Задачи на кредиты с решением егэ профильный как решать

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги. 

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Решение задачи можно разбить на 4 этапа:

1. Подготовка
2. Заполнение таблицы
3. Составление математической модели
4. Решение и получение искомого результата

Немного вводной теории.

1) От момента получения кредита до полного его погашения циклически повторяются 3 шага:

А) начисление процентов;

Б) внесение выплат;

В) формирование оставшегося долга

ВАЖНО!!! Каждый новый период проценты начисляются НА ОСТАТОК ДОЛГА!!!

2) Для удобства и сокращения записи в таблице перед началом ее заполнения введем переменные: S — сумма кредита, х — процентный коэффициент. Если в задаче известна процентная ставка и сумма кредита, то при решении эти данные будут использованы

Рассмотрим задачу. Это одна из самых простых задач.

1) Подготовка

S-сумма кредита. Х=1+0,15 = 1,15

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

	Проценты	Выплаты	Долг
1			0,8S
2			0,5S
3			0,1S
4			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX		0,8S
2	0,8SX		0,5S
3	0,5SX		0,1S
4	0,1SX		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX	SX — 0,8S	0,8S
2	0,8SX	0,8SX — 0,5S	0,5S
3	0,5SX	0,5SX — 0,1S	0,1S
4	0,1SX	0,1SX	0

3) Составление математической модели.

Известно, что общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей

SX — 0,8S + 0,8SX — 0,5S + 0,5SX — 0,1S + 0,1SX < 50

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него.

(SX + 0,8SX + 0,5SX + 0,1SX) — (0,8S + 0,5S + 0,1S ) < 50

Вынесем общие множители за скобки

SX(1 + 0,8 + 0,5 + 0,1) — S(0,8 + 0,5 + 0,1 ) < 50

SX*2,4 — S*1,4 <50

S(2,4X — 1,4) <50

Теперь можно подставить значение Х

S(2,4*1.15 — 1,4) <50

S< 50/1.36. Так как S-целое число и нам требуется наибольшее, S=36

Рассмотрим задачу с неизвестной процентной ставкой.

1) Подготовка

S=1,5 млн. — сумма кредита. Х=1+0,01r

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

	Проценты	Выплаты	Долг
1			1,2
2			1
3			0,7
4			0,5
5			0,3
6			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит.

	Проценты	Выплаты	Долг
1	1,5X		1,2
2	1,2X		1
3	1X		0,7
4	0,7X		0,5
5	0,5X		0,3
6	0,3X		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	1,5X	1,5X — 1,2	1,2
2	1,2X	1,2X — 1	1
3	1X	1X — 0,7	0,7
4	0,7X	0,7X — 0,5	0,5
5	0,5X	0,5X — 0,3	0,3
6	0,3X	0,3X	0

3) Составление математической модели.

Известно, что общая сумма выплат будет больше 2,2 млн рублей

1,5X — 1,2 + 1,2X — 1 + 1X — 0,7 + 0,7X — 0,5 + 0,5X — 0,3 + 0,3X >2,2

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него. Вынесем общие множители за скобки.

Х(1,5 + 1,2 + 1 + 0,7 + 0,5 + 0,3) — (1,2 + 1 + 0,7 + 0,5 + 0,3) > 2,2

5,2Х — 3,7 >2,2

X > 59/52 Так как Х=1+0,01r и r — наименьшее, получаем r=14

Рассмотрим задачу с большим сроком выплаты кредита.

1) Подготовка

S — сумма кредита. Х=1+0,01*2=1,02

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

Так как срок большой, ограничимся первыми тремя и последними тремя месяцами.

Если в условии сказано, что «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше предыдущего», то сумма кредита делится на количество месяцев и каждый месяц долг уменьшается на 1/18

	Проценты	Выплаты	Долг
1			17/18*S
2			16/18*S
3			15/18*S
………………………………………………….
16			2/18*S
17			1/18*S
18			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX		17/18*S
2	17/18*S*X		16/18*S
3	16/18*S*X		15/18*S
………………………………………………….
16	3/18*S*X		2/18*S
17	2/18*S*X		1/18*S
18	1/18*S*X		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX	SX — 17/18*S	17/18*S
2	17/18*S*X	17/18*S*X — 16/18*S	16/18*S
3	16/18*S*X	16/18*S*X — 15/18*S	15/18*S
………………………………………………….
16	3/18*S*X	3/18*S*X — 2/18*S	2/18*S
17	2/18*S*X	2/18*S*X — 1/18*S	1/18*S
18	1/18*S*X	1/18*S*X	0

3) Составление математической модели.

