Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
2
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
3
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
4
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
5
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Пройти тестирование по этим заданиям
15
Окт 2013
Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи
09. Задачи на движение по окружности
2013-10-15
2022-09-11
Задача 1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 
км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 
км/ч больше скорости другого? Видео*
Решение: + показать
Задача 2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 
км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 
км/ч, и через минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение: + показать
Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 
минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 
минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 
км. Ответ дайте в км/ч.
Решение: + показать
Задача 4. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 
кругов по кольцевой трассе протяжённостью 
км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 
минут? Ответ дайте в км/ч.
Решение: + показать
Задача 5. Часы со стрелками показывают часов 
минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Решение: + показать
Вы можете пройти тест “Задачи на движение по окружности”
Автор: egeMax |
комментариев 14
11. Сюжетные текстовые задачи
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи на круговое движение
Верны те же формулы: [{large{S=vcdot t quad quad quad v=dfrac
St quad quad quad
t=dfrac Sv}}]
(blacktriangleright) Пусть два тела начали движение из одной точки в одном направлении со скоростями (v_1>v_2).
Тогда если (l) — длина круга, (t_1) — время, через которое они окажутся в одной точке в первый раз, то:
То есть за (t_1) первое тело пройдет расстояние на (l) большее, чем второе тело.
Если (t_n) — время, через которое они в (n)–ый раз окажутся в одной точке, то справедлива формула: [{large{t_n=ncdot t_1}}]
(blacktriangleright) Пусть два тела начали движение из разных точек в одном направлении со скоростями (v_1>v_2).
Тогда задача легко сводится к предыдущему случаю: нужно найти сначала время (t_1), через которое они окажутся в одной точке в первый раз.
Если на момент начала движения расстояние между ними (buildrelsmileover{A_1A_2}=s), то:
Задание
1
#2677
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Два спортсмена стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек круговой дорожки. Они бегут с разными непостоянными скоростями. Известно, что в тот момент, когда спортсмены впервые поравнялись, они прекратили тренировку. На сколько кругов больше пробежал спортсмен с большей средней скоростью, чем другой спортсмен?
Назовём спортсмена с большей средней скоростью первым. Сначала первому спортсмену нужно было пробежать полкруга, чтобы достичь места старта второго спортсмена. После этого ему предстояло пробежать столько же, сколько пробежал второй спортсмен (грубо говоря, после того, как первый спортсмен пробежал полкруга, ему до встречи надо было пробежать каждый метр дорожки, который пробежал второй спортсмен, причём столько же раз, сколько этот метр пробежал второй).
Таким образом, первый спортсмен пробежал на (0,5) круга больше.
Ответ: 0,5
Задание
2
#2115
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Кот Мурзик бегает от пса Шарика по кругу. Скорости Мурзика и Шарика постоянны. Известно, что Мурзик бежит в (1,5) раза быстрее Шарика и за (10) минут они в сумме пробегают два круга. За сколько минут Шарик пробежит один круг?
Так как Мурзик бежит в (1,5) раза быстрее Шарика, то за (10) минут Мурзик и Шарик в сумме пробегают такое же расстояние, которое пробежал бы Шарик за (10cdot (1 + 1,5) = 25) минут. Следовательно, Шарик пробегает два круга за (25) минут, тогда один круг Шарик пробегает за (12,5) минут
Ответ: 12,5
Задание
3
#823
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из точки A круговой орбиты далёкой планеты одновременно в одном направлении вылетели два метеорита. Скорость первого метеорита на 10000 км/ч больше, чем скорость второго. Известно, что впервые после вылета они встретились через 8 часов. Найдите длину орбиты в километрах.
В тот момент, когда они впервые встретились, разница расстояний, которые они пролетели, равна длине орбиты.
За 8 часов разница стала (8 cdot 10000 = 80000) км.
Ответ: 80000
Задание
4
#821
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Вор, укравший сумочку, убегает от хозяйки сумочки по круговой дороге. Скорость вора на 0,5 км/ч больше, чем скорость хозяйки сумочки, которая бегает за ним. Через сколько часов вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, если длина дороги, по которой они бегают, равна 300 метрам (считайте, что в первый раз он её догнал уже после кражи сумочки)?
Первый способ:
Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на 600 метров больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки (с момента кражи).
