17. Сложные задачи прикладного характера
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж
Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.
Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.
Пример: Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?
Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (frac13A-frac13A=0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot 50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]
Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.
Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)
Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:
(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.
Заметим,
I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).
Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.
II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.
В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).
Формула для выплаты в (i)-ый год: [{Large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}] где (n) – количество лет, на которое взят кредит, (A) – сумма кредита, (r%) – процентная ставка.
Задание
1
#1194
Уровень задания: Легче ЕГЭ
(16) августа на покупку телефона стоимостью (60,000) рублей в банке был взят кредит на (3) месяца. Условия пользования кредитом таковы:
– (10) числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга (10%);
– с (11) по (15) числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;
– суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж). Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?
Т.к. кредит был взят на (3) месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на (dfrac{1}{3}) часть.
Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& dfrac{3}{3}cdot 60=60&60+0,1cdot 60 &0,1cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60& dfrac{2}{3}cdot 60\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{2}{3}cdot 60 & dfrac{2}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{2}{3}cdot 60&0,1cdot dfrac{2}{3}cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60&dfrac{1}{3}cdot 60 \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{1}{3}cdot 60 &dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{1}{3}cdot 60 &0,1cdot dfrac{1}{3}cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Заметим, что каждый платеж состоит из (dfrac{1}{3}cdot 60) и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде (A+0,1cdot A), а не в виде (1,1cdot A).
Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.
(0,1cdot 60+dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{2}{3}cdot
60+dfrac{1}{3}cdot 60+0,1cdot dfrac{1}{3}cdot
60+dfrac{1}{3}cdot 60=60+0,1cdot 60cdot
(1+dfrac{2}{3}+dfrac{1}{3}))
Следовательно, переплата составит: (60+0,1cdot 60cdot
(1+frac{2}{3}+frac{1}{3})-60=0,1cdot 60cdot 2=12) тыс.руб.
Ответ:
(12,000) рублей.
Задание
2
#1196
Уровень задания: Равен ЕГЭ
(10) лет назад Григорий брал в банке кредит на (4) года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила (32,5%) от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?
Обозначим за (y) — годовой процент по кредиту, а за (A) руб. – сумму кредита. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+dfrac{y}{100}cdot A &dfrac{y}{100}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A& dfrac{3}{4}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{3}{4}cdot A & dfrac{3}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot A&dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&dfrac{2}{4}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{2}{4}cdot A &dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A &dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&dfrac{1}{4}A \
&&&&\
hline &&&&\
4&dfrac{1}{4}cdot A &dfrac{1}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{1}{4}cdot A &dfrac{y}{100}cdot dfrac{1}{4}cdot A+dfrac{1}{4}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Переплата по кредиту составит:
(dfrac{y}{100}cdot A +dfrac{y}{100}cdot dfrac{3}{4}cdot
A+dfrac{y}{100}cdot dfrac{2}{4}cdot A+dfrac{y}{100}cdot
dfrac{1}{4}cdot A=dfrac{y}{100}cdot Acdot
dfrac{5}{2}=dfrac{yA}{40})
Т.к. переплата в итоге составила (32,5%) от суммы кредита, то (dfrac{yA}{40}=0,325A Rightarrow y=13%)
Ответ:
(13 %).
Задание
3
#2890
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под (6%) годовых, второй – на 6 лет под (14%) годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.
Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть (A) – сумма, которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.
1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на (frac1{15}) часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен (A), то в начале 2-ого — (A-frac1{15}A=frac{14}{15}A), в начале 3-его — (frac{13}{15}A), в начале 4-ого — (frac{12}{15}A) и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год проценты — это (0,06cdot A), во 2-ой год — это (0,06cdot frac{14}{15}A), в 3-ий — это (0,06cdot
frac{13}{15}A) и т.д. Следовательно, переплата: [begin{aligned}&Per_1=0,06cdot A+0,06cdot frac{14}{15}A+dots+
0,06cdot frac2{15}A+0,06cdot frac1{15}A=\[2ex] &=0,06Acdot
left(1+frac{14}{15}+dots+frac2{15}+frac1{15}right)=0,06Acdot
8=0,48Aend{aligned}]
2) Второй банк предлагает кредит на 6 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим: [Per_2=0,14Acdot left(1+frac56+frac46+frac36+frac26+frac16right)=
0,14Acdot 3,5=0,49A]
Следовательно, в первом банке переплата меньше, значит, обратиться в этот банк будет более выгодно.
Выгода равна (0,49A-0,48A=0,01A), значит, она составляет (1%) от суммы кредита.
Ответ: 1
Задание
4
#3147
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк выдает кредит на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;
— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;
— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно (17:9).
Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?
Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято (A) рублей в кредит. Если (r%) – процентная ставка в банке, то обозначим величину (0,01r=p). Тогда можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг до начисления проц.} & text{Долг
после
начисления проц.} & text{Платеж}\
hline 1 & A & A+pA & pA+frac19A\
hline 2 & frac89A & frac89A+pcdot frac89A & pcdot
frac89A+frac19A\
hline … &… & … & …\
hline 9 & frac19A & frac19A+pcdot frac19A & pcdot
frac19A+frac19A\ hline end{array}]
Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно, [dfrac{pA+frac19A}{pcdot frac19A+frac19A}=dfrac{17}9 quadLeftrightarrow
quad p=dfrac18] Тогда переплата по кредиту равна [pA+pcdot dfrac89A+pcdot dfrac79A+dots+pcdot dfrac19A=
pcdot Acdot left(1+dfrac89+dfrac79+dots+dfrac19right)=5pA] Следовательно, переплата составила от кредита [dfrac{5pA}{A}cdot 100%=500p%=62,5%.]
Ответ: 62,5
Задание
5
#2016
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Павлу банком был предложен кредит на следующих условиях:
– сумма кредита не должна превышать (150,000) рублей;
– раз в месяц банк начисляет на остаток долга (22%);
– после начисления процентов Павел вносит в банк некоторый платеж, причем весь кредит должен быть выплачен тремя платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.
Помогите посчитать Павлу, сколько процентов от первоначального долга составит переплата по данному кредиту?
Т.к. долг должен уменьшаться равномерно, то схема выплаты кредита – дифференцированные платежи. Т.к. платежей должно быть (3), значит, кредит дается на (3) месяца, следовательно, долг каждый месяц должен уменьшаться на (dfrac{1}{3}) часть. Составим таблицу, обозначив за (A) – сумму кредита:
[begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма}& text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа}& text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+0,22cdot A &0,22cdot A+dfrac{1}{3}cdot A& dfrac{2}{3}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{2}{3}cdot A & dfrac{2}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{2}{3}cdot A&0,22cdot dfrac{2}{3}cdot A+dfrac{1}{3}cdot A&dfrac{1}{3}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{1}{3}cdot A &dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{1}{3}cdot A &0,22cdot dfrac{1}{3}cdot A+dfrac{1}{3}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Таким образом, переплата по кредиту составит:
(left(0,22cdot A+dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{2}{3}cdot
A+dfrac{1}{3}cdot A+0,22cdot dfrac{1}{3}cdot
A+dfrac{1}{3}cdot Aright) — A=)
(=0,22cdot Acdot
left(1+dfrac{2}{3}+dfrac{1}{3}right)=0,44A)
Следовательно, процент, который составит переплата относительно первоначального долга, равен:
(dfrac{0,44A}{A}cdot 100% = 44 %).
Заметим, что информация о том, что сумма кредита не должна превышать (150,000) рублей, на самом деле не нужна для того, чтобы ответить на вопрос задачи.
Ответ:
(44 %).
Задание
6
#2929
Уровень задания: Равен ЕГЭ
15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на (3%) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
(Задача от подписчиков)
Пусть (A) тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это (dfrac1{31}) часть от (A); вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.
Составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц} &text{Долг до} & text{Долг после} & text{Сумма} & text{Долг после}\
& text{начисления }%& text{начисления }% &text{платежа} & text{платежа} \
hline &&&&\
1& A&A+0,03cdot A &0,03cdot A+dfrac{1}{31}cdot A& dfrac{30}{31}cdot A\
&&&&\
hline &&&&\
2&dfrac{30}{31}cdot A & dfrac{30}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{30}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{30}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&dfrac{29}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
3&dfrac{29}{31}cdot A &dfrac{29}{31}cdot A+0,03cdot
dfrac{29}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{29}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&dfrac{28}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
…&… &… &…&… \
&&&&\
hline &&&&\
16&dfrac{16}{31}cdot A &dfrac{16}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{16}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{16}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A=29,6&dfrac{15}{31}cdot A \
&&&&\
hline &&&&\
…&… &… &…&… \
&&&&\
hline &&&&\
31&dfrac{1}{31}cdot A &dfrac{1}{31}cdot A+0,03cdot dfrac{1}{31}cdot A
&0,03cdot dfrac{1}{31}cdot A+dfrac{1}{31}cdot A&0 \
&&&&\
hline
end{array}]
Из полученного уравнения (0,03cdot dfrac{16}{31}cdot
A+dfrac{1}{31}cdot A=29,6) можно найти [A=620.]
Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку:
(0,03cdot A+dfrac1{31}A+0,03cdot
dfrac{30}{31}A+dfrac1{31}A+dots+0,03cdot
dfrac1{31}A+dfrac1{31}A= 31cdot dfrac1{31}A+0,03cdot Acdot
left(1+dfrac{30}{31}+dfrac{29}{31}+dots+dfrac1{31}right)=)
(=A+0,03cdot Acdot dfrac{1+frac1{31}}2cdot
31=dfrac{37}{25}A=dfrac{37}{25}cdot 620=917,6) тыс. рублей.
Ответ: 917,6
Задание
7
#3871
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (14) млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на (25%) по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась (24,5) млн. рублей?
