Задача 17 егэ математика профиль 2019

Задания 17 (С5) ЕГЭ 2019

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

3644	При каких значениях параметра a уравнение (a^2-6a+8)*x^2+(a^2-4)*x+10-3a-a^2=0 имеет более двух корней Решение     График	При каких значениях параметра a уравнение (a2-6a+8)x2 +(a2-4)x + 10-3a-a2 =0 имеет более двух корней
3591	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 имеет более одного корня Решение     График	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение a(a+3)x2 +(2a+6)x -3a -9 =0 имеет более одного корня
3585	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2sqrt(x^4+(a-3)^4)=abs(x+a-3)+abs(x-a+3) имеет единственное решение Решение     График	Найдите все значения a при каждом из которых уравнение 2sqrt(x4 +(a-3)4) = abs(x+a-3) +abs(x-a+3) имеет единственное решение ! Тренировочная работа по математике №2 СтатГрад 11 класс 13.12.2022 Задание 17 Вариант МА2210209 #Задачи — аналоги   621    104
3544	Найдите все значения a, при которых система уравнений {(abs(y+x^3)-abs(y+3x)=2y+x^3+3x), (abs(-y-3x+1)-abs(y+x^3-a)=), (= -3y-6x-x^3+a+2) :} имеет единственное решение Решение	Найдите все значения a, при которых система уравнений {|y+x^3|-|y+3x| = 2y+x^3+3x), |-y-3x+1| -|y+x^3-a| =-3y-6x-x3+a+2 имеет единственное решение ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 6 Задание 17
3434	Найдите все значения параметра a, b при которых неравенство a^3x^4+2ax^3+b <= 2bx^2+b^3x+a выполняется для всех x из отрезка [0; 1] Решение     График	Найдите все значения параметра a, b при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [0; 1] ! ДВИ в МГУ 2022 — 5 поток, Вариант 225 Задание 6 # Решение Натальи Яковлевны Захаровой youtube видео разбор
3405	Найдите все значения a, при которых система уравнений {(abs(y+1/2x^3)-abs(y+3/2x)=2y+1/2x^3+3/2x), (abs(-y-3/2x+1)-abs(y+1/2x^3-a)=), (-4 y-9/2x-1/2x^3+a+3) :}. имеет единственное решение Решение     График	Найдите все значения a, при которых система уравнений { |y+1/2×3| -|y+3/2x| = 2y + 1/2×3 +3/2x |-y-3/2x+1| — |y+1/2×3 -a| = -4y -9/2x -1/2×3 +a +3 имеет единственное решение ! математика 50 вариантов ЕГЭ 2022 профильный уровень Ященко Вариант 8 Задание 17 # Ошибка в ответе пособия у Ященко ? : color{red}{a > -1 ?}
3404	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x^2+(1-a+root(4)(abs(x)))^2=a^2/4. имеет ровно три решения Решение     График	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x2 + (1-a+ корень 4 степени из |x|) 2 = a 2/4 имеет ровно три решения ! ДВИ в МГУ 2022 — 1 поток, Вариант 1 Задание 6
3391	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sqrt(15x^2+6ax+9)=x^2+ax+3 имеет три различных решения Решение     График	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение корень из 15×2 +6ax+9 =x2 +ax+3 имеет три различных решения ! ЕГЭ 2022 по математике 27.06.2022 резервный день Задание 17
3379	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2+a^2+2x-4a=abs(4x+2a). имеет более двух различных корней Решение     График	Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2 +a2 +2x -4a = |4x+2a| имеет более двух различных корней ! ЕГЭ 2022 по математике 02.06.2022 основная волна Задание 17 Санкт-Петербург
3368	Оценки экспертов решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня. Задание № 17 — это уравнение, неравенство или их системы с параметром. Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются: – чисто алгебраический способ решения; – способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи; – функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции. Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трёх перечисленных способов Решение	Критерии оценивания решений задания 17 ЕГЭ по математике профильного уровня ! Примеры оценивания реальных работ 2016-2021 гг # Приведены типы заданий с развёрнутым ответом, используемые в КИМ ЕГЭ по математике и критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, приводятся примеры оценивания выполнения заданий и даются комментарии, объясняющие выставленную оценку

Показана страница 1 из 55

09
Июн 2019

Категория: 15 (С4) Практич. задачиЕГЭ (диагностич. работы)

2019-06-09
2019-06-09

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — это уравнение, система уравнений или неравенство с параметром. Или несколькими параметрами.

Конечно, за один день научиться решать такие задачи невозможно. И все-таки мы немного расскажем о том, как научиться решать задачи с параметрами. С чего начать. И какие вообще есть методы решения задач с параметрами.

