда

$$AD=50-CB=50-37=13$$

и радиус окружности:

$$R=frac{AD}{2}=frac{13}{2}=6,5$$

Задание 4

Найдите значение выражения $$(sqrt{3}-sqrt{13})(sqrt{3}+sqrt{13}).$$

Ответ: -10

Скрыть

Вычислим выражение, используя правило

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$

получим:

$$(sqrt{3}-sqrt{13})(sqrt{3}+sqrt{13})-(sqrt{3})^2-(sqrt{13})^2=3-13=-10$$

Задание 5

Ответ: 54

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 6

Ответ: 2

Скрыть

Известно, что если производная $$f’(x)$$ принимает отрицательные значения, то в этих точках функция $$f(x)$$ убывает. Из рисунка видно, что на интервале $$[-2; 2]$$ производная всюду принимает отрицательные значения, следовательно, на этом интервале функция $$f(x)$$ убывает и наименьшее значение будет достигнуто на правой границе интервала со значением $$2.$$

Задание 7

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка,
изменяется со временем по закону $$varphi=omega t+frac{beta t^2}{2},$$ где t — время в минутах, $$omega=60^{circ}/мин$$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $$beta=6^{circ}/мин^2$$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $$varphi$$ достигнет $$3375^{circ}.$$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 25

Скрыть

По условию задания нам даны параметры:

$$beta=6^{circ}/мин; omega=60^{circ}/мин; varphi=3375^{circ}$$

Подставляем их в формулу изменения угла:

$$3375=60t+frac{6}{2}t^2$$

Решаем квадратное уравнение:

$$3t^2+60t-3375=0$$

$$t^2+20t-1125=0$$

$$D=b^2-4ac=400+4cdot1125=4900=70^2$$

$$t_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-20+70}{2}=25$$

$$t_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-20-70}{2}=-45$$

Так как время наматывания не должно быть отрицательным, подходит только один корень $$t=25$$ минут.

Задание 8

Первая труба наполняет резервуар на 54 минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 36 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Ответ: 54

Скрыть

Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ минут, тогда первая будет наполнять этот же резервуар за $$x+54$$ минуты. Условно примем объем резервуара за 1. Тогда первая труба будет наполнять его со скоростью $$frac{1}{x+54},$$ а вторая со скоростью $$frac{1}{x}.$$ И так как обе трубы заполняют этот резервуар за 36 минут, то можно записать уравнение:

$$frac{1}{x}+frac{1}{x+54}=frac{1}{36}$$

Преобразуем это выражение:

$$frac{x+54+x}{xcdot(x+54)}=frac{1}{36}$$

$$36cdot(2x+54)=x^2+54x$$

$$62x+1944=x^2+54x$$

$$x^2-18x-1944=0$$

$$D=324+776=8100=90^2$$

$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{18+90}{2}=54$$

$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}<0$$

то есть вторая труба будет наполнять этот резервуар 54 минуты.

Задание 9

Ответ: -7

Скрыть

Для того чтобы найти $$f(-18)$$ нам необходимо знать уравнение прямой, то есть значение коэффициентов k и b.

Прямая проходит через точки $$(3;-1)$$ и $$(-4;-3).$$ Подставим их координаты в уравнение прямой:

$$-1=3k+b$$ (1)

$$-3=-4k+b$$ (2)

Вычтем из (1) уравнения (2):

$$-1-(-3)=3k+b-(-4k+b)$$

Раскроем скобки:

$$-1+3=3k+b+4k- b$$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$$2=7k$$

Найдем k:

$$k=frac{2}{7}$$

Найдем b из (1), подставив в него значение коэффициента $$k = frac{2}{7}:$$

$$-1=3cdotfrac{2}{7}+b$$

$$-1=frac{6}{7}+b$$

$$b=-1-frac{6}{7}$$

$$b=-frac{13}{7}$$

Получим следующее уравнение прямой:

$$f(x)=frac{2}{7}cdot x-frac{13}{7}$$

Найдем $$f(-18):$$

$$f(-18)=frac{2}{7}cdot(-18)-frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-frac{36}{7}-frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-frac{49}{7}$$

$$f(-18)=-7$$

Задание 10

В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер достанут третьим по счёту?

