Задачи на движение протяженных тел в задачах егэ

Всего: 24    1–20 | 21–24

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 24    1–20 | 21–24

Задачи на движение протяженных тел

Протяженными будем считать тела, длина которых соизмерима с расстоянием, которое они проезжают.

В задачах на движение протяженных тел обычно требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации, предлагаемые в таких задачах, — определить длину поезда проезжающего мимо:

• придорожного столба;

• идущего параллельно путям пешехода;

• лесополосы определенной длины;

• другого двигающегося поезда.

Помним, что во всех задачах на движение используется только одна формула: это формула пути

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине. Обозначим:

l – длина поезда,

v – скорость поезда,

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы (платформы), то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы. Обозначим:

l₁ – длина поезда,

l₂ – длина лесополосы (платформы),

v – скорость поезда,

Если поезд движется мимо движущегося человека, то учитываем направление движения человека. Если он движется навстречу, то скорости складываются, если в одну сторону, то находим разность скоростей. Обозначим:

l – длина поезда,

v₁ – скорость поезда,

v₂ – скорость человека,

В одну сторону:

В разные стороны:

Если поезд движется мимо движущегося поезда, то учитываем направление движения второго поезда. Если он движется навстречу, то скорости складываются, если в одну сторону, то находим разность скоростей. Обозначим:

l₁ – длина первого поезда,

l₂ – длина второго поезда,

v₁ – скорость первого поезда,

v₂ – скорость второго поезда,

В одну сторону:

В разные стороны:

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение:

v = 60 км/ч = 1000 м/мин, t = 30 сек. = 1/2 мин. Длину поезда находим как пройденное расстояние:

Ответ: 500 метров.

Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

Решение:

v = 90 км/ч = 1500 м/мин, t = 1 мин. Тогда пройденное поездом расстояние:

Это собственная длина поезда плюс длина лесополосы. Длина поезда равна: 1500 – 800 = 700 (м).

Ответ: 700 метров.

Задача 3. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение: Так как поезда двигаются в одном направлении, их относительная скорость равна:

v = 90 – 30 = 60 км/ч =

За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние:

Это длина пассажирского и товарного поездов. Тогда длина пассажирского поезда равна:

1000 – 600 = 400 (м).

Ответ: 400 метров.

Задача 4. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение: Так как поезда двигаются в противоположных направлениях, их относительная скорость равна:

v = 65 + 35 = 100 км/ч =

За 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние:

Это расстояние, равное сумме длин обоих поездов. Значит, длина скорого поезда равна:

1000 – 700 = 300 (м).

Ответ: 300 метров.

Задача 5.  Поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 секунд, а мимо платформы длиной 378 метров – за 25 секунд. Найдите длину поезда. 

Решение: Из первого условия следует, что за 7 секунд поезд проедет расстояние, равное собственной длине поезда. За 25 же секунд ему надо проехать собственно саму длину платформы, т.е. 378 метров и ещё надо «вытащить» головной вагон вперед на расстояние, равное длине поезда.

1) 25 – 7 = 18 (с) – время, за которое поезд проехал 378 м

2) 378 : 18 = 21 (м/с) – скорость поезда

3) 21

Ответ: 144 м.

Задача 6. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и скорый поезда. Скорый поезд, двигаясь со скоростью 120 км/ч, догнал пассажирский поезд и прошёл мимо него за 100 секунд. Найдите скорость пассажирского поезда, если его длина составляет 800 метров, а длина скорого поезда – 700 метров. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Считаем, что пассажирский поезд неподвижен, а скорый приближается к нему со скоростью, равной разности скоростей поездов.

1) 700 + 800 = 1500 (м) – прошёл скорый поезд за 100 секунд

2) 1500 : 100 = 15 (м/с) – разность скоростей (скорость вдогонку)

15 м/с = км/ч = 54 км/ч

3) 120 – 54 = 66 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

Ответ: 66 км/ч.

Задача 7. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй — длиной 90 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 1000 метров. Через 16 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 400 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение: Пока сухогрузы перейдут из первого положения во второе, второй сухогруз переместился относительно первого на

1000 + 110 + 90 + 400 = 1600 (м).

