Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.
Источник: Интеллект-центр. Репетиционные варианты ЕГЭ 2015.
2
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?
3
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
4
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.
5
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Пройти тестирование по этим заданиям
17. Сложные задачи прикладного характера
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж
Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.
Пусть, например, клиент взял (2,1) млн рублей в банке под (10%) годовых и должен погасить кредит через (2) года. Для того, чтобы понять, сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж (x), можно составить таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после платежа}\
hline 1&2,1&2,1cdot 0,01(100+10)=1,1cdot 2,1&1,1cdot 2,1-x\
hline 2&1,1cdot2,1-x&(1,1cdot2,1-x)cdot0,01(100+10)&1,1(1,1cdot2,1-x)-x\
hline
end{array}] Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть (1,1(1,1cdot2,1-x)-x=0Leftrightarrow 1,1^2cdot2,1-x(1,1+1)=0).
Отсюда находим ежегодный платеж (x=1,21) млн рублей.
В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: [{Large{left(frac{100+r}{100}right)^ncdot A-xleft(left(frac{100+r}{100}right)^{n-1}+left(frac{100+r}{100}right)^{n-2}+dots+1right)=0}}] где (A) – сумма, взятая в кредит, (r%) – процентная ставка в банке, (x) – сумма платежа, (n) – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.
Задание
1
#1189
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Екатерина взяла кредит в банке на сумму (680,000) рублей, которую ей не хватало для покупки квартиры. Кредит она решила взять (1) марта на (2) месяца на следующих условиях:
– (17)-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на (12,5 %) по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
– в период с (18)-ого по (30)-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?
Заметим, что (dfrac{112,5}{100}=dfrac{9}{8}).
Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), (x) – ежемесячный платеж: [begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Месяц} & text{Сумма долга до начисления } % &
text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}
\[5pt]
hline
1 & 680 & frac{9}{8}cdot 680 — x \[5pt]
hline
2 & frac{9}{8}cdot 680 — x & frac{9}{8}left(frac{9}{8}cdot 680 — xright)-x\[5pt]
hline
end{array}]
(Rightarrow dfrac{9}{8}left(dfrac{9}{8}cdot 680 — xright)-x=0
Rightarrow
x=405) тыс. рублей.
Таким образом, переплата по кредиту составила (2x-A=130) тыс. рублей.
Ответ:
(130,000) рублей.
Задание
2
#1190
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Бизнесмен Олег в январе (2016) года взял кредит в банке под (20 %) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила (675,500) рублей?
Пусть (A) рублей – сумма кредита, (x) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:
[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления } % & text{Сумма долга после начисления } % text{ и платежа}\
hline 1 & A & 1,2A-x\
hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\
hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Следовательно, (1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 (*)).
Всего за три года Олег выплатил банку (3x) рублей, а его переплата составила (3x-A=675,500) рублей. Отсюда (A=3x-675,500). Подставим это значение в ((*)):
(1,2^3cdot (3x-675,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 Rightarrow )
(x= dfrac{1,2^3cdot
675,500}{3cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=dfrac{12^3cdot
675,500}{1,544}=756,000 Rightarrow 3x=2,268,000) рублей.
Ответ:
(2,268,000) рублей.
Задание
3
#3924
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае необходимости ответ округлите до целого числа.
Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть (x) рублей — этот ежегодный платеж, (A) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на (frac14). Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\[2ex]
hline 1& A&A+frac 14A=frac 54A&frac 54A-x\[2ex]
hline 2& frac 54A-x& frac54left(frac54A-xright)&
frac54left(frac54A-xright)-x\[2ex]
hline 3&frac54left(frac54A-xright)-x&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)&
frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x\[2ex]
hline
end{array}] Таким образом, имеем: [frac54left(frac54left(frac54A-xright)-xright)-x=0 quadLeftrightarrowquad
x=dfrac{left(frac54right)^3}{left(frac54right)^2+frac54+1}cdot
A]
Переплата по кредиту равна (3x-A), следовательно, необходимо найти: [dfrac{3x-A}{A}cdot 100%=
left(dfrac{3cdot left(frac54right)^3}
{left(frac54right)^2+frac54+1}-1right)cdot
100%=left(dfrac{3cdot 5^3}{5^2cdot 4+5cdot
4^2+4^3}-1right)cdot 100%=dfrac{131}{244}cdot 100%sim 54%.]
Ответ:
54
Задание
4
#3976
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк выдает кредит сроком на 4 года под (25%) годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.
Пусть кредит взят на сумму (A), пусть (x) – ежегодный платеж. Составим таблицу. [begin{array}{|l|c|c|c|} hline text{Год}&text{Долг на начало года}&text{После начисления }%
&text{После платежа}\
hline 1&A&1,25cdot A&1,25cdot A-x\
hline 2&1,25cdot A-x&1,25(1,25cdot A-x)&1,25(1,25cdot A-x)-x\
hline 3&1,25(1,25cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x\
hline 4&1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-&
1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-\
&-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Тогда имеем уравнение: [1,25(1,25(1,25(1,25cdot A-x)-x)-x)-x=0 quadLeftrightarrowquad
dfrac Ax=dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}]
Переплата по кредиту равна (4x-A). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: [dfrac{4x-A}{x}cdot 100%=left(4-dfrac Axright)cdot 100%]
Заметим, что (1,25=frac54). Тогда: [left(4-dfrac{5^3cdot 4+5^2cdot 4^2+5cdot 4^3+4^4}{5^4}right)cdot 100%=
left(4-dfrac{500+400+320+256}{625}right)cdot
100%=dfrac{1024cdot 4}{25}%=dfrac{1024cdot
4^2}{100}%=163,84%]
Значит, переплата превышает платеж на (63,84%).