В задаче стоит вопрос об общей сумме выплат. Следовательно

SX — 17/18*S + 17/18*S*X — 16/18*S + 16/18*S*X — 15/18*S + … + 3/18*S*X — 2/18*S + 2/18*S*X — 1/18*S + 1/18*S*X =

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него. Вынесем общие множители за скобки.

= SX/18 (18 + 17+ 16 + … + 3+ 2 + 1) — S/18* (17 + 16 + 15 +…+ 2 + 1) =

В скобках сумма арифметической прогрессии от 1 до 18 и от 1 до 17

= — = 19SX/2 — 17S/2 = S(9,5*1,02 — 8,5) = S*1,19.

То есть сумма выплат составляет 119% от суммы взятого кредита.

Рассмотрим задачу с неизвестным сроком выплаты кредита.

1) Подготовка

S=5 — сумма кредита. Х=1+0,01*20=1,2

2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение

Так как срок большой, ограничимся первыми тремя и последними тремя месяцами.

Если в условии сказано, что «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше предыдущего», то сумма кредита делится на количество месяцев и каждый месяц долг уменьшается на 1/n

	Проценты	Выплаты	Долг
1			(n-1)/n*S
2			(n-2)/n *S
3			(n-3)/n *S
………………………………………………….
n-2			2/n*S
n-1			1/n*S
n			0

Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг — это взятый кредит

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX		(n-1)/n*S
2	(n-1)/n*S*X		(n-2)/n *S
3	(n-2)/n *S*X		(n-3)/n *S
………………………………………………….
n-2	3/n*s*x		2/n*S
n-1	2/n*S*X		1/n*S
n	1/n*S*X		0

Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы

	Проценты	Выплаты	Долг
1	SX	SX — (n-1)/n*S	(n-1)/n*S
2	(n-1)/n*S*X	(n-1)/n*S*X-(n-2)/n *S	(n-2)/n *S
3	(n-2)/n *S*X	(n-2)/n *SX-(n-3)/n *S	(n-3)/n *S
………………………………………………….
n-2	3/n*s*x	3/n*s*x-2/n*S	2/n*S
n-1	2/n*S*X	2/n*S*X-1/n*S	1/n*S
n	1/n*S*X	1/n*S*X	0

3) Составление математической модели.

В задаче стоит вопрос об общей сумме выплат. Следовательно

SX — (n-1)/n*S + (n-1)/n*S*X-(n-2)/n *S + (n-2)/n *SX-(n-3)/n *S + …+3/n*S*X-2/n*S + 2/n*S*X-1/n*S + 1/n*S*X = 7,5

4) Решение и получение искомого результата

Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие — без него. Вынесем общие множители за скобки.

SX/n*(n + (n-1) + (n-2) + …+3 + 2+ 1) -S/ n* ((n-1)/ +(n-2) + (n-3) +…+2 +1) = 7,5

В скобках сумма арифметической прогрессии от 1 до n и от 1 до (n-1)

— =7,5

Сокращая дроби и подставляя значения S и Х, получаем =7,5

n=4

Рассмотрим другой тип задач, в которых известен не долг, а сумма выплат.

1) Подготовка

S — сумма кредита. Х=1+0,01*10=1,1

2) Заполнение таблицы. В условии говорится о трех платежах, то есть

	Проценты	Выплаты	Долг
1		Х
2		2Х
3		3Х

Начисляя проценты, получаем

	Проценты	Выплаты	Долг
1	1,1S	Х	1,1S — X
2	(1,1S — X)*1,1	2Х	(1,1S — X)*1,1-2X
3	((1,1S — X)*1,1-2X)*1,1	3Х	((1,1S — X)*1,1-2X)*1,1-3X

3) Составление математической модели.

Учитывая, что последний долг должен быть равен нулю, получаем

((1,1S — X)*1,1-2X)*1,1-3X = 0

4) Решение и получение искомого результата

А также известна сумма, выплаченная за три года, то есть

Х+2Х+3Х=2395800, откуда получаем Х=399300

Подставляя найденное значение и решая первое уравнение, получаем S=1923000 рублей

Секрет: существуют только два вида уравнений:

1. Сумма выплат;
2. Последний остаток равен нулю.

Других видов уравнений нет!

Желаю всем легких решений!

VI районная научно-исследовательская конференция обучающихся обучающихся общеобразовательных организаций Октябрьского муниципального района

Финансовая математика в задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты

Исследовательская работа по математике

Автор работы: Кутепова Анна, ученица 10 класса        

Руководитель: Моторина  Ольга Робертовна, преподаватель математики «МОУ ОСОШ №1»

с. Октябрьское, 2022 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        2

Банковские кредиты и математика        4

Схемы решения экономических задач на кредиты        8

1. Задача на определение величины выплаты/дифференцированные платежи        8
2. Задача на определение ежегодной (ежемесячной) выплаты /аннуитетные платежи        10
3. Определение величины процента ставки кредита /долг, убывающий согласно таблице в условие задачи        12
4. Задача на определение суммы кредита/аннуитетные платежи        14
5. Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита /дифференцированные платежи        16

Заключение        20

Список информационных источников        22

Введение

В современном, информационно-развитом мире, встречаются люди, которые не умеют правильно распоряжаться своими финансами и контролировать свои доходы и расходы. В этих случаях необходима финансовая грамотность, ведь благодаря данным знаниям мы сможем не только управлять деньгами, правильно инвестировать свои средства, но также будем в безопасности во время сложных жизненных обстоятельств и не потеряем свои доходы. Наша жизнь сегодня настоятельно требует, чтобы каждый человек  имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.  Финансовая грамотность необходима при решении экономических задач в ЕГЭ профильного уровня по математике. Данные задания проверяют практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.

Учащиеся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть и в ОГЭ и  в ЕГЭ.  На данный момент я являюсь ученицей 10 класса. В следующем году мне предстоит сдать ЕГЭ. Я уже  ознакомлена с заданиями данного экзамена и знаю, что среди них есть  задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос о  том,  каким образом подойти к решению таких задач. Кроме того я выбрала эту тему еще и  потому,  что в 7 классе мной был выполнен проект «Сам себе финансист: проценты и скидки».В этой исследовательской работе я хочу углубить и расширить свои знания в области финансовой математики. На выбор темы повлияло и то, что в  будущем я планирую поступить на экономический факультет ВУЗа.

Тема моей работы: Финансовая математика в экономических задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты.

Гипотеза: Не смотря многообразие типов экономических задач профильного экзамена по математике,  их можно классифицировать и  вывести единую схему решения.

Цель работы: Изучить основные типы экономических задач на кредиты ЕГЭ по профильной математике и научиться их решать.

Задачи:

• Изучить теоретические аспекты решения экономических задач;
• Познакомиться с прототипами  экономических задач, представленных в открытом банке заданий  ЕГЭ;
• Создать обучающую презентацию по различным типам задач на кредиты.

Объект исследования: Экономические задачи на кредиты №15 в ЕГЭ.

Предмет исследования: Схемы и алгоритмы решения задач на кредиты.

Методы исследования:

• Изучение и анализ литературы и интернет-источников по данной теме.
• Математическое моделирование
• Классификация
• Анализ

Банковские кредиты и математика

Финансовая математика –  раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с экономическими расчётами.

В единый государственный экзамен  по математике (ЕГЭ) профильного уровня экономические задачи были включены в 2015 г. Это задания высокого уровня сложности с практическим  содержанием, проверяющее навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.

Экономические  задачи  предполагают:

1. Умение работать с процентами, частями и долями.
2. Владение понятием «Математическая модель».
3. Умение строить математическую модель задачи.
4. Владение вычислительными навыками.
5. Умение применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
6. Умение интерпретировать полученный результат, учитывать реальные ограничения.

Экономические задачи под номером 15 в ЕГЭ по профильной математике делятся на три основные группы:

1. Задачи на кредиты.
2. Задачи на вклады и ценные бумаги.
3. Задачи на оптимальный выбор.

Данную работу я посвятила разбору примеров задач первого типа.

Банковский кредит – денежная сумма, предоставляемая банком на определённый срок и на определённых условиях; определённая технология удовлетворения заявленной заёмщикомфинансовой потребности.

Потребность в кредите возникает при оплате значительныхпо стоимости объектов потребления без предварительного накопления достаточных ресурсов, необходимости обеспечения своевременных платежей по товарам, приобретенным в рассрочку, оплате эксклюзивных покупок случайного характера, кассовых разрывах при замене старых объектов потребления на новые, покрытии потерь при наступлении рисков, оплате значительных расходов и т. д.

Понимание и структурирование данных условия задачи – важный шаг на пути правильного ее решения. Для упорядочивания данных условия задачи я использовала таблицы, хотя это и не единственный способ решения 15-го задания,  можно использовать и другие методы: последовательности, прикладные методы. Метод решения текстовых задач с помощью таблиц универсальный, знаком каждому школьнику. С помощью таблицможно выработать единый алгоритм решения большинства банковских задач.

В решениях, представленных в работе задач,мною будут использоваться следующие обозначения:

выплатить кредит

Кредитные операции играют основную роль в деятельности банков. Экономические задачи,  конечно,  несколько упрощают реальную ситуацию, в жизни банковские операции по кредитам  значительно  сложнее, тем не менее, именно они дают начальные представления о действиях в мире финансов. При решении экономических задач не обойтись без вычисления процентов, при этом используются «простые» и «сложные проценты». Задачи  простые проценты изучаются в школьном курсе математике и включены в тестовую часть заданий профильного экзамена. Вычислять же «сложные проценты» приходится в тех случаях, когда в задаче идет речь о величине, подверженной поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменениесоставляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.Существуют разные формулы, по которым происходит вычисление сложных процентов. При выдаче кредитов на срок n проценты могут, например,  начисляться по формуле:  

. Где F – это погашаемая сумма, которую заемщик должен вернуть в банк, а S– начальная сумма, взятая в кредит.

Проанализировав условия задач на кредиты профильного ЕГЭ, я обнаружила, что классифицировать задачи можно разными способами:

1. По типу ежемесячных (ежегодных)  платежей.
2. Разделить на простые (используется одна формула) или сложные (применяются несколько формул, используются системы, неравенства).
3. По неизвестной величине, которую требуется найти в условии (процентной ставке, величине выплаты,  суммы кредита и др.)

По типу платежей  задачи  ЕГЭ  задачами самыми распространенными являются задачи на фиксированный, аннуитетный и дифференцированный платежи.

Фиксированный платеж – это платеж, величина которого четко определена в задаче.

Аннуитетный платеж–  это платеж, которыйустанавливается в равной сумме через равные промежутки времени, то есть  остаётся постоянным на всём периоде кредитования. Ежемесячный платёж, при аннуитетной схеме погашения кредита состоит из двух частей. Первая часть платежа идёт на погашение процентов за пользование кредитом, авторая часть идёт на погашение  суммы долга.  Главная особенность таких платежей  в том, что вначале ежемесячный платеж  практически полностью состоит из  суммы процентов, тогда как основной долг заемщика не уменьшается. Постепенно это соотношение выравнивается: если первое времязаемщик  гасит в основном проценты, то потом основные средства идут в счет погашения задолженности.

Дифференцированный платеж – это способ ежемесячного платежа по кредиту, при котором  размер ежемесячной выплаты по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования. Ежемесячный платёж, как и при аннуитетной схеме погашения кредита, складывается тоже из двух составляющих. Но в дифференцированной схеме первая часть называется основным платежом, размер которого не изменяется на всём сроке кредитования. Этот  платёж идет на погашение основного долга по кредиту. Вторая часть платежа непостоянная, она уменьшается к концу срока кредитования. Данная часть платежа при дифференцированной схеме идет на погашение процентов по кредиту. При дифференцированной схеме погашения кредита, ежемесячный платеж рассчитывается как сумма основного платежа и проценты, начисляемые на оставшийся размер долга. Естественно, что оставшийся размер долга уменьшается к концу срока кредитования, отсюда и получается уменьшение размера ежемесячной выплаты.

Схемы решения экономических задач на кредиты

В практической части своей работы  я представляюпримеры решений нескольких задач на кредиты. Это задачи на нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.)  выплат, определения срока кредитования.

1. Задача на определение величины выплаты

/дифференцированные платежи

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

 – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

Решение:

Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» — это означает, что каждый месяц  мы должны выплачивать часть начального долга  + начисленные за этот месяц проценты.

№ мес.	Начальная сумма, млн. руб.	Сумма начисленных процентов, млн. руб.	Выплата, млн. руб.	Конечная сумма, млн. руб.
1
2
3
12
24	…	…	…	0

Первая сумма  =    (т. е. половина взятой заемщиком суммы). Для удобства вычисления суммы вынесем за скобки множитель , тогда получим:

Ответ: 1 866 000 рублей

Примеры задач банка ЕГЭ на определение величины выплаты:

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей на некоторыйсрок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн. рублей?

2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн. рублей?

1. Задача на определение ежегодной (ежемесячной) выплаты/аннуитетные платежи

В июле планируется взять кредит на сумму 6409000 рублей. Условия его возврата таковы:

— Каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года.

— С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами.

Решение:

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов,  руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.
1 год			x
2 год			x

Ответ: 3817125 руб.

Примеры задач банка ЕГЭна определение ежегодной (ежемесячной) выплаты:

1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

1. Определение величины процента ставки кредита /долг, убывающий согласно таблице в условие задачи

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере . Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается напо сравнению с концом предыдущего месяца, где – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата
Долг (млн. руб.)

Найдите наибольшее значение, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.

Решение:

	Начальная сумма, млн. руб.	Сумма долга после начисления процентов,млн. руб.	Выплата, млн. руб.	Конечная сумма,млн. руб.
	1

Учитывая, что общая сумма выплат меньше 1,2 млн. руб., составим и решим неравенство:

Ответ: 7%

Примеры задач банка ЕГЭна определение величины процента ставки кредита:

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. руб.)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн. рублей.

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

 – каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.

1. Задача на определение суммы кредита

/аннуитетные платежи

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 156 060 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение:

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов, руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.

Определим величину ежегодной выплаты, решив уравнение относительно x:

Известно, что сумма трех выплат на 156060 руб.  больше суммы кредита:

Ответ: 239 400руб.

Примеры задач банка ЕГЭна определение суммы кредита:

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

1. Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита/дифференцированные платежи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн. рублей?

Решение:

«В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года» — это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга  + начисленные за этот год проценты .

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов, руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.
1
2
n

Сложим все платежи, чтобы определить общую сумму выплат по кредиту:

Сложив все слагаемые  , получим . У оставшихся слагаемых  есть общий множитель  общий множитель ,  тогда имеем:

Выражение в  скобках – арифметическая  прогрессия.Найдём её сумму по формуле:

Подставим полученную сумму в выражение для нахождения общей выплаты:

Вместо буквенных символов подставим известные нам значения величин и найдем n:

Ответ: 4 года

Примеры задач банка ЕГЭна нахождение срокавыплаты кредита:

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 24,5 млн. рублей?

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?

Заключение

Подводя итоги своей работы, целью  которой было познакомиться с типами задач с экономическим содержанием и научиться решать задачи на кредиты, я считаю, что мне удалось достичь этой цели, хотя есть еще к чему стремиться, так как предстоит изучить и задачи других видов.

Проанализировав условия и решения банковских задач,  я пришла к заключению, что в большинстве случаев схему решения можно использовать  таблицу такого вида:

В ходе своего исследования, разбирая примеры задач  и решая задачи самостоятельно,  я заметила, что:

1. Практически все экономические задачи из банка ЕГЭ можно разделить на несколько основных видов
2. Решение экономических задач можно выполнять по одному алгоритму, а именно:

1. Занести данные условия задачи в таблицу.
2. Составить уравнение или неравенство (систему уравнений/неравенств).
3. В ходе решения появится формула, с помощью которой будет найден ответ на вопрос задачи.

Моя гипотеза о том, что, несмотря на сложность  и многообразие типов экономических задач их можно классифицировать и  вывести единую схему решения, подтвердилась. Я убедилась в ее истинности  на примере изучения задач на кредиты.Работу по изучению экономических задач буду продолжать и дальше, так как впереди экзамен по профильной математике и, кроме того, считаю, что решение таких задач позволило мне лучше разобраться в базовых понятиях банковских процессов, что будет полезно  мне в моей будущей профессии.

Думаю, что эта  работа будет полезна ученикам 10 и 11 класса, учителям для подготовки к ЕГЭ профильного уровня по математике. В ходе работы мною была создана презентация с примерами задач на кредиты и их подробными решениями. Эту презентацию можно предложить ребятам для самостоятельной подготовки, кроме решенных примеров она содержит задачи из банка ЕГЭ по математике.

Список информационных источников

1. Лукашин Ю.П. Финансовая математика / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. — М., 2003. https://kpsu.ru/upload/medialibrary/606/606fd86fd3cd2272b6f1f3f1b0e4f96c.pdf
2. https://ru.wikipedia.org
3. https://ege.sdamgia.ru/
4. http://fipi.ru/
5. Курс лекций по финансовой математике  https://lfirmal.com/predmet-finansovaya-matematika/
6. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике https://www.time4math.ru/ege

Для решения таких задач необходимо понимать алгоритм решения экономических задач

За задание №17 по математике ЕГЭ профильный уровень можно получить 3 балла. Мы рассмотрим как решать экономические задачи ЕГЭ по математике, которые в каждом варианте профильного уровня по математике идут под номером 17.

Решение №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Рассмотрим каждый из вышеперечисленных блоков.

Вклады и кредиты

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.

Формула выглядит следующим образом:

где FV – будущая сумма.

PV – текущая сумма.

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента.

Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:

,

где

FV – будущая сумма

PV – текущая сумма

p – процент, в соответствии с которым происходит начисление

n – количество лет начисления процента

m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).

Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.

Задача 1

Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?

Решение:

Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:

Теперь сумму через 2 года:

Теперь сумму через 3 года:

Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.

Задача 2

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.

Решение:

Пусть искомая сумма составит a млн рублей.

Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.

По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство

14,641 + 2,31a ≥ 28

a ≥ 

Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.

Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.

Ответ: 6 млн рублей.

Акции и другие ценные бумаги

Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.

Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.

Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.

Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.

Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.

Задача 3.

Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение:

Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.

К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:

9000 + 2000n

Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.

Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.

Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:

По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.

Ответ: 2020

Методы оптимальных решений

Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.

Основные типы заданий в этом блоке:

1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;

2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);

3. Транспортная задача.

Разберём несколько задач с основными методами решения.

Задача.

У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.

Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?

Решение:

Имеем 2 поля с различными характеристиками.

В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.

Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:

10·500· 9000= 45000000 рублей

Ситуация с первым полем не так очевидна.

Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).

Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:

Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.

Доход с первого поля:

10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей

Суммарный доход составит:

35000000 рублей + 45000000 рублей = 80000000 рублей

Ответ: 80000000 рублей

Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.

Задача.

На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.

Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?

Решение:

Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.

Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.

Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.

На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.

Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:

Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:

1. Найти производную функции;

2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;

3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.

Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.

1. 
2.      Приведём к общему знаменателю.  Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.Получили единственную точку экстремума.
3. Проверим, является ли она точкой максимума.Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с + на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг

Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.

Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.

Примеры решения задач

Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму  

Воспользуемся этой формулой, считаяS₀= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).

Получим:

Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.

Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?

Решение:

Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.

Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».

Решение:

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на 

умножается на коэффициент 1,1.

Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;

после второго года: 1,21S;

после третьего года: 1,331S.

По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;

после второго года 1,2321S.

Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна

, где r— натуральное число,

коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:

Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.

Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?

Решение.

Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей

В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей

.

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на 

Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.

Задача 5.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?