Пусть v — разность скоростей сухогрузов, тогда

v = 1600 : 16 = 100 м/мин = 6 км/ч.

Ответ: на 6 км/ч.

10 сентября 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Задачи на движение протяжённых объектов

Текстовая задача ЕГЭ по математике (№8). По материалам открытого банка ФИПИ.

1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

3. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

4. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

5. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Ответы

1. 800
2. 600
3. 6
4. 400
5. 300

Встречаются в задачах В13 и задачи на движение протяжённых тел. В задачах на движение протяжённых тел требуется определить длину одного из них. 

Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо:

Поэтому 2L=32v. Для случая с неподвижным наблюдателем верно равенство L=vt. Из этих двух уравнений находим t=16.

Ответ: 16

5. Поезд, двигаясь равномерно, со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Найдем скорость сближения пешехода и поезда. Так как они двигаются навстречу друг другу, то скорость сближения равна 57+3 = 60 (км/ч.)

60 км/ч = 60·1000/3600 м/с = 600/36 м/c = 50/3 м/с.

(50/3)·18 = 50·6 = 300 (м) — длина поезда.

Ответ: 300

6.  По двум параллельным железнодорожным путям  навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. 

Поскольку ответ надо дать в метрах, то скорость сближения 65 + 35 = 100(км/ч) преобразуем в 100000 м/ч

36 с = 36/3600ч = 0,01 ч

Открою маленький секрет, в задачах такого типа делают допущение: пассажирский поезд стоит, а скорый проходит мимо пассажирского со скоростью 100000 м/ч. Если длина скорого поезда х м, то скорый проходит расстояние (700 + х) м. По формуле пути находим:

700 + х = 100000 * 0,01

700 + х = 1000

х = 300

Ответ 300

Решение текстовых задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

1. Анализ данных.
2. Составление таблицы.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

S = v · t.

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

• Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
• Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

	v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10	$ frac{60}{x+10} $	60
Второй велосипедист	x	$ frac{60}{x} $	60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

$ frac{60}{x+10}+3=frac{60}{x} $

$ frac{60+3x+30}{x+10}=frac{60}{x} $

3x² + 90x = 600 + 60x;

x² + 10x – 200 = 0.

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 10 км/ч.

Виды задач на движение:

1. Движение навстречу друг другу, движениев противоположных направлениях:

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

v = v₁ + v₂.

2. Движение друг за другом (вдогонку):

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

$ {upsilon_{c}=upsilon_{1}-upsilon_{2};\ upsilon_{1}>upsilon_{2}.} $

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

$ {upsilon_{y}=upsilon_{2}-upsilon_{1};\ upsilon_{2}>upsilon_{1}.} $

Таким образом:

• При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
• При движении в одном направлении скорости вычитаем.

3. Движение по кругу:

При движении по кругу объекты могут:

• сближаться, если скорость догоняющего больше скорости догоняемого. Скорость сближения будет равна  $ upsilon_{c}=upsilon_{1}-upsilon_{2}; $
• отдаляться, если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого. Скорость удаления будет равна  $ upsilon_{y}=upsilon_{2}-upsilon_{1}. $

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

• Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
• Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀км большее расстояние, чем догоняемый.
• Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S:

S₁ – S₂ = m · S.

4. Движение мимо объекта:

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

• Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

S = L = v₀ · t.

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

• Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:

S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

5. Движение по воде:

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

• При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

• При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

• Скорость плота считается равной скорости течения.

Тип урока: практикум по решению задач

Цель: способствовать укреплению навыка решения задач на движение по кругу и движение протяженных тел в рамках подготовки к ЕГЭ;  умения анализировать условие задачи, составлять план решения и решать текстовые задачи алгебраическим способом.