Начнем с хорошей новости. Задача 17 (с параметром) оценивается в целых 4 первичных балла ЕГЭ, которые отлично пересчитываются в тестовые.

Если вы полны решимости получить на ЕГЭ заветные 4 первичных балла за задачу 17 (с параметром), не стоит начинать с реальных экзаменационных задач. Ведь мы хотим получить результат, а не разочарование! Поэтому сначала необходимо повторить следующие темы:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

2. Преобразование графиков функций.

3. Построение графиков функций.

4. Базовые элементы для решения задач с параметрами. Да, мы будем рисовать не только привычные функции. Но еще и окружности, ромбики, полуплоскости и всевозможные их комбинации.

5. Что такое параметр. Простые задачи с параметрами.

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому.

Читайте статью, смотрите видеокурс. И помните, что графический метод — хороший, но не единственный.

Потому что, кроме него, есть и другие:

— Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.

— Задачи с параметрами. Условия касания.

— Метод оценки в задачах с параметрами.

— Использование четности функций в задачах с параметрами.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 1, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 5, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 11, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 26, задача 17.

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 17.

И не думайте, что это все возможные методы решения задач с параметрами. Их намного больше! Мы дали ссылки на те, которые встречаются чаще всего в задачах ЕГЭ.

Несколько мудрых советов о том, как и зачем решать задачи с параметрами.

1. Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с заданием 17, нужно решить не менее 50 задач с параметрами.

2. Настанет момент, когда вы увидите, что задача с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов.

3. Два самых главных секрета решения задач с параметрами. Готовы узнать? Вот они:

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.

— Если задачу с параметром можно решить графически — решите графически.

4. Сколько бы вы ни занимались задачами с параметрами, каким бы отличником ни стали — всегда найдется задача, над которой вы задумаетесь. Вот такая, например:

Задача 1. При каких значениях a системы  и равносильны?

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или обе системы не имеют решений.

1) При — системы равносильны, так как обе не имеют решений.

2) При — второе уравнение имеет решение которое является решением первой системы.

3) При 

Система уравнений

Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

Решениями системы:

являются две точки, в которых прямая пересекает окружность, заданную уравнением

А вот уравнение задает семейство параллельных прямых

Мы хотим, чтобы две системы были равносильны, то есть чтобы окружность, заданная уравнением , пересекала только одну из этого семейства прямых, а именно прямую , и не имела общих точек с другими прямыми из этого семейства.

Меняя параметр а, мы можем менять радиус окружности. Мы хотим, чтобы окружность радиуса не имела общих точек с прямыми, параллельными прямой , то есть лежала ниже прямой, проходящей через точку А на рисунке, и выше прямой, проходящей через точку В.

Когда же происходит касание в точках A и B?

В случае касания радиус окружности Мы легко находим это из прямоугольного треугольника СОА, где О — начало координат.

Значит, в случае касания , а если — касания не происходит.

Объединяя случаи, получим, что системы равносильны, если

Легко? Если справились — вот еще одна интересная задача:

Задача 2. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра , что система уравнений  имеет ровно три различных решения?

Вот решение этой задачи.

Лучше всего осваивать эту непростую тему на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Или на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве. Удачи, друзья!

ЗАДАЧИ № 17

 Решение 
задач №17 на транш, встречаемых на ЕГЭ

В
ЕГЭ  часто встречаются  банковские задачи на транш.

 Транш
— доля или частичный платеж крупной суммы денег. Доля кредита, предоставляется
на различных условиях через определенный промежуток времени в течение срока
действия кредитного договора.

Задачи
на транш можно разделить на 4 типа:

—        
нахождение количества лет выплаты кредита;

—        
вычисление процентной ставки по кредиту;

—        
нахождение суммы кредита;

—        
нахождение ежегодного транша.

Рассмотрим
решение задач каждого типа.

Задача
№1. Нахождение количества лет выплаты кредита

1 января
2015 года Максим взял в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Схема выплаты кредита
следующая – 1 января  каждого следующего года банк начисляет 10 процентов на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Максим
переводит в банк платеж. На какое минимальное количество лет  может Максим
взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение.

1)    В конце первого
года долг составит:

1500000 ∙
1,1 – 350000 =1300000 (руб.)

2)    В конце второго 
года долг составит:

1300000 ∙
1,1 – 350000 = 1080000 (руб.)

3)    В конце третьего
года долг составит:

1080000 ∙
1,1 – 350000 = 838000 (руб.)

4)    В конце четверого
года долг составит:

838000 ∙
1,1 – 350000 = 571800 (руб.)

5)    В конце пятогоо 
года долг составит:

571800 ∙
1,1 – 350000 = 278980 (руб.)

6)    В конце шестогоо 
года долг составит:

278900 ∙
1,1 =306878 (руб.)

Эта сумма
менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.