Пусть (n) – число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен (25%), то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на (frac 1n) часть, то есть на (frac{14}n) млн. рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг до начисления }% & text{Долг после
начисления
} % & text{Выплата}\
hline 1 & 14 & 14+frac14cdot 14 & frac{14}n+frac14cdot 14\
hline 2 & frac{n-1}ncdot 14 & frac{n-1}ncdot 14+frac14cdot
frac{n-1}ncdot 14 & frac{14}n + frac14cdot frac{n-1}ncdot
14\
hline … & … & … & …\
hline n & frac{14}n & frac{14}n+frac14cdot frac{14}n &
frac{14}n +frac14cdot frac{14}n \
hline end{array}] Таким образом, общая сумма выплат составляет [begin{aligned}
&dfrac{14}n+dfrac14cdot 14+dfrac{14}n + dfrac14cdot
dfrac{n-1}ncdot 14+dots+dfrac{14}n +dfrac14cdot
frac{14}n=\[1ex]
&=dfrac14cdot 14cdot left(1+dfrac{n-1}n+dots+dfrac1nright)+
ncdot dfrac{14}n=\[1ex]
&=dfrac14cdot 14cdot dfrac{1+frac1n}2cdot
n+14=dfrac74(n+1)+14 end{aligned}] (в скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен (frac1n), (n)-ый равен (1), соответственно, количество членов равно (n))
Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию (24,5) млн. рублей, то получаем: [dfrac74(n+1)+14=24,5quadLeftrightarrowquad n=5]
Ответ: 5
Курс современной математики, которая преподается будущим выпускникам в старших классах, регулярно меняется. В настоящее время учащийся, который готовится к сдаче ЕГЭ по этому предмету, должен уметь правильно решать задачи на дифференцированные платежи. В аттестационном испытании профильного уровня задания, затрагивающие сферу финансовой математики, встречаются регулярно. Решение задач ЕГЭ по дифференцированным платежам за кредит предполагает наличие у школьника базовых навыков анализа числовых данных и осуществление практических расчетов по формулам.
Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимое умение. Базовый теоретический и практический материал по данной теме представлен в соответствующих разделах сайта таким образом, чтобы все учащиеся могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ на дифференцированные платежи.
Основные моменты
При выполнении заданий из области финансовой математики необходимо запомнить несколько важных нюансов:
- Общая выплата по кредиту состоит из тела кредита и процентов, которые начисляются банком. Эта важная формула лежит в основе практически всех задач по данной тематике.
- В процессе расчета дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита должна быть поделена на равные части. Как правило, их количество соответствует числу проводимых платежей.
- Если в условии задачи фигурируют словосочетания «равными частями», «долг уменьшается на одну и ту же величину» и т. п., вероятнее всего, речь идет именно о дифференцированном платеже.
Для того чтобы выпускник мог не только усвоить теоретический материал, но и отточить навык выполнения практических заданий, рекомендуем сделать соответствующие упражнения. Для каждого из них специалисты «Школково» прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Тренироваться в решении задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Решите задачи на дифференцированные платежи (задания ЕГЭ) Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
2
Решите задачи на дифференцированные платежи (задания ЕГЭ) Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
3
Решите задачи на дифференцированные платежи (задания ЕГЭ) Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила переплата (сумма, уплаченная сверх тела кредита)?.
4
Решите задачи на дифференцированные платежи (задания ЕГЭ) Иван взял кредит в банке на срок 19 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 15%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Иваном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила переплата (сумма, уплаченная сверх тела кредита)?.
5
Решите задачи на дифференцированные платежи (задания ЕГЭ) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на целое число лет. Условия возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо вы-платить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?.
Пройти тестирование по этим заданиям
ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
I.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ПЛАТЕЖИ
Определение.
Дифференцированный
платёж – вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда сумма
долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц
(год).
При решении экономических задач на дифференцированные
платежи примем следующие обозначения величин:
S – сумма кредита,
х – ежегодный (ежемесячный)
платёж,
r –
процентная ставка,
p = 
.
n – срок кредитования.
Решение задач на дифференцированные платежи удобно
оформлять в виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 1.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата
таковы:
§
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 4 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей?
Решение.
Пусть S = 4,5 млн. рублей.
n = 9 лет.
r –
процентная ставка;
р = r/100.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S = 1,4 |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
9 |
S – 8у |
p (S |
S – 9у = 0 |
у + p (S –8 у) = 0,6 |
1) В выделенной
жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 9 у = 0,
из которой следует, что
S = 9 у,
у = S : 9
у = 4,5 : 9,
у = 0,5.
2) Понятно,
что наибольший годовой платеж по кредиту будет выплачен в первый год
(так как в этот год будут начислены самые большие проценты), а наименьший – в
последний год.
По этим двум условиям составим и решим систему уравнений:
Вычтем из
первого уравнения второе:
8
∙ p y = 0,8
p
y = 0,1
p
= 0,1 : у
p
= 0,1 : 0,5
p = 0,2.
Из
последнего получаем, что r = 20 %/
Ответ:
20 %.
Задача 2 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 15 лет. Условия его
возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если
известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1, 9 млн. рублей,
а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей?