Так как его скорость на (0,5) км/ч больше, то за час он пробегает на 500 метров больше, тогда за (1 : 5 = 0,2) часа он пробегает на (500 : 5 = 100) метров больше. На 600 метров больше он пробежит за (1 + 0,2 = 1,2) часа.
Второй способ:
Пусть (v) км/ч – скорость хозяйки сумочки, тогда
(v + 0,5) км/ч – скорость вора.
Пусть (t) ч – время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, тогда
(vcdot t) – расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за (t) ч,
((v + 0,5)cdot t) – расстояние, которое пробежит вор за (t) ч.
Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на 2 круга больше неё (то есть на (600) м = (0,6) км), тогда [(v + 0,5)cdot t — vcdot t = 0,6qquadLeftrightarrowqquad 0,5cdot t = 0,6,] откуда (t = 1,2) ч.
Ответ: 1,2
Задание
5
#822
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Два мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого мотоциклиста в два раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в третий раз (считайте, что в первый раз они встретились уже после старта). Найдите скорость первого мотоциклиста, если длина трассы 40 км. Ответ дайте в км/ч.
В тот момент, когда мотоциклисты встретились в третий раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было (3 cdot 40 = 120) км.
Так как скорость первого в 2 раза больше, чем скорость второго, то он проехал из 120 км часть в 2 раза большую, чем второй, то есть 80 км.
Так как встретились в третий раз они через час, то 80 км первый проехал за час. Его скорость 80 км/ч.
Ответ: 80
Задание
6
#824
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Два бегуна стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой 400 метров. Через сколько минут бегуны поравняются в первый раз, если первый бегун за час пробегает на 1 километр больше, чем второй?
За час первый бегун пробегает на 1000 метров больше, чем второй, значит на 100 метров больше он пробежит за (60 : 10 = 6) минут.
Изначальное расстояние между бегунами равно 200 метров. Они поравняются, когда первый бегун пробежит на 200 метров больше, чем второй.
Это произойдёт через (2 cdot 6 = 12) минут.
Ответ: 12
Задание
7
#825
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из города M по круговой дороге длиной 220 километров вышел турист, а через 55 минут следом за ним из города M отправился автомобилист. Через 5 минут после отправления он догнал туриста в первый раз, а еще через 4 часа после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость туриста. Ответ дайте в км/ч.
Первый способ:
После первой встречи автомобилист догнал туриста (во второй раз) через 4 часа. К моменту второй встречи автомобилист проехал на круг больше, чем прошёл турист (то есть на (220) км).
Так как за эти 4 часа автомобилист обогнал туриста на (220) км, то скорость автомобилиста на (220 : 4 = 55) км/ч больше, чем скорость туриста.
Пусть теперь скорость туриста (v) км/ч, тогда до первой встречи он успел пройти [v cdot left(dfrac{55}{60} + dfrac{5}{60}right) = v text{км},] автомобилист успел проехать [(v + 55)dfrac{5}{60} = dfrac{v + 55}{12} text{км}.] Тогда [dfrac{v + 55}{12} = v,] откуда находим (v = 5) км/ч.
Второй способ:
Пусть (v) км/ч – скорость туриста.
Пусть (w) км/ч – скорость автомобилиста. Так как (55) минут (+ 5) минут (= 1) час, то
(vcdot 1) км – расстояние, которое прошёл турист до первой встречи. Так как (5) минут (= dfrac{1}{12}) часа, то
(wcdot dfrac{1}{12}) км – расстояние, которое проехал автомобилист до первой встречи. Расстояния, которые они проехали до первой встречи, равны: [wcdot dfrac{1}{12} = vcdot 1.] За следующие 4 часа автомобилист проехал больше, чем прошёл турист на круг (на (220) км), тогда (wcdot 4 = vcdot 4 + 220), итого: [v = dfrac{1}{12}w,] что равносильно (w = 12cdot v)
(4w = 4v + 220), откуда с учётом предыдущего уравнения [48v = 4v + 220.] Решая эту систему на (v) и (w), находим (v = 5) км/ч, (w = 60) км/ч.
Ответ: 5
Как научиться быстро и правильно решать задачи на круговое движение в ЕГЭ по математике? Этот вопрос в преддверии аттестационного испытания возникает у школьников все чаще. О том, как максимально эффективно подготовиться к экзамену, расскажет образовательный портал «Школково».