Формирование УУД:

Коммуникативных:

• формирование умения работать в группе – устанавливать рабочие отношения, эффективно сотрудничать при решении задач;
• развитие математической речи, умения работать с информацией

Регулятивные:

• формирование умений планировать пути достижения целей

Познавательные:

• создавать и преобразовывать модели и схемы при решении задач;
• осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач

Личностные:

• формирование умения вести диалог  на основе равноправных отношений  и взаимного уважения
• формирование познавательного интереса к учебной деятельности

Оборудование: карточки с заданиями, карточки с подсказками, карточки с решениями.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Притча «Скорость жизни»

Существует формула: время, умноженное на скорость, равно расстоянию. Будучи распространена на жизненный путь человека, эта формула означает: с чем большей скоростью «идет» человек по жизни, тем длиннее его жизненный путь. Можно прожить короткую жизнь, но за отведенное время пройти в своем развитии громадное расстояние. Пушкин прожил всего 37 лет, но сделал за свою жизнь столько, сколько другой человек не сделал бы за несколько жизней. Конечно, много зависит от врожденных способностей, но немало зависит и от самого человека. Так давайте будем двигаться по жизни с оптимальной скоростью.

II. Актуализация знаний

Учитель: Я не зря начала урок с упоминания о формуле вычисления длины пути. Предлагаю вам сегодня разобрать несколько задач на движение, а если быть точнее, то три задачи в рамках подготовки к ЕГЭ. Но для начала, скажите мне, какие виды задач на движение вы знаете?

Обучающийся: движение навстречу друг другу; движение, когда один догоняет другого; движение по реке.

Учитель: На столах у вас лежат карточки с задачами, жирно выделена задача, которую вам надо будет разобрать в группе. Скажите, какие виды задач нам предстоит сегодня разобрать?

Обучающийся: На сегодняшнем уроке нам предстоит рассмотреть задачи на движение по кругу и задачи на движение протяженных тел.

III. Решение задач в группах

Как будем работать:

1-ый урок:

1. Первые 10 минут – вы начинаете решать задачу в группе, советуясь между собой (Приложение 1)
2. Если по истечении этого времени вам не удалось «нащупать» способ решения, то вы обращаетесь ко мне, и я даю вам подсказку. В следующие 5 минут – вы решаете задачу уже с помощью данной подсказки (Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4).
3. Если и это не помогает, то я вам предлагаю уже полное решение, в котором вы разбираетесь уже в течение следующих 5 минут (Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4).
4. По истечении 20 минут (это максимум) у вас должно быть полное решение задачи, понятое вами и вы должны быть готовы рассказать его у доски.
5. Следующие 20 минут у нас уйдут на разбор заданий у доски, ответы на вопросы (если они появятся). Рисунок к задаче на движение протяженных тел находится в Приложении 9.

2-ой урок:

6. Далее, в течение 15 минут, я предлагаю вам уже самостоятельно решить три подобные задачи, чтобы проверить себя насколько хорошо вы поняли, уловили идеи. При этом вы можете задавать вопросы, если возникнут затруднения. На некоторые вопросы я отвечу индивидуально, а другие можно разобрать у доски (Приложение 5).
7. Итогом нашей деятельности должна стать самостоятельная работа (20 минут) (Приложение 10)
8. Домашнее задание вы получите на карточках. Оно двух уровней сложности. Какую из них выбрать вы решаете сами (Приложение 6, Приложение 7)

И последнее: какой бы способ решения вы не выбрали, обязательно должна быть графическая модель (рисунок), и в конце я попрошу вас выделить, что в решении вашей задачи, на ваш взгляд, важное, «эксклюзивное».

• Карточки с заданиями (Приложение 1)
• Задача на движение по кругу  (Приложение 2)
• Задача на движение протяженных тел  (Приложение 3).
• Рисунок к задаче находится в презентации (Приложении 9)
• Задача про стрелки часов (Приложение 4)
• Карточки с задачами для самостоятельного решения на уроке (Приложение 5)
• Карточки для домашней работы (Приложение 6)
• Карточки для домашней работы (повышенный уровень) (Приложение 7)
• Решение задач домашней работы повышенного уровня сложности (Приложение
• Карточки для самостоятельной работы (Приложение 10)

IV. Итог урока

V. Домашнее задание

Домашнее задание двух уровней сложности. Учащиеся выбирают сами карточку, какого уровня сложности они возьмут (Приложение 6, Приложение 7).

Источники:

1. Открытый банк заданий по математике  http://mathege.ru/
2. http://alexlarin.net