Ответ: 6
лет

Задача
№2. Вычисление процентной ставки по кредиту

31
декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш.
Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз
Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой
процент банк выдал кредит Валерию?

Решение.

Пусть
а – процентная ставка по кредиту.

1)    В конце
первого года долг составит:

1000000
∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а

2)    В конце
второго  года  долг составит:

(340000
+ 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000.

По
условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000
+ 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;

 + 134∙а – 1440 = 0

Решая
уравнение, получаем, что  а = 10.

Ответ:
10%

Задача
№3. Нахождение суммы кредита

31
декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в
банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг
четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение.

Пусть
S – сумма кредита.

1) В конце
первого года долг составит:  (1,1х – 2928200) рублей

2)
В
конце второго  года  долг (в рублях) составит:

(1,1х –
2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220

3)    В конце
третьего  года  долг (в рублях) составит:

(1,21х –
6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 =

=1,331х –
9692342

4)    В конце
четвертого  года  долг (в рублях) составит 2928200 рублей:

(1,331х –
9692342)∙1,1 = 2928200;

1,4641х –
10661576 = 2928200;

1,4641х =
13589776;

х =
9281999,8.

Значит,
сумма кредита равна 9282000 рублей.

 Ответ:
9282000 руб.

Задача
№4. Нахождение ежегодного транша

31
декабря 2014 года  Роман взял в банке 8599000 рублей  в кредит под 14% годовых.
Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%),
затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман
выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

1)    В конце
первого года долг составит: 

8599000∙1,14
– Х = 9802860 – Х

2)    В конце
второго  года  долг составит:

(9802860 –
Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х

3)    В конце
третьего  года  долг (в рублях) составит:

(11175260
– 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х.

Составим
уравнение:

12739796 –
3,4396∙Х= 0

Х=3703860
рублей

Ответ:
ежегодный транш составит 3703860 рублей.

Выведем
формулу, которая является универсальной для всех подобных задач, то есть с её
помощью можно решить любую из рассмотренных задач.

Пусть
сумма кредита равна S,
ежемесячный платёж равен Х рублей, а годовые составляют K%

Тогда
исходного числа каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
b, где b = 1 + 0,01K.

После
первой выплаты сумма долга составляет:

S₁ = S ∙ b – x

После
второй выплаты сумма долга составляет:

S₂ = S₁
∙ b – x = (S ∙ b – x) ∙ b – x = S ∙ b² – x ∙ b – x = S ∙ b²
– x ∙ (b + 1)

После
третьей выплаты сумма долга составляет:

S₃ = S₂
∙ b – x = (S ∙ b² – x ∙ b – x) ∙ b – x = S ∙ b³ – x
∙ b² – x ∙ b – x =

S ∙ b³ – x ∙ (b² + b + 1)

После
четвертой выплаты сумма долга составляет:

S₄ = S₃
∙ b – x = (S ∙ b³ – x ∙ b² – x ∙ b – x) ∙ b – x = S
∙ b⁴ – x ∙ b³ – x ∙ b² – x ∙ b – x = S ∙ b⁴
– x ∙ (b³ + b² + b + 1)

После n-выплаты
сумма долга составляет:

S_n = S
∙ bⁿ – x ∙ (b^n-1 + b^n-2 + b^n-3 + … + 1)

Найдём
сумму S_n слагаемых
1 + b + b² + … + b^n-2 + b^n-1

Это сумма
геометрической прогрессии, содержащей n-членов,

b₁ = 1 ∙ q = b 

по формуле
суммы геометрической прогрессии

 

   =

Значит,  S_n = S ∙ bⁿ – x ∙  

Так как в
задачах кредит гасится полностью, то S_n = 0

Значит, S ∙ b_n = x ∙

 

Покажем,
как применяя эту формулу можно решить различные банковские задачи.

Задача
№1. Нахождение количества лет выплаты кредита

1 января
2015 года Максим взял в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Схема выплаты кредита
следующая – 1 января  каждого следующего года банк начисляет 10 процентов на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Максим
переводит в банк платеж. На какое минимальное количество лет  может Максим
взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение:

Пусть
сумма кредита равна S,
ежемесячный платёж равен Х рублей, а годовые составляют K%

Тогда
исходного числа каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
b, где b = 1 + 0,01K.

Отсюда,
n =6

 Ответ: 6 лет

Задача
№2. Вычисление процентной ставки по кредиту.

31
декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый
процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на а %), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет
платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года.
Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял
деньги в банке?  

Решение:

Пусть
сумма кредита равна S,
ежемесячный платёж равен Х рублей, а годовые составляют K%

Тогда
исходного числа каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
b, где b = 1 + 0,01K.