Ответ:
63,84
Задание
5
#3920
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму (664,200) рублей под (25 %) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?
Составим таблицу, обозначив за (x) рублей ежегодный платеж, (A=664,200) рублей.
[begin{array}{|l|c|c|}
hline text{Год} & text{Сумма долга до начисления }% &
text{Сумма долга после начисления }%text{ и платежа} \
hline
1 & A & 1,25A-x\
hline
2 & 1,25A-x & 1,25(1,25A-x)-x\
hline
3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \
hline
4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\
hline
end{array}]
Таким образом, (1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0).
Отсюда (x=dfrac{1,25^4cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}).
Заметим, что (1,25=dfrac{5}{4} Rightarrow)
(x=dfrac{5^4cdot 664,200}{4cdot 9cdot 41}).
Выполнив сокращения, получим, что (x=281,250) рублей.
Ответ:
(281,250) рублей.
Задание
6
#1192
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под (12,5%) годовых. Кредит он должен выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила (65,240) рублей.
Составим таблицу, обозначив за (A) руб. сумму кредита, а за (x) руб. ежегодный платеж.
[begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} & text{Долг в руб.} & text{Долг в руб.} &
text{Долг в руб.}\
& text{до начисления} & text{после начисления} & text{после внесения} \
& text{процентов} & text{процентов} & text{платежа} \
hline
1&A &1,125A &1,125A-x \
hline
2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \
hline
3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \
& &-x)-x) &-x)-x)-x\
hline
4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \
& -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \
hline
end{array}]
Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то
[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0]
Это уравнение преобразуется в уравнение вида:
[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 (*)]
Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку (4x) рублей, а, значит, его переплата составила (4x-A) рублей. Т.к. (4x-A=65,240), то (A=4x-65,240). Значит:
[1,125^4(4x-65,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0]
Заметим также, что (1,125=dfrac{9}{8} Rightarrow)
[x=dfrac{9^4cdot 2^3cdot 5cdot
7cdot233}{9^4cdot4-8(9^3+9^2cdot8+9cdot8^2+8^3)}=65,610]
Значит, ежегодный платеж составил (65,610) рублей.
Ответ:
(65,610) рублей.
Задание
7
#1186
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Для покупки квартиры Алексею не хватало (1,209,600) рублей, поэтому в январе (2015) года он решил взять в банке кредит под (10
%) годовых на (2) года. Условия пользования кредитом таковы:
– раз в год (15) декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты (т.е. долг увеличивается на (10%));
– в период с (16) по (31) декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую сумму (x) рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма (x), чтобы Алексей выплатил долг равными платежами?
Т.к. процентная ставка в банке равна (10 %), то (15) декабря (2015) года долг Алексея составит (110 %) от первоначальной суммы ((1,209,600) рублей), т.е. будет равен (1,1cdot 1,209,600) рублей. После этого Алексей переводит банку (x) рублей, то есть его долг уменьшается на (x) и будет равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.
До (15) декабря (2016) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен ((1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей. (15) декабря (2016) банк снова увеличивает долг на (10 %), т.е. долг Алексея уже будет равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)) рублей.
После этого Алексей снова переводит банку (x) рублей, следовательно, долг равен (1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x).
Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
(1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x=0 Rightarrow)
(1,1^2cdot 1,209,600-1,1x-x=0 Rightarrow x=dfrac{1,1^2 cdot
1,209,600}{1,1+1}=696,960)
Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|}
hline text{Год} &text{Сумма долга до начисления }% &text{После начисления } % &text{После платежа}\
& text{(до 15 декабря)} &text{(15 декабря)} &text{(с 16 по 31 декабря)}\
hline 1 & 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600 &1,1cdot 1,209,600-x\
hline 2 & 1,1cdot 1,209,600-x &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x) &1,1cdot (1,1cdot 1,209,600 -x)-x\
hline
end{array}]
Ответ:
(696,960) рублей.
Задачи, затрагивающие сферу финансовой математики, к примеру, на расчет аннуитетного платежа по кредиту, с недавнего времени добавлены во вторую часть ЕГЭ.
Именно поэтому выпускники, которые готовятся к сдаче аттестационного испытания, должны в обязательном порядке уметь справляться с подобными заданиями.
Решение задач по банковскому делу по кредиту предполагает наличие у учащихся базовых навыков анализа числовых данных и осуществления практических расчетов по формулам. Если подобные задания являются для вас достаточно сложными, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». Наши специалисты подобрали задачи на аннуитетные платежи, подобные тем, которые встречаются в аттестационном испытании. Поняв, как правильно решать такие задания, учащиеся смогут успешно справиться с экзаменом и получить достойные баллы.
Необходимо запомнить!
Когда будете решать задачи по банковскому кредиту, рекомендуем учесть несколько важных нюансов.
При аннуитетном платеже выплата долга осуществляется фиксированной суммой, которая остается единой в течение всего периода оплаты. Такой способ имеет важное преимущество. В первые месяцы пользования займом аннуитетный платеж будет меньше, чем суммарная выплата по классической схеме. При этом важно учесть, что досрочное погашение кредита в данном случае не будет выгодным.
Как подготовиться к экзамену?
Для того чтобы задачи, содержащие конкретные примеры расчета банковского кредита в ЕГЭ, давались вам легко, рекомендуем ознакомиться с базовым материалом, собранным специалистами образовательного портала «Школково». Для этого необходимо посетить раздел «Теоретическая справка».
Отработать полученные знания вам помогут задачи по данной теме, представленные на сайте. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ.
Изучить пример расчета аннуитетного платежа и выполнить аналогичные задачи школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
ГОТОВИМСЯ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
I.
АННУИТЕТНЫЕ ПЛАТЕЖИ
Определение.
Аннуитетный платёж –
вариант ежемесячного (ежегодного) платежа по кредиту, когда размер ежемесячного
(ежегодного) платежа остается постоянным на всем периоде кредитования..
При решении экономических задач на
аннуитетные платежи примем следующие обозначения величин:
S – сумма кредита,
х – ежегодный (ежемесячный)
платёж,
r –
процентная ставка,
p = 1 + .
n – срок кредитования.
Решение задач на аннуитетные платежи удобно оформлять в
виде таблицы. Рассмотрим примеры решения задач.
Задача 1.
В июле 2021 года
планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата
таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет
выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного
погашения кредита на 96500 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение.
Пусть S
рублей – сумма кредита,
r = 20 %, тогда p
= 1 + 20/100 = 1,2.
n = 3
года.
х – годовой
платёж,
тогда 3х
– общая сумма платежа за 3 года,
3х – S = 96500.
Заполним таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
х |
p2 S –p х – х |
3 |
p2 S –p х – х |
p3 S –p2 х – pх |
x |
p3 S –p2 х – pх – x |
В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p3
S – p2 х – pх – x = 0.
Подставим вместо S выражение 3х – 96500.
p3
∙ (3х –
96500) – p2 х – pх – x = 0.
3p3∙ х – 96500 p3–
p2 х – pх – x = 0.
Теперь выразим из этого уравнения переменную х:
х
∙ (3p3
– p2 – p – 1) = 96500 p3,
х = = .
3х = .
Подставив p = 1,2,
получим общую сумму выплат за три года:
3х = 324000
рублей.
Ответ:
324000 рублей.
Задача 2.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
§ ежегодные
выплаты не превышают 300 000 рублей.
На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?
Решение.
S =
1 000 000 рублей – сумма кредита,
r = 10 %, тогда p
= 1 + 10/100 = 1,1.
Для того, чтобы переплаты были минимальными, нужно,
чтобы сумма ежегодных выплат принимала наибольшую возможную сумму. Поэтому
примем х = 300 000 рублей, за исключением последнего
платежа, сумма которого может быть меньше предыдущих платежей.
Заполним таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
1 |
1,1 ∙ 1 000 |
300 000 |
1 100 000 – 300 000 = = 800 000 |
2 |
800 000 |
1,1 ∙ 800 000 = = 880 000 |
300 000 |
880 000 – 300 000 = = 580 000 |
3 |
580 000 |
1,1 ∙ 580 000 = = 638 000 |
300 000 |
638 000 – 300 000 = = 338 000 |
4 |
338 000 |
1,1 ∙ 338 000 = = 371 800 |
300 000 |
371 800 – 300 000 = = 71800 |
5 |
71 800 |
1,1 ∙ 71 800 = = 78 980 |
78 980 |
78 980 – 78 980 = 0. |
Общая сумма выплат равна:
4 ∙
300 000 + 78 980 = 1 278 980 (рублей).
Наименьшее значение переплат за весь срок кредитования:
1 278 980
– 1 000 000 = 278 980 (рублей).
Ответ:
278 980 рублей
Задача 3 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
§ ежегодные
выплаты не превышают 400 000 рублей.
На какое минимальное
число рублей сумма выплат может превышать размер кредита?
Ответ:
526 400 рублей.
Задача 4.
31 декабря 2020 года
Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5 %), затем
Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение.
S =
4 290 000 рублей,
r = 14,5%, тогда p
= 1,145.
n = 2 года.
х – годовой
платёж,
Заполним таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
х |
p2 S –p х – |
В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p2 S – pх –
x = 0.
Выразим
из этого уравнения х:
p2 S – х ∙ (p + 1) = 0,
p2 S = х ∙ (p + 1),
х = ,
Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв S и p:
х = = 2 622 050.
Ответ:
2 622 050 рублей.
Задача 5 (для самостоятельного решения).
31 декабря 2020 года Алексей
взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты
кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты
на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Алексей
переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х,
чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?
Ответ:
2 296 350 рублей.
Задача 6.
31 декабря 2020 года Ярослав
взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Ярослав
переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав
в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре
года)?
Решение.
Пусть S рублей
– сумма, взятая в кредит,
r = 12,5%, тогда p
= 1,125.
n = 4 года.
х =
2 132 325 рублей – ежегодные платежи,
Заполним таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
х |
p2 S –p х – х = |
3 |
p2 S –p х – х |
p3 S –p2 х – pх |
x |
p3 S –p2 х – pх – x = 0 |
4 |
p3 S –p2 х – pх – x |
p4 S –p3 х – p2 х –px |
х |
p4 S –p3 х – p2 х –px – x = 0 |
В
последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p4 S –p3 х – p2 х –px – x = 0.
Выразим
из этого уравнения S:
p4
S – х ∙ (p3 + p2
+ p + 1) = 0,
p4
S = х ∙ (p3 + p2
+ p + 1),
S = ,
Подставим
числа, данные в условии задачи, вместо букв x и p:
х = = 6 409 000.
Ответ:
6 409 000 рублей.
Задача 7 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 399 300 рублей.
Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными
платежами (т.е. за три года)?
Ответ:
993 000 рублей.
Задача 8 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга,
равную 207 360 рублей.
Сколько рублей было
взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными
платежами (т.е. за четыре года)?
Ответ:
536 800 рублей.
Задача 9.
31 декабря 2020 года
Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20 %), затем
Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных
платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить
долг за 2 равных платежа?
Решение.
S =
7 007 000 рублей,
r = 20%, тогда p
= 1,2.
n1 = 3 года,
n2 = 2 года.
х рублей –
ежегодные платежи.
1) Заполним
таблицу для n1 = 3:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
х |
p2 S –p х – х = |
3 |
p2 S –p х – х |
p3 S –p2 х – pх |
x |
p3 S –p2 х – pх – x |
В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p3 S – p2 х –px – x = 0.
Выразим из этого уравнения переменную х:
p3 S – х ∙ (p2
+ p + 1) = 0,
p3 S = х ∙ (p2
+ p + 1),
х = ,
3х = = = 9 979 200.
2) Заполним
таблицу для n2 = 2:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
х |
p2 S –p х – |
В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p2 S – px – x = 0.
Выразим из этого уравнения переменную х:
p2 S – х ∙ (p + 1) = 0,
p2 S = х ∙ (p + 1),
х = ,
2х = = = 9 172 800.
3) 9 979 200
– 9 172 800 = 806 400 (рублей).
Ответ:
806 400 рублей.
Задача 10 (для самостоятельного решения).
31 декабря 2020 года Савелий
взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема
выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 12,5 %), затем Савелий
переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, сели бы смог выплатить долг за 2
равных платежа?
Ответ:
506 250 рублей.
Задача 11.
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
75 000 рублей, а во второй год – 46 000 рублей. Найдите число r.
Решение.
Заполним таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
75 000 |
р S – 75 000 |
2 |
р S – 75 000 |
p2 S – |
46 000 |
p2 S – 75 000 p – 46 000 = 0 |
В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p2
S – 75 000 p
– 46 000 = 0.
Поскольку
S
= 100 000, то получаем квадратное уравнение:
100 000
p2
– 75 000 p
– 46 000 = 0,
100
p2
– 75 p – 46 = 0,
Положительный
корень этого уравнения равен:
p
= 1,15,
откуда
r
= 15 %.
Ответ:
15 %.
Задача 12 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;
§ с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что кредит
был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено
68 000 рублей, а во второй год – 59 000 рублей. Найдите число r.
Ответ:
18 %.
Задача 13.
Дмитрий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно втрое больше
предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.
Решение.
Заполним таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
3х |
p2 S –p х – 3х |
3 |
p2 S –p х –3 х |
p3 S –p2 х – 3pх |
9x |
p3 S –p2 х – 3pх – 9x = 0 |
В последней ячейке таблицы мы получили уравнение:
p3
S –p2
х – 3pх
– 9x = 0.
Выразим из этого уравнения переменную х:
p3
S – х ∙ (p2 +
3p + 9) = 0,
p3
S = х ∙ (p2 +
3p + 9),
х = ,
х = = 26 620.
Ответ:
26 620 рублей.
Задача 14 (для самостоятельного решения).
Георгий взял кредит в
банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце
каждого года банк увеличивает на 10 % оставшуюся сумму долга, а затем Георгий
переводит в банк свой очередной платёж. Известно, что Георгий погасил кредит за
три года, причём каждый его следующий платёж был ровно вдвое меньше
предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.
Ответ:
133 100 рублей.
Задача 15.
В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;
§ с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если
каждый год выплачивать по 292 820 рублей, то кредит будет полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 534 820 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.
Решение.
Пусть S рублей –
сумма кредита,
n1 = 4 года, при этом
х = 292 820 рублей – ежегодные платежи,
n2 = 2 года,
при
этом у = 534 820 рублей – ежегодные платежи.
1) Заполним
таблицу для n1 = 4:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
х |
р S – х |
2 |
р S – х |
p2 S –p х |
х |
p2 S –p х – х = |
3 |
p2 S –p х – х |
p3 S –p2 х – pх |
x |
p3 S –p2 х – pх – x |
4 |
p3 S –p2 х – pх – x |
p4 S –p3 х – p2х – px |
x |
p4 S –p3 х – p2х – px – x = 0 |
2) Заполним
таблицу для n2 = 2:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
р S |
у |
р S – у |
2 |
р S – у |
p2 S –p у |
у |
p2 S –p у – у |
В последних ячейках таблиц мы получили два уравнения:
p4 S –p3 х – p2х – px – x = 0 и p2 S –p у – у = 0.
Умножим второе уравнение на p2, а затем
вычтем из него первое уравнение:
(p3 у – p3 х) + (p2 у – p2 х) – (pх + х) =
0,
p3 (у – х) +
p2 (у – х) –
х (p + 1) = 0,
p2 (у – х) (p + 1) = х
(p + 1).
Поскольку p – число
положительное, то число (p + 1) – также
является положительным числом. Поэтому обе части уравнения можно разделить на
(p + 1).
p2 (у – х) =
х,
p2 = ,
p2 = = 1,21.
p = 1,1.
Значит,
r
= 10 %.
Ответ:
10 %.
Задача 16 (для самостоятельного решения).
В июле планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
§ каждый
январь долг увеличивается на r % по сравнению
с концом предыдущего года;
§ с февраля
по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если
каждый год выплачивать по 216 000 рублей, то кредит будет полностью
погашен за четыре года, а если ежегодно выплачивать по 366 000 рублей, то
кредит будет полностью погашен за два года. Найдите число r.
Ответ:
20 %.
Задача 17.
Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наибольший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика будет меньше 8 млн. рублей.
Решение.
r = 10%, тогда p
= 1,1.
Заполним
таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (млн. руб.) |
Долг после начисления процентов (млн. руб.) |
Выплаты (млн. руб.) |
Долг после выплаты (млн. руб.) |
1 |
S |
р S |
р S — S |
S |
2 |
S |
р S |
р S — S |
S |
3 |
S |
р S |
р S — S |
S |
4 |
S |
р S |
x |
р S – x |
5 |
р S – x |
p2х – px |
x |
p2х – px – x = 0 |
1) Рассмотрим
уравнение в последней ячейке таблицы:
p2х
– px – x = 0.
Выразим
из этого уравнения х:
p2х
– х (p +1) = 0,
p2х
= х (p +1),
х
= =
= .
2)
Общая сумма выплат равна:
3
∙
(р S – S) + 2х
= 3 ∙ (р
S – S) + 2S ∙ = S ∙
(3p – 3 + 2 ∙ ) = … = S ∙ .
По
условию, эта сумма меньше 8 млн. рублей, тогда
S
∙ < 8,
S
< ≈ 5,508…
При
этом S – целое
число миллионов рублей. Значит, S = 5 (млн. рублей).
Ответ:
5 млн. рублей.
Задача 18 (для самостоятельного решения).
Планируется выдать
льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого
года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом
года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по
кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го
годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита (в млн. рублей), при котором общая сумма
выплат заёмщика превысит 10 млн. рублей.
Ответ:
6 млн. рублей.
Задача 19.
Гражданин Гусев взял
кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый
из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S,
взятой в кредит. Схема выплаты кредита следующая: в конце каждого года банк
увеличивает на 25 % оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в
банк очередной платёж. После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до
20 % годовых, и гражданин Гусев внёс третий платёж. Четвёртым платежом долг был
полностью погашен. Сколько процентов от первоначальной суммы S
составлял четвёртый платёж по кредиту гражданина Гусева?
Решение.
r1 = 25%, тогда p1 = 1,25.
r2 = 20%, тогда p2 = 1,2.
Заполним
таблицу:
Год |
Долг до начисления процентов (руб.) |
Долг после начисления процентов (руб.) |
Выплаты (руб.) |
Долг после выплаты (руб.) |
1 |
S |
1,25 S |
0,5 S |
1,25 S – 0,5 S = 0,75 S |
2 |
0,75 S |
1,25 ∙ 0,75 ∙ S = = |
0,5 S |
0,9375 ∙ S – 0,5 ∙ S = = 0,4375 ∙ S |
3 |
0,4375 ∙ S |
1,2 ∙ 0,4375 ∙ S = 0,525 ∙ S |
0,5 S |
0,525 S — 0,5 S = = |
4 |
0,025 S |
1,2 ∙ 0,025 ∙ S = = 0,03 ∙ S |
0,03 ∙ S |
0,03 ∙ S – |
= 0,03 = 3 %.
Ответ:
3 %.
Экспресс-тренинг
Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!
До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей
Здравствуйте!
Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.
Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.
Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.
Арифметическая прогрессия
Последовательность чисел an такая, что
где d — разность арифметической прогрессии.
Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.
Геометрическая прогрессия
Последовательность чисел bn такая, что
где q — знаменатель геометрической прогрессии.
Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):
S=b11−q
На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.
Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.
Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.
Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!
Тема 15.
Сложные задачи прикладного характера
15
.
