Задачи на финансы егэ профиль

Всего: 71    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 71    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥ 

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2.      Приведём к общему знаменателю.  Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на 

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

13 апреля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Финансово-экономическая задача

12 примеров заданий с решениями.

В представленной модели ЕГЭ-2022 профильного уровня задание 15 — это финансово-экономическая задача, которая в ЕГЭ-2021 шла под номером 17, и если в прошлом году оценивалась в 3 первичных балла, то в этом ее стоимость составляет 2 первичных балла. К решению этого задания приступает достаточно большое количество участников экзамена (около 30%), причём 15–18% получают за свое решение полный балл.

В данной статье будут даны рекомендации по решению и оформлению подобных задач с учетом предъявляемых при проверке требований исходя из личного опыта работы автора учителем и личного участия в качестве эксперта в работе предметной комиссии г. Москвы.

e15.pdf

Подборка заданий для курса: “Финансовая математика: задачи для подготовки к ЕГЭ”

Материал подготовил:

 Гусельникова Т.В.

учитель математики

МАОУ “СОШ № 147

г. Челябинска”

Урок 1

Работа с процентами. Простые и сложные проценты.

1. Найдите 20% от числа 200.
2. Сколько процентов составляет число 10 от числа 200.
3. Найдите число, которое на 30% больше, чем число 200.
4. Чайник стоил 2000 рублей. В течение двух лет его стоимость увеличивалась на 10% каждый год. Найдите новую цену чайника через 2 года.
5. Товар стоил  S рублей. В течение каждого из следующих трех лет, он дорожал на р%. Какой будет стоимость товара через 3 года.
6. За 2 недели до Черной Пятницы товар стоил Х рублей. За неделю до Черной Пятницы магазин поднял цену товара на р%, чтобы в Черную Пятницу снизить его стоимость на эти же р%. В результате товар в Черную Пятницу стал стоить на 1% дешевле, чем за две недели до нее. На сколько процентов магазин поднял цену?

Задачи на вклады

1. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год, после начисления процентов, положил 2000 рублей обратно. Вследствие этих действий, через три года после открытия вклада, вкладчик получил сумму меньше той, которую мог получить без снятия. На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?
2. Владимир поместил в банк 3600 тыс. рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения, после начисления процентов, он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года, после начисления процентов, оказалось, что размер вклада увеличился, по сравнению с первоначальным, на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял на вклад?
3. По вкладу А банк в конце каждого года планирует увеличивать на 17% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года. По вкладу Б – увеличивать эту сумму на 9% в первый год и на целое число n% во второй год. Найдите наименьшее значение n, при котором за 2 года хранения вклад Б окажется выгоднее вклада А при одинаковых суммах первоначального взноса.

ДЗ к уроку 1

1. Пусть товар стоил 1000 рублей. В течение двух лет товар каждый год дорожал на 10 процентов. Записать формулу для новой стоимости товара и с ее помощью вычислить новую стоимость.

1. Вася открыл вклад на S рублей, какая сумма будет на вкладе через 3 года, если ежегодно эта сумма увеличивается на p%? Решить задачу в общем виде.

1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 10%, а в 2010 уменьшилось на 10% в результате сноса старых. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

1. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий, через три года со времени открытия вклада, вкладчик получил меньше запланированной суммы (если бы не было промежуточных операций). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?

1. В 2008 году магазин выставил товар по исходной цене. В 2010 году в связи с курсом доллара стоимость товара увеличилась на некоторое количество процентов, а в 2012 году из-за устаревания товара уменьшилась на такое же количество процентов. На сколько процентов изменялась цена товара, если в результате он стал стоить на 4% дешевле, чем стоил в 2008 году?

Урок 2

Типы платежей

1. Анатолий хочет взять кредит в банке на 100 рублей, на 3 месяца, под 20% ежемесячно. Выбирает между двумя видами платежей: 1вид – выплаты подбираются так, чтобы долг уменьшался равномерно все три месяца; 2 вид – делается три равные выплаты в каждый месяц. Какой вид выплаты выгоднее?