Составим
систему уравнений:

разделим
верхнее уравнение на нижнее уравнение

61   – 36   = 36

b = 1 + 0,01K

                                               
k = 20                                    

Ответ:
20%

Задача
№3. Нахождение суммы кредита.

31
декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в
банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг
четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение:

Пусть
сумма кредита равна S,
ежемесячный платёж равен Х рублей, а годовые составляют K%

Тогда
исходного числа каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
b, где b = 1 + 0,01K.

S = 9282000

Ответ: 9282000
руб.

Задача
№4. Нахождение ежегодного транша

31
декабря 2014 года  Алексей взял в банке 6 902 000 рублей  в кредит под 12,5%
годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х,
чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение:

Пусть
сумма кредита равна S,
ежемесячный платёж равен Х рублей, а годовые составляют K%

Тогда
исходного числа каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент
b, где b = 1 + 0,01K.

Ответ:
ежегодный транш составит  рублей.

Задачи другого
типа, встречаемые на ЕГЭ

Кроме
задач на транш встречаются  другие типы банковских задач на ЕГЭ, все эти задачи
на «сложные проценты». Эти задачи на:

—        
приобретение
и продажу ценных бумаг;

—        
перекладывание
части денег;

—        
изменение
процентной ставки;

—        
применение
схемы «дифференцированных платежей».

Они
решаются различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

1.          
Приобретение и продажа ценных бумаг

 Гражданин
N  приобрёл
ценную бумагу за a тысяч
рублей, цена бумаги каждый год возрастает на b тысяч рублей. В
любой момент N может
продать бумагу и положить на банковский счёт деньги. Каждый год сумма на счете
будет увеличиваться на p%. В течение, какого года после покупки N должен
будет продать ценную бумагу, чтобы через m лет после покупки этой бумаги,
сумма на банковском счёте была наибольшей.

Алгоритм
решения:

Если N  продаст
бумагу в течение k года, то
через m  лет
после покупки сумма на счёте будет равна:

(a + b ∙(k – 1)) ∙
(1 + 0,01p) ^{m – k}

Таким
образом, надо найти номер максимального члена последовательности C_k

C_k = (a + b ∙ (k – 1)) ∙
(1 + 0,01p) ^{m – k}

где k принимает
целые значения от 1 до m

Рассмотрим
приращение

L_k = C_k — C_{k – 1}

При каком k, L_k ≥ 0

При каком k, L_k < 0

Рассмотрим
примеры задач этого типа. Эти задачи предлагались в диагностической работе в
форме СтатГрад от 13.02.2015.

Задача 1

Николай
приобрёл в банке ценные бумаги за 6 тысяч рублей, цена бумаги возрастала каждый
год на 1 тысячу рублей. В любой момент Николай может продать бумагу и положить
вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счете увеличивается
на 9%. В течение какого года после покупки Николай должен продать ценные
бумаги, чтобы через 20 лет после покупки этой бумаги, сумма на банковском счёте
была наибольшей[5]?

Решение.

Если
Николай продаст бумагу в течение k  года, то через 20 лет после
покупки сумма на его счете будет:

(6 + (k – 1)) ∙
(1,09) ^{20 – k}

Таким
образом, надо найти номер максимального члена последовательности C_k

C_k = (5 + k) ∙ (1,09)
^{20 – k}

Где k принимает
значения от 1 до 20

L_k = C_k
— C_{k – 1}

L_k = (5
+ k) ∙ (1,09) ^{20 – k} — (5 + k – 1) ∙ (1,09) ^{20 – (k-1)} =

= (5 + k) ∙ (1,09)
^{20 – k} — (4 + k) ∙ (1,09) ^{20 – k + 1}=

= (5 + k) ∙ (1,09)
^{20 – k} — (4 + k) ∙ (1,09) ^{20 – k} ∙ 1,09=

= (1,09) ^{20 –
k} ∙ (5 + k — 4,36 — 1,09∙k) =

= (1,09)
^{20 – k} ∙ (0,64 –
0,09∙k)

При k от
1 до 20, (1,09) ^{20 – k}  > 0

0,64 –
0,09∙k > 0

0,09∙k <
0,64

k <
7,1

k = 7

Ответ: 7

Задача 2

Алексей
приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на
2 тысячи рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и получить вырученный деньги на банковский
счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10 %. В течение, какого
года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет
после покупки этой бумаги сумма на банковской счете была наибольшей [5]?

Решение.

