Задачи на движение по прямой теория егэ

Разберем подробнее некоторые особенности, возникающие при решении задач на движение.

Прочитай задачу несколько раз

Осознай ее настолько, чтобы тебе было понятно абсолютно все.

Например, часто возникают трудности с понятием “собственная скорость лодки/катера” и т.д.

Подумай, что это может значить? Правильно, скорость лодки в стоячей воде, например, в пруду, когда на нее НЕ влияет скорость течения.

Кстати, в задачах иногда пишут «найти скорость лодки в стоячей воде».

Теперь ты знаешь, что собственная скорость лодки и скорость лодки в стоячей воде – одно и тоже, так что не теряйся, если встретишь оба этих определения.

Сделай рисунок

Пойми точно кто куда едет, кто к кому приехал, и где они все встретились.

Сделай рисунок, попутно записывая на нем все известные величины (ну либо под ним, если не знаешь, как их отобразить схематически).

Рисунок должен четко отражать весь смысл задачи.

Его следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты.

Качественный рисунок позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего составления уравнения.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

• сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
• разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример №1

Допустим, из точки ( displaystyle A) и из точки ( displaystyle B) навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины – ( displaystyle 60) км/ч, а скорость ( displaystyle 2) машины – ( displaystyle 40) км/ч. Они встретились через ( displaystyle 1,2) часа.

Какое расстояние между пунктами ( displaystyle A) и ( displaystyle B)?

1 вариант решения

Можно рассуждать так: машины встретились, значит расстояние между городами – это сумма расстояния, которая прошла первая машина, и расстояния, которое прошла вторая.

( displaystyle 60cdot 1,2text{ }=text{ }72) (км) – путь, который проехала первая машина

( displaystyle 40cdot 1,2text{ }=text{ }48) (км) – путь, который проехала вторая машина

( displaystyle 72 + 48 = 120) (км) – расстояние, которое проехали обе машины, то есть, расстояние между пунктами ( displaystyle A) и ( displaystyle B).

2 вариант решения (более рациональный)

А можно просто воспользоваться очень логичной формулой о сложении скоростей.

Проверим, работает ли она:

( displaystyle 60 + 40 = 100) (км/ч) – скорость сближения машин

( displaystyle 100cdot 1,2text{ }=text{ }120) (км) – расстояние, которые проехали машины, то есть, расстояние между пунктами ( displaystyle A) и ( displaystyle B).

Оба решения являются верными. Второе просто более рациональное.

Пример №3

Итак, задача:

Из пункта ( displaystyle A) и пункта ( displaystyle B) машины движутся навстречу друг другу со скоростями ( displaystyle 50) км/ч и ( displaystyle 80) км/ч. Расстояние между пунктами – ( displaystyle 195) км.

Через сколько времени машины встретятся?

1 вариант решения

Пусть ( displaystyle x) – время, которое едут машины, тогда путь первой машины – ( displaystyle 50x), а путь второй машины – ( displaystyle 80x).

Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами ( A) и ( B) – ( displaystyle 50x+80x=195).

2 вариант решения (более рациональный)

( displaystyle 50 + 80 = 130) (км/ч) – скорость сближения машин;

( displaystyle 195:130 = 1,5) (ч) – время, которое машины были в пути.

Задача решена.

Пример №4

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями ( displaystyle 60) км/ч и ( displaystyle 40) км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами ( displaystyle 100) км?

2 способа решения:

I способ

Относительная скорость автомобилей ( displaystyle 60+40=100) км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью ( displaystyle 100) км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние ( displaystyle 100) км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

( displaystyle t=frac{100}{100}=1 час=60 минут).

II способ

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его ( displaystyle t). Тогда первый автомобиль проехал путь ( displaystyle 60t), а второй – ( displaystyle 40t).

В сумме они проехали все ( displaystyle 100) км. Значит,

( displaystyle 60t+40t=100Rightarrow t=1 час=60 минут).

Пример №5

А вот и задача: из Москвы в противоположные стороны выехало ( displaystyle 2) машины. Скорость одной машины – ( displaystyle 85) км/ч, скорость другой – ( displaystyle 60) км/ч.

На каком расстоянии друг от друга будут находиться машины через ( displaystyle 2) часа?

Решил?

Решая первым способом, у меня получилось, что путь, проделанный первой машиной, равен ( displaystyle 170) км, а второй – ( displaystyle 120) км. 

Соответственно, расстояние между машинами – ( displaystyle 290) км.

