Задачи егэ по математике про стрелков

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про бросание игральных костей и задачи о подбрасывании монет.

Перейдем еще к одному типу задач: про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач — использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. А перед примерами вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик! Удобно решать самому? Посмотрите видеоурок и скачайте бесплатный шаблон Excel для решения задач о выстрелах.

Онлайн решение задачи про попадание в цель

Выберите количество стрелков и затем введите в поля вероятности $p_i$ их попаданий в цель (десятичный разделитель — точка):

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач с выстрелами: как использовать Excel для решения типовых задач с 2, 3 и 4 стрелками (выстрелами).

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать.

Два стрелка

Начнем традиционно с более простых задач, а именно, с двух стрелков. Пусть первый стрелок попадает в цель с вероятностью $p_1$, а второй — с вероятностью $p_2$ (конкретные числа см. в примерах ниже). Соответственно, сразу можно сделать вывод, что промахиваются они с вероятностями $q_1=1-p_1$ и $q_2=1-p_2$.

Чтобы иметь возможность оперировать с событиями, нужно сначала их (события) ввести. Кстати, сразу заметим, что события эти независимые (то есть вероятность попадания первого стрелка не зависит от того, как стреляет второй и наоборот). Итак, пусть:

Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),

Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель).

Соответственно, события $overline{A_1}$, $overline{A_2}$ обозначают промах первого и второго стрелка (не попал в цель).

Сразу можно выписать все, что нам стало известно к этому времени о данных событиях, в терминах теории вероятности (так сказать, формализуем задачу, чтобы легче было ее решать дальше):
$$
P(A_1)=p_1, quad P(A_2)=p_2, quad Pleft(overline{A_1}right)=1-p_1=q_1, quad Pleft(overline{A_2}right)=1-p_2=q_2.
$$

Теперь можно переходить к подсчету вероятностей попаданий. Например, пусть событие $X$ =(При двух выстрелах не было ни одного поражения цели). Вопрос, когда такое случится? Ясно, что когда ни первый стрелок, ни второй не попадут в цель, то есть одновременно произойдут события $overline{A_1}$ и $overline{A_2}$, что можно записать как произведение событий: $X=overline{A_1} cdot overline{A_2}$. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей, или:
$$
P(X)=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2}right)= Pleft(overline{A_1}right) cdot Pleft(overline{A_2}right) = q_1 cdot q_2. qquad (1)
$$

Рассмотрим еще одно событие $Y$ =(При двух выстрела ровно один стрелок попадет в цель). Как можно записать это событие через уже известные нам $A_1$ и $A_2$? Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$) и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $overline{A_2}$), то есть получили произведение событий $A_1 cdot overline{A_2}$.

2. Когда второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$) и одновременно с этим первый стрелок промахнется (событие $overline{A_1}$), то есть получили произведение событий $overline{A_1} cdot A_2$.

Так как других вариантов для получения одного попадания нет, а эти два варианта — несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
$$
P(Y) = Pleft(A_1 cdot overline{A_2} + overline{A_1} cdot A_2right)= Pleft(A_1 cdot overline{A_2} right)+ Pleft( overline{A_1} cdot A_2right) =
$$
дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки:
$$
= P(A_1) cdot left(overline{A_2} right) + Pleft( overline{A_1} right) cdot P(A_2) = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2.
$$
Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного попадания в цель:
$$
P(Y) = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2. qquad (2)
$$

Если вы одолели последние пару абзацев, дальше все будет проще, поверьте:). Просто нужно привыкнуть к формулам, а потом они сами будут подсказывать вам верный ход решения.

Ну и наконец, найдем вероятность события $Z$ = (Оба стрелка попадут в цель), которое, как вы наверное и сами уже поняли, можно выразить так: $Z = A_1 cdot A_2$. Итоговая формула:
$$
P(Z) = P(A_1 cdot A_2) = P(A_1) cdot P(A_2)= p_1 cdot p_2. qquad (3)
$$

Большая теоретическая часть окончена, теперь можно решать примеры как орешки.