Если
Николай продаст бумагу в течение k  года, то через 20 лет после
покупки сумма на его счете будет:

(7 + (2k – 2)) ∙
(1,1) ^{30 – k}

Таким
образом, надо найти номер максимального члена последовательности C_k

C_k = (5 + 2k) ∙ (1,1)
^{30 – k}

Где k принимает
значения от 1 до 30

L_k = C_k — C_{k – 1}

L_k = (5 + 2∙k) ∙ (1,1)
^{30 – k} — (5 + 2∙k – 2) ∙
(1,1) ^{30 – (k-1)}=

= (5 + 2∙k) ∙ (1,1)
^{30 – k} — (3 + 2∙k) ∙ (1,1)
^{30 – k + 1}=

= (5 + 2∙k) ∙ (1,1)
^{30 – k} — (3 + 2∙k) ∙ (1,1)
^{30 – k} ∙ 1,1=

= (1,1)
^{30 – k} ∙ (5 + 2∙k – 3,3 –
2,2∙k)=

=(1,1)
^{30 – k} ∙ (1,7 –
0,2∙k)

При k от 1 до
30, (1,1) ^{30 – k}  > 0

1,7 – 0,2k > 0

0,2k <
1,7

k <
8,5

k = 8

Ответ: 8

2.          
Перекладывание части денег

3адача 1

Вкладчик
внёс некоторую сумму в сбербанк под определённый процент годовых. Через год он
взял половину получившейся суммы и переложил её в коммерческий банк, процент
годовых которого в 32 раза выше, чем в сбербанке. Ещё через год сумма вкладчика
в коммерческом банке превысила вложенную туда первоначальную сумму на 4%. Каков
процент годовых в сбербанке?

Решение.  

Пусть
сумма вклада в сбербанк а рублей под q% годовых.   Обозначим х=q/100.

Через год
на вкладе стало а(1+х) рублей, вкладчик снял половину и положил в коммерческий
банк 0,5а(1+х) руб. под процент годовых которого в 32 раза выше, чем в
сбербанке, то есть

0,5а (1+х)+32х*0,5а(1+х)=0,5а(1+х)(1+32х)

Значит,
через год в коммерческом банке на счету стало 0,5а(1+х)(1+32х) рублей, что
составило 4% от 0,5а(1+х).

Уравнение:
0,5а(1+х)(1+32х)=0,5а(1+х)*1,04

1+32х=1,04    

32х=0,04        

x=4/3200

х=1/800

тогда
q=100*1/800=1/8=0,125%

Ответ:
0,125

Задача 2  

В январе
2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых,
тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В
январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него
некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента,
вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором
сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение

Пусть в
2000 г. вкладчик положил N рублей. В янв. 2001 вкладчик снял со счета пятую
часть этой суммы, т.е. N/5 рублей, т.е. после начисления годовых процентов.

Решение.

Положим
х/100=p,  y/100=q,    тогда p+q=0,3

В 2001
сумма на счету стала:     N(1+p)-0,2N = N(0,8+p)

В 2002:    
N(0,8+p)*(1+q) = N(0,8+p)(1+0,3-p) = N(0,8+p)(1,3-p)

Найдем
наибольшее значение функции    f(p)= N(0,8+p)(1,3-p)

Нули
функции  p=-0,8 и p=1,3, вершина параболы в точке  p₀=(-0,8+1,3)/2=0,25,
тогда х=100р=25%.

Ответ: 25

Задача 3

В конце
августа 2001 года администрация Приморского края располагала некоторой суммой
денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края.
Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку
нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что
сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по
отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой
нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от
первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные
запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с
процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение.

	сумма денег	цена за 1 баррель	объем закупок
1 сент	а	х	а/х (можно было купить 1.09)
1 окт	1,26а	0,9х
1 ноя	1,262а	0,92х	1,262а / (0,92х) = 1,96 *а/х (купили 1 ноября)

сравниваем

а/х  —
100%

1,96 а/х  
— 196%  объем закупок на 96% больше от первоначального объема

Ответ: 96

3.          
Изменение процентной ставки

За время
хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в
размере 5 %, затем 12%, потом 11  %, и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием новой
процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения
первоначальная сумма вклада увеличилась на 104  %.
Определите срок хранения вклада.

Решение:

1)          
Пусть вклад был х руб., тогда стал 204 % от х

 (1)

Пусть k месяцев
вклад находился под 5%

 – это за 1 месяц

За
два месяца ()∙, т.е. количество месяцев влияет на
степень числа, значит, через k месяцев

^k сумма вклада через
k месяцев
под 5%

затем
через к месяцев под 12%: ^k ∙  ^l

l – количество
месяцев под действием 12% ставки

m – количество
месяцев под действием 11  % ставки

^k ∙  ^l∙  ^m

n количество
месяцев под действием 12,5% ставки

^k ∙  ^l ∙  ^m ∙  ⁿ (2)

приравняем
(1) и (2)

^k ∙  ^l ∙  ^m ∙  ⁿ

Преобразуем
выражения

^k ∙  ^l ∙  ^m ∙  ⁿ

 

 

После
приравнивания показателей степеней

K + l = 2

K + 2n — 2m = -1

2l + m – 2k = -1

M – k – 2l = 0

K, l  N,  т.к. минимум
1 месяц вклад, затем лежит => k = 1,  l = 1 =>
 m = 3, n = 2

Срок
хранения вклада:

K + l + m + n = 1 + 1 +
3 + 2 = 7

Ответ:
7

Дифференцируемые платежи

Рассмотрим  задачу  этого типа. Эта задача
предлагались в диагностической работе в форме СтатГрад от 05.03.2015 г.

