Задачи экономического содержания в егэ по математике с решениями

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥ 

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2.      Приведём к общему знаменателю.  Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на 

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Всего: 71    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 71    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Баланов А.Б.

_______________________________________________________________________________________

Методическая разработка для учащихся 10-11
классов и учителей математики общеобразовательных школ

_______________________________________________________________________________________

Решение
«экономических» задач при подготовке к ЕГЭ

2018

Введение

В экзаменационных заданиях по математике (профильный уровень) задача с экономическим
содержанием присутствует во 2 части работы и, как правило, содержится под №17.
Она относится к повышенному уровню сложности и оценивается максимально в 3
балла.

Для успешного решения подобных задач требуется не только владеть
определенным математическим инструментарием, но и уметь строить простейшие
математические модели по заданным условиям.

В отличие от других экзаменационных заданий, «экономические» задачи не
отличаются большим разнообразием и встречаются лишь нескольких типов. В данной
методической разработке разобраны все типы задач №17, которые предлагаются
разработчиками ЕГЭ для подготовки к выпускным экзаменам в 2018 году.

Кроме того, для понимания учащимися требований оформления
экзаменационных работ в разработке размещено решение 17-ой задачи,
предоставленное автором на независимой диагностике учителей математики в 2018
году.

Оглавление

Введение

Отзывы

Языком цифр

1.    Типы задач с
экономическим содержанием

2. Кредиты

2.1 Погашение кредита
равными долями

2.2 Равномерное
уменьшение долга по сравнению с предыдущим периодом

2.3 Остаток долга по
заданной таблице

3. Вклады

3.1 Сравнение выгоды

3.2 Изменяющиеся
проценты

4. Задачи на
оптимальный выбор

4.1 Производительность

4.2 Окупаемость

5. Пример оформления 17
задачи на экзаменационном бланке

6.    Ответы

7.    Список используемой
литературы

Отзывы

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации
производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ
по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у
абсолютного большинства выпускников. В действующих в 10-11 классах учебниках
нет материала по решению задач с экономическим содержанием. Автор делает весьма
удачную попытку классифицировать и систематизировать типы «экономических» задач
и методы их решения. Хорошо, что в разработке по каждой теме представлены
задания для самостоятельного решения. Данная методическая разработка очень
своевременна и полезна и для учащихся, и для учителей, занимающихся подготовкой
к ЕГЭ.

Бугаенко Елена
Анатольевна, учитель математики высшей категории

Мы, инженеры,
сегодня не просто что-то разрабатываем, налаживаем, ремонтируем, но и постоянно
просчитываем экономическую составляющую. Что выгоднее – починить или заменить,
предложить новую модель или модернизировать старую, научить клиента обслуживать
оборудование или взять на себя. Я считаю, что задачи на оптимальный выбор нужно
начинать решать уже в школе. В конце концов, и в профессии, и в жизни сделать
правильный выбор – очень важно!

Белов Александр Ефимович,

Ведущий инженер компании «Данфосс» (Дания)

В своей работе я
часто сталкиваюсь с графиками, диаграммами, процентами. И мне кажется странным,
что выпускники школ не владеют элементарными навыками для вычисления, например,
полной суммы выплат кредита или налогов с зарплаты. На мой взгляд,
представленная работа вносит свой вклад в разрешение проблемы, и автор
правильно заострил внимание именно на экономической стороне стоящих задач.

Зацепин Валентин Сергеевич,

Менеджер по маркетингу и рекламе ИТ-компании «Терн»

В современной жизни важны не только знания математических
формул, но и умения сотрудников применять эти знания в конкретной ситуации.
Даже скажу больше: на первом месте именно умения, а не теоретические познания.
Поэтому я считаю правильным делом разработку именно тех материалов, которые
помогают выпускникам успешно влиться во взрослую жизнь. 

Коротков Александр Андреевич,

Директор строительной компании
«Афина» 

ПАО «Сбербанк»,
где я работаю, раздает в качестве кредита около 2 триллионов рублей в год. Я
вижу этот процесс изнутри, общаясь каждый день с десятком клиентов. Уверяю,
что, понимая механику работы кредитной системы, никто из вас не примет
невыгодного решения. Естественно, Ваша кредитная история будет привлекательной
для любого банка. Но начинать думать над этим нужно уже в школе – такова
современная жизнь!

Орлов Георгий Валерьевич,

Менеджер отдела кредитования ПАО
«Сбербанк»

Языком цифр

Задание 17, в основном, в 2017 году представляло задачу на
кредиты. Процент решаемости оказался в пределах статистики для решения подобных
заданий (1 балл получило 5,35% от общего числа участников экзамена, 2 балла –
5,35%, 3 балла – 17,16%).

Основные ошибки,
допущенные участниками экзамена:

– неверное
составление модели;

– вычислительные
(арифметические);

– прекращение решения
на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;

– решение методом
перебора без обоснования единственности;

– решение без вывода
формул (решение имеет вид «формула – ответ»), что можно трактовать ка неумение
строить математическую модель.

Распределение
удовлетворенных апелляций по задачам с развернутым ответом:

Как видно из
диаграммы, каждая четвертая задача № 17 после апелляции засчитывалась. И хотя,
я считаю, что до апелляции доводить не стоит, хочется верить, что так или иначе
вы свои баллы с помощью этой книжки наберете!

1.  Типы задач с экономическим содержанием

2. Кредиты

2.1 Погашение кредита равными долями

Задача 1

31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10%
годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на
10%), затем Сергей переводит в банк x рублей.
Какой должна быть сумма x, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными
платежами (то есть за три года)?

Решение

1 января 2018
года Сергей будет должен банку не только 2648000 руб., но и 10% от этой суммы,
т.е. 2648000 + 0,1*2648000 = 1,1*2648000 руб. Затем Сергей выплачивает х руб. и
остается должен (1,1*2648000 – х) руб.

1 января 2019
года Сергей будет должен банку оставшуюся сумму плюс проценты на нее, то есть
(1,1*2648000 – х) + 0,1*(1,1*2648000 – х) = 1,1*(1,1*2648000 – х). Затем
выплачивается снова сумма в х руб., и остаток долга будет составлять
(1,1*(1,1*2648000 – х) – х) руб.