Ответ:
25 %.
Задача 3.
Пётр взял кредит в
банке на срок 12 месяцев. По договору Пётр должен вернуть кредит ежемесячными
платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Пётр погашает эти
добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются
так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что
общая сумма, выплаченная Петром банку за весь срок кредитования, оказалась на
13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 12 месяцев.
r –
процентная ставка;
р = r/100.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый месяц.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S – у) |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S –2 у) |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
12 |
S – 11у |
p (S – 11у) |
S – 12у = 0 |
у + p (S –11 у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 12 у = 0,
из которой
следует, что
S = 12 у,
2) Общая
сумма выплат составляется из суммы, взятой в кредит, и суммы начисленных
процентов за каждый месяц кредитования. Значит, общая сумма выплат больше суммы
S, взятой в
кредит, ровно на столько, сколько в сумме составляют начисленные проценты за
весь срок кредитования. Известно, что эта сумма больше суммы S, взятой в
кредит, на 13 %.
Значит,
сумма начисленных процентов как раз и составляет 13 % от суммы S.
Найдём сумму
начисленных процентов:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 11у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 11у) =
=
р ∙
(12∙S
– ( у + 2у + … + 11у)) =
в
скобках представлена сумма 11-ти первых членов арифметической прогрессии, у
которой первый член равен у, а последний
– равен 11у.
=
р ∙
(12∙S
– 
∙
11) =
=
р ∙
(12∙S
– 
∙
12у) =
=
р ∙
(12∙S
– 5,5 ∙ 12у)
= р ∙
(12∙ S
– 5,5 ∙ S)
=
6,5 ∙
pS.
Поскольку
сумма начисленных процентов составляет 13 % от суммы S,
то
6,5
∙ pS
= 0,13 S.
Обе
части этого уравнения разделим на S (это можно сделать, так как S ≠
0):
6,5
∙ p
= 0,13,
откуда
p
= 0,02,
значит,
r
= 2 %.
Ответ:
2 %.
Задача 4 (для самостоятельного решения).
Алексей взял кредит в
банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит
ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей
погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи
подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц.
Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок
кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Ответ:
3 %.
Задача 5.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 38 млн. рублей?
Решение.
Пусть S = 16
млн. рублей.
n лет.
r = 25%;
р = r/100 =
0,25 = 1/4.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Общая сумма выплат = 38 млн. рублей.
Тогда переплаты по кредиту (сумма начисленных
процентов за весь срок кредитования) составят сумму, равную 38 – 16 = 22 (млн.
рублей).
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
n |
S – (n – 1) ∙ у |
p (S |
S – nу = 0 |
у + p (S – (n – 1) ∙ у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – n у = 0,
из которой следует, что
S = n у,
значит, ny
= 16.
Найдём сумму
начисленных процентов и приравняем её 22 млн. рублей:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – (n – 1) ∙ у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– (n – 1) ∙
у) =
=
р ∙
(n∙S
– ( у + 2у + … + (n
– 1) ∙ у))
=
в
скобках представлена сумма n
первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен (n – 1) ∙ у.
=
р ∙
(n∙S
– 
∙
(n
– 1)) =
=
р ∙
(n∙S
– 
∙
(n
– 1)) =
=
р ∙
(n ∙
16 – 8 ∙
(n
– 1)) =
=
р ∙ (16n
– 8n + 
= р ∙
(8n + 8).
р
∙ (8n
+ = 22,
∙
(8n + = 22.
2n
+ 2 = 22
n = 10.
Ответ:
10 лет.
Задача 6 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок (целое число
лет). Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.
На сколько лет
планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 47 млн. рублей?
Ответ:
8 лет.
Задача 7.
15 января планируется
взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34
млн. рублей?
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 16
месяцев.
r = 2 %;
р = r/100 =
0,02.
у – сумма,
на которую уменьшается долг каждый год.
Общая сумма выплат = 2,34 млн. рублей.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
S |
р S |
S – у |
у + р S |
|
2 |
S – у |
p (S |
S – 2у |
у + p (S – у) |
|
3 |
S – 2у |
p (S |
S – 3у |
у + p (S – 2у) |
|
… |
… |
… |
… |
|
|
16 |
S – 15 ∙ у |
p (S |
S – 16у = 0 |
у + p (S – 15 ∙ у) |
1) В
выделенной жёлтым цветом ячейке таблицы мы получили уравнение:
S – 16у = 0,
из которой следует, что
S = 16 у.
Найдём сумму
начисленных процентов:
р
S
+ p (S – у) + p (S – 2у)
+ … + p (S – 15 ∙ у)
=
=
р ∙
(S
+ S – у + S
– 2у + … + S
– 15 ∙ у)
=
=
р ∙
(16∙S
– ( у + 2у + … + 15 ∙
у)) =
в
скобках представлена сумма 15 первых
членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен у, а последний – равен 15
∙ у.
=
р ∙
(16∙S – 
∙
15) =
=
р ∙
(16∙S
– 
∙
15) =
=
р ∙
(16∙S – 7,5 ∙ 16у))
=
=
р ∙ (16∙S
– 7,5∙S)
= р ∙ 8,5∙
S,
0,02
∙ 8,5∙
S
= 2,34
S = 2 млн. рублей.
Ответ:
2 млн. рублей.
Задача 8 (для самостоятельного решения).
15 января планируется
взять кредит в банке на 10 месяцев. Условия его возврата таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с
концом предыдущего месяца;
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует
взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,83
млн. рублей?
Ответ:
1 500 000 рублей.
Задача 9.
В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2021 |
Июль 2022 |
Июль 2023 |
Июль 2024 |
|
Долг (в тыс.рублей) |
S |
0,7 S |
0,4 S |
0 |
Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.
Решение.
Пусть S –
сумма кредита.
n = 3 года.
r = 15 %;
р = r/100 =
0,15.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (тыс. руб.) |
Начисленные проценты (тыс. руб.) |
Долг после выплаты (тыс. руб.) |
Выплаты (тыс. руб.) |
|
1 |
S |
0,15 ∙ S |
0,7 ∙ S |
(S – 0,7 S) + 0,15 = 0,45 S |
|
2 |
0,7 ∙ S |
0,15 ∙ 0,7 ∙ S = |
0,4 ∙ S |
(0,7S – 0,4 S) + 0,105 S = = 0,405 S |
|
3 |
0,4 ∙ S |
0,15 ∙ 0,4 ∙ S = 0,06 S |
0 |
(0,4S – 0) + 0,06 S = = 0,46 S |
Запишем каждую из выплат в виде обыкновенной дроби:
0,45 S = 
∙ S = 
∙ S,
0,405 S = 
∙ S = 
∙ S,
0,45 S = 
∙ S = 
∙ S.
Для того,
чтобы каждое из этих чисел было целым, число S должно делиться
на знаменатель каждой из трёх дробей, т.е. должно равняться их наименьшему
общему кратному.
S = НОК
(20, 200, 50) = 200.
Ответ:
200 тысяч рублей.
Задача 10 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:
§
каждый январь долг возрастает на 17,5 % по сравнению с концом
предыдущего года;
§
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
§
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в
соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2021 |
Июль 2022 |
Июль 2023 |
Июль 2024 |
|
Долг (в тыс.рублей) |
S |
0,9 S |
0,4 S |
0 |
Найдите наименьшее
число S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч
рублей.
Ответ:
400 тысяч рублей.
Задача 11.
15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наименьшее значение
r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. рублей.
Решение.
Пусть S = 1
млн. рублей.
n = 6
месяцев.
r –
процентная ставка,
р = r/100.
Заполним таблицу:
|
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Начисленные проценты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
|
1 |
1 |
1∙ p |
0,6 |
(1 – 0,6) + 1∙ p = = 0,4 + |
|
2 |
0,6 |
0,6∙ p |
0,4 |
(0,6 – 0,4) + 0,6∙ p = = 0,2 +0,6∙ p |
|
3 |
0,4 |
0,4∙ p |
0,3 |
(0,4 – 0,3) + 0,4∙ p = = 0,1 +0,4∙ p |
|
4 |
0,3 |
0,3∙ p |
0,2 |
(0,3 – 0,2) + 0,3∙ p = = 0,1 +0,3∙ p |
|
5 |
0,2 |
0,2∙ p |
0,1 |
(0,2 – 0,1) + 0,2∙ p = = 0,1 +0,2∙ p |
|
6 |
0,1 |
0,1∙ p |
0 |
(0,1 – 0) + 0,1∙ p = = 0,1 +0,1∙ p |
Общая
сумма выплат получается сложением суммы кредита и начисленных процентов за весь
срок кредитования.
1
+ (1∙ p
+ 0,6∙ p + 0,4∙ p
+ 0,3∙ p + 0,2∙ p
+ 0,1∙ p) = 1 + 2,6 ∙ p.
Согласно
условию, эта сумма меньше 1,25 млн. рублей.
1
+ 2,6 ∙ p < 1,25;
2,6
∙ p < 0,25;
p < 0,09615…
< 0,09615…
r < 9,615…
r = 9 %.
Ответ:
9 %.
Задача 12 (для самостоятельного решения).
15 января планируется
взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
§
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r
% по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
§
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
§
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
январь |
февраль |
март |
апрель |
май |
июнь |
июль |
|
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0,6 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найдите наименьшее
значение r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.
Ответ:
7 %.
Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике
1.Дифференцированные платежи
Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.
Какие существуют виды платежей по кредитам?
В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?
Дифференцированные платежи
При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.
А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.
Аннуитетные платежи
Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.
Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.
При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.
Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.
В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.
Как рассчитать дифференцированный платеж?
Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
- основную, которая уходит на погашение тела кредита;
- процентную, которая является чистой прибылью банка.
Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:
Платеж = 
Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:
300000 / 60 = 5000 рублей
Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:
Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12
Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:
300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей
Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.
Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:
Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).
Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:
(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675
общий размер платежа: 9675 рублей.
За 25-й месяц:
(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300
Общий размер платежа: 8300 рублей.
Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:
(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67
В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.
2. Решение задач.
Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.
Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:
основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.
Решим несколько задач.
№1.
15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.
Долг банку: 
— это ежемесячные выплаты процентов банку.
Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:
(сумма арифметической прогрессии, где 
, n=19)
Ответ: 3%.
Примечание.
Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии
, где 
.
(формула 1)
Тогда при 
, r=3
№2.
15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).
Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда
Или по формуле (1) n=25, 
, r=1%.
Ответ: 1%
№3.
15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение.
Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):
Ответ: 2%
№4.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?
Решение.
S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей
Составим таблицу.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
0,02S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
Sобщ=1млн=1000тыс рублей
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Sобщ=S+ 0,02S (
. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.
S+0,02S (
, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=
тыс рублей
Ответ: 800000 руб
№5.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение.
S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей
Составим таблицу.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
28млн |
0,25·28=7млн |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
n-1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
Наибольший годовой платеж -первый.
7+
= 9млн, 
n=14
Sобщ=28+ 7 (
)=28+7·
+
·7=80,5млн
Ответ: 80500000 рублей
№6.
15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемесячный) |
Остаток |
|
1 |
S |
0,02S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……… |
||||
|
11 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
0 |
По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение
Ответ: 932,4 тыс рублей
№ 7.
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.
Произведем некоторые вычисления.
1300 тыс-100 тыс=1200тыс.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж по кредиту (ежемес) |
Остаток |
|
1 |
1300 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
15 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
0 |
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Ответ: r = 3%
№ 8.
15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?
Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
800+x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
10 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
0 |
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
Ответ: тыс. рублей
№ 9.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Считаем n. 
|
n |
Долг |
Проценты |
Платеж |
Остаток |
|
1 |
1000 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
……. |
||||
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.
.
Числа в скобках образуют арифметическую прогрессию, сумму которой найдем по формуле.
Ответ: %
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Тема 15.
Сложные задачи прикладного характера
15
.
04
Банковский кредит: дифференцированный платеж
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Подтемы раздела
сложные задачи прикладного характера
15.01Задачи из ЕГЭ прошлых лет
15.02Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2023
15.03Банковский кредит: аннуитетный платеж
15.04Банковский кредит: дифференцированный платеж
15.05Банковский кредит: другие схемы платежей
15.06Банковский вклад
15.07Поиск наибольшего/наименьшего значения величины
Решаем задачи
Для покупки стиральной машины хозяйка Мария Александровна взяла кредит в банке сроком на 5 месяцев под 12% с учетом того,
что выплачивать кредит она будет раз в месяц после начисления процентов дифференцированными платежами. На сколько рублей
больше в таком случае заплатит за стиральную машину хозяйка, если в магазине стиральная машина продается за 35000
рублей?
Показать ответ и решение
Так как кредит взят на 5 месяцев и выплачиваться будет дифференцированными платежами, то долг каждый месяц после платежа
уменьшается на 
часть.
Составим таблицу, ведя все вычисления в тыс. рублей:
Сумма всех платежей и есть сумма, которую выплатит хозяйка банку за время кредитования. Таким образом, если из этой
суммы вычесть сумму кредита, то мы найдем, сколько составила переплата 
по кредиту:
тыс.рублей.
Таким образом, в рублях переплата составила 
.
10 лет назад Григорий брал в банке кредит на 4 года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными
платежами и переплата по кредиту составила 32,5% от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?
Показать ответ и решение
Обозначим за 
— годовой процент по кредиту, а за 
руб. — сумму кредита. Составим таблицу:
Переплата по кредиту составит
Так как переплата в итоге составила 32,5% от суммы кредита, то
Ответ:
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи
верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической,
функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к
отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и
т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена
модель.
Семья взяла в банке ипотечный кредит под 10% годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого
года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и 
часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если
последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах
рублей.
Показать ответ и решение
Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.
Пусть в ипотеку было взято 
тыс. рублей. Составим таблицу:
Таким образом, последний платеж равен
Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей, что равно 4,4 млн рублей.
Ответ:
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи
верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической,
функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к
отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и
т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена
модель.
Банк выдает кредит на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;
— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита,
причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же
величину;
— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно 
.
Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?
Показать ответ и решение
Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято 
рублей в кредит. Если 
– процентная ставка в банке, то обозначим величину
. Тогда можно составить таблицу:
Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший –
последний. Следовательно,
Тогда переплата по кредиту равна
Следовательно, переплата составила от кредита
В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под 13% годовых. Выплатить кредит он должен восемью платежами,
вносимыми раз в год на счет после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый
год равномерно.
Сколько рублей составит переплата по кредиту, если наибольший платеж на 91000 рублей больше наименьшего
платежа?
Показать ответ и решение
Фраза «долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно» означает, что
кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть Аркадий Петрович взял в банке 
рублей. Так как кредит
должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим
таблицу.
Заметим, что все платежи состоят из двух частей.
Вторая часть одинакова для всех платежей и равна 
рублей.
Первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть — наибольшая,
а в последнем — наименьшая. Значит и первый платеж — наибольший, а последний
— наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:
Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы
кредита:
Ответ:
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи
верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической,
функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к
отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и
т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена
модель.
Каков процент годовых в банке по кредиту, который выдается на 7 лет, если
сумма, выплаченная банку за все годы кредитования, составляет 144% от суммы
кредита, а погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов
платежами, уменьшающими долг равномерно?
Показать ответ и решение
Фраза «погашение кредита происходит платежами, уменьшающими долг
равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными
платежами.
Пусть кредит выдается на сумму 
рублей. Если 
— процентная ставка в банке,
то в первый год после начисления процентов долг увеличится на 
рублей, во второй — на 
рублей и т.д. Составим таблицу:
Сумма, выплаченная по этому кредиту за все годы кредитования, равна сумме
всех платежей и равна
Т.к. эта сумма составляет 144% от суммы кредита, то
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая модель |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному из критериев, |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению
математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а
не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен
включать описание того, как построена модель.
Санта Клаус обнищал: для Christmas 2023 ему необходимо оплатить работу гномов
по изготоплению подарков детям, а его расчеты не совпали с плановыми. Поэтому
ему пришлось взять кредит «Magic» в банке «You’ll never pay» сроком на 4
столетия, проценты по которому начисляются 1 раз в 100 лет. Найдите
наименьший процент, под который банку необходимо выдать Санте кредит, чтобы
переплата по такому кредиту составила не менее 30% от суммы кредита. При этом
выплачиваться кредит должен ежестолетними платежами, уменьшающими долг
каждые 100 лет на одну и ту же величину.
Показать ответ и решение
Фраза «кредит выплачивался ежестолетними платежами, уменьшающими долг
каждые 100 лет на одну и ту же величину» означает, что кредит выплачивается
дифференцированными платежами. Следовательно, каждые 100 лет после платежа
долг становился меньше на одну и ту же величину, равную 
части от суммы,
взятой в кредит, так как он взят на 4 столетия.
Пусть 
— сумма, взятая в кредит, 
— годовой процент в банке «You’ll
never pay». Тогда обозначим величину 
Составим таблицу:
Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна
Значит, переплата 
равна
Необходимо, чтобы переплата составила не менее 30% от суммы кредита, то
есть
Таким образом, наименьший годовой процент равен 12%.
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи
верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической,
функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к
отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и
т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена
модель.
15 мая планируется взять кредит в банке сроком на 23 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 
по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего
месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 36% больше, чем сумма,
взятая в кредит. Найдите 
Показать ответ и решение
Кредит взят на 23 месяца, обозначим размер кредита за 
платеж дифференцированный, значит, каждый раз за месяц сумма
долга должна уменьшаться на 
Можем составить таблицу.
Переплата по кредиту равна сумме всех первых слагаемых из столбца «Выплата», по условию она составляет 
Запишем и решим уравнение:
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи
верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической,
функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к
отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и
т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена
модель.
1-го августа 2022 года планируется взять кредит на 3 года на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года долг возрастает на некоторое число процентов по сравнению с концом предыдущего
года;
– в июле каждого года должна быть сделана выплата;
– 1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа
предыдущего года;
– к концу июля 2025 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что процентная ставка в каждый год, кроме первого, ровно на 1% больше процентной ставки в предыдущем году.
Найдите наибольшее значение процентной ставки в первый год, если переплата по данному кредиту не превосходит трети от
изначально взятой суммы.
Показать ответ и решение
Так как кредит взят в августе 2022 года, в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.
Обозначим размер кредита через 
а процентную ставку за первый год через 
При этом каждый год процентная ставка
увеличивается на 1. Кредит взят на 3 года, то есть в январе 2023-го года сумма долга увеличится на 
в январе 2024-го года —
на 
в январе 2025-го года — на 
1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа
предыдущего года. Обозначим эту величину за 
Таким образом, сумма долга после выплаты в 2023-ем году составит 
в 2024-ом году 
в 2025-ом году 
При этом в 2025-ом году долг должен быть погашен, то есть 
и 
Отсюда получим, что сумма долга после выплаты в 2023-ем году равна 
сумма долга после выплаты в
2024-ом году равна 
Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих
значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».
По условию переплата по кредиту не превосходит 
При этом переплата равна разности суммы выплат (сумма по столбцу
«Выплата») и изначальной суммы кредита 
Выпишем это в виде неравенства:
Таким образом, максимально возможная процентная ставка по кредиту за первый год составляет 16%.
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи
верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической,
функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к
отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и
т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена
модель.
На какое максимальное количество лет нужно выдать кредит, который будет выплачиваться
дифференцированными платежами, чтобы наибольший годовой платеж превышал наименьший
годовой платеж не более чем на 
? Годовая процентная ставка по кредиту равна 
.
Показать ответ и решение
Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а
последний — наименьшим. Действительно, если кредит взят на 
рублей сроком на 
лет
под 
годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на 
по
сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа):
после первого платежа он станет равен 
, после второго – 
и т.д. Это
значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов,
начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это 
). А так
как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится
меньше.
В первый год долг равен 
, то есть первый платеж равен 
.
В последний год долг равен 
, следовательно, последний платеж равен 
.
По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на 
наименьший платеж, то
есть должен составлять не более 
от наименьшего, следовательно:
Так как 
– количество лет, то есть целое число, то 
.
Показать ответ и решение
Фраза “15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е
число предыдущего месяца” означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными
платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за 
сумму кредита:
Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух
частей, причем первые части одинаковы и равны 
.
Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата
таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн.
рублей?
Показать ответ и решение
Пусть 
— число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг
увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен
уменьшаться на 
часть, то есть на 
млн. рублей. Составим таблицу:
Таким образом, общая сумма выплат составляет
В скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен 
, 
-ый равен 
, соответственно,
количество членов равно 
.
Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию 
млн. рублей, то получаем:
15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 
по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего
месяца.
Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку
в течение всего срока кредитования?
Показать ответ и решение
Пусть 
тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что
кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая
часть всегда одинаковая – это 
часть от 
; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом
месяце.
Составим таблицу:
Из полученного уравнения 
можно найти
Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку: 
тыс. рублей.
Ответ:
917,6 тысяч рублей
Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под 
годовых, причем выплачивал кредит
он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он
отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года
пользования кредитом.
Показать ответ и решение
Пусть 
млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась
равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу:
Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку
Тогда за последние 4 года он отдал банку
Следовательно, за последние 4 года от отдал банку 
млн. рублей.
Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк
предлагает кредит на 15 лет под 
годовых, второй – на 6 лет под 
годовых, причем в обоих
банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону
и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.
Показать ответ и решение
Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть 
– сумма,
которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то
переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого
года.
1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной
долг уменьшается на 
часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен 
, то в начале 2-ого —
, в начале 3-его — 
, в начале 4-ого — 
и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год
проценты — это 
, во 2-ой год — это 
, в 3-ий — это 
и т.д. Следовательно,
переплата:
2) Второй банк предлагает кредит на 6 лет, следовательно, применяя те же рассуждения,
получим:
Следовательно, в первом банке переплата меньше, значит, обратиться в этот банк будет более
выгодно.
Выгода равна 
, значит, она составляет 
от суммы кредита.
Банк может выдать кредит своим клиентам на 6 лет под 
годовых, учитывая, что кредит будет
выплачиваться ежегодными платежами (после начисления процентов), уменьшающими долг на одну и
ту же сумму. Сколько процентов от суммы кредита переплатит клиент, если возьмет в банке такой
кредит?
Показать ответ и решение
Фраза “кредит будет выплачиваться ежегодными платежами, уменьшающими долг на одну и ту же
сумму” означает, что долг будет выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть 
рублей составляет сумма кредита. Составим таблицу:
Таким образом, переплата по кредиту равна:
Тогда процент, который составит переплата от кредита, равен:
Ответ:
Показать ответ и решение
Составим таблицу для обоих банков, обозначив за 
руб. сумму кредита.
Первый банк:
Найдем сумму, которую составит переплата в этом случае:
Второй банк (заметим, что 
):
Найдем сумму, которую составит переплата в этом случае:
Таким образом, Константину выгоднее взять кредит в первом банке и выгода при этом составит
.
Ответ:
.
Показать ответ и решение
Составим таблицу, учитывая, что выплачивать кредит Михаил будет так называемыми
дифференцированными платежами, и обозначив сумму кредита за 
рублей:
Посчитаем, сколько рублей в итоге заплатил Михаил банку. Для этого нужно просуммировать все
ежегодные платежи, в результате чего получим:
Новая цена за квартиру составила 
. Таким образом, выгода для Михаила составила:
рублей.
Ответ:
рублей.
16 августа на покупку телефона стоимостью 60 000 рублей в банке был взят кредит
на 3 месяца. Условия пользования кредитом таковы:
— 10 числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток
долга 10%;
— с 11 по 15 числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в
банк платеж;
— суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на
одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж).
Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?
Показать ответ и решение
Т.к. кредит был взят на 3 месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на
часть.
Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.:
Заметим, что каждый платеж состоит из 
и из процентов, начисленных
на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг
после начисления процентов записывать в виде 
а не в виде
Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту,
т.е.
Следовательно, переплата составит:
Критерии оценки
|
Содержание критерия |
Балл |
|
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
|
Верно построена математическая модель |
1 |
|
Решение не соответствует ни одному из критериев, |
0 |
|
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению
математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а
не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен
включать описание того, как построена модель.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн. рублей. Условия его возврата
таковы:
– каждый январь долг возрастает на 
по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего
года.
Найдите общую сумму выплат по такому кредиту, если он был взят на 4 года.