Решая вторым способом, выходит, что скорость удаления равна (displaystyle 145 км/ч), а путь равен (displaystyle 145 км/ч)( displaystyle cdot 2 ч) = (displaystyle 290 км).

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае.

Время, проведенное телами в пути, при удалении друг от друга равно пройденному расстоянию (то есть, если между телами изначально было некое расстояние ( {{S}_{0}}), то его следует вычесть из общего расстояния), деленному на сумму скоростей тел:

( displaystyle {{text{t}}_{пути}}=frac{S}{{{nu }_{1}}+{{nu }_{2}}})

Как ты видишь, формула аналогична выведенной нами при движении тел навстречу друг другу.

Считаешь, что такого не может быть?

Проверь ее на практике!

Из пункта ( displaystyle A) в пункт ( displaystyle B), расстояние между которыми ( displaystyle 30) км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на ( displaystyle 65) км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт ( displaystyle B) на ( displaystyle 156) минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт ( displaystyle A), пункт ( displaystyle B), две стрелочки…

В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.

Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из ( displaystyle 3) компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.

Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист.

Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

	Скорость, км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист
мотоциклист

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен ( displaystyle 30) км. Вносим!

	Скорость, км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист			( displaystyle 30)
мотоциклист			( displaystyle 30)

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на ( displaystyle 65) км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста…

Возьмем скорость велосипедиста за ( displaystyle x), тогда скорость мотоциклиста будет ( displaystyle x+65)…

Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

	Скорость, км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист	( displaystyle x)		( displaystyle 30)
мотоциклист	( displaystyle x+65)		( displaystyle 30)

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?

Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

	Скорость, км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист	( displaystyle x)	( displaystyle frac{30}{x})	( displaystyle 30)
мотоциклист	( displaystyle x+65)	( displaystyle frac{30}{65+x})	( displaystyle 30)

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.

Что мы можем на нем отразить?

Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.

Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?

Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – ( displaystyle 156) минут.

Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

( displaystyle 156) минут / ( displaystyle 60) минут = ( displaystyle 2,6) часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?

Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

( displaystyle frac{30}{x}-frac{30}{65+x}=2,6)

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

( displaystyle frac{30cdot left( 65+x right)}{xcdot left( 65+x right)}-frac{30x}{xcdot left( 65+x right)}=2,6)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

( displaystyle frac{1950}{xcdot left( 65+x right)}=2,6)

Из этого уравнения мы получаем следующее:

( displaystyle 2,6cdot xcdot left( 65+x right)=1950)

( displaystyle xcdot left( 65+x right)=frac{1950}{2,6})

( displaystyle xcdot left( 65+x right)=750)

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

( displaystyle {{x}^{2}}+65{x}-750=0)

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

( displaystyle {{x}^{2}}+65{x}-750=0)

( displaystyle D={{b}^{2}}-4ac)

( displaystyle D={{65}^{2}}-4cdot 1cdot left( -750 right)=4225+3000=7225)

( displaystyle sqrt{D}=sqrt{7225}=85)

( displaystyle {{x}_{1,2}}=frac{-bpm sqrt{D}}{2a})

( displaystyle {{x}_{1}}=frac{-65+85}{2}=10)

( displaystyle {{x}_{2}}=frac{-65-85}{2}=-75)

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за ( displaystyle x)? Правильно, скорость велосипедиста.

Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь, о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – ( displaystyle 10) км/ч.

Пример №9

Два велосипедиста одновременно отправились в ( displaystyle 165)-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на ( displaystyle 5) км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на ( displaystyle 5,5) часов раньше второго.

Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю:

• Прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил?
• Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
• Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности, и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь, какие там графы?).
• Пока все это пишешь, думай, что взять за ( displaystyle x)? Выбрал? Записывай в таблицу!
• Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!

Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – ( displaystyle 10) км/ч.

Отвечайте точно на поставленный вопрос

– Какого цвета твоя машина? 

– Она красивая!

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? ( displaystyle 10) км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!

Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»

Понял, о чем я?

Именно! Полученный ( displaystyle x) – это не всегда ответ на поставленный вопрос!

Вдумчиво читай вопросы – возможно, после нахождения ( displaystyle x) тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить ( displaystyle 5) км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент: часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.

Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Пример №10

Из пункта ( displaystyle A) круговой трассы выехал велосипедист. Через ( displaystyle 40) минут он еще не вернулся в пункт ( displaystyle A) и из пункта ( displaystyle A) следом за ним отправился мотоциклист.