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго — 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию $p_1=0,6$, $p_2=0,7$, значит $q_1=1-p_1=0,4$, $q_2=1-p_2=0,3$. Получаем:
$$
P = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2 = 0,6 cdot 0,3 + 0,4 cdot 0,7 = 0,46.$$

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи $p_1=0,7$, $p_2=0,8$ и сразу получим ответ:
$$
P = p_1 cdot p_2=0,7 cdot 0,8 = 0,56.
$$

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу «хотя бы один…» мы помимо основного события: $Q$ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие $overline{Q}$ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше:
$$
P(overline{Q}) = q_1 cdot q_2= (1-0,3) cdot (1-0,4) =0,7 cdot 0,6 = 0,42.
$$
Вероятность нужного нам события тогда равна:
$$
P(Q) = 1- P(overline{Q}) = 1 — 0,42 = 0,58.
$$

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача — вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Начало одинаковое — формализуем задачу и вводим независимые события:

Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),

Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель),

Событие $A_3$ = (Третий стрелок попал в цель).

Известно, что:
$$
P(A_1)=p_1, quad P(A_2)=p_2, quad P(A_3)=p_3, \ Pleft(overline{A_1}right)=1-p_1=q_1, quad Pleft(overline{A_2}right)=1-p_2=q_2, quad Pleft(overline{A_3}right)=1-p_3=q_3.
$$

Вероятность того, что не будет ни одного попадания, вычисляется абсолютно аналогично случаю для двух стрелков, только добавляется третий сомножитель (см. формулу (1)), так как все трое должны промахнуться:
$$
P_0=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2} cdot overline{A_3}right)= Pleft(overline{A_1}right) cdot Pleft(overline{A_2}right) cdot Pleft(overline{A_3}right)= q_1 cdot q_2 cdot q_3. qquad (4)
$$

Желающие потренироваться в выводе формул могут на этом этапе самостоятельно попытаться выписать вероятности для 2 и 3 попаданий (соответственно, $P_2$ и $P_3$), и сравнить с теми формулами, что я приведу ниже:
$$
P_2 = P(X_2)= \
= P(A_1) cdot P(A_2) cdot Pleft(overline{A_3} right) + P(A_1)cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot P(A_3) + Pleft(overline{A_1} right) cdot P(A_2) cdot P(A_3)=\
= p_1 cdot p_2 cdot q_3 + p_1 cdot q_2 cdot p_3 + q_1 cdot p_2 cdot p_3. qquad (6)
$$

$$
P_3 = P(X_3)= P(A_3) cdot P(A_2) cdot P(A_3) = p_1 cdot p_2 cdot p_3. qquad (7)
$$

Теперь, вооружившись формулами до зубов, снова возвращаемся к задачнику и решаем примеры буквально в одну строчку (конечно, если вы оформляете эти работы для сдачи преподавателю, используйте в решении и вывод формул, приведенный выше).

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи:
$$
p_1=0,2, quad p_2=0,3, quad p_3=0,4, quad q_1=0,8, quad q_2=0,7, quad q_3=0,6
$$
Получаем:
$$
P_1 = p_1 cdot q_2 cdot q_3 + q_1 cdot p_2 cdot q_3 + q_1 cdot q_2 cdot p_3=\
= 0,2 cdot 0,7cdot 0,6 + 0,8 cdot 0,3 cdot 0,6 + 0,8 cdot 0,7 cdot 0,4 = 0,452.
$$

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи:
$$
p_1=0,8, quad p_2=0,7, quad p_3=0,5, quad q_1=0,2, quad q_2=0,3, quad q_3=0,5
$$
Получаем:
$$
P_2 = p_1 cdot p_2 cdot q_3 + p_1 cdot q_2 cdot p_3 + q_1 cdot p_2 cdot p_3 = \
= 0,8 cdot 0,7 cdot 0,5 + 0,8 cdot 0,3 cdot 0,5 + 0,2 cdot 0,7 cdot 0,5 = 0,47.
$$

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события $A$ = (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие $overline{A}$ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения:
$$
p_1=0,8, quad p_2=0,7, quad p_3=0,9, quad q_1=0,2, quad q_2=0,3, quad q_3=0,1
$$
Получаем:
$$
Pleft(overline{A} right) = P_0 = q_1 cdot q_2 cdot q_3 = 0,2 cdot 0,3 cdot 0,1 = 0,006.
$$
Искомая вероятность:
$$
P(A) = 1 — Pleft(overline{A} right) = 1 — 0,006 = 0,994.
$$

Задачи на формулу Бернулли

Когда я писала первый вариант статьи, этого раздела не было. Но ведь задачи, когда выстрелы попадают в цель с одинаковой вероятностью, встречаются весьма и весьма часто и фактически являются частным и более простым случаем разобранных выше. Так что перед вами дополнительный раздел, надеюсь, он окажется полезным:).

Итак, вернемся к нашим стрелкам. Теперь будем считать, что вероятность попадания в цель при каждом выстреле одинакова и равна $p$, число выстрелов равно $n$ и конечно, как и прежде, выстрелы попадают в цель независимо друг от друга. Хм… Что-то знакомое? Конечно! Это схема независимых повторных испытаний, иначе говоря, схема Бернулли.

Ну вот, скажете вы, только научились решать одним способом, и тут на тебе, «схема Бернулли»!

А я отвечу, что в ней как минимум пара преимуществ:

• нужно запомнить всего одну формулу вместо нескольких (см. выше)
• теперь количество стрелков может быть не только 2, 3 или 4 (что уже громоздко), а практически любое — 5, 10, 12…

Пора приступать. Сначала сама формула, а потом разберем несколько примеров для закрепления пройденного:).

Пусть производится $n$ выстрелов, вероятность попадания в цель каждом из которых равна $p$. Вероятность, что окажется в точности $k$ попаданий, можно вычислить по формуле Бернулли:
$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}.
$$

Пример 7. Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна $p=0,8$. Найти вероятность того, что:
1) Стрелок попадёт 3 раза
2) Стрелок попадёт не менее 3-ёх раз.

Вот она, типовая задача на формулу Бернулли. Наши параметры: $n=4$ (число выстрелов), $p=0,8$ (вероятность попадания при одном выстреле), $q=1-p=0,2$ (вероятность промаха).

1) Вероятность того, что стрелок попадёт 3 раза:

$$
P_4(3)=C_4^3 cdot 0,8^3 cdot 0,2^{4-3} = 4 cdot 0,8^3 cdot 0,2 =0,41.
$$

2) Вероятность того, что стрелок попадёт не менее 3-ёх раз из 4 (то есть или 3, или 4 раза — складываем вероятности соответствующих событий):

$$
P_4(k ge 3) =P_4(3) + P_4(4)=0,41+ C_4^4 cdot 0,8^4 cdot 0,2^{0} = 0,41+0,8^4 =0,819.
$$

И это все! Проще некуда, но не забывайте, что задачи разные, где-то формула Бернулли подходит (повторяем: вероятности одинаковые, события независимые и повторные), а где-то — нет (как в разобранных в начале этой статьи задачах).

Пример 8. Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность выбивания не менее 20 очков при десяти выстрелах.

И опять проверяем выполнение условий схемы Бернулли: вероятности одинаковые (да, $p=0,2$), выстрелы независимые, число выстрелов задано ($n=10$).

Сформулируем вопрос задачи математически: что значит выбито не менее 20 очков? Это значит, что в 10 выстрелах было не менее 2 попаданий в цель (то есть 2, 3, 4,…, 10). Что-то многовато…

В таком случае проще подсчитать сначала вероятность противоположного события: «В 10 выстрелах было менее 2 попаданий в цель» (то есть 0 или 1). Вот тут полегче, давайте посчитаем:

$$
P_{10}(k lt 2) =P_{10}(0) + P_{10}(1)=C_{10}^{0} cdot 0,2^{0} cdot 0,8^{10}+ C_{10}^{1} cdot 0,2^{1} cdot 0,8^{9} =\
=0,8^{10}+ 10 cdot 0,2 cdot 0,8^{9} =0,376.
$$

Тогда искомая вероятность выбить не менее 20 очков будет:

$$
P_{10}(k ge 2) =1-P_{10}(k lt 2)=1-0,376=0,624.
$$

Пригодится: онлайн калькулятор для таких задач

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением. Задачи из существенно других разделов (например, на формулу Байеса или построение ряда распределения случайной величины) будут разобраны в других статьях.

