Задачи на математическую индукцию егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

1

Применение метода математической индукции в решении заданий ЕГЭ (С 5) Работу выполнил: ученик 10 «А» класса МАОУ «Ярковская СОШ» Антипин Андрей Тюменская область, Ярковский район, С. Ярково

2

Считаю выбранную мною тему актуальной из-за недостаточности практического содержания задач в учебниках по «Алгебре» и началам анализа для старших классов. Мне необходимо более полно выполнить работу для получения высокого балла. Цель: Найти, обосновать и наглядно показать систему формирования практического значения метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

3

Введение В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

4

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. Например, в математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство |AB|+|BC| |AC|.

5

Основная часть Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году. По своему первоначальному смыслу слово индукция применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений.

6

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

7

Простейшим методом рассуждений является полная индукция. Вот пример: Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представим в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

8

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых. Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев. Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

9

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам. Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции.

10

Принцип математической индукции. Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.

11

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) >А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p. Док-во по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть док-ва, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k,т.е. доказывают, что А(k) >A(k+1).

12

Работу выполнил: ученик 10 «А» класса МАОУ «Ярков Антипин Андрей Тюменская область, Ярковский район, С. Ярково

13

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

14

Метод математической индукции в решении задач на делимость. Пример Доказать, что при любом n, 7 n -1 делится на 6 без остатка. Решение: 1)Пусть n=1, тогда Х 1 =7 1 -1=6 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно. 2) Предположим, что при n=k,7 k -1 делится на 6 без остатка.

15

3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1. X k+1 =7 k+1 -1=7 7 k -7+6=7(7 k -1)+6. Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7 k -1 делится на 6 по предположению, а вторым слагаемым является 6. Значит 7 n -1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

16

Применение метода к суммированию рядов. Пример Доказать, что 1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х (1) Решение: 1) При n=1 получаем 1+х=(х 2 -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1 следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно.

17

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е. 1+х+х 2 +х 3 +…+х k =(х k+1 -1)/(х-1). Докажем, что тогда выполняется равенство 1+х+х 2 +х 3 +…+х k +x k+1 =(x k+2 -1)/(х-1). В самом деле 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k )+x k+1 = (x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 = =(x k+2 -1)/(x-1). Итак, А(k) > A(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n.

18

Применения метода к доказательству неравенств. Пример Доказать, что при n>2 справедливо неравенство 1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/n 2 )

19

3) Докажем справедливость неравенства при n=k+1 (1+(1/2 2 )+…+(1/k 2 ))+(1/(k+1) 2 )<

20

Применение метода к другим задачам Пример Доказать, что число диагоналей выпуклого n- угольника равно n(n-3)/2. Решение: 1) При n=3 утверждение справедливо, ибо в треугольнике А 3 =3(3-3)/2=0 диагоналей; А 2 А(3) истинно. 2) Предположим, что во всяком выпуклом k-угольнике имеет ся А k =k(k-3)/2 диагоналей.

21

3)Докажем, что тогда в выпуклом А k+1 (k+1)-угольнике число диагоналей А k+1 =(k+1)(k-2)/2. Пусть А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -выпуклый (k+1)- угольник. Проведём в нём диагональ A 1 A k. Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)- угольника нужно подсчитать число диагоналей в k- угольнике A 1 A 2 …A k, прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А k+1, и, кроме того, следует учесть диагональ А 1 А k. Таким образом, k+1=k+(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2. Итак, А(k) > A(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

22

Пусть имеется выпуклая фигура и внутри ее взяты n точек. Тогда центр масс этих точек тоже принадлежит фигуре. Доказательство проведем по индукции. Докажем базу: центр масс двух точек по определению принадлежит соединяющему их отрезку, в силу выпуклости фигуры, принадлежит фигуре. База доказана, теперь шаг индукции. Цент масс n+1 точек – это, в силу определения, центр масс двух точек: любой одной и центра масс всех остальных, которых n штук. В силу предположения индукции центр масс этих остальных n точек принадлежит фигуре, а значит, центр масс его и (n+1)-й точки тоже принадлежит фигуре, так как по определению лежит на отрезке, соединяющем эти две точки нашей выпуклой фигуры, что и требовалось доказать. Доказательство теоремы с помощью математической индукции

23

Заключение В частности изучив метод математической индукции, я повысила свои знания в этой области математики, а также научилась решать задачи, которые раньше были мне не под силу. В основном это были логические и занимательные задачи, т.е. как раз те, которые повышают интерес к самой математике как к науке. Решение таких задач становится занимательным занятием и может привлечь в математические лабиринты всё новых любознательных. По- моему, это является основой любой науки.

Источник

Числа и их свойства

Версия для печати и копирования в MS Word

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в)  Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 2, d = 2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?

в)  Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Пусть q  — наименьшее общее кратное, а d  — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а)  Может ли быть равным 170?

б)  Может ли быть равным 2?

в)  Найдите наименьшее значение

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а)  Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?

б)  Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в)  Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  27.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  19 и a² − b² + с² − d²  =  19?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1000 и a² − b² + с² − d²  =  1000. Найдите количество возможных значений числа a.

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  19.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  23 и a² − b² + с² − d²  =  23?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1200 и a² − b² + с² − d²  =  1200. Найдите количество возможных значений числа a.

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 802.

Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что

а)  Могут ли все числа быть попарно различны?

б)  Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в)  Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а)  Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б)  Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в)  Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны натуральные числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а)  Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б)  Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в)  Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.

а)  Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?

б)  Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?

в)  Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 2.

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в)  Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014, ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 2., ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1.

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 301., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а)  Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?

б)  Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?

в)  На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 2.

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а)  Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б)  Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в)  Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.

а)  Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа a_i   — целые,

б)  Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде где числа a_i   — целые, ровно 130 способами?

в)  Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа a_i   — целые, ровно 130 способами?

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

а)  Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б)  Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а)  Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём.

б)  Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111?

в)  Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а)  Является ли множество {100; 101; 102; …; 199} хорошим?

б)  Является ли множество {2; 4; 8; …; 2²⁰⁰} хорошим?

в)  Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а)  Является ли множество {200; 201; 202; …; 299} хорошим?

б)  Является ли множество {2; 4; 8; …; 2¹⁰⁰} хорошим?

в)  Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 2 (только часть С)

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 10, а сумма которых больше 90, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 90, но больше:

а)  80;

б)  82;

в)  81.

Источник: ЕГЭ по математике 2016. Досрочная волна, резервная волна (часть С)

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:

а)  99;

б)  101;

в)  100.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 2016. Досрочная волна, резервная волна. Вариант А. Ларина (часть С)

Возрастающие арифметические прогрессии a₁, a₂, …, a_n, … и b₁, b₂, …, b_n, … состоят из натуральных чисел.

а)  Существуют ли такие прогрессии, для которых и   — различные натуральные числа?

б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых и   — различные натуральные числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если известно, что и   — различные натуральные числа?

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а)  Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б)  Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в)  Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2015

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а)  Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б)  Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?

в)  Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть)

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а)  Приведите пример последовательных 5 ходов.

б)  Можно ли сделать 10 ходов?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (C часть).

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а)  Приведите пример числа, для которого это частное равно

б)  Может ли это частное равняться

в)  Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в)  Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 4. (Часть C).

а)  Приведите пример такого натурального числа n, что числа n² и (n + 16)² дают одинаковый остаток при делении на 200.

б)  Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в)  Сколько существует двухзначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n² и (n + m)² дают одинаковый остаток при делении на 200.

а)  Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б)  Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в)  Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в)  Какова их минимальная сумма?

Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017

а)  Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа?

б)  Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в)  Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.

а)  Является ли множество {100; 101; 102; …; 199} хорошим?

б)  Является ли множество {2; 4; 8; …; 2²⁰⁰} хорошим?

в)  Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

Дано квадратное уравнение где a, b и c  — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б)  Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в)  Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (C часть).

Дано квадратное уравнение где a, b, c  — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б)  Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в)  Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2., Пробный экзамен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (C часть).

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а)  Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б)  Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в)  Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

а)  1989?

б)  2012?

в)  2016?

Если нет  — объясните, почему, если да  — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.

Источник: РЕШУ ЕГЭ

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в)  Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а)  Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б)  Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в)  Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервный день. Вариант 501 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а)  Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б)  Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в)  В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервная волна. Восток (C часть)

а)  Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786.

б)  Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791?

в)  Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).

На доске написано n чисел a_i (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на r_i%. При этом либо r_i = 2%, либо число a_i уменьшается на 2, то есть становится равным a_i − 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то  — на 2 процента).

а)  Может ли среднее арифметическое чисел r₁, r₂, …, r_n быть равным 5?

б)  Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r₁, r₂, …, r_n больше 2, при этом сумма чисел a₁, a₂ … a_n уменьшилась более чем на 2n?

в)  Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r₁, r₂, …, r_n.

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а)  Является ли число 1234 хорошим?

б)  Является ли число 12345 хорошим?

в)  Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.

а)  Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных натуральных делителей (в число делителей числа n включается единица и само число n)?

б)  Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в)  Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных делителей?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а)  Могут ли быть одинаковыми два из трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б)  Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в)  Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

а)  Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

б)  Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

в)  Найдите все возможные значения натурального числа n при каждом которых значение выражения будет наименьшим.

Источник: ЕГЭ по математике 11.04.2018. Досрочная волна, резервная волна. Запад (часть С)

а)  Приведите пример трехзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифра,вторая и предпоследняя, и т. д.). Например числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а)  Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б)  Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в)  Найдите 37-е по порядку число-палиндром, которое делится на 15.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

а) Приведите пример натурального числа, произведение всех делителей которого оканчивается на 6 нулей.

б)  Может ли произведение всех делителей числа, оканчивающегося ровно на три нуля, оканчиваться на нечетное число нулей?

в)  Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 333 нуля. На сколько нулей может оканчиваться число N?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

а)  Приведите пример натурального числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б)  Существует ли такое трехзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в)  Сколько существует таких трехзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

а)  Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б)  Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в)  Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б)  Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в)  Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 301 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

а)  Представьте число в виде суммы нескольких дробей, все числители которых  — единица, а знаменатели  — попарно различные натуральные числа.

б)  Представьте число в виде суммы нескольких дробей, все числители которых  — единица, а знаменатели  — попарно различные натуральные числа.

в)  Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых и

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Вариант 991 (C часть). Он же: вариант 751 (резервная волна 25.06.2018), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. В первой школе он составил 54 балла. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, при этом средние баллы за тест увеличились на 12.5% в обеих школах.

a) Сколько учеников, писавших тест, могло быть в первой школе?

б) Какой максимальный балл мог быть у учащегося из первой школы?

в) Какой минимальный средний балл мог быть у учащихся во второй школе?

Источник: ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Дальний Восток. (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 313 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 50 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 2 раза?

б)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 9?

в)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 314 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали не меньше двух учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причем в школе № 1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 вырос на 10%.

а)  Сколько учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?

б)  В школе № 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в)  Известно, что изначально в школе № 2 писали тест более 10 учащихся и после перехода одного учащегося в эту школу и пересчета баллов средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе № 2 изначально?

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 325 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а)  Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б)  Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в)  За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000  — при получении двух звёзд и 2000  — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

Примечание редакции Решу ЕГЭ: в п. а) считайте, начальный заряд достаточно большим.

Источник: ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервная волна. Вариант 501 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

а)  Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б)  Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в)  Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Источник: ЕГЭ по математике 25.06.2018. Основная волна, резервный день. Вариант 992 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а)  Может ли наименьшее из этих чисел равняться 3?

б)  Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11?

в)  Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех чисел.

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 25.06.2018. Вариант 557 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2019 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень.

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 223.

а)  Можно ли в числителе и знаменателе дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

б)  Можно ли в числителе и знаменателе дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −?

Все целые числа от 1 до 13 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а)  Может ли на последнем месте стоять число 5?

б)  Какие числа могут быть на последнем месте?

в)  Сколько четных чисел может стоять на третьем месте?

Источник: РЕШУ ЕГЭ

а)  Приведите пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105.

б)  Можно ли расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1?

в)  Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60?

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?

б)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 991, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Квадратное уравнение имеет два различных натуральных корня.

а)  Пусть q = 34. Найдите все возможные значения p.

б)  Пусть Найдите все возможные значения q.

в)  Пусть Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Источник: Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019. Вариант 503, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Первый набор чисел состоит из чисел Второй набор состоит из чисел Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте  — число из первого набора, а на втором  — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а)  Может ли полученная сумма делиться на 9?

б)  Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в)  Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель  — натуральное число.

а)  Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б)  Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в)  Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 3, 4, 5, 6 и 7 (34567, 34576 и т. д.).

а)  Есть ли среди них число, которое делится на 55?

б)  Есть ли среди них число, которое делится на 505?

в)  Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.

Известно, что a, b, c, d, e и f  — это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 9, расставленные без повторений в некотором, возможно ином, порядке.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли выполняться равенство

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а)  Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б)  Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в)  В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 19 ЕГЭ–2020

Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а)  Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б)  Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в)  Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991, Задания 19 ЕГЭ–2020

В наборе 70 гирек массой 1, 2, …, 70 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а)  Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 11 г, 15 г, 19 г?

б)  Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 9,5 грамма?

в)  Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 406, Задания 19 ЕГЭ–2020

На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 198?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 270?

в)  Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1518?

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике. Вариант 313

а)  Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена равен 17?

б)  Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена равен 54?

в)  Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена если известно, что числа m, n и D  — натуральные?

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 3

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

а)  Чему равна сумма цифр две тысячи пятнадцатого замечательного числа?

б)  Сколько существует двухзначных замечательных чисел?

в)  Какой порядковый номер замечательного числа 5999?

г)  Чему равна сумма всех четырехзначных замечательных чисел?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 325. (часть C).

Последовательность a₁, a₂, a₃, … состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли выполняться равенство

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 326. (часть C).

Про число А известно, что оно не является 2020‐й степенью натурального числа и имеет ровно 2020 различных делителей, включая его самого и единицу.

а)  Может ли А быть кубом целого числа?

б)  Может ли А быть четвертой степенью целого числа?

в)  Найдите наименьшее значение А.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 329. (часть C).

На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 31 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.

а)  Можно ли сделать 4 хода?

б)  Можно ли сделать 9 ходов?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 332. (часть C).

На асфальте мелом написали в ряд 333 цифры 3 и расставили между некоторыми из них знаки «плюс» и «минус».

А)  Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?

Б)   У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?

В)  Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте б).

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 333. (часть C).

В каждой из девяти ячеек строки слева направо в некотором (возможно, ином) порядке расставлены по одному 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

а)  Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, и ровно одно, делящееся на 4?

б)  Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, а среди любых двух подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно простое число?

в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки?

Вася записал на листе бумаги некоторую последовательность из n чисел (n > 3), а затем продолжил её, повторив все числа ещё раз в том же порядке. Затем Вася предложил Маше сыграть в игру по следующим правилам. За один ход Маша может спросить у Васи сумму любых трёх подряд идущих чисел. Маша выигрывает, если через несколько ходов узнает все числа.

а)  Может ли Маша гарантированно выиграть, если n  =  5?

б)  Может ли Маша гарантированно выиграть, если n  =  9?

в)  За какое наименьшее число ходов Маша может гарантированно выиграть, если n  =  22?

а)  Приведите пример десяти таких различных двузначных чисел, среди которых ровно 5 делятся на 2, ровно 5 делятся на 3, ровно 5 делятся на 5 и ровно 3 делятся на 6.

б)  Существуют ли такие десять различных двузначных чисел, среди которых ровно 7 делятся на 3, ровно 7 делятся на 5, ровно 7 делятся на 7?

в)  Про десять различных двузначных чисел известно, что наибольший общий делитель любых двух из них равен 1, 2, 3, 5 или 7. Какое наибольшее количество из этих десяти чисел может делиться на 7?

Дана бесконечная последовательность натуральных чисел, в которой k‐й член задается формулой a_k  =  2k − 1, где k ∈ N, k ≥ 1. Далее рассматриваются суммы нескольких (не менее двух) слагаемых из некоторого набора идущих подряд членов этой последовательности. Может ли такая сумма быть равной:

а)  2021?

б)  289?

в)  квадрату натурального числа?

г)  кубу натурального числа?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 337.

а)   Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют одинаковые остатки при делении на 69?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют одинаковые остатки при делении на 68?

в)  Пусть k(m)  — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m  — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 338.

Известно, что квадратное уравнение вида x² + mx + k  =  0 имеет два различных натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения k при m  =  −6.

б)  Найдите все возможные значения m при

в)  Найдите все возможные значения корней уравнения, если k² − m²  =  2236.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 340.

Пусть обозначает двузначное число, равное где a и b  — цифры,

а)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что

б)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5?

в)  Какое наибольшее значение может принимать выражение если среди цифр a, b, c и d есть цифры 5 и 6?

В натуральном числе каждая цифра, кроме первой и последней, меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.

а)  Приведите пример такого четырёхзначного числа.

б)  Приведите пример такого шестизначного числа.

в)  Найдите наибольшее такое число.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 341.

Маша задумала 6 различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем  — среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после  — среднее арифметическое полученного результата и четвертого числа, затем  — среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец  — среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через М. Далее Маша находит число А  — среднее арифметическое исходных чисел.

а)  Возможно ли, что А  =  М?

б)  Возможно ли, что М  =  6А?

в)  Найдите наибольшее натуральное значение n, для которого возможно, что М  =  nА.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 342.

а)  Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 250?

б)  Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 8750?

в)  Найдите все такие натуральные числа n, что каждое из чисел n, n + 1 и n + 2 трёхзначное, а десятичная запись их произведения n(n + 1)(n + 2) оканчивается на 4000.

Имеются зеленые и желтые карточки, всего их 80 штук. На каждой карточке написано натуральное число, а среднее арифметическое всех чисел равно 31. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше любого числа на зелёной карточке. Числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после этого среднее арифметическое всех чисел стало равно 88.

а)  Может ли быть ровно 50 желтых карточек?

б)  Может ли быть ровно 15 зеленых карточек?

в)  Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 343.

Последовательность задана рекуррентным способом: a₁  =  1, a₂  =  2, Найдите:

а)  сумму пяти первых членов этой последовательности;

б)  

в)  произведение двадцати первых членов этой последовательности.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 344.

Для любого натурального числа n (n ≥ 1) обозначим через O(n) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа. Например, O(123)  =  2, а O(2048)  =  0.

а)  Существует ли такое натуральное число n, что O(4 · n)  =  O(n) + 2?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что O(5ⁿ + 2^n + 1 − 2) > n?

в)  Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство O(11 · n)  =  O(n) + 2?

Даны 15 различных натуральных чисел, записанных в порядке возрастания.

а)  Могут ли эти числа образовывать арифметическую прогрессию, если сумма первого, третьего и седьмого из них равна 125, а сумма всех чисел равна 885?

б)  Могут ли эти числа образовывать арифметическую прогрессию, если сумма первого, третьего и седьмого из них равна 90, а сумма всех чисел равна 810?

в)   Могут ли первые восемь из этих чисел образовывать геометрическую прогрессию с целым знаменателем, если сумма этих восьми чисел равна 103 · 994?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 346.

Сима записала несколько различных натуральных чисел, все цифры которых четны, после чего нашла сумму этих чисел и обозначила ее через S.

а)  Может ли сумма цифр числа S быть нечетным числом?

б)  Может ли произведение цифр числа S быть нечетным числом?

в)  Пусть десятичная запись числа S состоит из 366 цифр. Какое наименьшее натуральное значение может принимать произведение цифр числа S?

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №1

100

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1!  =  1).

а)  Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?

в)  Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (100 − n)! оканчивается ровно 23 нулями?

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

101

Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

а)  Может ли одним из этих чисел быть число 999?

б)  Может ли одним из этих чисел быть число 66?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

102

Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон  — целые числа.

а)  Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?

б)  Может ли длина прямоугольника быть равной 16?

в)  Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

103

Напомним, что произведение натуральных чисел обозначается n! (например, 1!=1, ). Определите наибольшее возможное n в следующих случаях:

а)   не является натуральным числом.

б)  (n + 2)! − 42(n!) < 0.

в)  (n!)² − 12n! не делится на 13.

104

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье  — сумме цифр второго.

а)  Может ли сумма трех чисел быть равной 420?

б)  Может ли сумма трех чисел быть равной 419?

в)  Сколько существует троек чисел, таких что: первое число  — трехзначное, а последнее равно 5?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье, Задания 19 ЕГЭ–2021

105

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 55?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в)  Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 7?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Вологодская область, Задания 19 ЕГЭ–2021

106

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  28000?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  2971?

в)  Найдите наибольшее произведение A · S < 5997.

Источник: ЕГЭ по математике. Основная волна 07.06.2021. Урал, Задания 19 ЕГЭ–2021

107

Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1105?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1106?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 1503?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь, Задания 19 ЕГЭ–2021

108

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 11?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 5?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 7?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 19 ЕГЭ–2021

109

а)  Можно ли представить число в виде суммы двух дробей, числители которых  — единицы, а знаменатели  — различные натуральные числа?

б)  Тот же вопрос для числа

в)  Какое наименьшее количество слагаемых указанного вида (дробей с числителями 1 и знаменателями  — попарно различными натуральными числами) потребуется, чтобы представить число

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Вариант 991, Задания 19 ЕГЭ–2021

110

Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, что сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а)  при n  =  7;

б)  при n  =  12;

в)  при n  =  2015?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 362.

111

Вова задумал натуральное число а и посчитал сумму его цифр, эту сумму он обозначил b. Затем он посчитал сумму цифр числа b и обозначил ее через с. Оказалось, что среди чисел a, b и с нет одинаковых.

а)  Может ли a + b + c  =  3000?

б)  Может ли a + b + c  =  2000?

в)  Сколько существует четырехзначных чисел а, для которых c  =  4?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 364.

112

а)  Можно ли в выражении вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?

б)  Можно ли в выражении вместо всех знаков * расставить знаки + и − так, чтобы в результате получился нуль?

в)  Какое наибольшее количество попарно различных чисел можно выбрать из набора и расставить знаки + и − так, чтобы их сумма стала равна нулю?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 365.

113

Пусть обозначает трехзначное число, равное 100a + 10b + c, где a, b и c  — десятичные цифры, a ≠ 0.

а)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры a, b и c, что

б)  Существуют ли такие попарно различные ненулевые десятичные цифры a, b и c, что

в)  Какое наибольшее значение может принимать дробь если среди попарно различных ненулевых десятичных цифр a, b и c есть цифра 6?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 366.

114

Символом [a] обозначается целая часть числа a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a. Например, и

а)  Существует ли такое натуральное число n, что

б)  Существует ли такое натуральное число n, что

в)  Найдите все натуральные числа n, для которых

115

Бесконечная последовательность натуральных чисел {a_n} задана следующим соотношением: a₁  =  1,

а)  Делится ли число a₂₀₂₂ на 33?

б)  Может ли член этой последовательности a_n при n > 1 быть точным квадратом?

в)  Какие остатки при делении на 7 могут иметь члены этой последовательности?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 374.

116

Введем на множестве натуральных чисел новую операцию квазиумножения следующим образом: Результат операции будем называть квазипроизведением чисел m и n.

а)  Число n > 1 будем называть квазипростым, если его нельзя представить в виде квазипроизведения двух меньших чисел. Найдите все простые числа, которые являются квазипростыми.

б)  Число n будем называть квазичетным, если существует такое число m, что Будут ли квазичетными числами сумма и произведение двух квазичетных чисел? А трех или четырех?

в)  Треугольник называется квазипрямоугольным, если он удовлетворяет теореме Квазипифагора: Сумма квазиквадратов двух сторон равна квазиквадрату третьей стороны. Найдите длины сторон равнобедренного квазипрямоугольного треугольника наименьшего периметра.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 376.

117

Натуральное число будем называть симметричным, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке.

а)  Будет ли симметричное число с четным количеством цифр делиться на 11?

б)  К трехзначному числу припишем справа это же число. Будет ли полученное шестизначное число точным квадратом?

в)  Какие шестизначные симметричные числа делятся на 77? Сколько всего таких чисел?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 378.

118

Настя задумала трехзначное натуральное число n. В результате деления этого числа на сумму его цифр получается натуральное число m.

а)  Может ли m  =  11?

б)  Какое наименьшее число n могла задумать Настя, если известно, что средняя цифра этого числа равна 9, а первая цифра  — четная и больше 2?

в)  Чему равно наименьшее возможное значение m, если последняя цифра числа n равна 4?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 379.

119

Каждую цифру a натурального числа n заменим последней цифрой числа a³. Полученное в результате такой замены число будем обозначать n* и называть взаимным с числом n. Число, совпадающее со своим взаимным, будем называть особенным.

а)  Могут ли два разных натуральных числа иметь одинаковые взаимные числа?

б)  Для каких натуральных чисел n будет особенным число Сколько всего существует трехзначных особенных чисел?

в)  Решите уравнение

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 380.

120

Имеется уравнение числа a, b и c  — целые,

а)  Найдите все возможные значения b, если известно, что a  =  10, c  =  30, а уравнение имеет два различных целых корня?

б)  Найдите все возможные значения корней, если b  =  c и уравнение имеет либо два различных целых корня, либо один целый корень кратности 2.

в)  Известно, что и уравнение имеет корни, причем все корни являются целыми числами. Найдите все возможные значения корней.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 381.

121

Из трех разных цифр a, b, c, отличных от 0, всевозможными перестановками составлены 6 трехзначных чисел. Пусть их наибольший общий делитель равен d.

а)  Может ли быть d  =  6?

б)  Может ли быть d  =  7?

в)  Какое максимальное значение может иметь d? Найдите значения a, b, c, при которых d достигает максимального значения.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 382.

122

Бесконечная последовательность натуральных чисел задана следующим соотношением: a_1=2, Где r_n  — последняя цифра числа 4ⁿ, для всех

а)  Найдите формулу для члена a_n этой последовательности.

б)  При каких значениях n член последовательности a_n является точным квадратом?

в)  При каких значениях n член последовательности a_n является степенью числа 2?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 384.

123

Множество простых делителей числа n будем называть ДНК этого числа. Числа m и n, имеющие одинаковые ДНК, будем называть родственными. Например, числа 12 и 18 родственные, т. к. их ДНК={2,3}.

Число m называется симметричным с числом n, если оно записано теми же цифрами, но в обратном порядке. При этом если последними цифрами числа n были нули, то в начале числа m они отбрасываются.

а)  Пусть число n делится на 10. Может ли оно быть родственным со своим симметричным числом?

б)   Сумма первой и последней цифр натурального числа равна 13. Может ли оно быть родственным со своим симметричным числом?

в)  Найдите минимальное и максимальное составное трёхзначное число, у которого нет трёхзначных родственных чисел.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 386.

124

Каждое из четырёх подряд идущих натуральных чисел разделили на их первые цифры и результаты сложили в сумму S.

а)  Может ли быть ?

б)  Может ли быть ?

в)  Найдите наибольшее целое S, если все четыре числа лежат в отрезке от 400 до 999 включительно.

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Москва. Вариант 1, Задания 18 ЕГЭ–2022

125

Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а

затем четыре полученных результата сложили.

а)  Может ли полученная сумма равняться 386?

б)  Может ли полученная сумма равняться 9,125?

в)  Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 699?

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2, Задания 18 ЕГЭ–2022

126

Каждое из четырех последовательных натуральных чисел, последняя цифра которых не равна нулю, разделили на его последнюю цифру. Полученные результаты сложили и назвали S. Тогда:

а) может ли

б) может ли

в) если числа были трехзначные, то какое наибольшее целое значение S могло получиться?

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Иркутск. Вариант 3, Задания 18 ЕГЭ–2022

127

Составим две последовательности натуральных чисел {a_n} и {b_n}:

a₁  =  1, (n > 1), где p  — наименьший простой делитель числа n;

b₁  =  1, b_n (n > 1)  — количество таких чисел m, для которых a_m  =  n. Оно показывает, сколько раз число n встречается в последовательности {a_n}.

а)  Найдите b₁₈₇.

б)   Для каких чисел n > 1 и m > 1 выполняется равенство b_n  =  b_m?

в)  Чему равно b_m, если ?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 388.

128

Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n  =  3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.

а)  Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n  =  4?

б)  Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n  =  5?

в)  При n  =  6 оказалось, что сумма чисел делится на 99. Сколько натуральных чисел от 925 111 до 925 999, которые Юра мог использовать в качестве исходного числа?

129

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел?

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

130

Натуральные числа m и n будем называть дружественными, если Составим следующую последовательность натуральных чисел lefta_n : a_1=1,   — количество чисел, дружественных с n и не превосходящих n.

а)  Чему равно a_2022 ?

б)  Найдите все натуральные числа n, для которых a_n=2.

в)  Найдите все натуральные числа n, для которых, для которых дружественными числами являются все делители d > 1 и только они.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 390.

131

Дано натуральное трехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь f(n), в числителе которой само число n, а в знаменателе  — произведение всех цифр числа n.

а)  Приведите пример такого числа n, для которого

б)  Существует ли такое n, что ?

в)  Какое набольшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 24?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 391.

132

Для каждого натурального числа n обозначим через a_n максимальный делитель числа n, являющийся квадратом натурального числа, и

а)  Может ли у числа b_n быть 18 делителей?

б)  Для скольких натуральных чисел n выполняется равенство a_n=25 ?

в)  Последняя цифра числа n равна 9. Чему равна сумма последних цифр чисел a_n и b_n?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 392.

133

Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, так как

а)  Существует ли такое натуральное число n, что ?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что ?

в)  Сколько существует различных натуральных n, для которых ?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 393.

134

Возьмем три любые (не обязательно различные) цифры a, b, c, отличные от 0, и всевозможными перестановками составим шесть трехзначных чисел Сумму этих чисел обозначим

а)  Может ли равняться 1754 при каких‐либо значениях a, b, c?

б)  Сколько существует различных значений ?

в)  Сколько трехзначных чисел совпадают со средним арифметическим чисел ?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394.

135

Для каждого натурального числа введем (например, 1!=1, ).

а)  Найдите наибольшее возможное n, если не является натуральным числом.

б)  Найдите наибольшее возможное n, если

в)  Найдите наибольшее возможное n, если не делится на 13.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 395.

136

В десятичной записи числа a > 1 только чередующиеся единицы и нули: a  =  1010…

а)  Может ли это число быть квадратом натурального числа?

б)  Какие числа такого вида будут простыми?

в)  Сколько единиц в записи этого числа, если оно делится на 13?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 396.

137

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а)  Может ли N быть равным 280?

б)  Может ли N быть равным 149?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток, Задания 18 ЕГЭ–2022

138

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а)  Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б)  Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в)  Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

Источник: Задания 18 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 337

139

Известно, что a, b, c и d  — различные двузначные натуральные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если a > 3b и c > 2d?

140

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 398.

141

Целочисленным треугольником называется треугольник, длины сторон которого равны целым числам.

а)  Найдите все целочисленные прямоугольные треугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию;

б)  Существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники в которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины прямого угла, образуют арифметическую прогрессию?

в)  Найдите все целочисленные прямоугольные треугольники, у которых площадь численно равна периметру.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 400.

142

В натуральном числе n между всеми парами соседних цифр вставили одну и ту же цифру c. Получилось число m, которое делится на n. Их частное равно k.

а)  Может ли быть k  =  10?

б)  Может ли быть k  =  2?

в)  Чему может быть равно наименьшее значение числа k?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 404.

143

Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а)  Может ли n равняться 68?

б)  Может ли n равняться 86?

в)  Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 405.

144

На множестве натуральных чисел введем новую операцию «квазиумножения» (*): квазипроизведением чисел m и n будем называть где

а)  Решите уравнение

б)  Сколько решений может иметь уравнение a *x=p, где p  — простое число?

в)  Последовательность натуральных чисел {a_n} назовем квазигеометрической прогрессией со знаменателем q, если для всех Сколько элементов в самой длинной возрастающей квазигеометрической прогрессии?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 406.

145

В записи натурального числа n сделаем замену цифр. Если цифра то заменяем её на цифру (10 – a), а если a  =  0, то её не меняем. Обозначим полученное число через n*.

а)  Может ли быть n  =  10n*?

б)  Какое наибольшее значение может принимать отношение

в)  Если n делится на то чему может быть равно отношение

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 410.

146

На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.

а)  Могли ли при n  =  3 на доске быть написаны ровно 11 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?

б)  Могли ли при n  =  3 на доске быть написаны ровно 12 цифр?

в)  Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n  =  4, если на доске написано ровно 22 цифры?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 411.

147

Марина составляет из n четверок числа и находит всевозможные их суммы. Например, если n  =  4, то возможных сумм было бы 5:

а)  Может ли одна из сумм S равняться 460, если n  =  25?

б)  Может ли одна из сумм S равняться 800, если n  =  25?

в)  Сколько существует различных значений n, для которых одна из сумм равна 800?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412.

148

Рассматриваются целочисленные прямоугольные треугольники, то есть такие прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами.

а)  В треугольнике длина одной из сторон равна 12. Найдите все возможные значения длин других сторон этого треугольника.

б)  Длина h высоты, опущенной на гипотенузу, также выражается целым числом. Найдите наименьшее возможное значение h.

в)  В треугольнике где c  — длина гипотенузы, b  — длина одного из катетов. Последняя цифра десятичной записи периметра этого треугольника равна 6. Чему равны последние цифры десятичной записи длин сторон этого треугольника?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 413.

149

Обозначим через a_n произведение всех делителей натурального числа n.

а)  Может ли быть a_n  =  1000?

б)  Чему равно n, если a_n  =  21 952?

в)  При каких значениях n выполняется равенство a_n  =  n²?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 419.

Числовые наборы на карточках и досках

Версия для печати и копирования в MS Word

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Источник: ЕГЭ — 2013, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.

На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а)  Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

б)   Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Источник: ЕГЭ по математике 2015. Досрочная волна, резервная волна (часть С)

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а)  На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б)  Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в)  Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.

На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т. д.).

а)  Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?

б)  Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?

в)  Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, …, 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а)  Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?

б)  Может ли число k быть равным 11?

в)  Найдите наибольшее возможное значение числа k.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014

На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8).

а)  Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.

б)  Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?

в)  На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?

Источник: ЕГЭ — 2016. Основная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

б)  Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100.

в)  Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)

На проекте «Мисс Чмаровка−2016» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. При этом каждый судья выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление Изольды Кабановой все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.

а)  Могут ли итоговые баллы, вычисленные по старой и новой системам оценивания, оказаться одинаковыми?

б)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, оказаться равной 

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 159.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.

Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а)  Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б)  Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в)  Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел?

б)  Может ли на доске быть 6 чисел?

в)  Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.

На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?

б)  Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?

в)  Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Источник: ЕГЭ по математике 2017. Досрочная волна, резервная волна. Вариант А. Ларина (часть С)

Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?

в)  Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 431 (C часть).

а)  Приведите пример задуманных числел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в)  Приведите все примеры пяти задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 91.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 432 (C часть)., ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 433 (C часть).

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа  — число A.

а)  Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?

б)  Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?

в)  В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а)  Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?

в)  Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.

а)  Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395 = 3 + 6 + ⋯ + 90, если на доске написаны только кратные 3 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?

в)  Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

а)  Может ли быть записано число 250?

б)  Можно ли обойтись без числа 11?

в)  Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.

а)  Может ли быть записано число 230?

б)  Можно ли обойтись без числа 14?

в)  Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а)  Может ли быть 24 четных числа?

б)  Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?

в)  Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, А. Ларин: Тренировочный вариант № 216.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое или оканчивается на 9, или четное, а сумма чисел равна 877.

а)  Может ли быть на доске 27 четных чисел?

б)  Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9?

в)  Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 9 может быть на доске?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.

а)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в)  Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.

а)  Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

б)  Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в)  Пусть B  — шестое по величине число, а S  — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

На конкурсе «Мисс−261» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.

а)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 18?

б)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной

в)  Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на 5.

а)  Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 34, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 9 до 20 включительно?

б)  Может ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру 1, если изначально по одному разу были написаны квадраты натуральных чисел от 59 до 92 включительно?

в)  Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты натуральных чисел от 59 до 92 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих карточек?

б)  Может ли быть 10 красных карточек?

в)  Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные  — умножили на 2. Пусть А  — среднее арифметическое полученных чисел.

а)  Могли ли оказаться так, что A=17?

б)  Могли ли оказаться так, что A=7?

в)  Найдите наибольшее возможное значение А.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 245.

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а)  Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б)  Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в)  Пусть P  — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q  — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288.

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а)  Может ли n быть больше 5?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за эти дни?

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 1

а)  Может ли n быть больше 6?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 2

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в)  Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма всех записанных на доске чисел равна 1135.

а)  Может ли на доске быть ровно 31 четное число?

б)  Могут ли ровно семь чисел на доске оканчиваться на 7?

в)  Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 322 (часть C).

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 2, но не превосходит 42. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 6. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 2, с доски стерли.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 10?

б)  Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске оказаться больше 8, но меньше 9?

в)  Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 323. (часть C).

Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа a и b, оба меньше 1000. Если и оба натуральные, то Аня делает ход  — заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.

а)  Может ли игра продолжаться ровно три хода?

б)  Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?

в)  Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 324. (часть C).

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 56, 84, 168?

в)  Известно, что набор на доске состоит ровно из 31 числа и имеет вид 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, … , 1080, то есть известны семь первых и одно последнее числа набора. Приведите все возможные примеры задуманных чисел.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 347.

На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.

а)  Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если изначально по одному разу были написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?

б)  Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 39, если изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 199 включительно?

в)  Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны все натуральные числа от 100 до 199 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

По кругу записано несколько (два и более) различных натуральных чисел. Каждое число или в три раза больше соседнего слева числа, или на два меньше.

а)  Могут ли быть выписаны и число 5, и число 6?

б)  Могут ли быть выписаны ровно семь чисел?

в)  Какое максимальное значение может иметь наибольшее из выписанных чисел, если сумма всех выписанных чисел не превосходит 2021?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 354.

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое всех написанных чисел было равно 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, вдвое меньшее первоначального. Числа, оказавшиеся после этого меньше 1, с доски стёрли.

а)  Могло ли среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, стать больше 14?

б)  Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать больше 12, но меньше 13?

в)  Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 355.

На доске разрешается написать n таких попарно различных натуральных чисел a₁, a₂, …, a_n, для которых при каждом натуральном числе k  =  2, …, n − 1 выполнено равенство

а)  Можно ли при n  =  4 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a₄  =  2021?

б)  Можно ли при n  =  100 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось неравенство |a₂ − a₁| < 2021?

в)  При n  =  10 на доске написаны такие числа. Какое наименьшее значение может принимать a₁₀?

В течение n дней ежедневно на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 5. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество  — меньше, чем в предыдущий день.

а)  Может ли n быть больше 4?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 3?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел за все дни?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 383.

Есть желтые и белые карточки, всего  — 100 штук. На каждой написано натуральное число, среднее арифметическое всех чисел равно 32. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше, чем любое число на белой. Все числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 94,6.

а)  Может ли быть ровно 70 желтых карточек?

б)  Могут ли все числа на белых карточках быть различными?

в)  Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 385.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зеленого, либо красного цвета. Каждое зеленое число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зеленые числа различны и все красные различны; какое‐то зеленое может равняться какому‐то красному числу.

а)  Может ли сумма написанных чисел быть меньше если все числа на доске кратны 3?

б)  Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в)  Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 387.

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 401, Задания 18 ЕГЭ–2022

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,32 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,32, то получится целое число).

а)  Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?

б)  Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?

в)  Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.

Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Вариант 992, Задания 18 ЕГЭ–2022

На доске разрешается в одну строку так написать различных натуральных чисел чтобы для любого число равнялось либо сумме, либо разности, либо произведению, либо частному взятых в некотором порядке чисел и a_k. Например, этим правилам удовлетворяют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, написанные в указанном порядке.

а)  Можно ли по этим правилам так написать n  =  5 чисел, чтобы среди них в некотором порядке встретились четыре числа 1, 2, 3 и 4?

б)  Можно ли по этим правилам так написать n  =  4 нечетных числа, чтобы среди них в некотором порядке встретились три числа 3, 5 и 7?

в)  Какое наименьшее значение может принимать n, если на доске в некотором порядке встречаются числа 1, 2 и 8?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 414.

Последовательности и прогрессии

Версия для печати и копирования в MS Word

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 1., ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 902., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

Известно, что S₁ = 513.

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Источник: ЕГЭ по математике 19.06.2013. Основная волна, резервная волна. Центр. Вариант 501, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой  — пятую, и так далее.

а)  Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б)  Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в)  Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 51.

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию

а)  длиной 4

б)  длиной 5

в)  длиной k, где k  — любое натуральное число?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 52.

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каждой из них каждое число получено из предыдущего по одному и тому же закону.

а)  Найдите этот закон.

б)  Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя (по этому закону).

в)  Докажите, что число 21991 после нескольких переходов станет однозначным.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 61.

В последовательности 19752… каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а)  набор цифр 1234; 3269;

б)  вторично набор 1975;

в)  набор 8197?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 63.

Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат

а)  при n = 9,

б)  при n = 11,

в)  при n = 1996.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.

Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….

а)  Существует ли арифметическая прогрессия длины 5 составленная из членов этой последовательности?

б)  Можно ли составить арифметическую прогрессию бесконечной длины из этих чисел?

в)  Может ли в прогрессии быть 2013 членов?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 22.

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и

а)  пять;

б)  четыре;

в)  три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б)  Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в)  Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500?

в)  Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.

Последовательность a₁, a₂, …, a_n, … состоит из натуральных чисел, причём при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 9a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство

а)  Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б)  Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в)  Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна.

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Вариант 901., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а)  Может ли S равняться 8?

б)  Может ли S равняться 1?

в)  Найдите все значения, которые может принимать S.

Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервная волна. Вариант 1, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а)  может ли в последовательности быть три члена?

б)  может ли в последовательности быть четыре члена?

в)  может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.

а)  Может ли число S быть равным 38?

б)  Может ли число S быть больше 37,05?

в)  Найдите максимально возможное значение S.

Источник: ЕГЭ 10.07.2012 по математике. Вторая волна. Вариант 501.

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а)  пять;

б)  четыре;

в)  три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Источник: Д. Д. Гущин Готовимся к ЕГЭ с лучшими учителями России, М.: 2013, И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а)  Может ли последовательность состоять из двух членов?

б)  Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в)  Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, …, a_n, … состоит из различных натуральных чисел.

а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, …, a₇ ровно три числа делятся на 100?

б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, …, a₄₉ ровно 11 чисел делятся на 100?

в)  Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, …, a_2n больше кратных 100, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, …, a_5n?

В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.

а)  Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?

б)  Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?

в)  Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.

Источник: ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна., Задания 19 ЕГЭ–2021

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.

б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  6?

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних стоящих рядом с ним членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б)  Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  10?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (C часть).

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а)  Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше

б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 601 (C часть). , ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 610 (C часть).

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

б)  Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

в)  Найдите наибольшее возможное значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть). , ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 608 (C часть).

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k  — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M₁  =  1, M₂  =  2.

а)  приведите пример такой последовательности, для которой M₃  =  1,5.

б)  существует ли такая последовательность, для которой M₃  =  3?

в)  Найдите наибольшее возможное значение M₃.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 701 (C часть).

Конечная последовательность состоит из не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  5, в которой a₅  =  4.

б)  Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 3. (Часть C).

Конечная возрастающая последовательность состоит из натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  4.

б)  Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство

в)  Какое наименьшее значение может принимать a₁, если a_n  =  667?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 5. (Часть C).

а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).

Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.

а)  Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение a_3b_3, если ?

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k  — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что

а)  Приведите пример такой последовательности, для которой

б)  Существует ли такая последовательность, для которой M_3=5?

в)  Найдите наименьшее возможное значение M_3.

Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2017. Резервная волна. Вариант 992 (C часть), Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

На полиграфической фабрике страницы тетради пронумерованы числами от 1 до 96. На случайной странице Максим, записал число 0 и пронумеровал все страницы далее до конца тетради числами 1, 2, 3,… и т. д., не пропуская ни одной. Затем он вернулся к странице с записанным 0 и пронумеровал страницы тетради назад числами −1, −2, −3, … и т. д. до начала тетради без пропусков. Сумма всех записанных чисел в тетради равна S. Определите номер страницы фабричной нумерации, на которой Максим записал число 0, если:

а) S=48;

б)   S=4560;

в)   S=1968

В последовательности a₁, a₂,…, a_n−1, a_n, состоящей из целых чисел, a₁  =  1, a_n  =  235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а)  Приведите пример такой последовательности.

б)  Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в)  Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Последовательность a₁, a₂, …,a_n,… состоит из натуральных чисел, причем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех натуральных n.

а)  Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?

б)  Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство

Бесконечная арифметическая прогрессия a₁, a₂, …, a_n, … состоит из различных натуральных чисел.

а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, …, a₇ ровно три числа делятся на 100?

б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a₁, a₂, …, a₄₉ ровно 11 чисел делятся на 100?

в)  Для какого наибольшего натурального n может оказаться так, что среди чисел a₁, a₂, …, a_2n больше кратных 100, чем среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, …, a_5n?

Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а)  Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?

б)  Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?

в)  Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя  — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а)  Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б)  Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в)  Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя  — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.

а)  Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?

б)  Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?

в)  Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?

Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а)  Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б)  Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в)  Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 4, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Последовательность натуральных чисел (a_n) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а)  Может ли последовательность (a_n) содержать ровно 5 различных чисел?

б)  Чему может равняться a_1, если

в)  Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (a_n)?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Дальний восток, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n  =  12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а)  Могла ли сумма равняться 150, если n  =  60?

б)  Могла ли сумма равняться 150, если n  =  80?

в)  Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва, Задания 19 ЕГЭ–2020

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а)  Может ли сумма составлять 282?

б)  Может ли их сумма составлять 390?

в)  Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Краснодар, Задания 19 ЕГЭ–2020

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231.

а)  Может ли последовательность состоять из двух членов?

б)  Может ли последовательность состоять из трех членов?

в)  Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 330. (часть C).

Конечная последовательность состоит из необязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных выполнено равенство

а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  5, в которой a₅  =  4.

б)  Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из двузначных чисел?

На доске разрешается написать n таких ненулевых целых чисел a₁, a₂, …, a_n, для которых при каждом натуральном числе k  =  2, …, n − 1 выполнено равенство a_k  =  a_k − 1 + a_k + 1.

а)  Можно ли при n  =  4 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a₁  =  a₄?

б)  Можно ли при n  =  100 написать на доске такие числа, сумма которых равна 2021?

в)  При n  =  10 на доске написаны такие числа, сумма которых равна 11. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

Последовательность a₁, a₂, …, a_n, … состоит из натуральных чисел, причем a₁ > 4 и a_{n + 1}  =  a_n + 4n² для n ≥ 1.

а)  Могут ли a₂ и a₃ быть простыми числами?

б)  Может ли сумма двух подряд идущих членов этой последовательности делиться на 4 нацело, если оба эти члена  — простые числа?

в)  Какое наибольшее количество подряд идущих членов этой последовательности (не обязательно с первого) могут быть простыми числами?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 353.

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 272. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а)  Может ли число 425 являться членом такой прогрессии?

б)  Может ли число 680 являться членом такой прогрессии?

в)  Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Источник: ЕГЭ по математике 29.06.2021. Резервная волна. Центр. Вариант 402, Задания 19 ЕГЭ–2021

Рассматриваются непостоянные бесконечные арифметические прогрессии a₁, a₂, …, a_n, …, состоящие из натуральных чисел. Пусть S_n  — сумма первых n членов, S₁  =  a₁.

а)  Существует ли такая арифметическая прогрессия, что S₆  =  1980?

б)  Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства S_n  =  350 и S_n + 2  =  625?

в)  Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что S_n  =  625?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 368.

Обозначим через s(n) сумму цифр числа n, а через a(n)  — сумму квадратов цифр числа n.

а)  Может ли a(n) быть в 12 раз больше, чем s(n)?

б)  У каких натуральных чисел n число a(n) в 9 раз больше, чем s(n)?

в)  Возьмем любое натуральное число m и составим бесконечную последовательность следующим образом: x_1=m и для всех При каких m количество различных членов этой последовательности конечно?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408.

Пусть {a_n}  — последовательность натуральных чисел. Обозначим среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, которые меньше некоторого числа C, которое больше наименьшего, но не больше наибольшего члена этой последовательности. Обозначим   — среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, которые не меньше числа C. Среднее арифметическое одного числа равно самому числу. К каждому члену последовательности {a_n} прибавили 4. Получилась новая последовательность, которую обозначим

а)  Существует ли последовательность {a_n}, состоящая из трёх членов, для которой

б)  Существует ли последовательность {a_n}, состоящая из трёх членов, для которой и

в)  Известно, что среднее арифметическое всех членов последовательности {a_n}, равняется 84, и Какое наименышее число членов может быть в последовательности {a_n}?

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 03.12.22 Москва.

а)  Первый член геометрической прогрессии {b_n} равен 5, и для всех членов выполняется условие В какой наименьшей арифметической прогрессии содержится эта геометрическая прогрессия?

б)  Члены последовательности натуральных чисел {a_n} удовлетворяют условию a₁  =  2, a₂  =  5 и для всех При каких значениях n число a_n делится на 13?

в)  Последовательности натуральных чисел {x_n} задана условиями x₁  =  1, x₂  =  3 и для всех Чему равно x₂₀?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 417.

Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Версия для печати и копирования в MS Word

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а)  Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.

Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам,  — считается проигравшим. Начинающий или его соперник победит в этой игре, как бы ни играл партнёр?

Рассмотрите случаи:

а)  у каждого по две горошины;

б)  у каждого по три горошины;

в)  у каждого по N горошин.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой  — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть

а)  34;

б)  35;

в)  56 игр?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.

Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает «тепло»; в остальных случаях Леша отвечает «холодно». (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ «тепло», а в остальных случаях услышит «холодно».)

а)  Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.

б)  Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).

в)  А за 22 попытки получится?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.

У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.

а)  При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?

б)  Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?

в)  Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 4.

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку  — число Q  — показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей страны.

а)  Группа граждан страны A эмигрировала в страну B. Мог ли при этом у обеих стран вырасти рейтинг?

б)  После этого группа граждан страны B (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из A) эмигрировала в страну A. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?

в)  Группа граждан страны A эмигрировала в страну B, а группа граждан B  — в страну C. В результате рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное – часть жителей C переехала в B, а часть жителей B – в A. Оказалось, что в результате рейтинги всех стран опять выросли (по сравнению с теми, что были после первого переезда, но до начала второго). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)? Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 25.

В школе, где учатся Поля, Маня и Дуня, есть длинный коридор вдоль одной из стен которого расположен длинный ряд из n ячеек, занумерованных натуральными числами от 1 до n, закрывающихся на замки, в которых школьники могут хранить свои личные вещи. Однажды, придя в школу в выходной день, Поля обнаружила все ячейки открытыми. Она стала обходить ряд ячеек сначала до конца, закрывая на замок каждую вторую ячейку. Достигнув конца ряда, она развернулась и снова стала закрывать на замок каждую вторую ячейку из тех, которые еще были открыты. Таким образом, Поля продолжала обходить ряд и закрывать на замок ячейки до тех пор, пока осталась незакрытой одна ячейка.

Обозначим номер последней открытой ячейки. Например, если количество ячеек n=15, то как показано на рисунке

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←

а)  Найдите

Докажите, что:

б)  не существует натурального числа n, такого что

в)  существует бесконечное множество натуральных чисел n, таких что

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 26.

Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы.

а)  В мешке находятся 1 желтый, 1 зеленый и 2 красных шара. Из мешка случайным образом вынимают 2 шара разного цвета и заменяют одним шаром третьего цвета. Этот процесс продолжают до тех пор, пока все оставшиеся шары в мешке не окажутся одного цвета (возможно, что при этом в мешке останется один шар) Какого цвета шары (или шар) могут остаться в мешке?

б)  В мешке 3 желтых, 4 зеленых и 5 красных шаров. Какого цвета шары (или шар) могут остаться в мешке в конце после применения описанной в предыдущем пункте процедуры?

в)  В мешке находятся 3 желтых, 4 зеленых и 5 красных шаров. Из мешка случайным образом вынимают 2 шара разного цвета и заменяют двумя шарами третьего цвета. Можно ли, применяя эту процедуру многократно, добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета? Если можно, то какого цвета эти шары?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 27.

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него не оказалось 100 кучек по одному камешку.

а)  возможно ли, что в какой-то момент в каких-то 30 кучках было ровно 60 камешков;

б)  возможно ли, что в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

в)  мог ли Костя действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 28.

Рассматривается набор гирек, масса каждой из которых  — целое число граммов, а общая масса всех гирек равна 500 граммам. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее массу, выраженную целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирек набора и притом единственным образом (тело кладется на одну чашу весов, гирьки  — на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирек на другие той же массы, считаются одинаковыми).

а)  Является ли правильным набор, состоящий из 167 гирек массой по одному грамму, одной гирьки массой 165 граммов и одной гирьки массой 168 граммов?

б)  Приведите пример правильного набора, в котором не все гирьки по одному грамму.

в)  Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гирька участвует в этих наборах неодинаковое число раз.)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 30.

а)  В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?

б)  Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?

в)  Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь девятых?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.

На шести елках сидят шесть сорок  — по одной на каждой елке. Елки растут в ряд с интервалом в 10 м. Если какая-то сорока перелетает с одной елки на другую, то какая-нибудь другая сорока обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

а)  Могут ли все сороки собраться на одной елке?

б)  А если сорок и елок семь?

в)  А если елки стоят по кругу?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 37.

Красный карандаш стоит 17 рублей, синий  — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.

а)  Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б)  Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Красный карандаш стоит 18 рублей, синий  — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.

а)  Можно ли купить 30 карандашей?

б)  Можно ли купить 33 карандаша?

в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить?

В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.

а)  Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?

б)  Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?

в)  С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001 очко?

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 46, а вместе солдат меньше чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в)  Сколько в роте может быть солдат?

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться

б)  Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Источник: ЕГЭ — 2015. Досрочная волна, вариант А. Ларина., ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б)  Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в)  Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл участников, сдавших тест, составил 90, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших  — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Источник: ЕГЭ — 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2015

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б)  Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

в)  Сколько в роте может быть солдат?

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника  — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а)  Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б)  Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальные поделить поровну на 70 сотрудников?

в)  При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б)  Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в)  Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток. Вариант 1., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013

За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего числа детей, евших конфеты.

а)  Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму  — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма  — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел равно Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов  — различные целые числа.

а)  Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б)  Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в)  При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Вариант 901., Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019. Вариант 992, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснилось, что большая часть класса не поняла доказательство (быть может, все  — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик вдруг понял доказательство (и только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а)  Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса не понимает доказательство?

б)  Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, понявших доказательство, выражался целым числом, а после перемены ― нецелым числом?

в)  Какое наибольшее целое значение может принять процент учеников класса, так и не понявших доказательство этой теоремы?

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 1.

На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а)  Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?

б)  Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?

в)  Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б)  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в)  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника  — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а)  Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б)  Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2015

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.

а)  Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?

б)  Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?

в)  За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2015

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а)  Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б)  Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в)  В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 201. Юг

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что полученные суммы образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

а)  Могло ли быть 7 кучек?

б)  Могло ли быть 9 кучек?

в)  Какое наибольшее количество кучек могло быть?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 156.

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы»  — процент побед, округлённый до целого, «ничьи»  — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).

а)  Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?

б)  Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?

в)  Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, больше 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в)  Сколько в роте может быть солдат?

а)  Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б)  Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в)  Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а)  Приведите пример, когда S < 15.

б)  Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?

в)  Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть).

а)  Приведите пример, когда S < 15.

б)  Могло ли значение S быть равным 5?

в)  Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).

Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.

а)  Могло ли это произойти за 7 дней?

б)  Могло ли это произойти за 8 дней?

в)  Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2017

Шесть экспертов оценивали фильм. Каждый из них выставил оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Все эксперты выставил различные оценки. Старый рейтинг фильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. Новый рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое четырёх оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности старого и нового рейтингов.

Восемь экспертов оценивали фильм. Каждый из них выставил оценку  — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Все эксперты выставил различные оценки. Старый рейтинг фильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. Новый рейтинг фильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое шести оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности старого и нового рейтингов.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 165. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

а)  Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?

б)  Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?

в)  Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры  — прямоугольные параллелепипеды с размерами 1×1×3 м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.

а)  Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером 120 кубометров нельзя?

б)  Может ли оказаться, что на склад объемом 100 кубометров не удастся поместить 33 контейнера?

в)  Пусть объем склада равен 800 кубометров. Какой процент объема такого склада удастся гарантировано заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Источник: ЕГЭ по математике 10.04.2019. Досрочная волна, резервная волна, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

Агата добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.

а)  Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?

б)  Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?

в)  Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 1

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

В ящике лежат 68 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 944 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1016 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 15 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 316, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.

а)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Может ли n быть больше 7?

б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?

в)  Известно, что n=4. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019

а)  Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что десятичная запись числа n² + 2n оканчивается всеми цифрами числа n, записанными в том же порядке.

б)  Может ли такое число оканчиваться цифрой 3?

в)  Найдите все такие четырёхзначные числа

Петя играет солдатиками из двух разных наборов. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше чем 46. А всего солдатиков у Пети меньше 111. Петя знает, что может построить колонну по несколько солдатиков в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдатиков, большее и при этом ни в каком ряду не будет солдатиков из разных наборов.

а)  Сколько солдатиков может быть в первом наборе и сколько во втором? Приведите один пример.

б)  Может ли Петя построить колонну указанным способом по солдатиков в ряд?

в)  Сколько всего солдатиков может быть у Пети? Укажите все возможные варианты.

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а)  Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n  =  14?

б)  Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n  =  19?

в)  Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n  =  24?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2019.

а)  Может ли n быть больше 5?

в)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источник: Задания 19 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы 2 мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек  — разное. По команде каждый отдал соседу справа одну третью или одну четвертую своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек  — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.

а)  Возможно ли, чтобы мальчиков было столько же, сколько и девочек?

б)  Могло ли быть ровно 4 мальчика?

в)  Могло ли быть ровно 10 мальчиков?

Источник: ЕГЭ по математике 24.07.2020. Резервная волна. Вариант 2, Задания 19 ЕГЭ–2020

По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек  — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков  — разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.

а)  Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?

б)  Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?

в)  Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 1, Задания 19 ЕГЭ–2020

За прохождение каждого уровня платной сетевой игры можно получить от одной до трех звезд. При этом со счета участника игры списывается 75 рублей при получении одной звезды, 60 рублей  — при получении двух звезд и 45 рублей при получении трех звезд. Миша прошел несколько уровней игры подряд.

а)  Могла ли сумма на его счете уменьшиться при этом на 330 рублей?

б)  Сколько уровней игры прошел Миша, если сумма на его счете уменьшилась на 435 рублей, а число полученных им звезд равно 13?

в)  За пройденный уровень начисляется 5000 очков при получении трех звезд, 3000  — при получении двух звезд и 2000  — при получении одной звезды. Какую наименьшую сумму (в рублях) мог потратить на игру Миша, если он набрал 50 000 очков, получив при этом 32 звезды?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 321 (часть C).

Группа школьников отправилась в поход. Каждый из группы взял либо удочку, либо корзинку, при этом возможно, что кто‐то мог взять и удочку, и корзинку. Известно, что девочек, взявших удочки, не более от общего числа школьников, взявших удочку, а девочек, взявших корзинки, не более от общего числа школьников, взявших корзинки.

а)  Могло ли быть в группе 11 девочек, если дополнительно известно, что всего было 26 школьников?

б)  Какое наибольшее количество девочек могло быть среди школьников, если дополнительно известно, что всего было 26 школьников?

в)  Какую наименьшую долю могли составлять мальчики, если в группе может быть любое число школьников?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 327. (часть C).

На психологический тренинг пришли m человек. В начале работы психолог попросил каждого пришедшего написать записку с вопросом к любому одному из других участников. После этого в группу А были отобраны те, кто получил не более 1 вопроса.

а)  Какое наибольшее число участников могло оказаться в группе А, если m  =  100?

б)  Какое наименьшее число участников могло оказаться в группе А, если m  =  144?

в)  Какое наименьшее число участников могло оказаться в группе А, если m  =  97, а в группу А вошли те, кто не получил ни одного вопроса, и половина тех, кто получил ровно один вопрос? (Если ровно один вопрос получило нечетное число человек, то берется наибольшее число, не превосходящее половину.)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C).

В результате опроса выяснилось, что примерно 45% опрошенных предпочитают кофе чаю (число 45 получено с помощью округления до ближайшего целого числа).

а)  Могло ли участвовать в опросе ровно 24 человека?

б)  Могло ли участвовать в опросе менее 24 человек?

в)  Какое наименьшее число человек могло участвовать в опросе?

На сайте выложено k видеоуроков по математике продолжительностью ровно 1 мин., 2 мин., 3 мин., …, k мин. Виктор хочет за несколько дней посмотреть их все ровно по одному разу, затрачивая на это ровно полчаса каждый день. (Смотреть видеоуроки можно в любом порядке, но обязательно полностью).

а)  Возможно ли это при k  =  15?

б)  Возможно ли это при k  =  10?

в)  Найдите все натуральные k, при которых это возможно.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 339.

На длинной лавочке сидят в ряд 50 человек, из них ровно 44 Владимира. Каждый загадывает желание, но сбывается оно только у тех, кто сидит между двумя Владимирами.

а)  Какое наименьшее количество желаний может исполниться?

б)  Может ли исполниться ровно 38 желаний?

в)   Какое наибольшее количество желаний может исполниться?

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 18.03.21 Санкт-Петербург. Вариант №2, А. Ларин. Тренировочный вариант № 348.

В течение k дней Оля каждый день выписывала в тетрадь натуральные числа, каждое из которых меньше 21. При этом каждый день, начиная со второго, сумма выписанных за день чисел была меньше, чем в предыдущий день, а количество чисел  — хотя бы на 3 больше.

а)  Может ли k равняться 8?

б)  Может ли k равняться 154, если сумма чисел, записанных в первый день, не больше 600?

в)  Известно, что сумма чисел, выписанных в первый день, равна 300. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех выписанных за k дней чисел?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 349.

Петя участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный  — списываются 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Петя набрал 35 баллов.

а)  На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 30 вопросов?

б)  На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 35 вопросов?

в)  На сколько вопросов Петя ответил правильно, если в викторине было 33 вопроса?

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

У Миши в копилке есть двухрублёвые, пятирублёвые и десятирублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдется хотя бы одна двухрублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна пятирублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдется хотя бы одна десятирублёвая.

а)  Может ли у Миши быть 30 монет?

б)  Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?

в)  Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б  — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места так же будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а)  Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?

б)  Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.

в)  Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги  — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а)  Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б)  Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в)  Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 рубль, а средняя цена книг без бирки  — 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки  — 210 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 и 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а)  Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n  =  14?

б)  Могли ли её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n  =  19?

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

На трибуне стадиона ровно 2020 болельщиков. Каждый из этих болельщиков плеснул водой ровно в одного другого болельщика.

а)   Можно ли гарантированно найти на этой трибуне ровно 672 болельщика таких, что никто из них не обливал другого из этих 672 болельщиков водой?

б)  Можно ли гарантированно найти на этой трибуне ровно 676 болельщиков таких, что никто из них не обливал другого из этих 676 болельщиков водой?

в)   Какое наибольшее количество болельщиков можно гарантированно найти на этой трибуне таких, что никто из них не обливал другого из этой группы болельщиков водой?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 356.

У Бори нет источника воды, но есть три ведра различных объемов, в двух из которых есть вода. За один шаг Боря переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а)  Мог ли Боря через несколько шагов получить в одном из ведер ровно 2 литра воды, если сначала у него были ведра объемом 4 литра и 7 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом 8 литров?

б)   Мог ли Боря через несколько шагов получить равные объемы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объемами 5 литров и 7 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом 10 литров?

в)  Сначала у Бори были ведра объемами 3 литра и 6 литров, полные воды, а также пустое ведро объемом n литров. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что Боря сможет получить через несколько шагов ровно 4 л воды в одном из вёдер?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 371.

Участники конкурса на лучшую математическую задачу анонимно присылают каждый свою задачу. После публикации все участники дают оценку каждой задаче, кроме своей. В конкурсе принимают участие 6 человек. Каждый участник за лучшую по его мнению задачу дает 5 баллов, за следующую  — 4 балла и так далее, за пятую  — 1 балл. По каждой задаче баллы суммируются, так определяется рейтинг задачи.

а)  Могут ли все рейтинги быть простыми числами?

б)   Могла ли сумма четырех наибольших рейтингов быть в три раза больше суммы остальных?

в)  Какова минимальная сумма третьего и четвертого рейтингов, если им дали номера в порядке невозрастания?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 372.

В детском оздоровительном лагере проходил праздник Нептуна, в котором участвовало ровно 2019 детей. Каждый из этих 2019 участников плеснул водой ровно в одного другого участника.

а)  Можно ли гарантированно найти 670 участников таких, что никто из них не обливал другого из этих 670 участников?

б)  Можно ли гарантированно найти 675 участников таких, что никто из них не обливал другого из этих 675 участников?

в)   Какое наибольшее количество участников можно гарантированно найти на этом празднике таких, что никто из них не обливал другого из этой группы участников?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 373.

Гипермаркет, реализующий новогодние товары, состоит их трех отделов. В первом отделе представлены новогодние товары, цена каждого из которых меньше 100 руб. Средняя цена товаров в этом отделе равна 90 руб. Во втором отделе представлены новогодние товары, цена каждого из которых больше 100 руб. Средняя цена товаров в этом отделе равна 120 руб. Цена каждого товара в третьем отделе равна 100 руб. Средняя цена всех товаров в гипермаркете равна 110 руб., а общее число товаров равно 200. Все цены выражаются целым числом рублей.

а)  Может ли в первом отделе быть столько же товаров, сколько и во втором?

б)  Может ли в третьем отделе быть на 14 товаров больше чем во втором?

в)   Чему может равняться наибольшая возможная при этих условиях цена товара в этом гипермаркете?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 375.

Тридцать пять шариков массой 1 г, 2 г, …, 35 г разложили по двум коробкам, в каждой коробке находится хотя бы один шарик. Масса каждого шарика выражается целым числом граммов. Затем из второй коробки переложили в первую один шарик. После этого средняя масса шариков в первой коробке увеличилась на 4 г.

а)  Можно ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали только шарики массой 3 г, 12 г и 27 г?

б)  Могла ли средняя масса шариков в первой коробке первоначально равняться 12,6 г?

в)  Какое наибольшее число шариков могло быть первоначально в первой коробке?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 377.

У Вани есть несколько пакетов с вещами, каждый из которых весит целое число килограммов. Он хочет разложить все эти пакеты, не перекладывая их содержимое, по n имеющимся у него одинаковым рюкзакам. В каждый рюкзак можно положить любое число пакетов, суммарная масса которых не превосходит m килограммов.

а)  Сможет ли Ваня разложить таким образом семь пакетов, которые весят 3, 6, 9, 12, 15, 18 и 21 кг, если n  =  3 и m  =  29?

б)  Сможет ли Ваня разложить таким образом семь пакетов, которые весят 2, 5, 8, 11, 14, 17 и 20 кг, если n  =  3 и m  =  26?

в)  Какое наименьшее значение может принимать m, чтобы Ваня при n  =  4 смог разложить таким образом девять пакетов, которые весят 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и 19 кг?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 102, в третье  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 319, Задания 18 ЕГЭ–2022

Имеются три коробки: в первой  — 97 камней, во второй  — 104 камня, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.

а)  Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 89, в третьей  — 15?

б)  Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в)  Известно, что в первой коробке 1 камень. Найдите наибольшее возможное количество камней в третьей коробке.

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край, Задания 18 ЕГЭ–2022

У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых  — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n₁ камней, во второй  — n₂ камней, в третьей  — n₃ камней, причем n₁ < n₂ < n₃. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S₁, во второй  — S₂, а в третьей  — S₃.

а)  Может ли выполняться неравенство S₁ > S₂ > S₃?

б)  Может ли выполняться неравенство S₁ > S₂ > S₃, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?

в)  Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S₁ > S₂ > S₃.

Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 501, Задания 18 ЕГЭ–2022

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги  — целое число рублей. Если цена книги меньше 100 руб., на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 руб., из‐за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

в)  Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 руб., средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 руб., а средняя цена книг без бирки  — 226 руб. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 руб., а средняя цена книг без бирки  — 210 руб. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 397.

В школьном живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй  — по 200 г, третий по 300 г, четвёртый  — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.

а)  Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б)  Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?

в)  Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно четырём кроликам и все кролики получили разное количество корма?

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018

На острове живут 3 серых, 28 бурых и 29 малиновых хамелеонов. При встрече двух хамелеонов разных цветов оба меняют свой цвет на третий (серый и бурый оба становятся малиновыми и т. п.).

а)  Может ли в некоторый момент времени на острове оказаться 15 серых, 28 бурых и 17 малиновых хамелеонов?

б)  Может ли некоторый момент времени на острове оказаться 60 серых хамелеонов?

в)  Какое наибольшее количество серых хамелеонов может оказаться на острове, при условии, что малиновых хамелеонов в этот момент времени ровно 2?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 403.

В резиденции Деда Мороза работает не менее 60 и не более 80 гномиков. Дед Мороз проводит собрание. К началу собрания пришло меньше половины гномиков (а возможно, что и никто не пришел). Спустя 10 минут после объявленного начала на собрание пришел еще один гномик.

а)  Могло ли получиться так, что после этого на собрании присутствовало больше половины гномиков?

б)  Возможно ли, что и до и после прихода опоздавшего гномика процент гномиков на собрании выражался целым числом?

в)  Какое наибольшее целое значение мог принять процент так и не пришедших на собрание гномиков?

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412.

Источник

Метод математической индукции для чайников

Метод полного перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет крайне ограниченную область применения в математике, так как обычно математические утверждения касаются бесконечного множества объектов (например, натуральных чисел, простых чисел, квадратов и т.п.) и перебрать их невозможно.

Существует метод рассуждений, который позволяет заменить неосуществимый бесконечный перебор доказательством того, что если утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следущем за ним случае. Этот метод носит название математической индукции (или рассуждением от $n$ к $n+1$)

Основы метода математической индукции

В основе метода математической индукции (ММИ) лежит принцип математической индукции: утверждение $P(n)$ (где $n$ — натуральное число) справедливо при $forall n in N$, если:

Утверждение $P(n)$ справедливо при $n=1$.
Для $forall k in N$ из справедливости $P(k)$ следует справедливость $P(k+1)$.

Доказательство с помощью метода математической индукции проводится в два этапа:

База индукции (базис индукции). Проверяется истинность утверждения при $n=1$ (или любом другом подходящем значении $n$)
Индуктивный переход (шаг индукции). Считая, что справедливо утверждение $P(k)$ при $n=k$, проверяется истинность утверждения $P(k+1)$ при $n=k+1$.

Метод математической индукции применяется в разных типах задач:

Доказательство делимости и кратности
Доказательство равенств и тождеств
Задачи с последовательностями
Доказательство неравенств
Нахождение суммы и произведения

Ниже вы найдете примеры решения задач, иллюстрирующие применение метода математической индукции, а также ссылки на полезные сайты и учебник и небольшой видеоурок по ММИ.

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Математическая индукция: задачи и решения

Доказательство кратности и делимости

Задача 1. Докажите, что $5^n-4n+15$ делится на 16 при всех $n in N_0$.

Задача 2. Доказать, что при любом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $b$.

$$a_n = 2n^3+3n^2+7n, quad b=6.$$

Задача 3. Докажите методом математической индукции: $4^{2n-1} + 1$ кратно 5 для всех $n ge 1$.

Задача 4. Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа истинно следующее утверждение: $6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1}$ кратно 11.

Доказательство равенств и неравенств

Задача 5. Доказать равенство

$$
1^2+2^2+…+n^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
$$

Задача 6. Доказать методом математической индукции:

$$
p+(p+1)+(p+2)+…+(p+n) = frac{(2p+n)(n+1)}{2}.
$$

Задача 7. Доказать неравенство:

$$
frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+…+frac{1}{2n} gt frac{13}{24} quad (n gt 1).
$$

Задача 8. Доказать утверждение методом математической индукции:

$$
left(1-frac{1}{4}right)left(1-frac{1}{9}right)left(1-frac{1}{16}right)cdot … cdotleft(1-frac{1}{n^2}right) =frac{n+1}{2n} quad (n ge 2).
$$

Задача 9. Доказать неравенство:

$$ 2!cdot 4! cdot … cdot (2n)! gt [(n+1)!]^n quad (n gt 2).$$

Задача 10. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли: $(1+a)^n gt 1 + acdot n$ для всех $nin N$ и $a gt -1$, $a in R$.

Вычисление сумм

Задача 11. Доказать методом математической индукции:

$$
1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2 = frac{n(4n^2-1)}{3}.
$$

Задача 12. Найдите сумму

$$1 cdot 1! + 2 cdot 2! + . . . + 2012 cdot 2012! + 2013 cdot 2013!$$

Заказать решение

Если вам нужна помощь с решением задач по любым разделам математики, обращайтесь в МатБюро. Выполняем контрольные и практические работы, ИДЗ и типовые расчеты на заказ. Стоимость задания от 60 рублей, оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Заказать решение задач по математике легко!

Полезные ссылки о ММИ

ММИ: краткая теория и примеры решений Страничка виртуальной школы юного математика. Разобраны примеры (в том числе для геометрии) и даны задачи для самостоятельной работы.
Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика Классическое пособие по методу математической индукции и комбинаторике (базовые понятия и примеры задач).
Математическая индукция. Основные определения и 10 разобранных решений.
Николаева С.А. Метод математической индукции: методическое пособие для учителей и учащихся.
А. Шень Математическая индукция. Пособие для школьников, разобраны 29 задач, из них 19 с полным решением.

Кратенький видеоурок о ММИ

Источник

Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение гимназия № 9

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-РЕФЕРАТИВНЫЙ
ПРОЕКТ

по теме:

Применение
метода математической индукции при решении задач ЕГЭ и олимпиадных задач

Выполнила:

ученица X «Б» класса

Тищенко Элина

Научный руководитель:

учитель математики

Хатунцева

Ирина Владимировна

Воронеж – 2016

Содержание

Введение………..………………………………………………………….3

Глава 1. Применение
ММИ при решении алгебраических задач………5

Глава 2. Применение
ММИ при решении геометрических задач……….8

Глава 3. Применение
ММИ при решении «логических» задач .………10

Заключение…………………………………………………………………14

Список использованной литературы………………………………………15

Введение

Слово
индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на
основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к
общему. Пример частного утверждения: 254 делится на 2 без остатка.

Из
этого частного утверждения можно сформулировать массу более общих утверждений,
причем как истинных, так и ложных. К примеру, более общее утверждение, что все
целые числа, оканчивающиеся четверкой, делятся на 2 без
остатка, является истинным, а утверждение, что все трехзначные числа делятся на
2 без остатка, является ложным.

Таким
образом, индукция позволяет получить множество общих утверждений на основе
известных или очевидных фактов. А метод математической индукции призван
определить справедливость полученных утверждений.

В основе метода математической индукции лежит принцип
математической индукции.

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо
для всякого натурального n, если:

1)
оно
справедливо для n = 1;

2)
из
справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k
следует его справедливость для n = k+1.

То есть, доказательство по методу математической индукции
проводится в три этапа:

1)
во-первых,
проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно
проверку делают для n = 1);

2) во-вторых, предполагается справедливость
утверждения при любом натуральном n=k;

3)
в-третьих,
доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от
предположения второго пункта.

Действительно, допустим, мы проверили так называемую базу
индукции и получили, сто утверждение верно при n=1. Потом предположили, что утверждение верно при n=k и доказали, что в этом случае утверждение верно и при n=k+1. Тогда примем, что k=1. В
таком случае мы можем сказать, что утверждение верно при n=k+1=2. Приняв k=2, мы докажем, что
утверждение верно уже при n=3 и т.д.
Таким образом мы докажем истинность утверждения для всех натуральных n.

Цель данной работы – показать применение метода
математической индукции (ММИ) при решении задач ЕГЭ и олимпиадных задач.

Этой теме посвящено множество литературы.

Эта тема актуальна, так как ММИ позволяет довольно просто
решать многие задачи, и особенно задачи математических олимпиад.

Глава
1. Применение ММИ при решении алгебраических задач

Для ознакомления с тем, как
применяется метод математической индукции, рассмотрим вначале следующий простой
пример перед тем, как перейти к олимпиадным задачам.

Задача 1. Доказать, что сумма первых n чисел натурального ряда равна .

Решение.

1)
Проверим
верность формулы для : ;

2)
Пусть формула
верна верно при некотором n.
Покажем, что она верна при ;

, что и требовалось доказать.
По ММИ равенство верно при всех натуральных n.

Задача 2. Доказать, что .

Решение. Пусть , откуда , и . Нам
нужно доказать, что при (при n=1: 1<2; n=2: 8<9);

1) При n=3:. База индукции
доказана.

2) Предположим, что при n=k . Тогда ; ; .

3)Теперь нам нужно доказать, что > ; ; ; ; ; ; .

Последнее неравенство равносильно неравенству 1>0, что
верно, следовательно, при
всех , откуда следует, что , ч. и т. д.

Задача 3 (региональный этап Всероссийской
олимпиады школьников по математике, 2015 год, 9 класс, 2 день, 8 задача). Петя хочет выписать все
возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя
бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше,
чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Решение. Назовём хорошей
последовательность из n натуральных
чисел, в которой хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена
различаются не больше, чем на 1. Обозначим через количество хороших
последовательностей длины n. Мы докажем индукцией по n, что . База индукции при n = 1 очевидна: .