Основные моменты
В задачах ЕГЭ на круговое движение перемещение могут осуществлять 2 объекта. В этом случае следует учитывать их скорость сближения или удаления.
[T=dfrac S {V_1-V_2}]
[T=dfrac S {V_1+V_2}]
При использовании в упражнении величин, которые связаны с расстоянием (скорость, длина круга), решить их можно путем сведения к перемещению по прямой.
[S=Vcdot t]
Наибольшую сложность у школьников Москвы и других городов, как показывает практика, вызывают задачи на круговое движение в ЕГЭ, поиск ответа в которых связан с применением угла. Для решения упражнения длину окружности можно задать как часть круга.
Повторить эти и другие алгебраические формулы вы можете в разделе «Теоретическая справка». Для того чтобы научиться применять их на практике, прорешайте упражнения по данной теме в «Каталоге».
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по окружности
Скачать файл в формате pdf.
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на движение по окружности
| Задача 1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Пусть x км/ч – скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго равна x + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов.
Чтобы мотоциклисты поравнялись, второй мотоциклист (скорость которого больше) должен проехать на изначально разделяющее их расстояние, которое равно половине длины трассы, то есть 7 км. Следовательно: (left( {x + 21} right),t — x,t = 7,,,, Leftrightarrow ,,,,x,t + 21,t — x,t = 7,,,, Leftrightarrow ,,,,21,t = 7,,,, Leftrightarrow ,,,,frac{1}{3}.) Таким образом, мотоциклисты поравняются через (t = frac{1}{3}) часа, что составляет 20 минут. Ответ: 20. |
||||||||||||||||||||||||
| Задача 2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км/ч – скорость второго автомобиля.
Для того чтобы первый автомобиль опережал второго ровно на один круг, необходимо, чтобы он проехал на один круг больше, длина которого равна 14 км. (80 cdot frac{2}{3} — frac{2}{3}x = 14,,left| {, cdot 3} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,160 — 2x = 42,,,, Leftrightarrow ,,,,2x = 118,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 59) км/ч. Ответ: 59. |
||||||||||||||||||||||||
| Задача 3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он ещё не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
За (frac{1}{2}) часа мотоциклист проехал на 30 км больше. (frac{1}{2} cdot x — frac{1}{2} cdot frac{x}{4} = 30,,left| {, cdot 8,,,,} right. Leftrightarrow ,,,,4x — x = 240,,,, Leftrightarrow ,,,,3x = 240,,,, Leftrightarrow ,,,,x = 80) км/ч. Ответ: 80. |
||||||||||||||||||||||||
| Задача 4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй – между 9 и 10 часами, третий – между 10 и 11 часами, четвертый ровно в 12 часов, то есть через 4 часа после начала движения, что составляет 240 минут. Ответ: 240. |
||||||||||||||||||||||||
| Задача 5. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км/ч – скорость второго гонщика, а y км/ч – скорость первого. Составим уравнение на случай, когда гонщики проехали 60 кругов по 3 км, то есть 180 км.
Так как, на финиш первый приехал раньше второго на 10 минут, то есть на (frac{1}{6}) часа, то: (frac{{180}}{x} — frac{{180}}{y} = frac{1}{6}.) Составим уравнение на случай, когда гонщики едут 15 минут, то есть (frac{1}{4}) часа.
Так как, за 15 минут первый гонщик обогнал второго на круг, то он проехал на 3 км больше, то есть: (frac{1}{4}y — frac{1}{4}x = 3,left| {, cdot 4,,,, Leftrightarrow ,,,,y — x = 12} right..) Таким образом, получаем систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {frac{{180}}{x} — frac{{180}}{y} = frac{1}{6};} \ {y — x = 12.,,,,,,,,,,} end{array}} right.) Из второго уравнения: (y = x + 12). Подставляя в первое уравнение, получим:
(D = {12^2} + 4 cdot 6 cdot 180 cdot 12 = {12^2} + {12^2} cdot 2 cdot 180 = {12^2}left( {1 + 360} right) = {12^2} cdot 361;,,,,sqrt D = 12 cdot 19;) ({x_1} = frac{{ — 12 + 12 cdot 19}}{2} = frac{{12left( {19 — 1} right)}}{2} = 12 cdot 9 = 108;) ({x_2} = frac{{ — 12 — 12 cdot 19}}{2} = frac{{12left( { — 1 — 19} right)}}{2} = 12 cdot left( { — 10} right) = — 120.) Так как (x > 0), то скорость второго гонщика равна 108 км/ч. Ответ: 108. |
Решение задач по теме «Движение по окружности».