Через ( displaystyle 20) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через ( displaystyle 40) минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна ( displaystyle 50) км. Ответ дайте в км/ч.

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет ( displaystyle x), а мотоциклиста – ( displaystyle y). До момента первой встречи велосипедист был в пути ( displaystyle 60) минут, а мотоциклист – ( displaystyle 20).

При этом они проехали равные расстояния:

( displaystyle 60x=20y (1))

Между встречами велосипедист проехал расстояние ( displaystyle 40x), а мотоциклист – ( displaystyle 40y).

Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

(Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.)

Значит,

( displaystyle 40x+50=40y (2))

Полученные уравнения решаем в системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}60x=20y\40x+50=40yend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y=3x\4x+5=4yend{array} right.Rightarrow text{4}x+5=12xRightarrow )

( displaystyle Rightarrow x=frac{5}{8}=0,625frac{text{км}}{мин}=0,625cdot 60frac{text{км}}{text{ч}}=37,5frac{text{км}}{text{ч}})

Ответ: ( displaystyle 37,5).

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

Пример №13

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через ( displaystyle 40) минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через ( displaystyle 20) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через ( displaystyle 40) минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна ( displaystyle 50) км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет ( displaystyle x), а мотоциклиста – ( displaystyle y). До момента первой встречи велосипедист был в пути ( displaystyle 60) минут, а мотоциклист – ( displaystyle 20).

При этом они проехали равные расстояния:

( displaystyle 60x=20ytext{ }left( 1 right))

Между встречами велосипедист проехал расстояние ( displaystyle 40x), а мотоциклист – ( displaystyle 40y). Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит:

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода.

Скорость течения в озере равна ( displaystyle 0).

Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести.

Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл…

Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения.

Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался? Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два случая:

1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы ( displaystyle 100) метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Пример №15

Байдарка в ( displaystyle 8:00) вышла из пункта ( displaystyle A) в пункт ( displaystyle B), расположенный в ( displaystyle 26) км от ( displaystyle A).

Пробыв в пункте ( displaystyle B) ( displaystyle 1) час ( displaystyle 20) минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт ( displaystyle A) в ( displaystyle 20:00).

Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки ( displaystyle 5) км/ч.

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.

Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.

Переведем это в часы:

( displaystyle 1) час ( displaystyle 20) минут = ( displaystyle 1frac{20}{60}=1frac{1}{3}) ч.

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за ( displaystyle x).

Пусть ( displaystyle x) – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна ( displaystyle x+5), а против течения равна ( displaystyle x-5).

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

Задачи на движение начинают проходить в 5 классе и решают все оставшиеся учебные годы вплоть до 11 класса. В ЕГЭ по математике вы найдете задачи на движение в задании 11, в котором собраны все текстовые задачи. Рассмотрим как надо решать задачи на движение из ЕГЭ. Но сначала немного теории.

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

1. Анализ данных.
2. Составление таблицы.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

S = v · t.

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Примеры решения

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10		60
Второй велосипедист	x		60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При движении в противоположном направлении объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

v = v₁ + v₂.

Движение друг за другом (вдогонку)

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Таким образом:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

Задачи на движение по кругу

При движении по кругу объекты могут:

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

• Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
• Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
• Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S:   S₁ – S₂ = m · S.

Задачи на движение мимо объекта

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:
S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

Задачи на движение по течению и против течения

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

112 ∙ = v ∙ = v ∙ + 44 ⇔ 4 ∙ v = 112 ∙ 4 – 44 ∙ 5 ⇔ v = 57.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.

Ответ: 57 км/ч.

Задача 2.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна

Тогда если скорость велосипедиста – это 1 единица отношения, то скорость мотоциклиста – это 6 единиц отношения.

Так как они едут в одном направлении, их общая скорость 5 единиц отношения.

∙5 ед.отн. = 5

1 ед.отн. = 20

6 ед.отн. = 120

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 3

Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение: Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой ― 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

, отсюда , отсюда и .

Ответ: через 9 минут.

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данную задачу можно интерпретировать (представить её, как задачу на линейное движение): Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 80 км/ч. Через 40 минут он опережает второго на 14 км (т. к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в заданиях на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение так же производим по расстоянию.

За x принимаем искомую величину ― скорость второго. Время движения 40 минут (2/3 часа) для обоих. Заполним графу «расстояние»:

	v	t	S
1	80	2/3
2	x	2/3

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 14 км.

80 ∙ больше, чем x ∙ больше, чем x ∙   на 14.