Наконец, 1 января
2020 года банк еще раз начисляет проценты на остаток долга, в результате чего
Сергей должен (1,1*(1,1*2648000–х)–х)+0,1*(1,1*(1,1*2648000–х)–х)=1,1*(1,1*(1,1*2648000
– х)-х) руб. В течение года Сергей в последний раз выплачивает х руб., после
чего кредит считается погашенным (то есть остаток долга равен 0).

Приведенные
рассуждения удобно представить в виде таблицы ДОЛГ-ВЫПЛАТА-ОСТАТОК

	1 год (2018)	2 год (2019)	3 год (2020)
ДОЛГ	1,1*2648000	1,1*(1,1*2648000 – х)	1,1*(1,1*(1,1*2648000 –х) – х)
ВЫПЛАТА	х	х	х
ОСТАТОК долга	1,1*2648000 – х	1,1*(1,1*2648000 –х) — х	0

В приведенной
таблице ОСТАТОК = ДОЛГ ­­- ВЫПЛАТА. Из данных правого столбца составим
уравнение: 1,1*(1,1*(1,1*2648000 –х) – х) – х = 0

1,1* (1,1*1,1*2648000
– 1,1х – х) – х = 0

1,1*1,1*1,1*2648000
– 1,21х – 1,1х – х = 0

1,331*2648000
= 3,31х

Х=1064800

Ответ: 1064800 руб.

Задача 2

В сентябре Федор взял
кредит в 1,5 млн. руб. По условиям договора:

— каждый январь долг
возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по август
каждого года Федор выплачивает часть долга.

На какое минимальное
количество лет может взять кредит Федор, чтобы не выплачивать более 450 тыс.
руб. в год?

Решение

В явном виде нам не указано, что гасить кредит
нужно равными долями, однако, это тот же тип задачи. Во-первых, логично, что
чем больше мы выплачиваем, тем быстрее погасим кредит, а, во-вторых, у нас есть
верхнее ограничение по сумме выплат – 450 тыс. руб. Значит, будем выплачивать
по максимуму в 0,45 млн., чтобы расплатиться как можно быстрее.

Составим таблицу, как в предыдущей задаче (для
удобства все суммы будем считать в млн. руб.):

	1 год	2 год	3 год
ДОЛГ на январь	1,1*1,5	1,1*(1,1*1,5 – 0,45)=1,12 — 0,45*1,1	1,1*(1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45)=1,13*1,5 ­­- 0,45*1,12 — 0,45*1,1
ВЫПЛАТА с февраля по август	0,45	0,45	0,45
ОСТАТОК долга	1,1*1,5– 0,45	1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45 = 1,12 — 0,45*1,1 – 0,45	1,1*(1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45)=1,13*1,5 ­­- 0,45*1,12 — 0,45*1,1 – 0,45
	4 год	(n-1) год	n год
ДОЛГ на январь	1,1*(1,1*(1,1*(1,1*1,5 –0,45) – 0,45) – 0,45) = 1,14*1,5 – 0,45*1,13 — 0,45*1,12 – 0,45*1,1	1,1n-1*1,5 – 0,45*1,1n-2 — 0,45*1,12 – 0,45*1,1	1,1n*1,5 – 0,45*1,1n-1 — 0,45*1,12 – 0,45*1,1
ВЫПЛАТА с февраля по август	0,45	0,45	0,45
ОСТАТОК долга	1,1*(1,1*(1,1*(1,1*1,5 –0,45) – 0,45) – о,45) -0,45 = 1,14*1,5 – 0,45*1,13 — 0,45*1,12 – 0,45*1,1 – 0,45	1,1n-1*1,5 – 0,45*1,1n-2 — 0,45*1,12 – 0,45*1,1 – 0,45	0

После n лет
Федор расплатится по кредиту, то есть его остаток долга будет равен 0 (при решении может получиться и
отрицательное число, это означает, что в последний год Федору необязательно
выплачивать 450 тыс. руб., а достаточно меньшей суммы). Из данных правого столбца для n-го года составим
уравнение:

1,1ⁿ*1,5 – 0,45*1,1^n-1 — 0,45*1,1² –
0,45*1,1 – 0,45 = 0

1,1ⁿ*1,5 – 0,45*(1+1,1+1,1²+….+1,1^n-1)=0

Выражение в скобках – это сумма n членов геометрической
прогрессии с первым членом b₁=1 и последним членом b_n=b₁*q^n-1. Применяя
формулу для вычисления суммы n членов геометрической прогрессии, получим:

1,1ⁿ*1,5 – 0,45*(1,1ⁿ-1)/(1,1-1)=0

1,1ⁿ*1,5 – 4,5*1,1ⁿ +4,5=0

1,1ⁿ = 1,5

4<n<5

Значит, Федор погасит
кредит за 5 лет.

Ответ: 5.

Иногда
подобные задачи можно решить, не выводя формулу для n лет.
Достаточно последовательно посчитать остаток долга в цифрах – после 1 года, 2
года и т.д. Как только остаток долга станет 0 или отрицательным, значит,
искомый год найден.

В нашей задачe
получим:

·        
после 1 года: 1,1*1,5 –
0,45 = 1,2

·        
после 2 года 1,1*1,2 –
0,45 = 0,87

·        
после 3 года 1,1*0,87 –
0,45 = 0,507

·        
после 4 года 1,1*0,507 –
0,45= 0,1077

·        
после 5 года 1,1*0,1077 –
0,45 = -0,33153

Получив отрицательное
число, делаем вывод, что на 5 году кредит будет полностью выплачен.

Ознакомьтесь с
оформлением подобной задачи в разделе 5.

Задачи для
самостоятельной работы

2.1.1	31 декабря 2017 года Пал Палыч взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. По условиям договора: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Пал Палыч переводит в банк 2928200 рублей. Сколько взял Пал Палыч в банке, если смог выплатить долг четырьмя равными платежами?
2.1.2	Федора не смутила история с первым кредитом, и он берет в банке 2 млн. руб. под 5% годовых.  Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет должен взять кредит Федор, чтобы не выплачивать более 350 тыс.руб. ежегодно?

2.2 Равномерное уменьшение долга по
сравнению с предыдущим периодом

Для данного типа задач существует характерная
особенность – при заполнении таблицы мы отталкиваемся от графы «Остаток долга».
Поскольку остатки долга за каждый период отличаются друг от друга на равную величину,
чтобы найти эту величину достаточно поделить сумму долга на количество таких
периодов. Например, если сумма кредита составляет 10 млн руб., а количество лет
равно 4, то остатки будут отличаться на 10млн/4 = 2,5 млн. руб., а графа
«Остаток долга примет» вид:

В конце 1 года	В конце 2 года	В конце 3 года	В конце 4 года
7,5 млн.	5 млн.	2,5 млн.	0 млн.