Алексей взял в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей
должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к
оставшейся сумме долга добавляет r % этой суммы и своим
ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает
сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну
и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с
дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная
Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма,
взятая им в кредит. Найдите r.

Решение:

Пусть сумма
кредита равна S,  по
условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно по . К концу каждого месяца к основной сумме
добавляется r%. Пусть k = 1+0,01r.

Если Алексей в
конце 1 месяца заплатит x₁ то
получаем s ∙ k – x₁ =  ∙ s, то x₁ = S∙k –  ∙ S = S∙k – S +  ∙ S = S∙(k — 1) +  S.

Если Алексей в
конце второго месяца заплатит х₂, то получим

 ∙ S ∙ k – x₂ =  ∙ S

X₂ =   ∙ S ∙ k —   ∙ S =  S ∙ (16 ∙ k — 15) =  S ∙ (16 ∙ (k – 1) + 1) =  =

Если Алексей в
конце третьего месяца заплатит х₃, то получим

 ∙ S ∙ k – x₃ =  ∙ S

X₃ =   ∙ S ∙ k —   ∙ S =  S ∙ (15 ∙ k — 14) =  S ∙ (15 ∙ (k – 1) + 1) =  =  и т.д.

В конце 17 месяца
Алексей заплатит

X₁₇ =

Всего Алексей
должен заплатить

S∙(k — 1) +  S +   +  + … +  =

17 ∙  + S ∙ (k — 1) ∙ (1 +  +  +  + … + )

 +  +  + … +  – сумма арифметической прогрессии

а₁ =   а₁₆ =

S₁₆ =

S₁₆ =  = 8

Значит, Алексей
заплатит

S + S∙(k — 1) ∙ (1
+ = S + S∙(k — 1) ∙ 9,
что на 27% больше суммы, взятой в кредит т.е.

S + S∙(k — 1) ∙ 9
=  S + S∙0,27

(k — 1) ∙ 9
= 0,27

9∙k = 9,27

K = 1,03

Но k = 1 +
0,01∙ r , значит,
r = 3%

Ответ: r = 3

Задание №17 – это задание (с 13-19) из 2-й части ЕГЭ по профильной математике. Ответ дается в развернутом виде с полной записью решения и обоснованием, оценивается в 3 балла. 2 часть ЕГЭ профиля математики содержит 19 заданий базового, повышенного и высокого уровня сложности. Так вот, задание 17 относится к повышенному уровню сложности и без серьезной подготовки решить сложно.

Условия задачи даются в довольно специфичном виде, не все данные представлены явно. Поэтому важно наработать навыки интерпретации условий задачи, идентификации исходных данных, определения искомой величины и возможных схем решения. Помочь в этом вам смогут курсы подготовки «Уникум» РУДН по математике. На курсах вы вспомните теорию и практику, получите разбор всех типов заданий и пробных вариантов ЕГЭ по профильной математике.

Теория

Задание №17 — это текстовые задачи на знание финансовой математики и экономического содержания. Данные задачи можно разделить на несколько типов:

• на проценты, кредиты, вклады и различные их вариации

• на использование экономических моделей (производство, объемы выпускаемой продукции, протяженные во времени, и др.)

В свою очередь задачи на кредиты делятся на 2 типа:

1 тип. Кредиты с равными платежами («аннуитет»).

2 тип. Кредиты с дифференцированными платежами.

Выбор схемы решения задач на кредиты зависит от типа задачи. Поэтому первое, что нужно сделать – это определить ее тип.

При 1 типе задачи схема погашения кредита приводится к виду геометрической прогрессии. После чего применяется формула суммы геометрической прогрессии.

При 2 типе схема платежей по кредиту приводится к виду арифметической прогрессии. После чего применяется формула суммы арифметической прогрессии.

Необходимые знания

Необходимые знания при решении задачи 17:

• проценты

• арифметическая прогрессия

• геометрическая прогрессия

• степенная функция

• логарифмическая функция

• логарифмические уравнения и неравенства

• показательная функция

• показательные уравнения и неравенства

• системы уравнений

Формулы

При решении задачи №17 чаще всего используются следующие формулы:

1.Расчеты с процентами:

Х% от величины а: а*х/100;

• а увеличилась на х%: а*(1+х/100);

• а увеличилась на х% n раз: а*(1+х/100)ⁿ;

• а увеличилась на х%, затем уменьшилась на у%: a*(1+х/100) *(1-y/100).

2.Наращенная сумма при начислении простых %: S = а*(1+n*х/100);

3.Наращенная сумма при начислении сложных %: S = а*(1+х/100)ⁿ,

где а – первоначальная сумма, х – % ставка, n- количество периодов начисления %.

4.Формулы суммы членов арифметической и геометрической прогрессии:

— сумма 1-х n членов арифметической прогрессии, где a1 – 1-й член, an- n-й член, d – шаг.

— сумма 1-х n членов геометрической прогрессии, где b1 – 1-й член, q – знаменатель.

Практика

Разберем 3 задачи.

Пример 1. В августе 2019 года был взят кредит на следующих условиях:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с декабрем предыдущего года;

— долг выплачивается 1 платежом в год с апреля по сентябрь;

— кредит был погашен 3 равными платежами за 3 года и общая сумма выплат оказалась на 78 030 рублей больше суммы взятой в кредит. Определить сумму кредита.

Решение:

Обозначим: х – сумма кредита

а – ежегодный платеж

Схема выплат по кредиту:

((Х*1,3-а) *1,3-а) *1,3-а = 0, т. к. после всех выплат кредит погашен

1,3³ Х-1,3²а-1,3а-а = 0 ═> 1,3³ Х-а*(1,3²+1,3+1)=2,197Х-а*3,99 = 0

Т. к. было 3 равных платежа: а = (78 030+х)/3 = 26 010+х/3

2,197х-(26 010+х/3) *3,99 = 0

2,197х = (26 010+х/3) *3,99

2,197х/3,99 = 26 010+х/3

2,197х/3,99 – х/3 = 26 010

(2,197х-1,33х)/3,99 = 26 010

0,867х/3,99 = 26 010

0,289х/1,33 = 26 010

Х = 119 700

Ответ: 119 700

Пример 2. Антон и Аня одновременно положили в банк равные суммы под 12%. Через год после начисления % Антон внес на свой счет 10 000 руб., а еще через год после начисления % снял с него 10 000 руб. Аня через год после начисления % сняла 10 000 руб., а еще через год также после начисления % внесла на счет 10 000 руб. У кого на счету через три года со времени первоначального вложения окажется большая сумма и на сколько рублей?

Решение:

Обозначим х первоначальную сумму на каждом вкладе

Суммы на счетах через 3 года:

У Антона:

((х*1,12+10 000) *1,12-10 000) *1,12 = 1,12³х+1 344

У Ани:

((х*1,12-10 000) *1,12+10 000) *1,12 = 1,12³х-1 344

Из большей суммы вычтем меньшую:

1,12³х+1 344 – (1,12³х -1 344) = 1 688 руб. – Антон получит на эту сумму больше.

Ответ: у Антона на 1688 руб. больше.

Пример 3. В 2016 году среднемесячный доход на душу населения в регионе А составлял 25 600 руб. и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2016 году составлял 36 450 руб. Суммарный доход населения региона Б последующие 3 года ежегодно увеличивался на 16%, а численность населения увеличивалась на n% ежегодно. В 2019 году среднемесячный доход на душу населения в регионах А и Б сравнялся. Найти n.

Решение:

Нужно обратить внимание на то, что для региона А и Б темпы роста даны для разных величин – для А – для среднедушевого дохода, для Б – для общего дохода населения, численность которого росла на протяжение 3 лет.

Определим среднемесячный доход на душу населения (Д) для каждого из регионов в 2019 году:

ДА= 25 600*1,25*1,25*1,25 = 25 600*1,25³

ДА= 25 600*1,25*1,25*1,25 = 25 600*1,25³

ДБ= 36 450*1,16*1,16*1,16/(1+n/100) *(1+n/100) *(1+n/100) =36 450*1,16³/(1+n/100)³

— делим на темпы роста численности населения потому, что для региона Б рост дан для суммарного дохода населения, а величина Д рассчитывается на душу населения.

в 2019 году Д регионов сравнялись:

25 600*1,25³=36 450*1,16³/(1+n/100)³═> (1+n/100)³=36 450*1,16³/25 600*1,25³ =729*1,16³/512*1,25³ = 9*1,16³/8*1,25³ =(9*1,16)³/(8*1,25)³= (10,44/10)³═> 1+n/100=10,44/10 = 1,044

n = (1,044-1) *100 = 4,4

Ответ: 4,4

Как видите, решение задач по финансовой математике связано с большим количеством вычислений, которые в итоге сводятся к решению уравнений или системы уравнений. Важно внимательно читать условия, правильно определить тип задачи и схему решения.

