Задачи на четырехугольники егэ

Каталог заданий
Задания 12. Планиметрия . Четырёхугольники и их элементы

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

ЕГЭ Профиль №16. Четырехугольникиadmin2022-11-17T16:28:53+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Четырёхугольники и их элементы

1. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87.

Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

2. Основания трапеции равны 18 и 6,

боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции

угол 150°. Найдите площадь трапеции.

3. В параллелограмме ABCD АВ = 8, АС = ВD =17. Найдите площадь параллелограмма.

4. Основания трапеции равны 8 и 16,

боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол 150°.

Найдите площадь трапеции.

5. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 54° и ∠BDC = 23°.

Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

6. Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны.

Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 64.

7. Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

8. Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.

9.

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.

10. В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 26, AC = 20. Найдите BD.

11. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

12. Стороны параллелограмма равны 9 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Четырехугольники

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

$АВ=CD;BC=AD$

$∠А=∠С; ∠В=∠D$.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$∆ABD=∆BCD.$

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$BO=OD; AO=OC.$

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

$∆АВК$ — равнобедренный.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.
2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$, где $a$ — сторона параллелограмма, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтму у него присутствуют все свойства параллелограмма).
2. Диагонали прямоугольника равны. $BD=AC$.

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1. Все свойства параллелограмма.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба:

1. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S={d_1·d_2}/2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
2. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба. $S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

1. Все свойства прямоугольника.
2. Все свойства ромба.

Площадь квадрата:

1. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
2. $S={d^2}/{2}$, где $d$ — диагональ квадрата.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями: $ВС$ и $AD$ — основания.

Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $АВ$ и $CD$ – боковые стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.

$MN││BC; MN││AD.$

2. Средняя линия равна полусумме оснований.

$MN={BC+AD}/{2}$

3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.

$МК$ — средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$.

$KN$ — средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основаниях равны.

$∠А=∠D; ∠B=∠C.$

2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

$BD=AC.$

3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.

$АС_1={BC+AD}/{2}.$

4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.

$BC=B_1C_1;$

$AB_1=C_1 D={AD-BC}/{2}.$

5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.

6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.

Свойства биссектрисы:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.

$AD=DC$

3. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.

${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sin⁡β}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$

Четырехугольники
и их свойства.

Разобрать решенные  задачи и выполнить
самостоятельную работу.

Трапеция.

Задача 1. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая
сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите
площадь трапеции.

Решение.

Введём обозначения, как показано на
рисунке. Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту:

 Ответ: 42.

Задача
2. В прямоугольной трапеции с основаниями и угол
прямой, , . Найдите
среднюю линию трапеции.

Решение.

Для того, чтобы найти среднюю линию
трапеции необходимо знать длину оснований, найдём AD.

Проведём высоту СH к AD.

Найдём АD:

Средняя линия трапеции равна
полусумме оснований:

 Ответ: 6,5.

Задача 3. Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует
с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Угол в 150° образует боковая
сторона и меньшее основание, тогда с большим основанием эта сторона образует
угол 30°. Проведем высоту трапеции и рассмотрим прямоугольный треугольник. Из
определения синуса острого угла прямоугольного треугольника получаем:

По формуле площади трапеции находим

 Ответ: 36.

Задача 4. Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона
равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

Решение.

Найдем разницу между двумя
основаниями:

Поскольку трапеция равнобедренная,
то высотой, проведенной из точки С, а также высотой проведенной из точки D, от
нижнего основания «отрезается» 2 равные части. Найдем длину одной из
таких частей:

Рассмотрим треугольник СЕВ. Из него
(по теореме Пифагора) найдем высоту СЕ:

Рассмотрим, наконец, треугольник
АСЕ. В нем мы знаем высоту, а также . Теперь, также по
теореме Пифагора найдем искомую диагональ АС, которая является гипотенузой
прямоугольного треугольника:

Ответ: 82.

Решить самостоятельно.

1.    Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота
трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

2.    трапеции ABCD известно, что AB = CD,
∠BDA = 54° и ∠BDC = 23°.
Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

3.   
Основания равнобедренной трапеции
равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.

4.   
В прямоугольной трапеции основания
равны 4 и 7, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

Параллелограмм.

Задача 1. В параллелограмме отмечена точка — середина стороны . Отрезки
и пересекаются в точке . Найдите если .

Решение.

Обозначим О точку
пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма точкой
пересечения делятся пополам, поэтому ВО — медиана треугольника АВС.
Отрезок АМтакже является медианой треугольника АВС, точкой
пересечнния медианы делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Поэтому

 Ответ: 4.

Решить самостоятельно.

5.   
В параллелограмме ABCD АВ
= 8, АС = ВD =17. Найдите площадь параллелограмма.

6.   
В параллелограмме диагональ
в
два раза больше стороны и .
Найдите тупой угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

План решения задачи №6.

1)      
Рассмотреть  ∆ COD  —
равнобедренный с углом при вершине С =104°.

2)      
Найти  <COD = <CDO.

3)      
Найти величину угла, смежного  с  <COD.

7.   
В параллелограмме ABCD
диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 26, AC = 20.
Найдите BD.

8.   
Стороны параллелограмма равны 9 и
12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите высоту, опущенную на
большую сторону параллелограмма.

Ромб. Квадрат.Прямоугольник.

Задача 1. Сумма двух углов ромба равна 120°, а его
меньшая диагональ равна 25. Найдите периметр ромба.

Решение.

Сумма двух углов ромба равна 120°,
значит, каждый угол равен 120° : 2 = 60°. Сумма двух остальных углов ромба
равна 360° − 120° = 240°, значит, каждый из них равен 240° : 2 = 120°.
Меньшая диагональ ромба лежит напротив меньшего угла ромба 60°, поэтому
получаем равносторонний треугольник, основанием которого является данная
диагональ. Таким образом, периметр ромба равен 25 · 4 = 100.