Замечу, что при неизвестной сумме кредита и
неизвестном количестве периодов графу «Остаток» можно заполнить
последовательностью чисел:

S*(n-1)/n, S*(n-2)/n,…..,S*2/n, S/n, 0.

Задача 1

В январе планируется
взять кредит на 5 месяцев. Условия по договору следующие:

— 1-го числа каждого
месяца долг возрастает на 15% по сравнению с
концом предыдущего месяца;

— со 2–го по 14-е
число нужно выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого
месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего
месяца. Сколько процентов от суммы кредита составит общая сумма выплат за весь
срок?

Решение

Пусть S – сумма
кредита. Тогда остатки долга будут отличаться на S/5 руб. Заполним таблицу
(сначала графу «Остаток», затем графу «Долг» и только потом «Выплату» как их
разность):

	1 месяц	2 месяц	3 месяц	4 месяц	5 месяц
ДОЛГ	1,15*S	1,15*4S/5	1,15*3S/5	1,15*2S/5	1,15*S/5
ВЫПЛАТА	1,15*S — 4S/5	1,15*4S/5 — 3S/5	1,15*3S/5 — 2S/5	1,15*2S/5 — S/5	1,15*S/5
ОСТАТОК	4S/5	3S/5	2S/5	S/5	0

Общая сумма выплат (суммируем выплаты 1-5 месяцев): 1,15*S — 4S/5 + 1,15*4S/5 — 3S/5 + 1,15*3S/5 — 2S/5 + 1,15*2S/5 — S/5 + 1,15*S/5 = 1,15*S(1+4/5+3/5+2/5+1/5) – S/5*(4+3+2+1) = 3,45S – 2S = 1,45S. Это означает, что
сумма выплат составляет 145% от суммы кредита.

Ответ: 145

Задача 2

Взят кредит на 18
месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого
месяца долг возрастает на 2% по сравнению с
концом предыдущего месяца;

— со 2–го по 14-е
число нужно выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого
месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число
предыдущего месяца. Какую сумму планируется взять в кредит, если известно, что
за первые 9 месяцев нужно выплатить 2048 тыс. руб.?

Решение

Пусть S – сумма
кредита. Тогда остатки долга будут отличаться на S/18 руб. Заполним
таблицу на первые 9 месяцев:

	1 месяц	2 месяц	3 месяц	…	8 месяц	9 месяц
ДОЛГ	1,02*S	1,02*17S/18	1,02*16S/18	1,02*11S/18	1,02*10S/18
ВЫПЛАТА	1,02*S — 17S/18	1,02*17S/18 — 16S/18	1,02*16S/18 — 15S/18	1,02*11S/18 — 10S/18	1,02*10S/18 — 9S/18
ОСТАТОК	17S/18	16S/18	15S/18	10S/18	9S/18

В общем виде, для
каждого месяца ДОЛГ = 1,02*S*(19-n)/18,
ОСТАТОК = (18-n)*S/18, а ВЫПЛАТА = 1,02*S*(19-n)/18
— (18-n)*S/18, где n – номер месяца.

Просуммируем выплаты
за 9 месяцев и приравняем к данной в условии величине:

(1,02*S
— 17S/18) + (1,02*17S/18 — 16S/18) + (1,02*16S/18 — 15S/18) +…+ (1,02*11S/18 — 10S/18) + (1,02*10S/18 — 9S/18) = 2048

Сгруппируем отдельно
подчеркнутые и неподчеркнутые слагаемые:

(1,02*18S/18  + 1,02*17S/18 + 1,02*16S/18 +…
+ 1,02*11S/18 + 1,02*10S/18) – (17S/18 + 16S/18
+ 15S/18 + … +10S/18 + 9S/18) = 2048

1,02*S/18*(18
+17 + … + 10) – S/18*(17 + 16 + … + 9)=1024

Первая скобка – сумма
первых 9 членов арифметической прогрессии при a1=10, a9=18.

Вторая скобка – тоже
сумма первых 9 членов арифметической прогрессии при a1=9, a9=17.

Применяя формулу
для суммы n членов арифметической прогрессии, получим:

(1,02*S*14*9 –
S*13*9)/18 = 2048

S=3200 (тыс. руб.)

В ответе, если
условие задачи не требует иного, значения лучше указывать в единицах СИ.

Ответ: 3 200 000
руб.

Задача 3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн.
рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: 1)
каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; 2)
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; 3) в июле
каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль
предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что
общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн. рублей?

Решение

Эту задачу можно
решить, как ранее, с помощью таблицы ДОЛГ-ВЫПЛАТА-ОСТАТОК, но есть и
альтернативный вариант. По моему мнению, он проще для тех, кто хорошо понимает
арифметические прогрессии.

Обозначим сумму
кредита за а₀ (это наши 7 млн. руб.) и а₁, а₂…
а_n – остатки после 1-го, 2-го, …n-го
года. Выплаты же обозначим через х₁, х₂, … x_n.

Тогда:

а₁ = 1,2* а₀
— х₁

а₂ = 1,2* а₁
– х₂

а₃ = 1,2* а₂
– х₃

…

a_n = 1,2* а_n-1 – х_n

Просуммируем
уравнения в системе:

а₁ + …. + a_n = 1,2*а₀ + 1,2*(а₁ +… + а_n-1) – (х₁ +…+
х_n)

Сумма х₁ +…+
х_n =
17,5 по условию задачи, a_n = 0, так как это — остаток долга в последний
год. Числа а₁, а₂… а_n – члены арифметической прогрессии (по условию
разность между соседними остатками одинакова).

В левой части
уравнения получим S_n= (а₁+ a_n)*n/2

В правой части в
скобку (а₁ +… + а_n-1) добавим a_n. От этого ничего не изменится, так a_n = 0, но скобка превратится в S_n.

S_n = 1,2*7 + 1,2* S_n – 17,5

S_n = 45,5

Значит, 45,5 = (а₁+
a_n)*n/2 => а₁=91/n

a_n = 0 = а₀ + n*d => d=-7/n

С другой стороны, а₁
= a₀
+ d = 7 + d = 7 + (-7/n)

Следовательно,
справедливо равенство: 91/n = 7 — 7/n

n=14 (лет)

Ответ: 14

Задачи для
самостоятельной работы:

2.2.1	Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
2.2.2	Александр взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Александром. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Александром банку (сверх кредита)?
2.2.3	15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы: — 1-го числа каждого месяца долго возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?

2.3 Остаток долга
по заданной таблице

Задача 1

В июле 2018 года
планируется взять кредит в банке на 4 года в размере S млн
рублей, где S — целое число. Условия его возврата
таковы:

— каждый январь долг
увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь
каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года
долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей: 

Месяц и год	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021	Июль 2022
Долг (в млн рублей)	0,8S	0,5S	0,1S	0

При каком наибольшем S
общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей?

Решение

	1 год	2 год	3 год	год
ДОЛГ	1,15*S	1,15*0,8S	1,15*0,5S	1,15*0,1S
ВЫПЛАТА	1,15*S — 0,8S	1,15*0,8S — 0,5S	1,15*0,5S — 0,1S	1,15*0,1S
ОСТАТОК	0,8S	0,5S	0,1S	0

Найдем общую сумму
выплат и сравним ее с 50 млн. руб.

(1,15*S — 0,8S) + (1,15*0,8S — 0,5S)
+ (1,15*0,5S — 0,1S) + (1,15*0,1S) < 50

1,36S <
50

S < 36,76

Так как по условию
задачи S – целое число, то выбираем ближайшее.

Ответ: 36

Задача 2

15 января
планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его
возврата таковы:

− 1-го числа
месяца долг увеличивается на r % по
сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число.

− Со 2-го
по 14-е число необходимо выплатить часть долга.

− 15-го
числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с
таблицей: 

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль
Долг	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите
наибольшее r, при котором сумма выплат будет
меньше 1,2 млн руб.

Решение

Переведем r из
процентов в десятичную дробь: r/100. Тогда долг на начало февраля будет
считаться как (1 +r/100)*1млн. = (1 +r/100), долг на начало марта (1 +r/100)*0,6
млн = 0,6*(1+r/100) и т.д.

После чего, как обычно,
заполним графу ВЫПЛАТА = ДОЛГ — ОСТАТОК

	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль
ДОЛГ	(1 +r/100)	0,6*(1+r/100)	0,4*(1+r/100)	0,3*(1+r/100)	0,2*(1+r/100)	01*(1+r/100)
ВЫПЛАТА	(1 +r/100) — 0,6	0,6*(1+r/100) — 0,4	0,4*(1+r/100) — 0,3	0,3*(1+r/100) — 0,2	0,2*(1+r/100) — 0,1	01*(1+r/100)
ОСТАТОК	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Осталось сложить все
суммы выплат и сравнить с 1,2 млн.

(1 +r/100) — 0,6
+ 0,6*(1+r/100) — 0,4
+ 0,4*(1+r/100)
— 0,3 + 0,3*(1+r/100) — 0,2
+ 0,2*(1+r/100) — 0,1
+ 01*(1+r/100) < 1,2

Сгруппируем отдельно
подчеркнутые и неподчеркнутые слагаемые.

(1+r/100)*(1
+ 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 +0,1) — (0,6+0,4+0,3+0,2+0,1) < 1,2

(1+r/100) <
(1,2 + 1,6)/2,6

r/100 < 0, 077

r < 7,7

По условию задачи r –
целое число. Следовательно, r=7.

Ответ: 7

Задачи для
самостоятельной работы

2.3.1

16 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. руб. По условиям договора: − 1-го числа месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число. − Со 2-го по 15-е число необходимо выплатить часть долга. − 16-го числа каждого месяца долг должен составлять сумму в соответствии с таблицей:  Месяц Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Долг 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0  Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. руб.

3. Вклады

3.1 Сравнение выгоды

В задачах этого типа
нужно представить себе весь процесс, «вжиться» в ситуацию и понять на каком
этапе один вариант начинает перевешивать другой.

Задача 1

В начале 2018 года Юрий приобрел ценную
бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена
бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может
продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом
случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий
должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его
банковском счете была наибольшей?

Решение

У Юрия альтернатива:
либо получать ежегодно по 3000 руб., либо попытаться превысить это доход за
счет процентов, начисляемых банком. Может оказаться, что в определенный момент
проценты на вклад будут больше дохода в 3000 руб., но возможен и вариант, что
стабильный доход в 3000 руб. будет выгоднее в течение указанного в условии
промежутка времени.

Пусть через N лет
после покупки ценной бумаги Юрий решается ее продать. К тому времени стоимость
бумаги будет составлять 19000 + N*3000 руб.

Сколько Юрий
заработает на процентах на следующий год? 0,1*(19000 +N*3000).

Вот эту величину и
нужно сравнить с 3000 руб., которые Юрий рискнул потерять.

0,1*(19000 + N*3000)
> 3000

N > (30000 – 19000)/3000

N > 3,3

Так как N – целое
число, то Юрию будет достаточно 4 года.

Ответ: 4

Задача 2

Компания «Омега»
работает с двумя банками под разные проценты годовых. В начале года она положила
60% прибыли в банк «Альфа», а оставшуюся часть —  в банк «Бета». К концу 1 года
сумма этих вкладов достигла 590 тыс. руб., а к концу 2-го года — 701 тыс. руб.
Если бы компания первоначально положила 60% своей прибыли в банк «Бета», а
оставшуюся часть в банк «Альфа», то по окончании 1-го года сумма вкладов стала
бы равной 610 тыс.  руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу
2-го года?

Решение

Пусть S – сумма
прибыли, которой распоряжается компания. Тогда в банк «Альфа» она положила 0,6S, а в
банк «Бета» — 0,4S. Во втором случае деньги бы распределились 0,4S и
0,6S соответственно. Пусть x – проценты банка
«Альфа», а y – проценты банка «Бета».

Тогда получим
систему уравнений:

(1)  0,6*Sx +
0,4*Sy = 590

(2)  0,6*Sx² + 0,4*Sy² = 701

(3)  0,4*Sx +
0,6*Sy = 610

Получили систему из
трех уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, система решаема. Как именно
решать – дело вкуса, приведу вариант, который мне кажется менее трудозатратным.