Ответ: 0,2

Скрыть

Первые два фломастера, которые мы вытащим должны быть красные

​$$P_{иск}=frac{4}{6}cdotfrac{3}{5}cdotfrac{2}{4}=0,2​$$

Задание 11

Найдите точку минимума функции $$y=x^2-28x+96ln x-5.$$

Ответ: 8

Скрыть

Функция будет иметь точку минимума в своей точке экстремума. Найдем эти точки. Вычислим производную функции и приравняем ее нулю, получим:

$$y’=2x-28+96cdotfrac{1}{x}=0, xneq0$$

Вычисляем точки экстремума функции:

$$2x^2-28x+96=0$$

$$x^2-14+48=0$$

$$D=196-192=4=2^2$$

$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{14+2}{2}=8$$

$$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{14-2}{2}=6$$

Известно, что в точке минимума производная функции меняет свой знак с минуса на плюс. Определим знаки производной в окрестностях наших точек экстремума:

Получаем точку минимума функции $$x=8.$$

Задание 12

Ответ: $$а)-frac{pi}{4}+2pi n,nin Z;-frac{3pi}{4}+2pi m,min Z;$$ $$б)-frac{19pi}{4};-frac{17pi}{4}$$

Скрыть

а) $$cos 2x-sqrt{2}cos(frac{pi}{2}+x)+1=0$$

$$cos^2 x-sin^2 x+sqrt{2}sin x+1=0$$

$$1-sin^2 x-sin^ 2+sqrt{2}sin x+1=0$$

$$-2sin^2 x+sqrt{2}sin x+2=0$$

Введём замену: $$sin x=t$$

$$-2t^2+sqrt{2}t+2=0$$

$$D=(sqrt{2})^2-4cdot2cdot(-2)=2+16=18$$

$$t_{1}=frac{-sqrt{2}+sqrt{18}}{-4}=frac{-sqrt{2}+3sqrt{2}}{-4}=frac{2sqrt{2}}{-4}=-frac{sqrt{2}}{2}$$

$$t_{2}=frac{-sqrt{2}-sqrt{18}}{-4}=frac{-sqrt{2}-3sqrt{2}}{-4}=frac{-4sqrt{2}}{-4}=sqrt{2}$$

Обратная замена:

$$sin x=-frac{sqrt{2}}{2}$$

$$x=-frac{pi}{4}+2pi n, nin Z$$

$$x=-frac{3pi}{4}+2pi n, nin Z$$

и

$$sin x=sqrt{2}$$

корней нет, т. к. $$sin xin [-1;1]$$

б) Отбор корней на отрезке $$[-5pi;-frac{7pi}{2}]$$

$$x_1=-5pi+frac{pi}{4}=-frac{19pi}{4}$$

$$x_2=-4pi+frac{pi}{4}=-frac{17pi}{4}$$

Задание 13

Ответ:

Скрыть

а) Пусть плоскость α пересекает ребро SB в точке L. Поскольку прямая ВС параллельна плоскости α, прямые LM и ВС параллельны, а значит,

$$frac{SL}{LB}=frac{SM}{MC}=frac{AK}{KB}$$

Следовательно, прямые KL и SA параллельны. Таким образом, плоскость α, содержащая прямую KL, параллельна прямой SA.

б) Пусть точка Н — середина ребра ВС. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, плоскость ASH перпендикулярна плоскости α, параллельной прямой ВС, и плоскости SBC, содержащей прямую ВС.

Поскольку плоскость α параллельна прямой SA, лежащей в плоскости ASH, искомый угол равен углу между прямой SA и плоскостью SBC. Таким образом, угол между плоскостями α и SBC равен углу ASH. В треугольнике ASH имеем:

$$AS=7, АН=3sqrt{3}$$

$$SH=sqrt{SB^2-BH^2}=sqrt{SB^2-frac{BC^2}{4}}=2sqrt{10}.$$

По теореме косинусов

$$cosangle ASH=frac{SA^2+SH^2-AH^2}{2SAcdot SH}$$

$$cosangle ASH=frac{49+40-27}{2cdot7cdot2sqrt{10}}=frac{31sqrt{10}}{140}$$

и угол ASH, равен:

