Задачи на геометрический смысл производной на егэ

УПРАЖНЕНИЯ

ПО ТЕМЕ

«Геометрический смысл производной»

Составитель:

Горбаченко В.И.

учитель математики

МОУ СОШ№5

Г. Лермонтова

2012

Данная разработка по теме «Геометрический смысл производной» состоит из двух разделов. В первом разделе  рассмотрены подробные решения простейших примеров и задач, предлагаемых в рамках единого государственного экзамена по выбранной тематике. Во втором разделе приведены задания для самостоятельного решения различного уровня сложности.

РАЗДЕЛ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Прототип  В8 первого типа.  

Дан график касательной, необходимо  найти производную функции. Решение задачи основано на геометрическом смысле производной и  требует нахождения углового коэффициента этой касательной, т.е. тангенса угла ее наклона или отношение приращения функции к приращению аргумента на удобном участке.

Задание 1.

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Четко определены две точки с абсциссами -2 и 1 и ординатами соответственно -4 и 2. Тогда 

Ответ: 2.

Задание 2.

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Задача решается так же, как и предыдущая. Только обратите внимание на то, что угловой коэффициент касательной, а значит и производная должны быть отрицательны.

Ответ: -2.

Задание 3.

На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке .

Касательная не проведена, но обозначена точками. (0;0) и (8;10).

10:8 = 1,25

Ответ: 1,25.

Прототип задания B8 второго типа

Задание 1.

Прямая  является касательной к графику функции  .  Найдите a.

Здесь а является параметром, т.е. на самом деле задано семейство функций одного вида. В этом семействе надо найти только одну, удовлетворяющую условию задачи.

Прямая является касательной к графику функции, если выполняются 2 условия:

1. Производная функции равна угловому коэффициенту касательной. Но при этом данная прямая и касательная могут оказаться параллельными. Поэтому необходимо второе условие

2. Прямая и график функции пересекаются в предполагаемой точке касания.

Найдем производную функции   y= ах² +2x+3 и приравняем ее к угловому коэффициенту прямой:

2ах + 2 = 3;  2ах = 1.

Согласно второму условию 3х+1 = ах² +2x+3.

Получили систему двух уравнений с двумя переменными. Решая ее, получим а = 0,125 и х = 4.

Ответ: 0,125.

Прототип задания B8 третьего типа

Задание 1.

 Прямая  параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Найдем производную функции и приравняем ее к угловому коэффициенту касательной:

Эта точка не является общей для графика функции и прямой, значит прямая y=7x – 5 не совпадает с касательной.

Задание 2.

Прямая  является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Найдем производную функции и приравняем ее к угловому коэффициенту

Общей точкой является (проверяется подстановкой) только х = -1.

Прототип задания B8 четвертого типа

Задание 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  или совпадает с ней.

Прямая y=6 параллельна оси ОХ.

График данной функции имеет горизонтальную касательную в 4-х точках:

Ответ: 4

РАЗДЕЛ 2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке графика с абсциссой :

А) , ;

Б) , ;

В) , ;

Г) , .

2. Напишите уравнения касательных к графику функции  в точках с ординатой :

А) , ;

Б) , ;

В) , ;

Г) , .

3. Составьте уравнение касательной к линии  в точке с абсциссой .

4. Найдите все общие точки графика функции  и прямой . В каких из этих точек данная прямая является касательной к графику данной функции:

А) , ;

Б) , ;

В) , ;

Г) , ;

Д) , ;

Е) , .

4. Напишите уравнения касательных к графику функции , параллельных данной прямой:

А) , ;

Б)  , ;

Г) , ;

Д) , .

5. На графике функции  найдите абсциссу точки, в которой касательная параллельна прямой .

6. На параболе  найдите точку, касательная в которой параллельна прямой .

7. На графике функции  найдите точки, в которых касательные перпендикулярны к оси ординат.

8. В каких точках линии  касательная к ней параллельна прямой .

9. Вычислите угол между касательными, проведенными к графику функции  в его точках с абсциссами . Найдите общую точку этих касательных:

А) , ;

Б) , ;

В) , 

Г) , .

10. Найдите угол между касательными к графику функции  в точках с абсциссами  и .

11. На оси ОХ найдите такие точки, что две проведенные из них касательные к графику функции  образуют данный угол :

А) , ;

Б) , .

12. В каких точках касательная к графику функции  образует с осью ОХ угол ?  В ответе записать сумму абсциссы и ординаты точки касания при условии, что они больше 1.

13. На данной прямой найдите такую точку, что две касательные, проведенные из нее к графику функции , взаимно перпендикулярны:

А) , ;

Б) , .

14. При каких значениях  данная прямая будет касательной к графику данной функции:

А) , ;

Б) , ;

В) , .

15. Найдите общие точки графиков двух данных функций и установите, в каких из этих точек есть общие касательные к этим графикам:

А) , ;

Б) , .

16. Имеют ли графики данных функций общую касательную, проведенную через их общую точку:

А) , ;

Б) , .

17. При каких значениях  данные параболы имеют общую точку, через которую проходит их общая касательная:

А) , ;

Б) , .

18. Напишите уравнения всех касательных, проведенных из данной точки к графику функции :

А) , ;

Б) , ;

В) , ;

Г) , .

19. Найдите уравнения общих касательных графиков данных функций:

А) , ;

Б) , ;

В) , ;

Г) , .

20. Сколько касательных к графику функции  проходит через точки а) , б) ?

21. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью ординат и касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой .

22. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и касательной, проведенной к нему в точке с абсциссой .

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
		0		0

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

ЕГЭ Профиль №7. Геометрический смысл производной, касательнаяadmin2018-08-14T13:30:43+03:00