Способы преобразования вычислений

1. Отработать схему дифференцированного платежа с использованием арифметической прогрессии: кредит взят на 100 рублей, под 10%, на 4 месяца. Найти сумму, уплаченную банку.
2. Отработать схему аннуитетного платежа с использованием геометрической прогрессии: кредит взят на 12996 рублей, под 10%, на 4 месяца. Выразить ежемесячную выплату.
3. Найти Х :

6902000∙ – Х ( +  + 1,125 + 1) = 0.

ДЗ к уроку 2

Решить уравнения, используя арифметическую или геометрическую прогрессию:

1. x ⋅ (1+  +  +  +  +  ) = 0,035;
2. х ∙ (1 + 1,1 +  + ) = 9282000 ∙

По условию задачи определить тип платежа по кредиту (задачу решать не нужно):

1. Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

1. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

По условию задачи определить тип кредита и составить схему выплат по кредиту (дальнейшее решение записывать не нужно):

1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
2. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
3. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита?

Урок 3

Кредиты с аннуитетными (равными) платежами

1. 31 декабря 2014 года Д. берет кредит в банке на 4 290 000 рублей под 14,5 % годовых. Схема выплаты кредита такова: 31 декабря банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга, затем Д. перечисляет в банк Х рублей. Какова должна быть сумма Х, чтобы Д. выплатил долг двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
2. В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы:  — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) по сравнению с погашением кредита равными платежами за два года?
3. В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 419 375 рублей. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
4. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на 147 000 рублей. Условия возврата таковы: — каждый январь долг должен возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом. Известно, что если ежегодно выплачивать по 84 700 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найти число r?

ДЗ к уроку №3

Простой аннуитетный платеж

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.
2. 31 декабря 2018 года Ваня взял в банке кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платёж. Весь долг Ваня выплатил за 2 равных платежа по 144т.р. Какую сумму Ваня взял в кредит?
3. 31 декабря 2018 года Ваня взял в микрофинансовой организации кредит на сумму 5,8 т.р. на 2 месяца под загадочные p% ежемесячно. Схема выплаты кредита следующая: 31 числа каждого следующего месяца начисляются проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на p%), затем Ваня переводит платёж. Весь долг Ваня выплатил за 2 равных платежа по 7, 22 т.р. Под какой процент был взят кредит?
4. В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?
5. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5%годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2132325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Урок 4

Более сложные задачи на аннуитетный платеж

1. 1 января 2015 года Павел взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Павел может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 000 рублей?
2. Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка – 10% годовых. На какое минимальное количество лет Тимофей может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 000 рублей?
3. В июле планируют взять кредит на 1 342 000 рублей. Условия его возврата таковы:  — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению с погашением кредита за 2 года?
4. В июне 2020 года планируют взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы взятого кредита.

ДЗ к уроку №4

Более сложные задачи с аннуитетными платежами

1. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
2. 1 января 2010 года Ваня взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Ваня переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ваня может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 20 тыс. рублей?
3. 1 января 2010 года Иван взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Иван переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 50 тыс. рублей?
4. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредит банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 156 060 рублей больше суммы взятого кредита.

Урок 5

Кредиты с дифференцированными платежами

1. 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы: — первого числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению  с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-ое число месяца необходимо выплатить часть долга; — 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы взятой в кредит. Найдите r.
2. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

1. 15 января планируют взять кредит в банке на 24 месяца. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-ое число выплачивается часть долга;

— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2 466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?

1. В июле планируют взять кредит в банке на сумму 3 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия возврата таковы: —  каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 0,24 млн. рублей (Считается, что округление при вычислении платежей не производится).

ДЗ к уроку №5

Базовые задачи на кредиты с дифференцированными платежами

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев на 1млн. рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев.

Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возврастает на 5% по сравнению с

концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть

долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На какую сумму был взят кредит, если известно, что общая сумма

выплат после полного погашения кредита равна 225 тыс. рублей.?

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с

концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть

долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 6 месяцев?

1. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долг уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?
2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?

Урок № 6

Более сложные задачи на дифференцированные платежи

1. 15 января планируют взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-ое число каждого месяца выплачивается часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после погашения кредита на 30% больше суммы взятой в кредит?