Алгоритм:

1.   
Складываем (1) и (3): Sx + Sy = 1200

2.   
Выражаем Sx через Sy: Sx = 1200 – Sy и подставляем в (1): 0,6*(1200 — Sy) +
0,4Sy = 590

3.   
Находим Sy = 650. Соответственно, Sx = 1200 –
650 =550

4.   
(2) представляем в виде 0,6*x*Sx +
0,4*y*Sy = 701 и подставляем найденные Sx и Sy. В итоге получим y
= 13x/11

5.   
Теперь y, Sx и Sy ставим в (1). Получаем 0,6*550*x
+0,4*650*y = 701. Находим x=1,1, y=1,3

Интересующая нас
сумма вкладов к концу 2 года при альтернативном выборе 0,4Sx²
+ 0,6Sy². Подставив все найденные значения, получим
749 (тыс. руб.).

Ответ: 749000

Задачи для самостоятельной
работы

3.1.1

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

3.1.2

В начале года Алексей 5/6 всех своих денег положил в банк А, а 1/6 — в банк Б. К концу 1-го года сумма вкладов стала равна 670 тыс. руб., к концу 2-го – 749 тыс. руб. Если бы Алексей 5/6 суммы положил в банк Б, а 1/6 — банк А, то по окончании 1-го года сумма составила бы 710 тыс. руб. Какова была бы в этом случае сумма вкладов по окончании 2-го года?

3.2 Изменяющиеся
проценты

Задача 1

В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую
сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег,
а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков
должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была
максимальной?

Решение

Рассмотрим, что
происходит с суммой вклада S:

·        
1 января 2017 года банк
начислил х% за год хранения и сумма на вкладе стала S*(1 + x/100)

·        
Предприниматель снял 1/5
первоначальных денег, то есть осталось: S*(1 + x/100) – 1/5S

·        
1 января 2018 года банк
начислил у% за год хранения: (S*(1 + x/100) -1/5S)*( 1 + у/100)

Подставим у=30-х и после
упрощения получим: S*(4/5 + х/100)*(130-х)/100 = S*(80+х)(130-х)/50000

Данное выражение
является квадратной функцией от переменной х. Возьмем производную, приравняем
ее к нулю и найдем точку максимума: -2х+50=0 => X=25

Ответ: 25%

Задачи для
самостоятельной работы

3.2.1

Каждый год процент на вклад «Эффективный» увеличивается на 1%. При этом начальный процент составляет 5%, а максимальный процент — 12% и выше подняться не может. Максим положил в банк 1 млн. руб. с целью увеличить сумму до 1,5 млн. руб. Сколько лет потребуется Максиму?

4. Задачи на оптимальный выбор

4.1 Производительность

Задача 1

У фермера есть два
одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и
кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам.
Урожайность картофеля на 1 поле составляет 400 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га.
Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 300 ц/га, а на 2 поле – 400 ц/га. Картофель
фермер продает по 5000 руб./ц, а кукурузу – по 6000 руб./ц. Какой максимальный
доход может получить фермер?

Решение

Доход находится в
прямой пропорциональной зависимости от площади, урожайности и цены, то есть Д =
П*У*Ц. Обозначим х и у – площади, отведенные под картофель на 1 и 2 поле
соответственно. Тогда под кукурузу будет отведено (10-х) и (10-у) гектаров
соответственно. Занесем все данные в таблицы для 1-го и 2-го поля:

1 поле

	Площадь	Урожайность	Цена
Картофель	х	400	5000
Кукуруза	10-х	300	6000

Доход с
первого поля будет равен сумме доходов от продажи картофеля и кукурузы, то есть
Д1=400*х*5000 + (10-х)*300*6000

2 поле

	Площадь	Урожайность	Цена
Картофель	у	300	5000
Кукуруза	10-у	400	6000

Доход со
второго поля тоже будет равен сумме доходов
от продажи картофеля и кукурузы, то есть Д2=300*у*5000 + (10-у)*400*6000

Общий доход с двух
полей, таким образом, Д=Д1+Д2=400*х*5000 + (10-х)*300*6000 + 300*у*5000 +
(10-у)*400*6000 = 2*10⁵*х – 9*10⁵*у + 42*10⁶

Очевидно, данное
выражение максимально при наибольшем х и наименьшем у. Следовательно, х=10, у=0
(то есть все 1 поле засеваем картофелем, а 2 поле – кукурузой). Осталось
посчитать доход: Д=2*10⁵*10 + 42*10⁶ =44*10⁶  руб.

Ответ: 44000000 руб.

Задача 2

В Шахтерске и Кузнецке
имеется по 250 рабочих. Они готовы трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В Шахтерске один рабочий добывает за 1 час 0,2 кг алюминия
или 0,1 кг никеля. В Кузнецке для добычи х кг алюминия требуется х²
человеко-часов, а для добычи у кг никеля требуется у²
человеко-часов. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух городах за
сутки, если для промышленности неважно, что использовать – никель или алюминий?

Решение

В Шахтерске с выбором
все просто: поскольку успешнее добывается алюминий, то всех рабочих и
направляем на его добычу. За 5 часов работы 250 рабочих добудут 250*5*0,2=250
кг.

В Кузнецке
зависимость иная: для добычи 1 кг нужен 1 рабочий/час, для 2 кг – 4
рабочих/час, для 3 кг – 9 и т.д. Пусть на добыче алюминия будет работать t человек.
Тогда на добычу никеля выйдут (250-t) человек. За 5 часов работы будет добыто √(5t) + √(5*(250-t).

Введем функцию Z(t)= √(5t) + √(5*(250-t).
Найдем ее производную и приравняем к 0.

Z^’(t)= 5/(2√(5t)) —
5/(2√(5(250-t))) = 0

t=125

Таким образом, в
Кузнецке на никель и алюминий выйдут по 125 человек. Общая добыча в 2 городах
составит: 250 + √(5*125) + √(5*(250-125) = 250+25+25 = 300 кг.

Ответ: 300

Задачи для
самостоятельной работы

4.1.1

У фермера есть два одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам. Урожайность картофеля на 1 поле составляет 200 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га. Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 250 ц/га, а на 2 поле – 200 ц/га. Картофель фермер продает по 1500 руб./ц, а кукурузу – по 1800 руб./ц. Какой максимальный доход может получить фермер?