80 ∙ = x ∙ = x ∙ + 14;

– – = x ∙ ;

160 – 42 = х ∙ 2;

х = 59.

Скорость второго автомобиля 59 (км/ч).

Ответ: 59 км/ч.

Задача 5

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна v + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Решение текстовых задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

1. Анализ данных.
2. Составление таблицы.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

S = v · t.

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

• Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
• Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10	$ frac{60}{x+10} $	60
Второй велосипедист	x	$ frac{60}{x} $	60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

$ frac{60}{x+10}+3=frac{60}{x} $

$ frac{60+3x+30}{x+10}=frac{60}{x} $

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение:

1. Движение навстречу друг другу, движениев противоположных направлениях:

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

v = v₁ + v₂.

2. Движение друг за другом (вдогонку):

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

$ {upsilon_{c}=upsilon_{1}-upsilon_{2};\ upsilon_{1}>upsilon_{2}.} $

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

$ {upsilon_{y}=upsilon_{2}-upsilon_{1};\ upsilon_{2}>upsilon_{1}.} $

Таким образом:

• При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
• При движении в одном направлении скорости вычитаем.

3. Движение по кругу:

При движении по кругу объекты могут:

• сближаться, если скорость догоняющего больше скорости догоняемого. Скорость сближения будет равна  $ upsilon_{c}=upsilon_{1}-upsilon_{2}; $
• отдаляться, если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого. Скорость удаления будет равна  $ upsilon_{y}=upsilon_{2}-upsilon_{1}. $

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

• Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
• Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀км большее расстояние, чем догоняемый.
• Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S:

S₁ – S₂ = m · S.

4. Движение мимо объекта:

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

• Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

• Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:

S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

5. Движение по воде:

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

• При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

• При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

• Скорость плота считается равной скорости течения.

1.	Придумай свою задачу! Сложность: лёгкое	1
2.	Автомобилист и мотоциклист Сложность: лёгкое	1
3.	Движение по прямой (товарный поезд) Сложность: лёгкое	1
4.	Сухогрузы Сложность: лёгкое	1
5.	Садовые насосы Сложность: лёгкое	1
6.	Вопросы теста Сложность: лёгкое	1
7.	Уставный капитал Сложность: лёгкое	1
8.	Средняя скорость Сложность: среднее	2
9.	Движение по воде Сложность: среднее	2
10.	Сушёные фрукты Сложность: среднее	2
11.	Движение по воде Сложность: среднее	2
12.	Два крана Сложность: среднее	2
13.	Семейный доход Сложность: среднее	2
14.	Задача на прогрессию Сложность: сложное	3
15.	Общее время Сложность: сложное	3
16.	Гонка по кругу Сложность: сложное	3
17.	Два раствора Сложность: сложное	3

Текстовые задачи на движение по прямой

Через эту формулу можно выражать скорость и время:

( vartheta = frac{S}{t})

(t = frac{S}{ vartheta})

Особенность движения по прямой заключается в том, что два объекта могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в разных направления (как разъезжаясь друг от друга, так и двигаясь навстречу).

ДВИЖЕНИЕ В РАЗНЫЕ СТОРОНЫ

В таком случае не важно, двигаются ли объекты друг к другу или расходятся друг от друга, важно, что они идут в разные стороны. Результат остается такой же.

Рассмотрим ситуацию, когда два человека находятся в одной точке и начинают удаляться друг от друга, при этом скорость каждого составляется 5 кмч. Тогда через один час каждый из них пройдет по 5 км. Значит через один час между ними станет 5 км + 5 км = 10 км:

Еще через час они отдалятся еще на 10 км. То есть через два часа расстояние между ними станет равно 20 км:

То есть при движении в разные стороны общая скорость отдаления объектов друг от друга равна сумме их скоростей. В данном случае общая скорость равна 10 кмч:

(vartheta_{общ} = vartheta_{1} + vartheta_{2} = 5 кмbackslash ч + 5 кмbackslash ч = 10 кмbackslash ч)

Таким образом, если нам нужно посчитать, какое расстояние будет между этими объектами через определенное время, нам нужно перемножить их общую скорость и время отдаления.

(S = vartheta_{общ}t)

где (text{S })– расстояние между объектами, (t) – время, за которое они отдаляются, (vartheta_{общ} = vartheta_{1} + vartheta_{2})

Например, через 3 часа расстояние между этими объектами будет равно:

(S = 10 кмbackslash ч bullet 3 ч = 30 км)

То же самое происходит со средней скоростью, когда два объекта находятся на определенном расстоянии и начинают сближаться.