Как правило, ответ в задаче должен получиться «красивым», т. е. в виде либо целого числа, либо в виде конечной десятичной дроби. Если ответ получился «некрасивым», это повод внимательно перепроверить решение. При вычислениях часто удобнее иметь дело не десятичными, а с простыми дробями, внимательно проводить сокращение. Полезно повторить таблицу возведения чисел во 2 и 3 степени, что поможет сэкономить время на решение. Вспомните действия со степенями.

И чем больше вариантов заданий №17 ЕГЭ по профильной математике вы решите, тем лучше будете ориентироваться в схемах решений, т.к. все задания сводятся к небольшому количеству типовых вариантов.

Подготовительные курсы ЕГЭ по математике «Уникум» РУДН дают такую возможность. Под руководством преподавателя курсов, вы получите подробный разбор вариантов экзаменационных работ и закрепите навыки их решения.

Всё варианты 17 задания математика ЕГЭ Профиль 2022admin2022-08-03T22:55:27+03:00

Скачать задания в формате pdf.

Задания 13 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год (параметры)

1) (28.03.2022 досрочная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

[ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {frac{{x,{y^2} — 2,x,y — 4y + 8}}{{sqrt {4 — y} }} = 0,} \ {y = a,x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} end{array}} right. ]

имеет ровно три различных решения.

ОТВЕТ: (left( {0;1} right) cup left( {1;4} right).)

---

2) (28.03.2022 досрочная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

[ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {frac{{x,{y^2} — 3,x,y — 3y + 9}}{{sqrt {x + 3} }} = 0,} \ {y = a,x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} end{array}} right. ]

имеет ровно два различных решения.

ОТВЕТ: (left( {0;frac{1}{3}} right] cup left{ 3 right}.)

---

3) (28.03.2022 досрочная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

[ left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left( {x,{y^2} — 3,x,y — 3y + 9} right)sqrt {x — 3} = 0,} \ {y = a,x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} end{array}} right. ]

имеет ровно три различных решения.

ОТВЕТ: (left( {0;frac{1}{3}} right).)

---

4) (02.06.2022 основная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

({x^2} + {a^2} + x — 7a = left| {,7x + a,} right|)

имеет более двух различных решений.

ОТВЕТ: (left[ { — 1;,0} right] cup left[ {,7;,8} right].)

---

5) (02.06.2022 основная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

({x^2} + {a^2} — 2x — 6a = left| {,6x — 2a,} right|)

имеет два различных решения.

ОТВЕТ: (left( {2 — 2sqrt 5 ;4 — 2sqrt 5 } right) cup left( {0;,6} right) cup left( {2 + 2sqrt 5 ;4 + 2sqrt 5 } right).)

---

6) (02.06.2022 основная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

(left| {{x^2} + {a^2} — 6x — 4a} right| = 2x + 2a)

имеет два различных решения.

ОТВЕТ: (left( { — 2;1 — sqrt 5 } right) cup left( { — 1;,0} right) cup left( {1 + sqrt 5 ;8} right).)

7) (02.06.2022 основная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

(left| {{x^2} + {a^2} — 6x — 4a} right| = 2x + 2a)

имеет четыре различных решения.

ОТВЕТ: (left( {1 — sqrt 5 ;, — 1} right) cup left( {0;1 + sqrt 5 } right).)

---

(02.06.2022 основная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

({a^2} + 2,a,x — 3{x^2} — 4a — 4x + 8left| x right| = 0)

имеет четыре различных решения.

ОТВЕТ: (left( {0;1} right) cup left( {1;,3} right) cup left( {3;4} right).)

---

9) (02.06.2022 основная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

({a^2} — 9{x^2} + 18left| x right| — 9 = 0)

имеет два различных решения.

ОТВЕТ: (left( { — infty ; — 3} right) cup left{ 0 right} cup left( {3;infty } right).)

---

10) (27.06.2022 резервная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

(sqrt {15{x^2} + 6ax + 9}  = {x^2} + ax + 3)

имеет ровно три различных решения.

ОТВЕТ: (left[ { — 4;, — 3} right) cup left( { — 3;3} right) cup left( {3;,4} right].)

---

11) (27.06.2022 резервная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

(sqrt {{x^4} — 4{x^2} + {a^2}}  = {x^2} + 2x — a)

имеет ровно три различных решения.

ОТВЕТ: (left( { — infty ; — 4} right) cup left( { — 4;0} right).)

---

12) (27.06.2022 резервная волна) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

(sqrt x  + sqrt {2a — x}  = a)

имеет ровно два различных решения.

ОТВЕТ: (left[ {2;,4} right).)