4.1.2

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте трудятся 100 рабочих по 7 часов в сутки. При этом один рабочий добывает в час 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте трудятся 300 рабочих по 7 часов в день. При этом один рабочий добывает в час 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Весь добытый металл отправляется на переплавку, где производится сплав из соотношения алюминий : никель =2:1. Какое наибольшую массу сплава можно изготовить в сутки?

4.2 Окупаемость

Задача 1

Строительство нового
завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц
продукции
на таком заводе равны (0,5х²+х+9) млн рублей в год.
Если
продукцию завода продать по цене р тыс. рублей
за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х²+х+9).
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в
таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем
значении p строительство
завода окупится не более чем за 5 лет?

Решение

Прибыль за 1 год рх – 0,5(х²+х+9) = -0,5х² +х*(р-1) – 9. Получили
функцию F(х), которая показывает зависимость годовой прибыли от количества
продукции. Чтобы найти наибольшее значение прибыли, возьмем производную: F^’(x)=-x + p – 1, то есть при х=p-1 прибыль
максимальна и равна (p-1)²/2 – 9.

За пять лет прибыль составит
5*((p-1)²/2
– 9). Эта цифра должна быть не менее 115 тыс.руб.

Получим: 5*((p-1)²/2 –
9)≥115

(p-1)²)≥64

Решая квадратное уравнение,
получим 2 корня: р=-7 и р=9. Неравенству удовлетворяют интервалы р≥9 и р≤-7.
Цена может быть только положительной величиной, поэтому оставляем только
интервал р≥9. Очевидно, что минимальная цена р=9.

Ответ: 9

Задачи для
самостоятельной работы

4.2.1

Строительство нового завода стоит 122 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5х2 -2х+10) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х2-2х+10). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?

5. Пример оформления 17 задачи на
экзаменационном бланке

В феврале 2018 года
на Независимой диагностике (ЕГЭ математика, профильный уровень) это оформление
задачи не вызвало нареканий у проверяющих. Соответственно, рекомендую и вам,
уважаемые читатели, придерживаться стиля оформления с таблицей и кратким
пояснением.

Задача

Дмитрий думает, на
сколько лет взять кредит в банке под 20% годовых: на 2 или на 4 года.  Условия
кредита: выплачивать ежегодно равными платежами. Сумма кредита 2013000
руб. Какова будет переплата Дмитрия, если он возьмет кредит на 4 года?

6.  Ответы

Ответы к задачам для самостоятельной работы

2.1.1	9282000
2.1.2	7
2.2.1	822000
2.2.2	60
2.2.3	19
2.3.1	9
3.1.1	8
3.1.2	841
3.2.1	6
4.1.1	9
4.1.2	5400
4.2.1	7

7.  Список используемой литературы

1.   
Под ред. Ященко И.В. «ЕГЭ 2018. Математика. 50 вариантов.
Профильный уровень. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ».

2.   
Материалы
образовательного портала ege.sdamgia.ru

3.    Материалы образовательного портала infourok.ru

4.   
Прокофьев А.А. «Рекомендации по подготовке к
выполнению задания №17 (финансово-экономические задачи) ЕГЭ профильного уровня».

2 декабря 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

В данной работе рассмотрены основные методы решения задач на кредит, вклады и оптимизацию.

Разобраны 8 типов заданий

→ 1 тип: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита. (Аннуитетные платежи) — 3 задачи.
→ 2 тип: Вычисление процентной ставки по кредиту. (Фиксированные платежи) – 3 задачи.
→ 3 тип: Нахождение суммы кредита. (Аннуитетные платежи)- 3 задачи.
→ 4 тип: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша. (Аннуитетные платежи)- 3 задачи.
→ 5 тип: Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи) – 3 задачи.
→ 6 тип: Задачи, связанные с известным остатком. (Фиксированные платежи)- 3 задачи.
→ 7 тип: Задачи, связанные с дифференцированными платежами.- 3 задачи.
→ 8 тип: Нестандартные задачи, связанные с кредитом.- 4 задачи.

50ek.docx

Методичка по решению экономических задач

(задание 17 ЕГЭ)

Составитель: Мокина В.С.,

учитель математики

МАОУ гимназия №83

Тюмень 2021 год

Содержание

l. Задачи на оптимальный выбор.

2. Задачи на кредит с аннуитетным платежом

3. Задачи на дифференцированный платеж 

4. Задачи на нахождение суммы кредита

5. Задачи на нахождение суммы вклада

Все представленные в банке ЕГЭ задачи (задание 17), можно условно разделить на группы и подгруппы:

Задачи, не связанные с банковскими операциями (задачи на оптимизацию)

Банковские задачи на вклады

1) нахождение срока вклада;

2) вычисление процентной ставки по вкладу;

3) нахождение суммы вклада;

4) нахождение ежегодной суммы пополнения вклада

Банковские задачи на кредиты:

1) нахождение количества лет выплаты кредита;

2) вычисление процентной ставки по кредиту;

3) нахождение суммы кредита;

4) нахождение ежегодного транша.

В методичке показаны методы решения задач экономического содержания, связанные с банковскими кредитами, оптимизацией производства товаров и услуг.

Рассмотрим решение задач (задание 17), в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

Величина дохода фермера будет зависеть от того как будет распределена площадь поля между картофелем и свёклой. Пусть х га, засажено картофелем на первом поле, тогда (10 – х) га, засаженных свеклой на первом поле. Полученная прибыль с первого поля, равна:

S(х) = х·500·5000 + (10 – х)·300·8000 = 24000000 + 100000х (руб.)

Функция возрастающая, т.к. к>0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наибольшем значении х = 10 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 24000000 + 100000·10 = 25000000 рублей.

Обозначим через у — количество гектар, засаженных картофелем на втором поле, а (10- у) — количество гектар, засаженных свеклой на втором поле. Прибыль со второго поля составит:

S(у) = 300·5000·у + (10 – у)·500·8000 = 40000000 – 2500000у ( руб.)

Функция убывающая, т.к. к<0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наименьшем значении х = 0 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 40000000 рублей.

Таким образом, максимальная прибыль с обоих полей, равна: S = 25000000 + 40000 = 65000000 рублей, что составляет 65 млн. рублей.

Ответ: 65млн. рублей.

Реши самостоятельно:

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 200 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 15 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 18 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

5) Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение:

Пусть у — число номеров «люкс», а  х — число стандартных номеров и S = 981м2. Тогда должно соблюдаться неравенство: 27х + 45у = 981

Выразим число обычных номеров т.е.

х = 981 – 45у, х = = 36 + = 36 +

Найдем решение этого уравнения подбором, где х, у N

Если у = 2, то х = 33 у = 14, то х = 15

у = 5, то х = 28 у = 17, то х = 8

у = 11, то х =18 у = 20, то х = 3

f(х,у) = 2000х + 4000у.

Очевидно, что максимальная прибыль будет при максимальном числе номеров «люкс», поэтому выбираем у = 20, х = 3.

Тогда в сутки предприниматель получит:

4000·20 + 2000·3 = 80000 + 6000 = 86000 рублей.

Проверим оставшиеся варианты

2·4000 + 33·2000 = 74000 рублей

5·4000 + 28·2000 = 76000 рублей

11·4000 + 18·2000 = 74000 рублей

2·4000 + 33·2000 = 80000 рублей

14·4000 + 15·2000 = 86000 рублей

17·4000 + 8·2000 = 84000 рублей

Ответ: 86000 рублей

Реши самостоятельно:

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 м2. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 м2. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2200 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0), но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Решение:

Обозначим Q(t) = 9000- 2t единиц товара, Q(t)- объем производства. Тогда налоговые сборы составляют S(t) = Q ·t, S(t) = (9000 — 2t)·t = 9000t – 2t2 руб. Рассмотрим функцию S(t) = 9000t – 2t2. Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимального значения эта функция достигает в вершине параболы. t = t = = 2250, 2250 руб. за единицу товара. При t= t0 налоговые сборы составляют 9000t0 – 2t02 руб. При t= 2,5t0 налоговые сборы составляют 9000·2,5t0 – 2·(2,5t0)2 = 22505t0 – 12,5t02 руб. Так как сумма налоговых поступлений не изменилась, то 9000t0 – 2t02 = 22505t0 – 12,5t02 / : t0 0 получим 9000 – 2t0 = 22505 – 12,5t0 , 10,5 t0 = 13500, t0 = 13500: 10,5 = , значит за единицу товара был налог руб., а стал руб. Теперь этот налог надо уменьшить на r%, чтобы налог стал равным 22500 руб. за единицу товара.

Значит государству необходимо на 30% уменьшить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов.

Ответ: уменьшить на 30%

Решить самостоятельно

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0),но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 7000–2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2t единиц и это число положительно?

lll. 1. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале каждого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Используем арифметическую прогрессию, в которой а1=11000 — цена за бумагу в первый год покупки году, d=4000 — увеличение стоимости бумаги, аn — пока еще неизвестный нам год продажи бумаги (по счету от года покупки), n — номер года.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии: an=a1+d(n-1).

Используя ее находим числа, отвечающие за стоимость бумаги на начало n-го года (по счету от года покупки).

Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10% = 0,1 от данной суммы, и эти 10% должны быть больше или равны 4000.

Составим неравенство: 0,1·(a1+d(n-1)) ≥ 4000.

Подставим а1=11000, d=4000 и решим неравенство:

0,1·(11000+4000(n-1)) ≥ 4000 обе части неравенства умножим на 10, чтобы избавится от десятичной дроби, получим

11000+4000(n — 1) ≥ 40000;

11000+4000n — 4000 ≥ 40000;

4000n ≥ 33000;

n ≥ 8,25, n ∈Ν ⇒ n=8

через 8 лет надо продать бумагу, т.е. в 2001+8=2009 году

Или рассуждаем так: на восьмом году (т.е. в 2008) 10% от стоимости будет больше 4000, значит бумагу надо продать в следующем (т.е. 2009)).

Ответ: 2009 год.

Другое решение этой задачи.

Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб. Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим: х·0,1 = 4000

х = 4000: 0,1 = 40000

То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через 40000 – 11000 = 4000·n

n = 29000: 4000 = 7,25 n ∈Ν ⇒ n=8

то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.

Ответ: 2009.

Реши самостоятельно:

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счет будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение экономических задач: банки, проценты, кредиты.

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные платежи, растянутые на весь срок кредитования. В сумму платежа включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер платежа всегда остается одинаковым.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев

Реши самостоятельно:

1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей.

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

1 ян­ва­ря 2019 года Павел Васильевич взял в банке 1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%), затем Павел Васильевич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Павел Васильевич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 125 тыс. руб­лей?

1 ян­ва­ря 2018 года Тимофей Ильич взял в банке 1,1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тимофей Ильич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тимофей Ильич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

IV.1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%) затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение:

Пусть S = 9282000 рублей  размер взятого в банке кредита. 31 декабря каждого года размер кредита увеличился на 10%, а затем, Алексей переводит в банк X рублей, т.е. остаток через четыре года будет равен нулю.

Решим уравнение: ((1,12 S – 1,1х –х)1,1 – х)1,1 – х = 0

1,14 S – 1,13 х — 1,12 х — 1,1х –х = 0

Х =

Х =

Х = 2928200

Ответ: 2928200.

31 декабря 2018 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2019 года Виктор взял в банке 3276000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем Виктор переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2020 года Георгий взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Георгий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Георгий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

IV.2. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга. Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 56 595 рублей, или за два года равными платежами по 81 095 рублей. Найдите r.

Решение:

Пусть S рублей сумма кредита, ежегодные выплаты x руб., r % годовых,

к = 1 + r/100. Выплаты: b = 81095 руб., х = 56595 руб. По условию долг на июль меняется так:

Если долг выплачен двумя равными платежами b руб., то (кS – b)к – b = 0

к2 S – кb — b = 0; к2 S = (к + 1)b; S = ((к+1) b)/к2

Если долг выплачен тремя равными платежами х руб., то

((кS – х)к – х)к – х = 0

к3 S – к2 х – кх — х = 0

S = ((к2 + к+1) х)/к3

Решим систему уравнений

=

(к+1)к b = х(к2 + к+1)

(к2 + к) b = х(к2 + к) + х

(к2 + к) b — х(к2 + к) – х = 0

(к2 + к)( b – х) –х = 0

(81095 – 56595) (к2 + к) – 56595 = 0

24500к2 + 24500к — 56595 = 0

100к2 + 100к – 231 = 0

D = 102400, к = 1,1 к = -21 не удовлетворяет условию

к = 1 + r/100, r = 10%

Ответ: 10

Реши самостоятельно:

31 декабря 2017 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей.

Найдите r.

В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы: — каждый год долг увеличивается на r — процентов с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга Кредит можно выплатить за 4 года равными платежами по 777600 руб. или за 2 года равными платежами по 1317600 руб. Найдите r.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

V. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.

Решение:

Пусть S млн. рублей сумма первоначального кредита. В середине каждого года действия кредита долг возрастает на 25 %, x млн.рублей заёмщик выплачивает в конце 3-го и 4-го годов. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.

В сумме за 2 года он погашает сумму 0,25S + 0,25S = 0,5S.

В последние два года (3-й и 4-й) сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза, а затем, погашается равными долями в x млн.рублей.

На конец 4-го года, сумма долга составляет 0 рублей. Отсюда получаем

1,252 S — 1,25 х –х = 0,

1,252 S — 2,25 х = 0, х = =

За 4 года сумма выплат составила 0,5S + 2х. По условию общая сумма выплат превышает 9 млн. рублей, то есть, 0,5S + 2>9, 4,5S + 12,5S > 81,

17S > 81, S > 4 . При минимальном целом значении S = 5 это неравенство выполняется, следовательно, размер кредита составил 5 млн. рублей.

Ответ: 5 000 000

Реши самостоятельно:

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 10 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 7 млн. рублей.

Планируется  выдать  льготный  кредит  на  целое  число  миллионов  рублей  на  четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 %  по сравнению  с  началом  года. По договоренности с  банком в конце 1-го и 3 – го года заемщик выплачивает только проценты  по  кредиту, начисленные  за  соответствующий  текущий  год.  В  конце  2‐го  и  4‐го  годов  заёмщик  выплачивает  одинаковые  суммы,  погашая  к  концу  4‐го  года  весь  долг  полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 100 млн. рублей. 

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 8 млн. рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы кредита

VI. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей.

Решение:

Долг перед банком (в млн. рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: S; 0,8S; 0,5S; 0

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен: 1,25S; 1,25∙0,8S; 1,25∙0,5S

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

1,25S — 0,8S = 0,45S 1,25∙0,8S — 0,5S = 0,5S 1,25∙0,5S – 0 = 0,725S

По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей. Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е.

0,725S< 4; S< 6,4 S = 6

Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей.

Ответ: 6 млн. рублей.

Реши самостоятельно:

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. рублей.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: ‐ каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ‐ в июле каждого года величина долга задается таблицей

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы вклада

VII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течении первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

Обозначим через Х размер кредита, взятого в банке. Во втором месяце долг увеличивается на 3% и, затем, осуществляется выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. в первый раз выплата будет составлять , и сумма долга во втором месяце составит:

1,03х – () = х — = . Аналогично для следующего месяца, только долг теперь будет составлять получаем остаток долга в размере

1,03· – () = — = .

Вторая выплата будет равна:

Аналогично третья выплата:

Аналогично четвертая выплата: и т.п.

………………………………………………………..

12- тая выплата:

Сумма выплат за первые 12 месяцев составит:

… + 13) =

В скобках получилась арифметическая прогрессия сумму, которой находим по формуле =

= + = = .

По условию в течении первого года нужно выплатить 466,5 тыс. руб.

= 466,5 Х= Х= 600 тыс. руб. или это 600000 руб.

Ответ: 600000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го января планируется взять кредит в банке на 20 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 10 месяцев нужно вернуть банку 1179 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно вернуть банку 1597,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 16 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 8 месяцев нужно вернуть банку 900 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

5-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

5)15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

VIII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1- го по 25 – й месяц долг должен быть на 40 тыс. руб. меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

— к 15 – му числу 26 – го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб.

Решение:

Обозначим через S исходную сумму кредита. В течение первого месяца эта сумма возрастает на 3%, становится равной S+0,03S = 1,03 S. Выплату нужно сделать так, чтобы исходная сумма S уменьшилась на 40 тыс. рублей, то есть, нужно выплатить

0,03S+40 тыс. рублей.

Оставшаяся сумма S-40 в следующем месяце снова увеличивается на 3%, становится равной 1,03(S-40), и следует выплатить0,03(S-40) + 40 тыс. руб., Таким образом, в течении 25-ти месяцев, сумма выплат составит:

0,03S+40 + (0,03(S-40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) +… + (0,03(S-24·40) + 40) = 0,03S·25 + 40·25 – 0,03·40·( 1 + 2 + 3 +… + 24) =

S24 = 1 + 2 + 3 +… + 24 =   24 = 25·12 = 300

= 0,75 S + 1000 – 360 =0,75 S + 640

В последний 26-й месяц выплачивается остаток  1,03(S -25·40) = 1,03(S – 1000)

В сумме за 26 месяцев имеем: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000). По условию общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб. Составим и решим уравнение: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000) = 1924

1,78 S = 1924 + 390

S = 2314/ 1,78

S = 1300 тыс.руб.

Ответ: 1300000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 11 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 10-й долг дол­жен быть на 80 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— к 15-му числу 11-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1198 тысяч руб­лей?

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 тысяч руб­лей на 21 месяц. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 20-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— 15-го числа 20-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 100 тысяч руб­лей;

— к 15-му числу 21-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Ответы:

1) 84 млн. руб., 2) 69 млн. руб., 3) 90 млн. руб., 4)53500 руб., 5) 2685000 руб.

1) 125000 руб., 2)104500 руб. 3)86600 рублей.

1) 2 2) 25

III. l. 1) 2008 2) 2005

1) 6 месяцев 2) 6 месяцев 3) 9 месяцев 4) 6 месяцев

IV.1. 1) 3703860 рублей 2) 155520 рублей 3) 1064800 рублей

IV.2. 1) 20% 2) 20% 3) 20% 4) 10%

1) 6 млн. руб., 2) 3 млн. руб., 3) 5 млн. руб., 4) 77 млн. руб.,

5 млн. руб.

VI. 1) 11млн.руб. 2) 200 тыс. руб. 3) 400 тыс. руб. 4) 36 млн.руб.

5) 8 млн.руб.

VII. 1) 1200000руб. 2) 3000000 руб. 3) 1200000руб. 4) 0,8 млн. руб.

5) 411000 руб.

VIII. 1) 200000 руб. 2) 384000 руб. 3) 1100000 руб.

Используемая литература:

Шестаков С.А. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задачи 17(профильный уровень)/Под ред.И.В.Ященко.-М.:МЦНМЩ, 2017

30 тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко» – 2021.