Сделаем переход от n к n+1. Назовём хорошую (n+1)-членную последовательность A отличной, если среди первых её n членов встречается тройка.
Соответственно неотличная (n+1)-членная последовательность – это хорошая последовательность, в
которой одна тройка, и эта тройка – последняя. Если хорошая n-членная последовательность A′ оканчивается числом 1, то из неё
можно получить две отличные – оканчивающихся числом 1 или 2. Если же A′ оканчивается числом k > 1, то из неё можно получить три отличных,
у которых в конце стоит k−1, k или k+1. Итак, если количество n-членных хороших
последовательностей, оканчивающихся числом 1, равно , то количество отличных
(n+1)-членных последовательностей
равно = .
Осталось посчитать количество неотличных (n+1)-членных последовательностей.
Ясно, что каждая из них оканчивается числом 3; если эту тройку откинуть,
получится n-членная последовательность A′ без троек. Поскольку её соседние
члены отличаются не больше, чем на 1, то либо все они больше 3, либо все меньше
3.

Если все члены A′ меньше 3, то A′ состоит из чисел 1 и 2, оканчиваясь
числом 2. При этом любая такая последовательность, дополненная в конце тройкой,
даст хорошую (n+1)-членную
последовательность. Значит, искомые последовательности получаются ровно из неотличных последовательностей A′.

Пусть теперь все члены A′ больше 3; тогда она оканчивается на
четвёрку. В противном случае из такой последовательности нельзя получить хорошую.
Вычтя из всех её членов по 3, мы получим либо хорошую
последовательность, оканчивающуюся числом 1 (если в полученной
последовательности содержится 3) – таких ровно ; либо последовательность из
единиц и двоек, оканчивающуюся числом 1 – таких ровно . Итого, последовательностей
последнего типа есть . В итоге мы получаем, что .
Переход доказан.

Ответ: .

Глава 2. Применение ММИ
при решении геометрических задач.

Задача 1. Дано n произвольных квадратов. Доказать, что
их можно разрезать на части так, что из полученных частей можно сложить новый
квадрат.

Решение. При n=1 утверждение не требует доказательства.
Докажем, что при n=2 оно также справедливо. Обозначим стороны заданных
квадратов и соответственно
через x и y; пусть выполняется неравенство . На сторонах квадрата со стороной x
отложим отрезки AM=BN=CP=DQ= и разрежем этот
квадрат по прямым MP и NQ, которые, как легко
видеть, пересекаются в центре O квадрата и образуют между собой прямой угол,
разбивая квадрат на 4 равные части.

Эти куски
приложим ко второму квадрату:

Полученная фигура тоже будет
квадратом, т.к. углы , , , – прямые
и .

Предположим
теперь, что утверждение верно при n=k
и докажем, что оно верно и при n=k+1
квадратов.

Выберем
любые два из этих квадратов. Как было показано ранее, разрезая один из этих
квадратов и прикладывая полученные куски ко второму, можно получить новый
квадрат. Далее можно взять этот получившийся квадрат и любой другой из
оставшихся и получить из двух квадратов один, и т.д. В конце концов у нас
останется 2 квадрата, из которых мы сможет сделать один квадрат. Это и
требовалось.

Глава
3. Применение ММИ при решении «логических» олимпиадных задач.

Задача 1 (региональный этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике, 2015 год, 10 класс, второй
день, задача 8). Дано натуральное число n > 2.
Рассмотрим все покраски клеток доски n×n в k цветов такие, что каждая клетка
покрашена ровно в один цвет, и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся
четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении
двух строк и двух столбцов?

Решение. Сначала мы предъявим пример покраски
клеток в 2n − 1 цветов так, чтобы не было ни одной
требуемой разноцветной четверки клеток. Покрасим все клетки первой горизонтали H и первой вертикали V в 2n − 1 различный цвет, причём клетку на их
пересечении покрасим в цвет c; затем покрасим все оставшиеся клетки также в цвет c. Тогда нетрудно понять, что из
четырёх клеток на пересечении любых двух столбцов и двух строк максимум две
будут иметь цвет, отличный от c. Значит, требуемой четвёрки клеток не найдётся.

Осталось доказать, что при k>2n требуемые четыре клетки всегда
найдутся. Мы докажем более общее утверждение: если клетки прямоугольника m × n окрашены в k>m+n цветов, причём все цвета
присутствуют, то найдутся 4 разноцветных клетки на пересечении двух строк и
двух столбцов.

Индукция по m+n. Заметим сразу, что при m = 1 утверждение верно, ибо раскрасок n клеток в n+1 цвет не существует; в частности,
это доказывает базу индукции при m+n=2. Предположим теперь, что m, n > 1, и совершим переход индукции.

Рассмотрим произвольную раскраску
клеток прямоугольника m×n в k цветов. Назовём цвет c уникальным для столбца V , если цвет c встречается только в столбце V; аналогично определим цвет, уникальный
для строки. Пусть существует столбец, для которого есть не более одного уникального
цвета. Тогда выбросим его; в оставшемся прямоугольнике будет встречаться не
менее k−1 > m+n−1 цветов, значит, по предположению
индукции в нём найдётся нужная четвёрка клеток.

Итак, осталось разобрать случай,
когда в каждом столбце (и, аналогично, в каждой строке) хотя бы по два уникальных
цвета. Рассмотрим любой столбец ; пусть в нём два
уникальных цвета p
и q, и какие-то клетки этих цветов стоят
в строках и соответственно.
В есть два уникальных цвета; один из них
отличен от p. Пусть этот цвет – r, и в клетка
этого цвета стоит в столбце . Тогда построенные два столбца и две
строки – требуемые. Действительно, на их пересечении в стоят
два разных цвета, уникальных для ; значит, они не
встречаются в . Цвет r p уникален для ,
значит, он не встречается в . Итого, в нашем
пересечении есть различные цвета p, q, r, а также клетка цвета, отличного от
них. Это и требовалось.

Задача 2. На краю пустыни имеются большой запас бензина и машина, которая при полной заправке может проехать 50
километров. В неограниченном количестве
имеются канистры, в которые можно сливать бензин из бензобака машины и
оставлять на хранение в любой точке пустыни. Доказать, что машина может проехать любое целочисленное расстояние, большее 50
километров. Канистры с бензином возить не разрешается, пустые можно возить в
любом количестве.

Решение. Попытаемся
доказать индукцией по n, что машина может отъехать на n километров от края пустыни. При n=50 это известно. Осталось провести шаг
индукции и объяснить, как проехать n=k+1 километров, если известно, что n=k километров проехать можно.

Однако
тут мы встречаемся с трудностью: после того как мы проехали k километров, бензина может не хватить даже на обратную
дорогу (не говоря уже о хранении). И в данном случае выход состоит в усилении
доказываемого утверждения. Будем доказывать, что
можно не только проехать n километров, но и сделать сколь угодно большой запас бензина в точке на
расстоянии n километров от края
пустыни, оказавшись в этой точке после окончания перевозок.

База индукции. Пусть единица бензина — это
количество бензина, необходимое для совершения одного
километра пути. Тогда рейс на расстояние в 1
километр и обратно требует двух единиц бензина, поэтому мы можем оставить
48 единиц бензина в хранилище на расстоянии
километра от края и вернуться за новой порцией. Таким образом, за несколько рейсов в хранилище, отстоящем от основного на 1
километр, можно сделать запас произвольного размера, который нам потребуется.
При этом, чтобы создать 48 единиц
запаса, мы расходуем 50 единиц
бензина.

Шаг
индукции. Предположим, что на расстоянии n=k от края пустыни можно запасти любое количество
бензина. Докажем, что тогда можно создать хранилище на
расстоянии n=k+1
километров с любым заданным наперед запасом бензина и
оказаться у этого хранилища в конце перевозок. Поскольку в
точке n=k имеется неограниченный запас бензина, то (согласно
базе индукции) мы можем за несколько рейсов в точку n=k+1 сделать в этой
точке запас произвольного размера, который потребуется, из
чего следует, что можно проехать любое расстояние, большее 50
километров. Это и требовалось.

Задача
3. Головоломка «Ханойские башни» состоит из трех стержней. На одном из стержней находится
пирамидка, состоящая из нескольких колец разного диаметра,
уменьшающихся снизу вверх.

Эту пирамидку
нужно переместить на один из других
стержней, перенося каждый раз только одно кольцо и не помещая большее кольцо на меньшее. Можно ли это сделать?

Решение. Итак, нам необходимо ответить на вопрос: можно ли переместить пирамидку, состоящую из n колец разного диаметра, с одного стержня на другой,
соблюдая правила игры.

База индукции. При n=1 требуемое возможно, так как пирамидку из одного
кольца, очевидно, можно переместить на любой стержень.

Шаг индукции. Предположим, что мы умеем перемещать любые пирамидки с числом колец n=k. Докажем,
что тогда мы сможем переместить и пирамидку с числом колец n=k+1.

Пирамидку
из k колец,
лежащих на самом большом (k+1)-м
кольце, мы можем, согласно предположению, переместить на любой другой стержень.
Сделаем это. Неподвижное (k+1)-е кольцо не будет
нам мешать провести алгоритм перемещения, так как оно самое
большое, и, если понадобится в процессе перемещения пирамидки из n колец, мы можем переместить на него любое другое кольцо. После
перемещения k колец, переместим это самое большое (k+1)-е кольцо на
оставшийся стержень. Затем опять применим известный
нам по индуктивному предположению алгоритм перемещения к колец, и
переместим их на стержень с лежащим внизу (k+1)-м кольцом. Таким образом, если мы
умеем перемещать пирамидки с k кольцами,
то умеем перемещать пирамидки и с k+1
кольцами. Следовательно, согласно принципу
математической индукции, всегда можно переместить нужным образом пирамидку, состоящую из n колец, где n>1.

Задача 4 (региональный этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике, 2010 год, 10 класс). Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток
квадрата n×n, лежащих не выше диагонали (на
рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно
разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а
площади попарно различны?

Решение. Отметим в каждом столбце лестницы по
одной верхней клетке; назовём их объединение верхним слоем. Никакие две из n клеток этого слоя не могут лежать в
одном прямоугольнике разбиения, поэтому в любом разбиении лестницы не менее n прямоугольников. С другой стороны,
минимальная суммарная площадь n прямоугольников с различными площадями равна 1+2+…+n, что совпадает с площадью всей
лестницы.

Значит, число прямоугольников в
любом разбиении равно n, их площади выражаются числами 1, 2, …, n,
и каждый из них содержит клетку верхнего слоя.

Покажем индукцией по n, что число требуемых разбиений лестницы
высоты n равно .
База индукции при n=1 очевидна.
Пусть утверждение индукции справедливо для лестницы высоты n−1; рассмотрим разрезание лестницы
высоты n на прямоугольники площадей 1, 2, …, n. Рассмотрим прямоугольник, покрывающий
угловую (наиболее далекую от верхнего слоя) клетку лестницы.

Он содержит клетку верхнего слоя, то
есть сумма длин его сторон a и b равна n+1. Поэтому его площадь , так как ; при
этом равенство может достигаться лишь при a=1 или b=1. Поскольку площади прямоугольников
разбиения не превосходят n, то S=n, и одна из сторон нашего
прямоугольника равна 1, а другая – n. Такой прямоугольник можно выбрать двумя способами (вертикальный или
горизонтальный), причем в обоих случаях после его отрезания остается лестница
высоты n−1, количество способов разрезать
которую на оставшиеся прямоугольники площадей 1, 2, …, n−1 равно по
предположению индукции. Значит, искомое количество способов равно , что и требовалось.

Ответ: .

Заключение

Литература

1.
Мадера
А.Г., Математические софизмы: Правдоподобные рассуждения, приводящие к
ошибочным утверждениям: Кн. Для учащихся 7–11 кл. / А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. –
М.: Просвещение, 2003. – 112 с.

2.
Горячев Д.,
Задачи, вопросы
и софизмы для любителей математики / Д. Горячев, А. Воронец. – Ижевск: РХД,
2000. – 80 с.

3.
Лямин
А.А. Математические
парадоксы и интересные задачи для любителей математики. – М., 1903. – 334 с.

4.
Литцман
В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., 1919. – 192 с.

Источник

Регистрация
Вход

Форум
Поиск
FAQ   alexlarin.net

Текущее время: 11 мар 2023, 00:14
Часовой пояс: UTC + 3 часа

Сообщения без ответов | Активные темы

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

Начать новую тему»>

Ответить

Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Для печати |

Известить друга

Предыдущая тема | Следующая тема

Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Добавлено: 04 сен 2013, 22:14

Центр пользователя

Зарегистрирован: 19 фев 2013, 14:06
Сообщений: 85

Я начал решать задачи на доказательство равенств и неравенств. Столкнулся с таким и никак не выходит:
(1+x)^n>= 1+nx (n>1) . Доказать, что если x> -1, то справедливо данное неравенство причем знак равенства иеет место лишь при ч=0.
С базой все понятно, а вот как доказать верность для n+1, опираясь на предположение о верности в случаи с n — Нет. Помогите плиз. Буду очень благодарен.