Пример №1:

Два человека находятся на расстоянии 16 км и начинают идти навстречу друг другу. Скорость первого человека равна 3 кмч, а второго – 5 кмч. Через сколько часов они встретятся?

1. Рассмотрим, какова их скорость сближения. Для этого посмотрим, на сколько измениться расстояние между ними за один час:

Получается, что расстояние между двумя людьми уменьшилось за час на 3 + 5 = 8 кмч, то есть на сумму их скоростей. Так мы убедились, что общая скорость расхождения и сближения объектов равна сумме их скоростей.

1. Тогда эти люди встретятся, когда общей скоростью пройдут расстояние в 16 км, т. е.:

(S = t bullet vartheta_{общ})

(16 км = t bullet 8 кмbackslash ч)

(t = 16 км : 8 кмbackslash ч = 2 ч)

Ответ: 2.

ДВИЖЕНИЕ В ОДНУ СТОРОНУ

Если два человека начинают идти из одной точки в одну сторону с разной скорость, то тот, кто идет медленнее начнет отставать от того, кто идет быстрее. Со временем расстояние между ними будет становиться все больше. Каждый час оно будет расти на разность скоростей людей. Эта разность скоростей будет их общей скоростью.

(vartheta_{общ} = vartheta_{2} –vartheta_{1})

Например, два человека идут из одной точки в одном направлении. Скорость первого равна 4 кмч, а скорость второго равна 6 кмч. То есть быстрый пешеход пройдет 6 км, а медленный 4. Значит между ними останется 2 км:

Еще через час расстояние между ними увеличится еще на 2 км:

Пример №1:

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

1. Составим таблицу. Обозначим за (x) искомую величину – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна (x + 40):

1. При этом расстояние, которое они проезжают, одинаковое. Оно равно расстоянию между городами А и В, т. е. 75 км:

1. Тогда выразим время автомобилиста и велосипедиста зная их скорость и расстояние:

1. При этом из условия задачи известно, что время, затраченное на этот путь автомобилистом, на 6 часов меньше, чем время велосипедиста. Составим и решим уравнение:

(frac{75}{x + 40} + 6 = frac{75}{x})

1. Приведем все к общему знаменателю, в данном случае ((x + 40)x). Перенесем се слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

(frac{75x}{left( x + 40 right)x} + frac{6left( x + 40 right)x}{left( x + 40 right)x} = frac{75left( x + 40 right)}{xleft( x + 40 right)})

(frac{75x + 6left( x + 40 right)x –75left( x + 40 right)}{left( x + 40 right)x} = 0)

(frac{75x + 6x^{2} + 240x – 75x –3000}{left( x + 40 right)x} = 0)

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет, т. е. (x neq –40) и (x neq 0), тогда:

(75x + 6x^{2} + 240x –75x –3000 = 0)

(6x^{2} + 240x –3000 = 0)

(x^{2} + 40x –500 = 0)

1. По т. Виета:

({x_{1} + x_{2} = –40 }{x_{1}x_{2} = –500})

Тогда:

(left. frac{x_{1} = –50}{x_{2} = 10} rightrbrack)

1. Проверим корни на адекватность. Мы принимали за (x) скорость велосипедиста, но скорость не может быть отрицательной, значит ответом будет являться только корень (x = 10). Запишем ответ.

Ответ: 10.

---

Задача 1. Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

 Решение: + показать

---

Задача 3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 4.  Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 5. Из двух городов, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны км/ч и км/ч?

Решение: + показать

---

Задача 6. Из городов A и B, расстояние между которыми равно км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через часа на расстоянии км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 7. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 8. Товарный поезд каждую минуту проезжает на метров меньше, чем скорый, и на путь в км тратит времени на часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 9. Расстояние между городами A и B равно км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через часа следом за ним со скоростью км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Решение: + показать

---

Задача 10.  Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным метрам?

Решение: + показать

---

Задача 11.  Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью км/ч. Через час после него со скоростью км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через часа минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение: + показать

---

Задача 12.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо придорожного столба за секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение: + показать

---

Задача 13.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна метров, за секунд. Найдите длину поезда в метрах. Видео*

Решение: + показать

---

Задача 14. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина товарного поезда равна метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно минутам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

---

Задача 15. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно км/ч и км/ч. Длина пассажирского поезда равна метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение: + показать

---

 
Вы можете пройти тест по задачам на движение по прямой.

Всего: 101    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 101    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …