Задачи на комплексные числа егэ

Версия для печати и копирования в MS Word

Завершить тестирование, свериться с ответами, увидеть решения.

Недавно ФИПИ опубликовал новые проекты КИМов ЕГЭ почти по всем предметам. После общественного обсуждения по этим вариантам, возможно, будут сдавать экзамен нынешние 10-классники.

Следует отметить, что, возможно, эта “перспективная модель” ещё очень сильно поменяется, прежде чем стать официальной демоверсией [так и случилось, см. ниже]. Так было, например, при внесении существенных изменений в формат ОГЭ: проект был очень страшным, но в итоговую демоверсию внесли не такие “жесткие” изменения.

Кстати, что изменения ОГЭ, что изменения ЕГЭ свалились на головы именно школьникам 2011 года поступления. Это связано, как я думаю, с введением новых федеральных стандартов – ФГОС. Так что изменения в ЕГЭ – 2022 были для меня вполне ожидаемы.

Основные изменения

В тестовой части ЕГЭ ликвидировали самые простые номера 1-3. Это простейшая текстовая задача, умение находить наименьшую/наибольшую точку на графике и простейшая геометрия как правило на знание формул площадей треугольника, прямоугольника и трапеции. А ещё почти все “старые” номера поменяли местами. Теперь вариант выглядит так:

Часть с кратким ответом:

Новый №1 — это №5 из нынешнего ЕГЭ, простое уравнение: показательное, логарифмическое или иррациональное.
Новый №2 —  это “старый” №4, теория вероятностей.
Новый №3 — новое задание, на умение работать с графиком функции

Новый №4 — это “старый” №6, простая задачка по планиметрии.
Новый №5 — это “старый” №9, пример для вычисления с тригонометрией, степенями или логарифмами.
Новый №6 — это “старый” №8, стереометрия.
Новый №7 — без изменений, на производную функции.
Новый №8 — это “старый” №10: вычисления по заранее известной формуле.
Новый №9 — это “старый” №11: сложная текстовая задача.
Новый №10 — опять теория вероятностей, но немного труднее чем №2.
Новый №11 — новое задание, на комплексные числа. Её условие приведём ниже.
Новый №12 — без изменений, нахождение экстремумов функции через производную.

Часть с развернутым ответом:

В 13-ой задаче убрали пункт б) – отбор корней уравнения, принадлежащих промежутку. Оценивается задача по-прежнему в 2 балла.

Задача №15 теперь состоит из трёх пунктов: нужно решить неравенство, уравнение и ещё их систему. Оценивается она теперь в 3 балла, раньше было 2 балла.

В остальном изменений почти нет. Разве что поменяли местами 16 и 17 задачи.

Комплексные числа

Одно из новшеств в “новом” ЕГЭ по математике – задача на комплексные числа. Вот так она выглядит:

Про комплексное число z известно, что |z-4-7ⅈ|=|z+4-ⅈ|. Найдите наименьшее значение |z|.

Решение задачи строится на использовании формулы для модуля комплексного числа  :  . Следует представить z в виде , воспользоваться формулой для модуля, упростить выражение, а затем изобразить решение уравнения на плоскости (a;b) – это будет прямая. Модуль числа z при этом будет иметь смысл рассояния до точки на прямой до начала координат. Наименьшим это расстояние будет в случае перпендикулярности отрезка от точки на прямой до начала координат к этой самой прямой.

Полное решение посмотреть можно тут:

ВНИМАНИЕ! Выше рассмотрена ПЕРСПЕКТИВНАЯ МОДЕЛЬ, от которой все же решили отказаться. Опубликована официальная демоверсия, и она имеет мало общего с перспективной моделью, о которой мы говорили выше.

ЕГЭ-2022 по математике. Профильный уровень. Вероятность и комплексные числа

ФИПИ опубликовал документ с длинным названием Перспективная модель измерительных материалов для государственной итоговой аттестации по программам среднего общего образования по МАТЕМАТИКЕ. Демонстрационный вариант

Matematika_ma-11-ege-pm2022-demo.pdf (userapi.com)

По знакомому оформлению и «ege-pm2022» в адресе сайта узнаётся перспективная демоверсия ЕГЭ для 2022 года. Давайте посмотрим, что ждёт выпускников в перспективе. Сегодня остановлюсь на задачах по вероятности.

Первая задача до боли знакома. не обсуждаем. Вторая задача может поставить в тупик. Здесь надо разобраться, что означает событие А — «мотор проработал более года». Это значит, что произошло одно из двух событий:

B — «мотор проработал более года, но не более двух лет» и

С — «мотор проработал более двух лет».

По условию задачи P (А) = 0,8, P (C) = 0,6.

Событие А произойдёт, если наступит или событие В, или событие С, то есть
A = B + C, P (A) = P (B + C).

А так как события В и С несовместные (не могут произойти одновременно), то
P (B + C) = P (B) + P (C). Окончательно имеем:

0,8 = P (B) + 0,6,

P (B) = 0,2.

Ответ. 0,2.

Обратим внимание на появление в варианте ещё одной задачи на вероятность, её номер 10. Вот два примера.

Разбираем решение первой задачи. После трёх бросков сумма 6 очков могла получиться лишь при таких наборах очков 1 + 1 + 4; 1 + 2 + 3; 2 + 2 + 2 (без учета порядка следования очков в сумме). За счёт перестановок слагаемых получаем:

114, 141, 411 — 3 исхода;

123, 132, 213, 231, 312, 321 — 6 исходов;

222 — 1 исход.

Всех равновозможных исходов для получения в сумме 6 оков — 10, только 6 из них благоприятствуют событию «хотя бы раз выпало 3 очка». Вероятность этого события
6 : 10 = 0,6.

Ответ. 0,6. (В таблице ответ 0,5 — опечатка).

Вторая задача, как мне показалось, к теме «вероятность» притянута за уши, так как ответ к ней получается при решении задачи на проценты. Сформулируем её, заменив «выбрали взрослого мужчину» на «выбрали мужчину», так как взрослые делятся на мужчин и женщин, невзрослых мужчин по смыслу задачи нет. Слово «взрослого» лишнее.

В городе 48 % взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин составляет 15 %. Какова доля пенсионеров среди мужчин?

Если доля пенсионеров окажется равной m/n, то вероятность случайного выбора пенсионера из мужчин составляет m/n.

Пусть в городе было x взрослых — мужчин и женщин. Тогда в нём 0,48x мужчин, 0,52x женщин, 0,126x пенсионеров,
0,15 * 0,52x = 0,078x женщин-пенсионеров и
0,126x – 0,078x = 0,048x — мужчин-пенсионеров.

Доля мужчин-пенсионеров среди мужчин составляет
0,048x : 0,48x = 0,1.

Ответ. 0,1.

Рассмотрим теперь задачу по комплексным числам, которых до сих пор никогда не было в ЕГЭ, но они всегда присутствовали в выпускном экзамене по программе углубленного изучения математики. На мой взгляд, это ошибка составителей варианта. Нельзя устраивать дискриминацию учащихся, не изучавших математику углублённо. Рассмотрим задачу.

Ученику обычного класса придётся прочитать про комплексные числа, про мнимую единицу i, квадрат которой равен –1. Про то, что комплексным числом называют выражение z, записанное в виде z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (a; b), его удобно изображать в системе координат точкой (a; b). Модулем комплексного числа называют расстояние от начала отсчёта системы координат до точки, изображающей число z. Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляют по формуле: |z| = .

Решаем задачу 11.

Пусть число z = a + bi, тогда число  = z – 4 – 7i = a + bi – 4 – 7i = (a – 4) + (b – 7)i;
 | | = . А число  = z + 4 – i = a + bi + 4 – i = (a + 4) + (b – 1)i.
| | = r w:top=»1134″ w:right=»850″ w:bottom=»1134″ w:left=»1701″ w:header=»720″ w:footer=»720″ w:gutter=»0″/><w:cols w:space=»720″/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>»> .

Равенство | | = | | выполняется тогда и только тогда, когда
 = , т. е. когда b = a + 4.

Найдём значение a, при котором величина |z| = , т. е.  достигает наименьшего значение. Это происходит при таком значении а, при котором функция f (a) = =  достигает наименьшего значения. Функция f (a) — квадратичная, с положительным коэффициентом при , следовательно, достигает наименьшего значения в точке . При этом  и наименьшее значение
|z| = =

Ответ. 2,4.

Решим задачу, изображая комплексное число точкой координатной плоскости. Этот способ вполне годится для решения задачи на ЕГЭ, так как там подробное решение не требуется, достаточно привести правильный ответ. Изобразим на клетчатой бумаге точками числа z = a + bi,  = (a – 4) + (b – 7)i,  = (a + 4) + (b – 1)i.

Знать, где находятся оси координат не нужно, главное взаимное расположение точек A (a; b), B (a – 4; b – 7) и С (a + 4; b – 1), соответствующих числам z,  и . Точки B и C находим, отступая на 4 клетки влево, 7 клеток вниз и на 4 клетки вправо, 1 клетку вниз (рис. 1). Равенство | | = | | означает, что точки B и C, соответствующие числам  и , одинаково удалены от начала координат O. Этого мало, чтобы определить положение точки O (это нам и не потребуется), но из равенства OB = OC следует, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Строим отрезок BC и серединный перпендикуляр MN к нему (рис. 2).

Точка O лежит на прямой MN, а нам нужно, чтобы расстояние AO было наименьшим, это возможно лишь тогда, когда является перпендикуляром к AO. Строим AO и находим его длину как высоту прямоугольного треугольника AMN с гипотенузой MN (рис 3).

Вычислив площадь треугольника AMN двумя способами, выразим длину высоты, проведённой к гипотенузе MN. Получим 2,4.

Шевкин А.В., avshevkin@mail.ru