Пример 9. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события $A$ = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие $overline{A}$ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель как $p=0,7$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p=0,3$, то вероятность всех пяти промахов будет
$$
Pleft(overline{A} right) = q^5 = 0,3^5.
$$
Искомая вероятность:
$$
P(A) = 1 — Pleft(overline{A} right) = 1 — 0,3^5 = 0,998.
$$

Общий случай: как найти вероятность наступления хотя бы одного события

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как $p_1$ и $p_2$, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений:
$$
P_2 = p_1 cdot p_2 = 0,42;\
P_0 = (1-p_1) cdot (1-p_2) = 0,12.\
$$
Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: $p_1 = 0,6$ и $p_2 = 0,7$ (или наоборот, $p_1 = 0,7$ и $p_2 = 0,6$).

Пример 11. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как $p$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p$, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна $q^4$, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах — $1-q^4$. Получаем уравнение:
$$
1-q^4=0,9984;\
q^4=0,0016;\
q=0,2;\
p=1-q=0,8.
$$
Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 12. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_1=0,8$), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_2=0,7$). По правилу умножения вероятностей
$$
P = p_1 cdot p_1 cdot p_2 cdot p_2 = 0,8 cdot 0,8 cdot 0,7 cdot 0,7 = 0,3136.
$$

Полезная информация

Онлайн калькуляторы Онлайн учебник Более 200 примеров Решенные контрольные

Формулы и таблицы Сдача тестов Решение на заказ Онлайн помощь

Решебник по вероятности

В решебнике вы найдете более 700 задач о выстрелах и попаданиях с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

ЕГЭ по математике

1. Перед началом первого
тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 спортсменов, среди
которых 10 участников из России, в том числе Григорий Поддубный. Найдите вероятность
того, что в первом туре Григорий Поддубный будет играть с каким-либо
спортсменом из России?

Решение.  Пусть Поддубный попал в
одну из групп, тогда для остальных 9 россиян осталось  75 мест.

 Ответ:   0,12.

2. В группе иностранных
туристов51 человек, среди них два француза. Для посещения маленького музея 
группу случайным образом делят на три подгруппы, одинаковые по численности.
Найдите вероятность того, что французы окажутся в одной подгруппе.

Решение. В каждой подгруппе 17
человек. Будем считать, что один француз уже занял место в какой-то подгруппе.
Надо найти вероятность того, что второй француз окажется в той же подгруппе.
Для второго француза осталось 50 мест , а в  подгруппе -16 мест. Размещения
туристов случайны, значит события  равновозможны. Поэтому вероятность того, что
второй француз попадёт в ту же подгруппу :  Р

Ответ: 0,32.

3. Петя
подкинул три монеты. С какой вероятностью они выпали одной стороной?

Решение:

Орёл-О,
решка-Р. Все возможные случаи:

ООО, 
ООР, ОРО,  ОРР,  РРР,  РОР,  РРО,  РОО. Их восемь. Благоприятных исходов два.
 Р=

Ответ: 0, 25

4. Какова вероятность того,
что случайно выбранное число будет делиться  нацело на 195? Ответ округлить до тысячных.

Решение. Количество трёхзначных
чисел: 999-99=900. Количество чисел, делящихся на 195: 5 (195, 195∙2, 195∙3, 195∙4.
195∙5=985).
Р=

Ответ.0,006.

5.В
случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

	1	2	3	4	5	6
1
2
3
4
5
6

Закрасим ячейки, где 
сумма равна 7, их шесть.
 Р=.

Ответ. 0,17.

6.Двое
военнослужащих на учениях независимо друг от друга проходят полосу препятствий.
Для первого вероятность пройти ее равна 0,8, а для второго 0,5. Найдите
вероятность того, что они оба не пройдут это испытание.

Решение:

Вероятность
того, что первый не пройдёт препятствие: 1-0,8=0,2, а второго : 1-0,5= 0,5. Так
как эти события  независимы друг от друга, то
 Р= 0,2∙0,5=0,1.

Ответ:
0,1.

7.Стрелок
стреляет в мишень три раза. Вероятность попадания при каждом выстреле равна
0,9.Найдите вероятность  того, что стрелок промахнётся все три раза.

Решение.
Вероятность того, что стрелок промахнётся: 1-0,9 =0,1.Так как
три выстрела─ независимые друг от друга события, то Р = 0,1∙0,1∙0,1= 0,001.

Ответ.
0,001.

8.Вероятность
того, что Андрей сдаст экзамен по математике  равна 0,99, а вероятность того,
что он  сдаст экзамен по русскому языку . равна 0,98. Найдите вероятность того,
что он сдаст оба эти   экзамена.