Автор: Жаркова Татьяна Петровна
Задания теста согласно теории по теме «Решение задач на движение по окружности» в пределах КИМ для учащихся 8-11 классов, предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут помочь выпускникам при подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Задачи из «Открытого банка заданий по математике» При решении заданий теста по теме «Решение задач на движение по окружности» необходимо хорошо знать алгоритмы решения задач на движение по окружности (замкнутой трассе). В большинстве случаев задачи на движение по окружности становятся нагляднее, если при их решении использовать вспомогательные таблицы, иллюстративные рисунки и схемы. В тесте представлены два варианта, в каждом из которых шесть задач, и ответы к ним.
©
Епифанова Татьяна Николаевна
Епифанова Татьяна Николаевна
Понравилось? Сохраните и поделитесь:
По кнопке ниже вы можете скачать методическую разработку «Тест «Решение задач на движение по окружности»» категории «Математика 11 класс» бесплатно. Будем благодарны, если вы оставите отзыв или посмотрите еще другие материалы на нашем сайте. Характеристики документа: «тест».
Загрузка началась…
Понравился сайт? Получайте ссылки
на лучшие материалы еженедельно!
Подарок каждому подписчику!
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Открытый банк заданий по теме задачи на движение. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1105
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
Решение
Обозначим скорость второго велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость первого (x+3) км/ч, а время первого велосипедиста на прохождение всего пути frac{21}{x+3}ч, время второго велосипедиста, затраченное на прохождение всего пути frac{21}{x}ч. Разница во времени равна 10 мин = frac16часа.
Составим и решим уравнение: frac{21}{x}-frac{21}{x+3}=frac16,
6(21(x+3)-21x)=x(x+3),
x^2+3x-378=0,
x_1=18, x_2=-21.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.
Ответ
18
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1101
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
Решение
Обозначим скорость течения реки через x км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки (15 + x) км/ч, скорость лодки против течения реки (15 — x) км/ч. Время, затраченное лодкой на путь по течению реки frac{160}{15+x} ч, время, затраченное на путь против течения реки — frac{160}{15-x} ч.
Составим и решим уравнение:
frac{160}{15-x}-frac{160}{15+x}=8,
frac{20}{15-x}-frac{20}{15+x}=1,
20(15+x-15+x)= (15-x)(15+x),
20cdot2x=225-x^2,
40x=225-x^2,
x^2+40x-225=0,
x_1=5, x_2=-45.
Скорость течения положительна, она равна 5 км/ч.
Ответ
5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1100
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
Решение
Обозначим скорость второго мотоциклиста через x км/ч, тогда по условию скорость первого мотоциклиста (x + 40) км/ч. Время, затраченное на прохождение всего пути первым мотоциклистом, равно frac{171}{x+40} ч. Время, затраченное на прохождение всего пути вторым мотоциклистом, равно frac{171}{x} ч.
Составим и решим уравнение:
frac{171}{x}-frac{171}{x+40}=2,5,
171(x + 40) — 171x = 2,5x(x + 40),
171x+171cdot40-171x = 2,5x^2 + 100x,
2,5x^2+100x-171cdot40 =0,
x^2+40x-171cdot16=0,
x_1 = 36, x_2 = -76.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость второго мотоциклиста
36 км/ч.
Ответ
36
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1096
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Товарный поезд имеет длину 1100 метров. Какова длина пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минуты 6 секунд. Ответ дайте в метрах.
Показать решение
Решение
Скорость пассажирского поезда относительно товарного равна 80-50=30 (км/ч) = frac{30000}{60} (м/мин) =500 (м/мин). Обозначим длину пассажирского поезда через x метров, тогда пассажирский поезд пройдёт мимо товарного поезда расстояние, равное (1100 + x) метров, за 3 мин 6 сек (3 мин 6 сек = 3,1 мин).
Составим и решим уравнение:
frac{1100+x}{3,1}=500,
1100+x=500cdot3,1,
x=1550-1100,
x=450.
