Задачи егэ на объемы тел с решением егэ профиль

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 298    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Всего: 298    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Печать страницы

Данное занятие может быть проведено после изучения формул объемов многогранников на уроках геометрии в 11-м классе или в рамках элективного курса по подготовке к ЕГЭ. Материал также доступен и учащимся 10-го класса (во 2-м полугодии).

Цели занятия:

• показать примеры задач, аналогичных заданиям ЕГЭ по математике базового уровня и первой части профильного уровня;
• повторить теоретический материал, связанный с площадями фигур, со свойствами многогранников;
• отработка навыков самоконтроля;
• отработка навыков сотрудничества между учащимися.

Оборудование:

• оборудование для демонстрации презентации Microsoft PowerPoint (компьютер, проектор, экран или доска);
• раздаточный материал (тексты задач с чертежами);
• таблица квадратов натуральных чисел.

План занятия

1. Организационный момент
2. Устная работа
3. Решение задач
4. Работа в группах
5. Подведение итогов

Ход занятия

Занятие сопровождается демонстрацией презентации.

1. Организационный момент

Cообщение целей занятия, деление класса на группы по 4 человека (можно объединить учащихся, сидящих за соседними партами).

2. Устная работа

Условия задач и правильные ответы демонстрируются на слайдах. Задачи решаются устно, ответы можно спросить у нескольких учащихся, один из них коротко рассказывает путь решения.

Задача 1. (Слайд №4) Площадь треугольника АВС равна 120. КМ – средняя линия, параллельная стороне АВ. Найти площадь четырехугольника АКМВ. (Ответ: 90)

Задача 2. (Слайды №5,6) Площадь правильного шестиугольника АВСДЕК равна 60, О – центр шестиугольника. Найти площади треугольника АОВ, треугольника  АВС, треугольника АВЕ, четырехугольника ВСДЕ. (Ответ: 10; 10; 20; 30)

Задача 3. (Слайд №7) Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найти объем параллелепипеда. (Ответ: 90)

Задача 4. (Слайд №8) Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в 5 раз? (Ответ:  125)

Задача 5. (Слайд №9) В правильной треугольной пирамиде МАВС О – точка пересечения медиан основания. Площадь треугольника АВС равна 5, а объем пирамиды – 35. Найти длину отрезка МО. (Ответ: 21)

Задача 6. (Слайд №10) Как изменится объем пятиугольной пирамиды, если её высоту увеличить в 4 раза? (Ответ: увеличится в 4 раза)

Задача 7. (Слайд №11) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды составил 20 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? (Ответ: 5 см)

При подведении итогов устной работы необходимо обратить внимание на формулы для вычисления объемов призмы и пирамиды.

3. Решение задач

Чертежи заранее сделаны на доске, каждый ученик получает заготовку с чертежами (Приложение 1). Учащиеся у доски записывают краткие решения, сопровождая их устными пояснениями. Также можно использовать слайды №13, 14, 15.

Задача 8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 3. Объем параллелепипеда равен 108. Найти его диагональ.

Задача 9. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом  уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найти объем детали. Ответ выразить в см³.

Задача 10. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Найти объем пирамиды DABC.

4. Работа в группах

Каждая группа получает набор задач (Приложение 2), к которым надо записать краткие решения. После истечения отведенного времени проверяются ответы, представители групп могут прокомментировать ход решения задач. В это время чертежи демонстрируются на слайдах №17, 18, 19. Для быстрой проверки можно использовать слайд №20. После этого листы с решениями сдаются учителю.

5. Подведение итогов

При подведении итогов следует обратить внимание на две основные формулы объемов и их частные случаи, а также на отношение объемов подобных тел (слайд 22).

Задача. (Слайд №23) Боковые ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 6. Найти объем пирамиды. (Ответ: 36)

При решении этой задачи очень важно обратить внимание на метод решения. Если тетраэдр перевернуть, то задачу можно решить устно.