1. В июле планируют взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей, на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на Х% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь выплачивается часть долга;

— каждый июль долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль месяц предыдущего года.

Найдите Х, если известно, что наибольший платеж по кредиту составит не более 1,9 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,5 млн. рублей.

1. 15 декабря планируют взять кредит в банке на 1200 тыс. рублей на  (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— со 2-го по 14-ое число каждого месяца выплачивается часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-ый долг должен быть на 80 тыс. рублей меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-ого месяца долг долг составит 400 тыс. рублей;

— 15-го числа (n+1) – го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тыс. рублей.

1. 15 декабря планируют взять кредит в банке на 600 тыс. руб на 26  месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-ое число каждого месяца выплачивается часть долга;

— 15-го числа с 1 по 25 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;

— 15 числа 26 месяца кредит должен быть полностью погашен.

Сколько тыс. рублей составит долг на 15 число 25 месяца, если всего было выплачено 691 тыс. рублей?

ДЗ к уроку №6

Более сложные задачи на дифференцированный платеж

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев.

Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит.

1. 15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 15-ый месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс.

рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

1. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия

возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

1. 15-го декабря планируют  взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

1. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 600 000 рублей на

(n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 4 года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту

составит не более 4 млн. рублей, а наименьший — не менее 2,5 млн. рублей.

Урок № 7

Другие типы кредитов (комбинированные задачи)

1. Александр решил взять кредит в банке на 331 000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существует две схемы выплат кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Александр переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивается весь долг тремя равными платежами (аннуитетный платеж). По второй схеме сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, затем уменьшается на сумму, уплаченную Александром, причем суммы выплат подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее взять Александру и сколько рублей составит эта выгода?
2. В июле 2016 года планируют взять кредит 6,6 миллионов рублей. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2017,2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 миллионов рублей;

— суммы выплат 2020 и 2021 годов должны быть равны.

Найдите r, если 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 миллионов рублей.

1. Планируются взять льготный кредит на целое число миллионов рублей на 4 года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце первого и второго годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце третьего и четвертого годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 10 миллионов рублей.
2. Валентин кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на четыре года (процент начисляется один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете у Валентина через 4 года?
3. Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей выплаты кредита следующая. В конце каждого года банк увеличивает на 10% оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за 3 года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.
4. По бизнес – плану четырех летний проект предполагает начальное вложение 25 миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов, нужны дополнительные вложения:

целое число n миллионов рублей в первый и во второй годы, а также целое число m миллионов рублей в третий и четвертый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

Домашнее задание к уроку № 7

Другие типы кредитов (комбинированные)

1. Анатолий решил взять кредит в банке 210 000 рублей на 2 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг двумя равными платежами (аннуитетные платежи). По второй схеме сумма долга в конце каждого из двух месяцев также увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
2. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс. рублей, во второй — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?
3. Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму       4 420 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года  банк увеличивает текущую сумму долга на 10 %. Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами ― в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?
4. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 10 млн. рублей.
5. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн. рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн. рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Урок № 8

Другие типы кредитов (часть 2)

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на 4 года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год	Июль 2020	Июль 2021	Июль 2022	Июль 2023	Июль 2024
Долг (млн. руб)	S	0,8 S	0,6 S	0,4 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей.

1. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год	Июль 2026	Июль 2027	Июль 2028	Июль 2029
Долг (млн. руб)	S	0,8 S	0,4 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 миллионов рублей.

1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере S тыс. рублей, где S – натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (млн. руб)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

1. В июле 2021 года планируют взять кредит на сумму 21 млн. рублей на 7 лет (последняя выплата запланирована в 2028 году). Условия его возврата таковы:

— пока долг больше половины, каждый январь он возрастает на р % по сравнению с концом предыдущего года;

— если долг не превышает половины исходной суммы, то каждый январь долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите р, если общая сумма выплат составит 24,72 млн. рублей.

ДЗ к уроку №8

Другие типы кредитов

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (млн. руб)	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.

1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (млн. руб.)	S	0,7 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет

больше 5 млн. рублей.

1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере  S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (млн. руб.)	S	0,6 S	0,25 S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн. рублей.