Решение.
Так как эти события  независимы друг от друга, то Р=0,99∙0,98=0,9702.

Ответ.0,9702.

9.
Вероятность того, что телевизор прослужит больше 5 лет равна 0,92.Вероятность
того, что телевизор прослужит больше 10  лет равна 0,39. Найдите вероятность
того, что он прослужит больше 5, но меньше 10 лет.

Решение.

0,92- 0,39=0,53.

Ответ.0,53.

10.Стрелок
стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по
той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6.
Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

Решение.

Р(Á) = 1 — Р(А) = 1 — 0,6= 0,4 —
вероятность того, что в первый раз стрелок промахнется.

Заметим, что вероятность события С,
что стрелок попадет в цель 2-й раз равна 0,6 (так как она не зависит, первый
раз стрелок стреляет или второй), то есть Р(С) = 0,6.

Получим Р(В) = Р(Á*С) = 0,4*0,6 =
0,24.

Значит, Р(А+В) = 0,6+0,24 = 0,84.

Ответ: 0,84.

11.
Две фабрики выпускают одинаковые лампочки. Первая фабрика выпускает 60%
лампочек, вторая — 40%. Среди продукции первой фабрики 3% лампочек дефектные,
среди продукции второй фабрики — 2%. Найдите вероятность того, что случайно
купленная в магазине лампочка окажется дефектной.

Решение.

 По условию задачи первая фабрика
выпускает 60% лампочек из 100%. Другими словами она выпускает 60/100 = 6/10
доли от общего производства двух фабрик. Вторая фабрика аналогично выпускает
40% = 40/100 = 4/10 доли от общего числа лампочек. Среди этих 6/10 по условию
3% брака, что значит 3/100 от 6/10, это равно: 3/100 * 6/10 = 18/1000. То есть
от всего объема выпущенных лампочек 18/1000 окажутся дефектными с первой
фабрики. Аналогично найдем долю дефектных лампочек со второй фабрики: 2/100 *
4/10 = 8/1000. Всего бракованных лампочек с обеих фабрик будет: 18/1000 +
8/1000 = 26/1000 = 0,026. Это и будет равно вероятности того, что случайно
выбранная в магазине лампочка окажется дефектной.

 Ответ: 0,026.

12. За круг­лый стол на 5 сту­льев
в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 3 маль­чи­ка и 2 де­воч­ки. Най­ди­те
ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

Решение.

«Фиксируем» одну из девочек
на одном из стульев. Благоприятной ситуацией для нас будет посадка второй
девочки на один из двух стульев, стоящих рядом со стулом, занятым первой
девочкой. Всего свободных стульев для второй девочки – 4.Итак, ве­ро­ят­ность
того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом есть ,
то есть 0,5.

Ответ: 0,5 

13. В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате
закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах,
равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих
автоматах.

Решение.

А = {кофе закончится в первом
автомате}

В = {кофе закончится во втором
автомате}

С = A
U B
= {кофе закончится хотя бы в одном автомате}

По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2,  
Р(А ∩ В) = 0,16

По смыслу задачи события А и В
являются

совместными. Имеем:

Р(С) = Р(A U B) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В) =

= 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.

Р( A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.

Ответ: 0,76

14.В
магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 30%.
Найдите вероятность того, что в случайный момент все три продавца заняты
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга)

Решение.

Р = Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С)=
0,3+0,3+0,3=0,9

Ответ.0,9.

15.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.   60% яиц из
первого хозяйства – яйца высшей категории, а во втором хозяйстве – 30% яиц
высшей категории. Всего высшей категории получается 54% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из второго
хозяйства. Решение.

Составим
уравнение:     0,6·(1-х) + 0,3·х = 0,54

                                        
0,6-0,6х+0,3х=0,54

                                        
-0,3х= -0,06

                                           
х=0,2

Ответ: 0,2

16.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и
перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла,
достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

Решение.

На циферблате между шестью  и
девятью часами   располагаются три часовых деления.

Всего на циферблате 12 часовых
делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25. 

17.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера,
то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них
только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый
попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.

Решение.