Длина пассажирского поезда 450 м.
Ответ
450
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1095
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо семафора за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Показать решение
Решение
Обозначим длину поезда x км. Тогда время, за которое поезд проезжает мимо семафора, равно frac{x}{60}ч. По условию это 45 секунд, то есть frac{45}{3600}ч.
frac{x}{60}=frac{45}{3600},
x=frac{60cdot45}{3600},
x=0,75 (км).
Длина поезда равна 750 м.
Ответ
750
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1094
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо здания вокзала, длина которого равна 150 метров, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.
Показать решение
Решение
Обозначим длину поезда x км. Длина здания равна 150 метров, то есть 0,15 км. Путь, который поезд проехал мимо здания вокзала, равен (x+0,15) км. Время, за которое поезд проезжает мимо здания вокзала, равно frac{x+0,15}{63}ч. По условию это 1 минута (1 мин = frac{1}{60} часа).
оставим и решим уравнение: frac{x+0,15}{63}=frac{1}{60},
x=0,9 (км).
Длина поезда равна 900 м.
Ответ
900
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №1093
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?
Показать решение
Решение
Обозначим время велосипедистов до встречи через x ч. Тогда первый велосипедист до встречи проедет 18x км, а второй велосипедист проедет до встречи 22x км.
Составим и решим уравнение:
8x + 22x = 88, 40x = 88, x = 2,2.
Велосипедисты встретятся через 2,2 часа.
Ответ
2,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №945
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость движения теплохода в воде без течения равна 15 км/ч. Стоянка длилась 7 часов. Найдите скорость течения реки, если в пункт отправления теплоход вернулся через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
Решение
Обозначим скорость течения через x км/ч, тогда скорость теплохода по течению реки равна (15+x) км/ч, скорость теплохода против течения (15-x) км/ч. Время движения теплохода равно 37-7=30 ч.
Составим и решим уравнение:
frac{221}{15+x}+frac{221}{15-x}=30,
221(15-x+15+x)=30(15-x)(15+x),
221=225-x^2,
x^2=4,
x_1=2,,x_2=-2.
Скорость течения положительна, она равна 2 км/ч.
Ответ
2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №944
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
Решение
Обозначим скорость велосипедиста на пути от A до B через x км/ч, x>0. Тогда его скорость на обратном пути будет (x+6) км/ч. Время, затраченное велосипедистом на путь от A до B, равно frac{288}{x}ч, время движения на обратном пути frac{288}{x+6}ч.
Составим и решим уравнение:
frac{288}{x}-frac{288}{x+6}=4,
288(x+6-x)=4x(x+6),
72cdot6=x^2+6x,
x^2+6x-432=0,
x_1=18,,x_2=-24.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость велосипедиста равна 18 км/ч.
Ответ
18
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Задание №943
Тип задания: 11
Тема:
Задачи на движение
Условие
Из пункта A в пункт B одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт B обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины. Ответ дайте в км/ч.
Показать решение
Решение
Обозначим скорость первой машины через x км/ч, путь от A до B s км, тогда путь от пункта A в пункт B она пройдёт за frac sxч. Половина пути пройдена второй машиной со скоростью 39 км/ч за frac{0,5s}{39}=frac{s}{78}ч. Скорость второй машины на второй половине пути равна (x+26) км/ч, таким образом, время, затраченное на вторую половину пути второй машиной, равно frac{0,5s}{x+26}ч.
Составим и решим уравнение:
frac sx=frac{s}{78}+frac{0,5s}{x+26},
frac 2x=frac{2}{78}+frac{1}{x+26},
frac 2x-frac{1}{39}-frac{1}{x+26}=0,
frac{2cdot39(x+26)-x(x+26)-39x}{39x(x+26)}=0,
78x+39cdot52-x^2-26x-39x=0,
x^2-13x-39cdot52=0,
x_1=52,,x_2=-39.
Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость первой машины 52 км/ч.
Ответ
52
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ
Задачи.
1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км.
Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист.
Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
5. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км.
Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут.
Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
В задачах на движение по прямой часто надо отыскать среднюю скорость транспортного средства.
Средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.
$v_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$
Пример:
Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Для простоты решения задачи сделаем таблицу.
| $S_1=140км$ | $S_2=220км$ | $S_3=30км$ |
| $v_1=70$км/ч | $v_2=80$км/ч | $v_3=120$км/ч |
| $t_1-?$ | $t_2-?$ | $t_3-?$ |
Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.