$$angle ASH=arccosfrac{31sqrt{10}}{140}$$

Задание 14

Решите неравенство $$log_{0,5}(12-6x)geqlog_{0;5}(x^2-6x+8)+log_{0,5}(x + 3).$$

Ответ: $$[-2;2)$$

Скрыть

ОДЗ неравенства:

$$Rightarrow xin (-3;2)$$

Преобразуем неравенство:

$$log_{0,5}(12-6x)geqlog_{0,5}(x^2-6x+8)+log_{0,5}(x+3)$$

$$log_{0,5} 6(2-x)geqlog_{0,5}((x-4)(x-2))+log_{0,5}(x+3)$$

$$log_{0,5} 6(2-x)geqlog_{0,5}((4-x)(2-x))+log_{0,5}(x+3)$$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

$$log_{0,5}6+log_{0,5}(2-x)geqlog_{0,5}(4-x)+log_{0,5}(2-x)+log_{0,5}(x+3)$$

$$log_{0,5} 6geqlog_{0,5}(4-x)+log_{0,5}(x+3)$$

Сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений:

$$log_{0,5} 6geqlog_{0,5} ((4-x)(x+3))$$

Так как основание логарифмического неравенства 0 < 0,5 < 1, то логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

$$6leq(4-x)(x+3)$$

$$6leq4x+12-x^2-3x$$

$$6-4x-12+x^2+3xleq0$$

$$x^2-x-6leq0$$

Решим неравенство методом интервалов, найдем нули квадратного трехчлена:

$$x^2-x-6=0$$

$$D=(-1)^2-4cdot1cdot(-6)=25$$

$$x_{1,2}=frac{1pm5}{2}$$

$$x_1=-2; x_2=3$$

$$xin (-2;3)$$

Учитывая ОДЗ неравенства, найдем его решение:

$$xin [-2;2)$$

Задание 15

Ответ: 39

Скрыть

Пусть сумма кредита равна S, а кредит планируется взять на n месяцев. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

$$S;frac{S(n-1)}{n};cdots;frac{2S}{n};frac{S}{n};0$$

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 1%, значит, последовательность размеров долга на 1-е число каждого месяца такова:

$$1,01S;frac{1,01S(n-1)}{n};cdots;frac{2,02S}{n};frac{1,01S}{n}$$

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

$$0,01S+frac{S}{n};frac{0,01S(n-1)}{n};cdots;frac{0,02S}{n}+frac{S}{n};frac{0,01S}{n}+frac{S}{n}$$

Всего следует выплатить

$$S+0,01S(frac{n}{n}+frac{n-1}{n}+cdots+frac{2}{n}+frac{1}{n})=S(1+frac{0,01(n+1)}{2})$$

Общая сумма выплат на 20 % больше суммы, взятой в кредит, поэтому

$$frac{0,01(n+1)}{2}=0,2Rightarrow n=39$$

Задание 16

Ответ: $$9sqrt{2}$$

Скрыть

а) Поскольку точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности, лучи АО и ВО являются биссектрисами углов треугольника ABC. Угол РОА является внешним углом треугольника АОВ. Следовательно,

$$angle POA=angle BAO+angle ABO=frac{1}{2}angle BAC+frac{1}{2}angle ABC$$

Углы РАС и РВС равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому

$$angle PAO=angle PAC+angle OAC=angle PBC+angle OAC=frac{1}{2}angle ABC+frac{1}{2}angle BAC$$

Таким образом, $$angle POA=angle PAO$$.

б) Пусть R = 6 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Поскольку $$angle POA=angle PAO,$$ треугольник АРО равнобедренный, следовательно,.

$$OP=AP=2Rsinangle ABP=2Rsin 30^{circ}=6$$

Таким образом, площадь треугольника АРО равна

$$frac{APcdot OPcdotsinangle APO}{2}=frac{AP^2cdotsinangle ACB}{2}=frac{AP^2cdotsin 45^{circ}}{2}=9sqrt{2}$$

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$frac{left|3xright|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Задание 18

Ответ: нет, нет, 676 гр.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.