03
Банковский кредит: аннуитетный платеж
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Подтемы раздела
сложные задачи прикладного характера
15.01Задачи из ЕГЭ прошлых лет
15.02Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ 2023
15.03Банковский кредит: аннуитетный платеж
15.04Банковский кредит: дифференцированный платеж
15.05Банковский кредит: другие схемы платежей
15.06Банковский вклад
15.07Поиск наибольшего/наименьшего значения величины
Решаем задачи
Екатерина взяла кредит в банке на сумму 680000 рублей, которую ей не хватало
для покупки квартиры. Кредит она решила взять 1 марта на 2 месяца на
следующих условиях:
— 17-ого числа каждого месяца, начиная с марта, долг увеличивается на 12,5%
по сравнению с долгом на начало текущего месяца;
— в период с 18-ого по 30-ые числа Екатерина должна выплатить часть долга
одним платежом, причем ежемесячные платежи одинаковы.
Сколько рублей составила переплата Екатерины по данному кредиту?
Показать ответ и решение
Заметим, что
Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), — ежемесячный
платеж:
Кредит был выплачен, следовательно,
Таким образом, переплата по кредиту составила
Критерии оценки
Содержание критерия |
Балл |
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
Верно построена математическая модель |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, |
0 |
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению
математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а
не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен
включать описание того, как построена модель.
Для покупки квартиры Алексею не хватало 1 209 600 рублей, поэтому в январе
2015 года он решил взять в банке кредит под 10% годовых на 2 года. Условия
пользования кредитом таковы:
– раз в год 15 декабря банк начисляет на оставшуюся сумму долга проценты
(т.е. долг увеличивается на 10%);
– в период с 16 по 31 декабря Алексей обязан перевести в банк некоторую
сумму рублей (сделать платеж).
Какова должна быть сумма чтобы Алексей выплатил долг равными
платежами?
Показать ответ и решение
Так как процентная ставка в банке равна 10%, то 15 декабря 2015 года долг
Алексея составит 110% от первоначальной суммы (1 209 600 рублей), т.е. будет
равен рублей. После этого Алексей переводит банку рублей,
то есть его долг уменьшается на и будет равен
рублей.
До 15 декабря 2016 года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен
рублей. 15 декабря 2016 банк снова увеличивает долг на 10%,
т.е. долг Алексея уже будет равен рублей.
После этого Алексей снова переводит банку рублей, следовательно, долг
равен
Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу:
Критерии оценки
Содержание критерия |
Балл |
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
Верно построена математическая модель |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, |
0 |
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению
математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а
не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен
включать описание того, как построена модель.
Показать ответ и решение
Пусть Руслан взял в банке рублей, а его ежегодный платеж составил рублей. Тогда из условия следует, что
.
Если процентная ставка в банке составляет , то это значит, что после начисления процентов долг увеличивается в
раз (это процент, переведенный в десятичную дробь, например – это ). Следовательно, например, в конце первого года
долг будет равен рублей.
Обозначим за и составим таблицу:
Т.к. в конце -ого года кредит должен быть выплачен полностью, то
.
Т.к. , то можно разделить обе части уравнения на
Заметим, что в данной задаче сумма кредита не играет роли (мы ее приняли за и потом разделили на нее обе части
уравнения).
Ответ:
.
Показать ответ и решение
Составим таблицу, обозначив ежегодный платеж по кредиту за тыс.рублей и делая вычисления в
тыс.рублей:
Т.к. в конце -его года кредит должен быть выплачен полностью, то долг на конец -его года
составит рублей, т.е.
Домножим числитель и знаменатель дроби на , чтобы избавиться от десятичных
дробей:
Выполняя сокращения (для этого удобно пользоваться признаками деления), получим
тыс.рублей.
Значит, переплата равна тыс. рублей или рублей.
Ответ:
рублей.
Бизнесмен Олег в январе 2016 года взял кредит в банке под 20 % годовых, причем
выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько
рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту
составила 675 500 рублей?
Показать ответ и решение
Пусть рублей – сумма кредита, рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:
Следовательно,
Всего за три года Олег выплатил банку рублей, а его переплата составила
рублей. Отсюда Подставим это значение в
Критерии оценки
Содержание критерия |
Балл |
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
Верно построена математическая модель |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, |
0 |
Максимальный балл |
2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению
математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а
не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен
включать описание того, как построена модель.
Под какое наименьшее целое кратное пяти число процентов годовых банку необходимо предоставить
кредит на 2 года, выплачиваемый равными ежегодными платежами, чтобы переплата по такому
кредиту превысила от ежегодного платежа?
Показать ответ и решение
Пусть в банке взят кредит на сумму . Если — процентная ставка в банке, то каждый год после
начисления процентов долг увеличивается в раз. Обозначим за ежегодный платеж и
составим таблицу:
Получаем уравнение
Общая сумма выплат по кредиту равна , тогда переплата по кредиту составила .
Значит, необходимо, чтобы , следовательно, т.к. ,
получаем:
т.к. .
Т.к. , то , следовательно, . Следовательно, наименьшее подходящее
. Проверим, заметив, что :
Получили верное неравенство, значит, , откуда .
Ответ:
Леонид брал кредит в банке сроком на 6 лет под годовых. После того, как кредит был выплачен,
оказалось, что переплата по кредиту составила рублей. Сколько тысяч рублей каждый год
вносил Леонид в счет погашения кредита, если известно, что кредит был выплачен аннуитетными
платежами?
Показать ответ и решение
Пусть ежегодный платеж был равен тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку тыс.
рублей. Следовательно, если тыс. рублей — сумма кредита, то тыс. рублей — и есть
переплата по кредиту. Составим таблицу:
Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то
Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где
.
Эта сумма равна . Значит,
Заметим, что , следовательно,
Тогда, т.к. переплата , имеем следующее равенство, из которого можно найти
:
Ответ:
Василий взял кредит в банке на некоторую сумму под годовых. Кредит он должен
выплачивать в течение четырех лет одинаковыми ежегодными платежами. Сколько рублей
составлял ежегодный платеж Василия, если в итоге его переплата составила рублей.
Показать ответ и решение
Составим таблицу, обозначив за руб. сумму кредита, а за руб. ежегодный платеж.
Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то
Это уравнение преобразуется в уравнение вида:
Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку рублей, а, значит, его переплата составила
рублей. Т.к. , то . Значит:
Заметим также, что
Значит, ежегодный платеж составил рублей.
Ответ:
рублей.
Банк выдает кредит сроком на 4 года под годовых. Вычислите, на сколько процентов переплата
по такому кредиту превышает платеж, если гасить кредит нужно равными ежегодными выплатами.
Показать ответ и решение
Пусть кредит взят на сумму , пусть – ежегодный платеж. Составим таблицу.
Тогда имеем уравнение:
Переплата по кредиту равна . Следовательно, число процентов, которое составляет переплата
от платежа, равно:
Заметим, что . Тогда:
Значит, переплата превышает платеж на .
В банке был взял кредит на некоторую сумму денег на 3 года. Кредит необходимо выплачивать
равными платежами раз в год, причем известно, что каждый год перед выплатой текущая сумма долга
увеличивается на четверть.
Найдите, сколько процентов от тела кредита составит переплата по такому кредиту. В случае
необходимости ответ округлите до целого числа.
Банк “Европа” предлагает потребительский кредит на сумму рублей под годовых при
условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами.
Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на
условия банка?
Показать ответ и решение
Составим таблицу, обозначив за рублей ежегодный платеж, рублей.
Таким образом, .
Отсюда .
Заметим, что
.
Выполнив сокращения, получим, что рублей.
Ответ:
рублей.
Какой наибольший процент годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был
выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.
Показать ответ и решение
Пусть — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.
Пусть — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.
1)
Таким образом, имеем следующее уравнение:
Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж от стоимости квартиры , равна
Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры,
равна
2) Пусть – сумма кредита в банке Б.
Таким образом, имеем следующее уравнение:
Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж от кредита , равна
Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита,
равна
Т.к. , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от
, равна
3) Пусть – сумма кредита в банке В. Пусть также — коэффициент, на
который умножается долг после начисления процентов.
Таким образом, имеем следующее уравнение:
Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж от кредита , равна
Т.к. , то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от
, равна
4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по
обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет
общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть
выполнено:
Т.к. , то
Следовательно, наибольшее целое равно .
Ответ:
Показать ответ и решение
Заметим, что так как ежегодные выплаты увеличились на одну и ту же сумму, то второй кредит он
также выплачивал равными суммами. Следовательно, оба кредита выплачивались аннуитетными
платежами. Заметим также, что так как второй кредит он взял в начале третьего года, а выплатить
должен одновременно с первым, то второй кредит он выплачивал в третий и четвертый годы, то есть в
течение двух лет. Составим отдельно таблицы для первого и для второго кредитов (пусть рублей –
сумма первого кредита).
где
– ежегодный платеж по первому кредиту.
где
– ежегодный платеж по второму кредиту.
Общая сумма выплат по обоим кредитам – это . Следовательно, необходимо найти
.
Из первой таблицы получаем:
Из
второй аналогично:
Таким образом,
Заметим, что , следовательно:
Показать ответ и решение
Пусть Артур взял в кредит тыс.рублей и тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу,
заметив, что :
Таким образом, имеем следующее уравнение
Т.к. всего банку он заплатил рублей, то переплата равна , откуда
. Подставим это в уравнение:
откуда выражаем, что
Найдем :
.
Тогда, учитывая известное , имеем: .
Значит,
Значит, вся квартира стоила тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не
хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет
Ответ:
Показать ответ и решение
Пусть и — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а . Составим
таблицу:
Таким образом,
Откуда получается уравнение .
Известно, что — целое кратное десяти число, то есть .
Тогда или в рациональном виде
Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем
свободного члена, то есть , а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть .
Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это . Проверим:
Таким образом, и .
Ответ:
Показать ответ и решение
Введем обозначение: – сумма кредита, – ежегодный платеж. Составим
таблицу:
Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то .
Заметим, что за два года он заплатил банку рублей, значит, его переплата по кредиту составила
рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее
неравенство:
.
Выразим из ежегодный платеж: и подставим в неравенство:
, т.к. .
Решив данное неравенство методом интервалов, получим: (т.к. не может быть
отрицательным).
Сделав обратную замену , получим: .
Для того, чтобы найти наибольшее целое , необходимо оценить .
.
Таким образом, наибольшее целое .
Ответ:
.
Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на 4 года под годовых или в банке Б на 2 года
под годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления
процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат
округлите до целого числа.
Показать ответ и решение
а) Пусть необходимо взять кредит на сумму рублей.
1) Составим таблицу для банка А, приняв за ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после
начисления процентов долг будет составлять от предыдущего долга, то есть будет
увеличиваться в раз. Также заметим, что .
В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что
откуда
Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где , а
. Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:
Тогда величина показывает, какую часть составляет общая сумма выплат по кредиту от
самого кредита :
2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть – ежегодный платеж), заметив, что
, а :
Поступая аналогично первому пункту, найдем
Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее
выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:
Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:
Заметим, что . Значит, правая дробь больше левой. Таким образом,
кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.
б) Переплата по выгодному кредиту равна . Значит, необходимо найти
После округления до целого числа получим .
Ответ:
Вклады и кредиты
Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня
Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.
Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.
С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).
Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:
• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);
• выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);
• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;
• решение полученного уравнения, неравенства или системы;
• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.
Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.
На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.
Далее переходим к изучению «Сложных процентов».
Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.
Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.
Формула вычисления сложных процентов:
(начисление процентов к исходной сумме)
или (списание процентов)
Где S— размер первоначального вклада;
– размер вклада через n лет;
r — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.
Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.
Решение экономической задачи целесообразно начинать:
1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)
2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!
Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.
Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.
И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!
1. Задачи на «сложные» проценты.
1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?
Решение.
S– вклад, S= 500 000 рублей,
r=20% — процент годовых по вкладу,
– «накапливающий» множитель, m=1,2
Год |
Сумма на счете в начале года |
Сумма на счете после начисления % |
Платеж |
Остаток на счете в конце года |
1 |
S |
Sm |
x |
Sm+x |
2 |
Sm+x |
Sm2+xm |
x |
Sm2+xm+x |
3 |
Sm2+xm+x |
Sm3+xm2+xm |
x |
Sm3+xm2+xm+x |
4 |
Sm3+xm2+xm+x |
Sm4+xm3+xm2+xm |
— |
Sm4+xm3+xm2+xm |
Можно использовать формулы:
Парная задача
1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?
Ответ: 25000 рублей.
2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.
Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.
2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;
– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.
Решение.
S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,
r=20% — процент годовых по вкладу,
– «накапливающий» множитель, m=1,2
x рублей- ежегодная выплата,
Год |
Сумма на счете в начале года |
Сумма на счете после начисления % |
Платеж |
Остаток на счете в конце года |
1 |
S |
Sm |
x |
Sm-x |
2 |
Sm—x |
Sm2—xm |
x |
Sm2-xm-x |
3 |
Sm2—xm—x |
Sm3—xm2—xm |
x |
Sm3-xm2-xm-x |
4 |
Sm3—xm2—xm—x |
Sm4—xm3—xm2—xm |
x |
Sm4-xm3—xm2-xm-x |
Sk=4x;
Кредит был погашен за 4 года, значит:
Ответ: 201 300 рублей.
3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.
Основные характеристики дифференцированного платежа
1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;
4. Первый платеж самый большой;
5. Последний платеж самый маленький.
При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.
3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение.
S–сумма кредита,
r=1% — ежемесячный процент по вкладу,
n=24 – срок кредитования
Месяц |
Сумма на счете в начале месяца |
Погашение % по вкладу |
Погашение тела кредита |
Общие ежемесячные выплаты |
Остаток на счете в конце месяца |
1 год |
|||||
1 |
S |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
…. |
… |
… |
12 |
|
|
|
|
|
2 год |
|||||
13 |
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
24 |
|
|
|
|
|
Выплаты за 2 год
Выплаты за 1 год
Ответ:1 066 500 рублей.
4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).
4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
15.04 |
15.05 |
15.06 |
15.07 |
Долг (в млн. рублей) |
1 |
0.6 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |
0.1 |
0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.
Решение.
r% — ежемесячный процент по вкладу,
– «накапливающий» множитель,
Месяц |
Сумма на счете в начале месяца |
Сумма на счете после начисления % |
Платеж |
Остаток на счете в конце месяца |
1 |
1 |
1m |
m-0.6 |
0.6 |
2 |
0,6 |
0.6m |
0.6m-0.4 |
0.4 |
3 |
0,4 |
0.4m |
0.4m-0.3 |
0.3 |
4 |
0,3 |
0.3m |
0.3m-0.2 |
0.2 |
5 |
0,2 |
0.2m |
0.2m-0.1 |
0.1 |
6 |
0,1 |
0.1m |
0.1m |
0 |
Общая сумма выплат равна
Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;
2.6m<1.2; m<
Ответ: 7%.
Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.
Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.
Использованная литература
1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.
М.: 2020. — 168 с.
2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.
4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.
3. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т.
4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.
М.: 2018. — 208 с.