Задачи на движение по воде егэ теория

Антон знает, что собственная скорость его лодки равна (10, км/ч). При этом ему надо успеть проплыть (25, км) за (2) часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший.

Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем (25 : 2 = 12,5, км/ч). То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем (2,5, км/ч).

Ответ: 2,5

Лодка прошла (10, км) по течению, а затем (5, км) против течения. На весь путь лодка затратила (3, часа). Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна (2, км/ч). Ответ дайте в км/ч.

Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения, средняя скорость лодки:[v_{ср} = dfrac{10 + 5}{3} = 5, км/ч,.]

Ответ: 5

Катер береговой охраны прошёл по течению реки Конго 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Пусть (v) км/ч – скорость течения, (v > 0), тогда

(27 + v) – скорость перемещения катера по течению,

(27 — v) – скорость перемещения катера против течения,

(dfrac{120}{27 + v}) – время, затраченное катером на перемещение по течению,

(dfrac{120}{27 — v}) – время, затраченное катером на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то: [dfrac{120}{27 + v} + 1 = dfrac{120}{27 — v}qquadLeftrightarrowqquad v^2 + 240 v — 729 = 0] – при (v neq pm 27), что равносильно (v_1 = 3, v_2 = -243), откуда получаем, что (v = 3) км/ч, так как (v > 0).

Ответ: 3

Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Пусть (x) км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда можно составить следующее уравнение: [dfrac{40}{x+2}+dfrac 6{x-2}=3 quadRightarrowquad
dfrac{46x-68}{x^2-4}=3 quadRightarrowquad 3x^2-46x+56=0] Дискриминант равен (D=4cdot 361=(38)^2), следовательно, корнями будут (x_1=dfrac43) и (x_2=14). Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то (x_1) не подходит. Следовательно, (x=14).

Ответ: 14

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна (24) км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна (3) км/ч, стоянка длится (2) часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через (34) часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Пусть (S) – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда: [dfrac S{24+3}+dfrac S{24-3}+2=34quadLeftrightarrowquad S=378] Тогда за весь рейс теплоход прошел (2S=2cdot 378=756) километров.

Ответ: 756

От пристани A в направлении пристани В с постоянной скоростью отправился первый теплоход. Через час после этого от пристани В в направлении пристани А отправился второй теплоход, причём скорость второго теплохода на 1 км/ч меньше, чем скорость первого. При этом скорость течения составляет 2 км/ч. Найдите скорость первого теплохода в неподвижной воде, если расстояние от А до В равно 120 км, а встретились теплоходы посередине между пристанями А и В. Ответ дайте в км/ч.

Так как теплоходы встретились посередине, а время, затраченное на это теплоходом с меньшей скоростью в неподвижной воде, меньше, чем время теплохода с большей скоростью в неподвижной воде, то теплоход с большей скоростью в неподвижной воде плыл против течения, то есть течение направлено от В к А.

Пусть (v) км/ч – скорость первого теплохода в неподвижной воде, (v > 0), тогда

(v — 2) км/ч – скорость перемещения первого теплохода,

((v — 1) + 2) км/ч – скорость перемещения второго теплохода,

(dfrac{60}{v — 2}) ч – время, затраченное первым теплоходом,

(dfrac{60}{v + 1}) ч – время, затраченное вторым теплоходом.

Так как время, затраченное первым теплоходом, на час больше, то: [dfrac{60}{v — 2} — dfrac{60}{v + 1} = 1qquadLeftrightarrowqquad v^2 — v — 182 = 0] – при (v neq 2, v neq -1), откуда находим (v_1 = 14, v_2 = -13), значит, (v = 14) км/ч (т.к. (v > 0)).

Ответ: 14

На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км. Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на 2,5 км/ч меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть (v) км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда

(dfrac{90}{v}) ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,

(dfrac{45}{v + 5}) ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,

(dfrac{45}{v — 2,5}) – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.

Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то: [dfrac{90}{v} = dfrac{45}{v + 5} + dfrac{45}{v — 2,5},] откуда (v = 10) км/ч.

Ответ: 10

Плот проплыл 13 км за часа. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера часов.

Пусть км/ч — скорость катера в стоячей воде, Тогда имеем:

часов — время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как плот плывёт по течению из M в N;

часов — время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время катера на дорогу из M в N и обратно равно 5,5 часа, то

Отсюда находим

Так как , то ответ 22 км/ч.