$t_1={S_1}/{v_1}={140}/{70}=2$ часа
$t_2={S_2}/{v_2}={220}/{80}=2.75$ часа
$t_3={S_3}/{v_3}={30}/{120}=0.25$ часа
$v_{ср}={S_1+S_2+S_3}/{t_1+t_2+t_3}={140+220+30}/{2+2.75+0.25}={390}/{5}=78$ км/ч
Ответ: $78$ км/ч
Иногда встречаются такие задачи на движение, в которых учитываются размеры транспортного средства. Чаще всего в таких задачах необходимо рассчитать длину поезда, например.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.
Решение:
Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.
Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.
$3$ минуты $=3·60=180$ секунд
$60$ км/ч$={60}/{3.6}={600}/{36}={50}/{3}$ м/с
$S=v·t={50·180}/{3}=3000$ метров
Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:
$l=3000-200=2800$ метров.
Ответ: $2800$
Пример:
Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Пусть $х$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $(х+5)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.
Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.
| $S$(км) | $v$(км) | $t$(ч) | |
| Первый велосипедист | $(x+5)$ | ||
| Второй велосипедист | $x$ |
Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $«S»$.
| $S$(км) | $v$(км) | $t$(ч) | |
| Первый велосипедист | $84$ | $(x+5)$ | |
| Второй велосипедист | $84$ | $x$ |
Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$.
| $S$(км) | $v$(км) | $t$(ч) | |
| Первый велосипедист | $84$ | $(x+5)$ | ${84}/{(x+5)}$ |
| Второй велосипедист | $84$ | $x$ | ${84}/{x}$ |
Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения велосипедистов равна $5$ часов. Дольше в пути находился второй велосипедист, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.
${84}/{х}-{84}/{(х+5)}=5$
Перенесем все слагаемые в левую сторону уравнения
${84}/{х}-{84}/{(х+5)}-5=0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $х(х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+5)$, ко второй $х$, а к третьему слагаемому $(х^2+5х)$.Получаем:
${84х+420-84х-5х^2-25х}/{х(х+5)}=0$
Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$84х+420-84х-5х^2-25х=0; х(х+5)≠0$
Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)
$х(х+5)≠0$
$х≠0$ или $х+5≠0$
$х≠0$ или $х≠-5$
Найдем корни числителя.
$84х+420-84х-5х^2-25х=0;$
Приведем подобные слагаемые и расставим поставим их в порядке убывания степеней
$-5х^2-25х+420=0$
Разделим уравнение на $(-5)$
$х^2+5х-84=0$
По теореме Виета
$х_1=-12, х_2=7$
$х_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.
$х_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.
Ответ: $7$
Некоторые нюансы в задачах с круговым движением:
- В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.
- Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.
- Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.
- Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.
Пример:
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.
$S=18$ км
$t=45$мин$={3}/{4}$часа
Пусть $х$ км/ч — скорость второго автомобиля.
Скорость опережения равна разности скоростей.
Тогда скорость опережения равна $v_{опережения}=(92-х)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.
Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$={45}/{60}={3}/{4}$часа
$v_{опережения}={S}/{t}={18}/{{3}/{4}}={18·4}/{3}=24$
Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.
$92-х=24$
$-х=24-92$
$х=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.
Ответ: $68$
Задачи на движение по кругу
Вашему вниманию представляются задачи на движение по кругу, в том числе задачи со стрелками часов, которые часто вызывают трудности.
Задача 1. Двигаясь по окружности в одном направлении, две точки встречаются каждые 12 минут. Так же известно, что первая точка обходит всю окружность на 10 секунд быстрее, чем вторая. Определить, сколько времени потребуется второй точке, чтобы обойти всю окружность.
Составим первое уравнение по первому предложению задачи: раз точки, двигаясь с разными скоростями, встречаются, следовательно, одна обгоняет другую ровно на 1 круг. Тогда
Здесь — скорость «догоняющей» точки, длина круга принята за 1, минуты переведены в секунды.
Время, за которое первая точка обходит 1 круг, равно , а время, за которое вторая точка обходит круг, равно . Между этими значениями разница в 10 с (по условию), откуда получим второе уравнение: .
Можем выразить скорость из второго уравнения: , или
Подставим полученное значение в первое уравнение:
Решение квадратного уравнения, которое получится, приводить не буду, один из корней отрицательный, то есть не подходит по условию задачи, а положительный равен . Иными словами, перая точка двигается с такой скоростью, что обходит 1 круг за 80 секунд. Так как вторая обходит круг на 10 секунд дольше, то время ее движения равно 90 с.
Ответ: 90 с.
Задача 2. На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.
Да, представьте себе, иногда в задачах на движение объекты двигаются в разные стороны!
Пусть — скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а — скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние , а вторая пройдет расстояние .
Тела на круговой дистанции
После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:
Выразим время движения точек до встречи : откуда имеем
По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть
Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:
И находим : , откуда .
Полная длина круга равна:
Ответ: длина окружности 70 м.
Задача 3. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 8 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошел первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 9 км/час меньше скорости второго.
Обозначим скорости бегунов и . Тогда сразу можно записать их разность, которая составляет 9 км/час:
Теперь поразмыслим над первым условием задачи. Если спустя час стало известно, что второй бегун прошел круг, значит, он прошел его за 57 минут. Обозначим длину круга . Тогда скорость второго бегуна равна . Первый же бегун преодолел расстояние за 60 минут, значит, его скорость . Подставляем эти выражения в первое уравнение. Так как в задаче присутствует неудобное число минут — 57, то представим все скорости, в том числе разность скоростей, в км/мин. Получим:
Рассчитаем скорости обоих бегунов: — это 11 км/час, — а это 20 км/час.
Задача 4. Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Такие задачи часто решаются очень-очень просто: если стрелки в n-ный раз встречаются в полдень или полночь, то есть в 12 часов. Только в этом случае стрелки не только совмещаются сами, но и встреча их происходит строго на риске деления. Все остальные встречи стрелок (не в полночь) происходят между часовыми делениями, и точно сказать, где, навскидку не получится.
Итак, рассуждаем: на данный момент часовая стрелка находится между 6-часовой отметкой и 7-часовой – где-то посередине, так как из 60 минут данного часа прошло 35 – приблизительно половина. А минутная указывает ровно на 7-часовую отметку. То есть, встреча стрелок недавно состоялась, и в течение данного часа они уже не встретятся. (Вот этот момент – самый важный: понять, состоится встреча стрелок в течение этого часа или нет. Некоторые репетиторы даже советуют надеть на руку на экзамен механические часы.) Первая их встреча произойдет где-то между 7 и 8 часами, и пока нам неважно, где точно. Вторая встреча будет между 8-ми и 9-тичасовой отметками, третья – между 9-ти и 10-тичасовой, далее между 10 и 11 – четвертая и между 11 и 12 – пятая. Но встреча между 11 и 12 не может произойти «между» часовыми делениями, она произойдет ровно в 12 часов! Осталось вычесть из 12.00 часов 6.35, не забыв, что в часе не 100 минут, а 60: минут.
Задача 5. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
Решение этой задачи может быть проведено совершенно аналогичным способом: в текущем часе стрелки уже не повстречаются. Они встретятся впервые лишь между 5-ю и 6-ю часами. Второй раз – между 6-ю и 7-ю, потом между 7-ю и 8-ю, и далее между 8 и 9, 9 и 10, 10 и 11, и, наконец, между 11 и 12, а именно, в 12 часов, потому что, как мы помним, стрелки совмещаются ровно в полночь (или полдень). Сколько же пройдет времени от 4.45 до 12.00? Пятнадцать минут до пяти часов и еще 7 часов, или минут.
Попробуем решить задачу иначе.
Скорость минутной стрелки 12 делений в час, а часовой – одно деление в час. Так как они в конце концов совместятся – и даже неважно, в который раз – значит, время их движения одинаково. Попробуем записать время движения каждой стрелки, применим для этого стандартную формулу для равномерного движения: . То есть .
Время движения часовой стрелки равно , время минутной . Со скоростями мы разобрались, а теперь поймем, какой путь каждая проделает. Часовая пройдет неизвестное нам количество делений, пусть это будет делений. Минутная пройдет столько, сколько разделяет на данный момент стрелки — а это семь целых делений и, за счет того, что прошло уже 45 минут от начала текущего часа, то есть часа — еще деления. Затем минутная обгонит часовую еще 6 раз – а это полных шесть кругов, или делений, да еще делений, на которые уйдет часовая стрелка – всего . Тогда запишем уравнение:
Или , то есть
То есть до седьмой встречи часовая стрелка пройдет 7 целых и одну четверть часа – или 435 минут.
Все-таки второй способ немного сложнее первого, «жизненного», не находите?
Слайд 1
Движение по окружности (замкнутой трассе) Обучающие модули для дистанционной самоподготовки
Слайд 2
Е сли два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно (v 1 > v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 . В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го , он проходит расстояние на один круг больше. Продолжить Показать В момент, когда 1-й велосипедист в о второй раз догоняет 2-го , он проходит расстояние на два круг а больше и т.д .
Слайд 3
1 2 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг? 1 красный 2 зеленый 60 80 v, км/ч на 15 км меньше (1 круг) Уравнение: Ответ: 45 х получим в часах. Не забудь перевести в минуты. t , ч х х S, км 60х 80х Показать
Слайд 4
2 1 2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 1 автомоб. 2 автомоб. 90 х v, км/ч на 10 км больше (1 круг) Ответ: 75 t , ч 2 3 2 3 S, км 2 3 90 2 3 х Уравнение: Показать
Слайд 5
3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? 1 красный 2 синий х х+21 v, км/ч на 7 км меньше (половина круга) Уравнение: Ответ: 20 t получим в часах. Не забудь перевести в минуты. t , ч t t S, км t х t( х +21) Сколько кругов проехал каждый мотоциклист нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км. Еще способ в комментариях. Показать
Слайд 6
старт финиш 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 Пусть полный круг – 1 часть. 4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг? Показать
Слайд 7
4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг? на 1 круг больше Ответ: 10 1 лыжник 2 лыжник v, круг/мин t , мин 60 60 S, км х х+2 1 1 t , мин 1 лыжник 2 лыжник S, часть v, часть/мин 1 х+2 1 х 1 х+2 1 х 60 х 60 х+2 Сначала выразим скорость каждого лыжника. Пусть за х мин 1-й лыжник проходит полный круг. Второй на 2 минуты больше, т.е. х+2. 60 х 60 х+2 – = 1 Это условие поможет ввести х …
Слайд 8
5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч , и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 1 желтый 2 синий S, км 80 х v, км/ч t , ч 2 3 2 3 2 3 80 2 3 х на 14 км больше (1 круг) Уравнение: Можно было сначала найти скорость вдогонку: 80 – х Тогда уравнение будет выглядеть так: v S t Ответ: 59 Нажать на кнопку можно несколько раз. Сколько кругов проехал каждый автомобиль нам не важно. Важно, что желтый автомобиль проехал на 1 круг больше, т.е. на 14 км. Показать 1 2
Слайд 9
6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. 1 мотоцик. 2 велосип. S, км х у v, км/ч t , ч 1 6 2 3 2 3 у 1 уравнение: 1 6 х = Показать 1 встреча. Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное.
Слайд 10
6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. 1 мотоцик. 2 велосип. S, км х у v, км/ч t , ч 1 2 1 2 1 2 у на 30 км больше (1 круг) 2 уравнение: Ответ 80 1 2 х Искомая величина – х Показать (2) 2 встреча. Велосипедист и мотоциклист были в пути до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч). А расстояние за это время мотоциклист проехал на 1 круг больше.
Слайд 11
7. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? минутная часовая х S, круг v, круг/ч t , ч 1 1 12 х 1х 1 12 х на круга больше 2 3 3 1х – = 1 12 х 2 3 3 Ответ: 240 мин 2 3 1 3 В первый раз минутной стрелке надо пройти на круга больше, чтобы догнать минутную стрелку. Во 2-й раз – еще на 1 круг больше. В 3-й раз – еще на 1 круг больше. В 4-й раз – еще на 1 круг больше. Всего 2 3 на круга больше 2 3 3
Слайд 12
6 12 1 2 9 11 10 8 7 4 5 3 Показать (4) В первый раз минутной стрелке надо пройти на круга больше, чтобы догнать минутную стрелку. Во 2-й раз – еще на 1 круг больше. В 3-й раз – еще на 1 круг больше. В 4-й раз – еще на 1 круг больше. Всего 2 3 на круга больше 2 3 3 Проверка Другой способ – в комментариях.