Ответ:
100.

Задача 2. Ромб и
квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол
равен 30°, а площадь квадрата равна 64.

Решение.

Площадь квадрата вычисляется по
формуле: . Площадь ромба
вычисляется по формуле: Таким образом:

Ответ: 32.     Решить самостоятельно.

9.
В ромбе Найдите
синус угла .

10.                     
Сумма двух углов ромба равна 120°,
а его периметр равен 84. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

11. Сумма двух углов
ромба равна 240°, а его периметр равен 68. Найдите длину меньшей диагонали ромба. 12. Квадрат и прямоугольник имеют одинаковые площади, равные 36 см².
Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата. Найти периметр
прямоугольника.

Ответы
на задачи.

Трапеция.
№1	0,4
№2	49
№3	12
№4	3
Параллелограмм.
№5	120
№6	142
№7	48
№8	6
Ромб. Квадрат. Прямоугольник.
№9	0,75
№10	21
№11	17
№12	26

Свойства четырехугольников.

Основные формулы и свойства трапеции.

Основные формулы и свойства параллелограмма.

Основные формулы и свойства ромба.

Основные формулы и свойства прямоугольника.

Основные формулы и свойства квадрата.

Примеры и решения задач.

---

Разберем по сторонам каждый четырехугольник. А начнем с самой негармоничной фигуры — четырехугольника:

Выпуклым называется четырехугольник, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон. 

В ЕГЭ встречается только выпуклый, поэтому его брата оставим без внимания.

Если четырехугольник произвольный:

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то помимо выше описанных свойств добавляются эти:

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то добавляются такие свойства:

Две теоремы Птолемея можно встретить в №16 ЕГЭ, планиметрии повышенного уровня сложности.

Если поставить условие, что две противоположные стороны должны быть параллельны, то четырехугольник становится трапецией.

Всем привычна такая трапеция, но та, что справа, также существует!

В равнобедренной трапеции:

Прямоугольная трапеция: 

В трапецию можно вписать окружность, когда? Когда сумма противоположных сторон одинакова!
Да точно также, как и в четырехугольник, все свойства четырехугольника работают и в трапеции! 

— И площадь через диагонали? 

— Конечно!

А описать окружность вокруг трапеции? Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая!

Свойства остаются те же.

Следующий на очереди параллелограмм:

Если сказать, что в трапеции две попарно противоположные стороны параллельны, то трапеция станет параллелограммом.

Если сказать, что в трапеции две противоположные стороны параллельны и равны, то трапеция станет параллелограммом.

Еще добавляются 2 формулы площади:

Свойства параллелограмма:

1. Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм. 
2. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. 
3. Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, – параллелограмм. 
4. Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.

Дальше, чтобы из параллелограмма получить следующую фигуру, есть два пути:

1) Если у параллелограмма один угол 90°, то это прямоугольник.

2) Если у параллелограмма две прилежащие стороны равны, то это ромб.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны:

Свойства ромба:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
2. Диагонали ромба являются также биссектрисами его углов (делят углы ромба пополам).
3. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
4. В ромб можно всегда вписать окружность.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые:  

Свойства прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Правильный четырехугольник — квадрат. Папа был прямоугольником, а мама ромбом. Квадрат объединяет свойства и формулы этих фигур и добавляет свои:

Свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые, все стороны квадрата равны.
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.
4. В квадрат можно всегда вписать окружность.
5. Вокруг квадрата можно всегда описать окружность.

Задача №1 Докажите, что ABCD параллелограмм, если известно, что ∠CAD = ∠CAB и DO = OB.

Что нужно, чтобы сказать, что четырехугольник является параллелограммом?

1. Две противоположные стороны параллельны и равны.
2. Две попарно противоположные стороны параллельны.

Скажем, что DC II AB, т.к. ∠CAD = ∠CAB — накрест лежащие углы. Если не знаешь, что такое накрест лежащие углы — читай!

Но раз DC II AB, то и ∠CDB = ∠DBA (как накрест лежащие), а ∠AOB и ∠DOC — рыжие что ли? Нет, они вертикальные, значит, тоже равны: ∠AOB = ∠DOC.

Тогда ΔAOB = ΔDOC (по стороне и двум прилежащим углам) => DC = AB. 

Получается, что DC = AB и DC II AB, свойство №1 доказано.

Задача №2 Найдите периметр параллелограмма.

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике находится против угла в 30°. Да-да, катет в два раза меньший гипотенузы. Следовательно AB = AH + HB = 1+4 = 5.

Тогда периметр:

Ответ: 14.

Задача №3 Найдите площадь параллелограмма.

В ΔDHB ∠DBH = 180 – 90° – 45° = 45°=> ΔDHB — равнобедренный => DH = HB = 24

Ответ: 384

Задача №4 Найдите площадь ABCD.

ABCD — прямоугольник. Чтобы найти его площадь, нужно знать две стороны, но мы знаем только площадь треугольника.

Площадь AKCD общая у ABCD и ADM, а вот отличаются они площадью ΔABK и ΔKCM, но мы только что доказали, что они равны, значит, площади ABCD и ADM тоже равны!

Ответ: 33

Задача №5 Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 15 и 44, а непараллельные 17 и 25.

Площадь трапеции можно найти так:

Не хватает высоты, попробуем разбить трапецию на треугольники и прямоугольник:

Запишем теорему Пифагора для двух треугольников:

Решим уравнение:

Зная, как разделится основание найдем высоту:

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Первая и вторая часть по треугольникам.

Статья по окружностям.