Задача. (Слайды №24, 25) Объем тетраэдра равен 12. Найти объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. (Ответ: 6)

6. Домашнее задание (Приложение 3)

Литература

1. Ященко И. В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни. – М: Издательство «Экзамен», 2020.
2. Балаян Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы. – Ростов н/Д: Феникс, 2018.
3. Материалы сайта: https://math-ege.sdamgia.ru/

Список приложений

• Приложение 1 – задачи для работы в классе
• Приложение 2 – задачи для работы в группах
• Приложение 3 – домашнее задание
• Приложение 4 – ПРЕЗЕНТАЦИЯ

Слайд 1

Открытый банк заданий по математике http ://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action Объем пирамиды

Слайд 2

Найдем отношение объемов Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? V = S o H 1 3 3 х 1 0 х В 9 8 h a 2 a 2 h a ab S sin 2 1 =

Слайд 3

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. 3 х 1 0 х В 9 4 Н 3 4 V = S o H 1 3 12 16

Слайд 4

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . 3 х 1 0 х В 9 5 0 , 2 V = S o H 1 3 1 1 a ab S sin 2 1 = 1 1 60 0

Слайд 5

3 х 1 0 х В 9 3 . Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен . 2 2 V = S o H 1 3 ? a ab S sin 2 1 = 2 2 60 0 3 3

Слайд 6

3 х 1 0 х В 9 4 Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? A F B C D E Найдем отношение объемов V = S o H 1 3 h 4 h

Слайд 7

3 х 1 0 х В 9 7 1 1 1 60 0 ? . Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. A F B C D E 1 1 ? 1 S 6 2 3 3 О Из АО S по теореме Пифагора найди ребро AS . a ab S sin 2 1 = 1 1 60 0 Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности. Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

Слайд 8

3 х 1 0 х В 9 2 0 0 . В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. Н 6 10 10 V = S o H 1 3 a S = кв. 2

Слайд 9

3 х 1 0 х В 9 4 8 . Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды. . Н S D C B V = S o H 1 3 ? 6 Из SHG : Из SHA : 3 6 = ab S пр. 3 12 G 6 0 0 6 A 6 0 0

Слайд 10

3 х 1 0 х В 9 4 , 5 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. A В С S A S B C V = S o H 1 3 3 3 3 3 3 3 Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB . Основание – прямоугольный треугольник SCB , высота AS . ab S 2 1 = 3 3 катет катет высота

Слайд 11

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 0 . Найдите объем пирамиды. 3 х 1 0 х В 9 4 8 . . A F B C D E 4 4 S О К V = S o H 1 3 45 0 ? ? 4 4 4 60 0 a ab S sin 2 1 = 4 4 60 0 Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников. 2 3 2 3 2 3 2 Найдем ОК по теореме Пифагора К О С

Слайд 12

Найдем отношение объемов Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC . V пир. = S o H 1 3 A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 V приз. = S o H h h 12 3 х 1 0 х В 9 2 2 S ABC =

Слайд 13

Пирамида AD 1 CB 1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 . А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB 1 . Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1 . C 1 A B C D A 1 B 1 D 1 Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 V пар. = S o H 4,5 3 х 1 0 х В 9 1 , 5 Четыре пирамиды по углам — ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 Объем пирамиды АD 1 CB 1 h 2 S ABC =

Слайд 14

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 3 х 1 0 х В 9 2 h h 2 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 12

Слайд 15

От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. h Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 V приз. = S o H 150 3 х 1 0 х В 9 5 0

Слайд 16

F E A B C D A B C D E F Объем треугольной пирамиды SABC , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF , равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. S У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 8 3 х 1 0 х В 9 4 8 V 1 V 2 Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Слайд 17

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB . Найдите объем треугольной пирамиды EABC . S B D A C O h 2 1 Точка E – середина ребра SB , значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса). Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD . E N Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 12 3 х 1 0 х В 9 3 2 S ABC =

Слайд 19

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. B S C A М N S А В С М N У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Работать можно с любым из этих чертежей. Найдем отношение объемов V пир. = S o H 1 3 12 3 х 1 0 х В 9 3 a b V 2 V 1 a ab S sin 2 1 =

Слайд 20

Найдем объем пирамиды NABC . Сравним его с объемом всей пирамиды SABC , составив отношение. Основания у них одинаковые – треугольник АВС. А высоты разные, сравним их. По т. Фалеса FP:SP = 2:3 . Тогда, если SP=h , то FP= h, NO= h 2 3 2 3 Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. S C A B N 1 часть 2 части P Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC . Найдем объем пирамиды NABC . Затем из V SABC ( это 15) вычтем V NABC , , найдем V NSAC . O F h 3 2 15 3 х 1 0 х В 9 1 0