Джон хватает пристрелянный
револьвер (вероятность этого 0,4) и промахивается
(вероятность 1-0.9=0,1). Вероятность этого события  0,4*0,1=0,04

Джон хватает непристрелянный
револьвер (вероятность этого 0,6) и промахивается
(вероятность  1-0,3=0,7). Вероятность этого события  0,6*0,7=0,42

Искомая вероятность есть:

0,04+0,42=0,46

Ответ: 0,46.

18.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода,
установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с
вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода
в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной
стране будет отличная погода.

Решение.

Возможны
следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):

А)
ХХХХ                E) ХООХ              

В)
ХОХХ               F) ХХОО

С)
ХХОХ               J) ХООО              

D)
ХХХО              H) ХОХО

 («X»
– «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Интересующие
нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.

Событие
D: XХXO произойдет с вероятностью 0,8*0,8*0,2=0,128

Событие
F: ХХОО произойдет с вероятностью 0,8*0,2*0,8=0,128

Событие
J: ХOОО произойдет с вероятностью 0,2*0,8*0,8=0,128

Событие
H: ХОXО произойдет с вероятностью 0,2*0,2*0,2=0,008

Тогда вероятность
того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть 
3*0,128+0,08=0.392

Ответ: 0,392.

19. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская
си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма
де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель
не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом
вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов
по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не
менее 0,98?

Решение. Переформулируем вопрос
задачи:

Сколько выстрелов потребуется для
того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 0,02?

При одном  выстреле
вероятность промаха  – 0,6.

При двух выстрелах вероятность
промаха –0,6*0,4=0,24 (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность
промаха –0,6*0,4*0,4=0,096 

При четырех выстрелах вероятность
промаха –0,6*0,4*0,4*0,4=0,0384 

При пяти выстрелах вероятность
промаха –0,6*0,4*0,4*0,4*0,4=0,01536

Замечаем, что .
0,01536<0,02

Итак, пяти выстрелов достаточно,
чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98.

Ответ: 5.

20.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ
выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У
больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью
0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный
положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с
подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность
того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен
гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение.

Пусть р –
вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно
болен гепатитом.

Тогда (1-р) – вероятность
того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Так как по условию
задачи  у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает
положительный результат,  то    Р*0,9+(1-р)*0,01=0,06

                              0,9р-0,01р=0,05

                               0,89р=0,05    

Ответ: 0,056.

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

Задачи про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач — использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже.

Два стрелка

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго — 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию p1=0,6p1=0,6, p2=0,7p2=0,7, значит q1=1−p1=0,4q1=1−p1=0,4, q2=1−p2=0,3q2=1−p2=0,3. Получаем:

P=p1⋅q2+q1⋅p2=0,6⋅0,3+0,4⋅0,7=0,46.P=p1⋅q2+q1⋅p2=0,6⋅0,3+0,4⋅0,7=0,46.

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи p1=0,7p1=0,7, p2=0,8p2=0,8 и сразу получим ответ:

P=p1⋅p2=0,7⋅0,8=0,56.P=p1⋅p2=0,7⋅0,8=0,56.

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу «хотя бы один…» мы помимо основного события: QQ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие Q¯¯¯¯Q¯ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше:

P(Q¯¯¯¯)=q1⋅q2=(1−0,3)⋅(1−0,4)=0,7⋅0,6=0,42.P(Q¯)=q1⋅q2=(1−0,3)⋅(1−0,4)=0,7⋅0,6=0,42.

Вероятность нужного нам события тогда равна:

P(Q)=1−P(Q¯¯¯¯)=1−0,42=0,58.P(Q)=1−P(Q¯)=1−0,42=0,58.

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны p1p1, p2p2 и p3p3, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача — вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи:

p1=0,2,p2=0,3,p3=0,4,q1=0,8,q2=0,7,q3=0,6p1=0,2,p2=0,3,p3=0,4,q1=0,8,q2=0,7,q3=0,6

Получаем:

P1=p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3==0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6+0,8⋅0,7⋅0,4=0,452.P1=p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3==0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6+0,8⋅0,7⋅0,4=0,452.

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи:

p1=0,8,p2=0,7,p3=0,5,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,5p1=0,8,p2=0,7,p3=0,5,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,5

Получаем:

P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0,8⋅0,7⋅0,5+0,8⋅0,3⋅0,5+0,2⋅0,7⋅0,5=0,47.P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0,8⋅0,7⋅0,5+0,8⋅0,3⋅0,5+0,2⋅0,7⋅0,5=0,47.

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события AA= (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие A¯¯¯¯A¯ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения:

p1=0,8,p2=0,7,p3=0,9,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,1p1=0,8,p2=0,7,p3=0,9,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,1

Получаем:

P(A¯¯¯¯)=P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,1=0,006.P(A¯)=P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,1=0,006.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−0,006=0,994.P(A)=1−P(A¯)=1−0,006=0,994.

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением.

Пример 7. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события AA = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие A¯¯¯¯A¯ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель какp=0,7p=0,7 (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как q=1−p=0,3q=1−p=0,3, то вероятность всех пяти промахов будет

P(A¯¯¯¯)=q5=0,35.P(A¯)=q5=0,35.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−0,35=0,998.P(A)=1−P(A¯)=1−0,35=0,998.

Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как p1p1 и p2p2, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений:

P2=p1⋅p2=0,42;P0=(1−p1)⋅(1−p2)=0,12.P2=p1⋅p2=0,42;P0=(1−p1)⋅(1−p2)=0,12.

Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: p1=0,6p1=0,6 и p2=0,7p2=0,7 (или наоборот, p1=0,7p1=0,7 и p2=0,6p2=0,6).

Пример 9. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как pp (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как q=1−pq=1−p, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна q4q4, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах — 1−q41−q4. Получаем уравнение:

1−q4=0,9984;q4=0,0016;q=0,2;p=1−q=0,8.1−q4=0,9984;q4=0,0016;q=0,2;p=1−q=0,8.

Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 10. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него p1=0,8p1=0,8), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него p2=0,7p2=0,7). По правилу умножения вероятностей

P=p1⋅p1⋅p2⋅p2=0,8⋅0,8⋅0,7⋅0,7=0,3136.

Решение:

     Вероятность попадания отдельного выстрела: 0,6
     Вероятность промаха отдельного выстрела: 1 – 0,6 = 0,4

     На каждую мишень у стрелка два выстрела. Отсюда следует, что стрелок или не поразит мишень или поразит мишень с 1-го выстрела или поразит со 2-го выстрела. Вероятность, что он поразит мишень:

     с 1-го выстрела: попадание = 0,6
     со 2-го выстрела: промах попадание = 0,4·0,6 = 0,24
     с 1-го или 2-го выстрела: 0,6 + 0,24 = 0,84

     Вероятность не поразить мишень с двух выстрелов:

1 – 0,84 = 0,16

     А – событие «стрелок поразит ровно три мишени».
Пусть стрелок первые три мишени поразит, а в последние две промахнется. Вероятность этого события равна:

0,84·0,84·0,84·0,16·0,16 = 0,84³·0,16²

     Стрелок попадает в мишень и промахиваться по мишени в случайном порядке, главное, что три раза попал. Всего число таких комбинаций вариантов «попал в 3 мишени и в 2 промахнулся» равно C_{5}^{3} – число способов выбрать из пяти элементов три, (число сочетаний из 5 по 3).

C_{n}^{k}=frac{n!}{k!cdot (n-k)!}\C_{5}^{3}=frac{5!}{3!cdot (5-3)!}=frac{5!}{3!cdot 2!}=frac{4cdot 5}{2cdot 1}=2cdot 5=10

     Найдём вероятность события А:

Р(А) = 10·0,84³·0,16²

     Аналогично находим вероятность В – событие «стрелок поразит ровно две мишени»:

C_{5}^{2}=frac{5!}{2!cdot (5-2)!}=frac{5!}{2!cdot 3!}=frac{4cdot 5}{2cdot 1}=2cdot 5=10
Р(В) = 10·0,84²·0,16³

     Найдём во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени»:

frac{P(A)}{P(B)}=frac{10·0,84^{3}·0,16^{2}}{10·0,84^{2}·0,16^{3}}=frac{0,84}{0,16}=5,25

Ответ: 5,25.

11 октября 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Пять вероятностных задач

Решение непростых задач по теории вероятностей.

1) Симметричную монету бросают 16 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 8 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 7 орлов»?

2) Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

3) В викторине участвуют 5 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых двух играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?

4) Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует 10 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

5) Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 20/23 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 — р на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен —1?

Источник: vk.com/egeatom