Сан Саныч

Заголовок сообщения: Re: Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Добавлено: 04 сен 2013, 22:24

Центр пользователя

Зарегистрирован: 26 фев 2011, 22:10
Сообщений: 3177

doctoraibolit писал(а):

Это же неравенство Бернулли. Есть в любом учебнике.

Сан Саныч

Заголовок сообщения: Re: Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Добавлено: 04 сен 2013, 22:30

Центр пользователя

Зарегистрирован: 26 фев 2011, 22:10
Сообщений: 3177

Конец второй страницы.

Вложения:

МАТИНД_4.pdf [442.8 KIB]

Скачиваний: 8141

doctoraibolit

Заголовок сообщения: Re: Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Добавлено: 04 сен 2013, 22:35

Центр пользователя

Зарегистрирован: 19 фев 2013, 14:06
Сообщений: 85

Я знаю), там рядом так и написано, я просто пытаюсь на его примере понять, как доказывать неравенства. С «уравнениям» все нормально. Объясните поподробнее, если это вас не затруднит, весь день разбирал, а нужно до завтра разобраться.
P.S. Спасибо большое, увидел, как раз что я искал).

VladVlad

Заголовок сообщения: Re: Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Добавлено: 06 сен 2013, 20:34

Центр пользователя

Зарегистрирован: 05 янв 2013, 12:23
Сообщений: 428
Откуда: Уфа

О, у меня тоже ММИ
`(1+x)^n>=1+nx`
1)для `n=1` верно.
2)для `n=k`, верно:`(1+x)^k>=1+k*x`
3)для `n=k+1`, доказать:
`(1+x)^(k+1)>=1+(k+1)*x`
`(1+x)^(k+1)=(1+x)^k*(1+x)=(1+k*x)*(1+x)=1+k*x+x+k*x^2=1+(k+1)*x+k*x^2`, а `k*x^2 >=0` значит доказаали :ymhug:

Показать сообщения за: Сортировать по:

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

Текущее время: 11 мар 2023, 00:14 | Часовой пояс: UTC + 3 часа

Удалить cookies форума | Наша команда | Вернуться наверх

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Перейти:

Источник

ОБЛАСТНАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ЮНОСТЬ ПОМОРЬЯ»

Направление: математика

Метод математической индукции.

Исследовательская работа

Выполнена учеником 10 «А» класса

МОУ «Средняя общеобразовательная

школа № 7», МО «Котлас»

Архангельской области

Мочалыгиным Николаем Дмитриевичем

Научный руководитель – учитель математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7»,

МО «Котлас», Архангельской области

Курдюкова Ольга Васильевна

г. Архангельск, 2017

Оглавление

1. Введение………………………………………………………………………………	3
2. Из истории возникновения и развития метода математической индукции……….	4
3. Принцип математической индукции…………………………………………………	6
4. Применение метода математической индукции к решению различных типов математических задач…………………………………………………………………..	7
	4.1. Применение метода математической индукции к доказательству тождеств……………………………………………………………………………..	8
	4.2. Применение метода математической индукции к суммированию рядов….	9
	4.3. Доказательство формулы бинома Ньютона…………………………………	10
	4.4. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств…………………………………………………………………………..	11
	4.5. Доказательство неравенств Бернулли и Коши………………………………	13
	4.6. Метод математической индукции в решении задач на делимость…………	15
	4.7. Решение задач на раскраску карт методом математической индукции…………………………………………………………………………………………………..	16
	4.8. Метод математической индукции в решении геометрических задач…………………………………………………………….	19
5. Применение метода математической индукции к решению задач повышенного уровня сложности……………………………………………………………………….	21
6. Метод математической индукции в заданиях ЕГЭ…………………………………	24
7. Заключение……………………………………………………………………………	28
8. Приложения…………………………………………………………………………..	30
	8.1. Приложение 1. Дополнительные примеры задач на доказательство неравенств…………………………………………………………………………	30
	8.2. Приложение 2. Дополнительные примеры задач на делимость…………..	31
	8.3. Приложение 3. Дополнительные примеры олимпиадных задач………….	32
	8.4. Приложение 4. Примеры для самостоятельного решения…………………	33
9. Список литературы……………………………………………………………………	35

1 ВВЕДЕНИЕ

Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение

плавать или бегать.

Ему можно научиться только путем подражания или упражнения.

Д. Пойя.

Одной из отличительных черт математики является дедуктивное построение теории, однако дедукция не является единственным методом научного мышления. В экспериментальных науках велика роль индуктивных выводов. Например, в математике индукция часто помогает угадать формулировку теорем, а в ряде других случаев даже наметить пути доказательств.

Данная тема является актуальной сегодня, выросла область применения метода математической индукции. Но, к сожалению, в школьной программе уделяется ничтожно мало времени для изучения данной темы. Для разбора материала чаще всего отводится лишь несколько занятий, на которых даётся теория и разбирается несколько примитивных задач. В школах без углубленного изучения математики этот метод вовсе не входит в образовательную программу. Однако на вступительных экзаменах в ведущие вузы страны встречаются задачи, при решении которых необходим метод математической индукции. При доказательстве многих теорем в математическом анализе на первом курсе в университете используется метод математической индукции, и студентам, у которых в школе не было факультативного курса по этому методу, приходится изучать его самостоятельно.

Цель моей работы – подробное и глубокое изучение метода математической индукции, его применения от момента возникновения, до современного уровня развития математики.

Для достижения данной цели нами были поставлены следующие задачи:

1. Изучить научно-методическую и учебную литературу по данной теме.

2. Систематизировать многочисленные примеры и задачи, которые позволяют более глубоко и широко оценить применение метода математической индукции к решению различных типов задач (доказательства тождеств, неравенств, задач на делимость, геометрических задач и т. д.). Рассмотреть задачи повышенного уровня сложности (задачи различных этапов Всероссийской олимпиады школьников), а также задания ЕГЭ, при решении которых можно использовать метод математической индукции.

3. Рассмотреть доказательство некоторых теорем элементарной алгебры методом математической индукции.

Объектом моего исследования является метод математической индукции, самый распространённый способ доказательства различных математических выражений. Предмет исследования – применение метода математической индукции к решению самых разных типов математических задач, а так же его использование при решении заданий ЕГЭ и Всероссийской олимпиады школьников.

В ходе работы были использованы следующие методы исследования:

1. Анализ математической литературы и ресурсов Интернета.

2. Репродуктивное воспроизведение изученного материала.

3. Познавательно-поисковая деятельность.

4. Анализ и сравнение данных в поиске решения задач.

5. Постановка гипотез и их поверка.

6. Сравнение и обобщение математических фактов.

7. Решение задач различных видов.

8. Анализ полученных результатов.

В своей работе я постараюсь показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

Чтобы достичь каких-либо успехов, нужно напряжённо и достаточно долго тренироваться. Если будет накоплен некоторый «багаж» олимпиадных идей и методов решений, то появится уверенность в своих возможностях. Размышления над задачами развивают интеллект, сообразительность, способствуют повышению уровня математической грамотности.

2 ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение от общего к частному, т. е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т. е. является методом, противоположным дедуктивному. Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов движения планет Кеплера, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге.

Приведем пример рассуждения по индукции:

Требуется установить, что каждое четное число в пределах от 4 до 100 можно представить в виде суммы двух простых чисел. Для этого переберем все интересующие нас числа и выпишем соответствующие суммы:

4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; … ; 94 = 5 + 89; 96 = 7 + 89; 98 = 9 + 89;

100 = 3 + 97.

Эти 49 равенств (мы выписали только 8 из них) показывают, что утверждение о том, что любое четное число от 4 до 100 можно представить в виде суммы двух простых чисел, верно и было доказано путем перебора всех частных случаев.

Это был пример полной индукции, когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов при рассмотрении каждого из этих элементов. Но чаще общее утверждение относится не к конечному, а к бесконечному множеству. В таких случаях общее утверждение может быть угаданным, полученным неполной индукцией. Оно может оказаться верным или неверным.

Знаменитый математик XVII в. Пьер Ферма проверив, что числа

+ 1 = 3

+ 1 = 5

+ 1 = 17

+ 1 = 257

+ 1 = 65537

простые, сделал по индукции предположение, что для всех натуральных n числа вида +1 простые.

В XVIII веке Леонард Эйлер нашел, что при n = 5: + 1 = 4294967297 = 6416700417 (составное число).

Таким образом, неполная индукция не считается в математике методом строгого доказательства, т. к. может привести к ошибке. Так к середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильно ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан, он называется методом математической индукции.

Основная заслуга в разработке этого метода принадлежит французским математикам Блезу Паскалю (1623 — 1662) и Рене Декарту (1596-1650), а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654-1705), хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено Огастесом де Морганом в 1838 году.

3 ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Принцип математической индукции, именно в привычной форме двух шагов, впервые появился в 1654 году в работе Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», в которой индукцией доказывался простой способ вычисления числа сочетаний (биномиальных коэффициентов).

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

1. проверяется справедливость этого утверждения для n = 1 (базис индукции),

2. предполагается справедливость этого утверждения для n = k, где k– произвольное натуральное число (предположение индукции), и с учётом этого предположения устанавливается справедливость его для n = k + 1 (шаг индукции, или индукционный переход).

Докажем справедливость принципа математической индукции методом «от противного». Предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального n. Тогда существует такое натуральное m, что:

1) утверждение для n = m несправедливо,

2) для всякого n, меньшего m, утверждение справедливо (иными словами, m есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что m > 1, т.к. для n = 1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, m – натуральное число. Выходит, что для натурального числа утверждение справедливо, а для следующего натурального числа m оно несправедливо. Это противоречит условию 2.

ЧТД

Заметим, что в доказательстве использовалась аксиома о том, что в любой совокупности натуральных чисел содержится наименьшее число.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом полной математической индукции.

Итак, доказательство по методу полной математической индукции проводится в три этапа:

1. проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);

2. предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n = k;

3. доказывается справедливость утверждения для числа n = k + 1, отталкиваясь от предположения справедливости утверждения для n=k.

Доказательство методом неполной математической индукции некоторого утверждения, зависящего от n, где n2 проводится аналогичным образом, но в начале устанавливается справедливость для наименьшего значения n.

Метод математической индукции — эффективный метод доказательства гипотез (утверждений), основанный на использовании принципа математической индукции, поэтому он приводит только к верным выводам. Методом математической индукции можно решать не все задачи, а только параметризованные некоторой переменной, которая называется переменной индукции. Метод математической индукции имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел. В дальнейших параграфах рассмотрим его применение.

4 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ К РЕШЕНИЮ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Метод математической индукции – универсальное орудие для решения множества типов математических задач. В этом параграфе рассмотрим его основные сферы применения и докажем несколько довольно известных формул.

4.1 Применение метода математической индукции к доказательству тождеств

Основная сфера применения метода математической индукции – доказательство различных тождеств. Рассмотрим несколько примеров решения данного типа задач.

Пример 1.

Докажите, что для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство .

Доказательство: Зададим произвольное натуральное число m и будем, как говорят, вести индукцию по n.

1. При n = 1 равенство верно по определению степени с натуральным показателем:

2. Пусть теперь наше равенство верно при n = k:

3. Докажем, что оно справедливо и для n = k + 1:

Тогда по предположению индукции и по определению степени имеем:

т. е. .

Следовательно, согласно принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального n при произвольно выбранном m, т. е. оно верно для любых натуральных m и n.

Пример 2.

Доказать, что для любого натурального n > 1справедливо равенство

Доказательство: Заметим, что нам нужно доказать данное тождество для всех n > 1, то есть базис индукции проверяется для следующего натурального значения n, т. е. для n = 2.

1. При n = 2 получаем

– верно, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

2. Предположим, что формула верна для n = k: …=

3. Докажем её справедливость и для n = k + 1: …=

Заменим первые k множителей на (по предположению п. 2) и выполним некоторые преобразования:

…==

Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

Метод математической индукции применим и к решению некоторых тригонометрических задач. Рассмотрим такой пример.

Пример 3.

Доказать равенство .

Доказательство: докажем тождество методом математической индукции.

1. При n = 0 получим (верно).

2. Пусть тождество справедливо при n = k: .

3. Докажем, что оно справедливо и при n = k + 1:

Следовательно, равенство верно (по методу математической индукции).

4.2 Применение метода математической индукции к суммированию рядов

Суммирование рядов – особый вид тождеств. Уделим таким задачам отдельное внимание.

Методом математической индукции доказываются многие известные формулы, одной из которых является формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Пример 4.

Докажите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

S(n) =.

Доказательство: 1. При n = 1 получим S(1) == (верно, т. к. сумма первого члена арифметической прогрессии равна самому первому члену этой прогрессии).

2. Предположим, что формула верна для n = k: S(k) =.

3. Докажем правильность формулы и для n = k + 1:

S(k + 1) ==

По методу математической индукции формула доказана.

Рассмотрим ещё один пример задачи на суммирование рядов.

Пример 5.

Найдите сумму

Решение: S(1) =, S(2) = , S(3) = S(2) + =. Можно предположить, что S(n) =. Докажем это.

1. Для n=1 формула верна: .

2. Предположим, что она будет верна для n = k: S(k) =.

3. Докажем, что формула верна и для n = k + 1:

S (k + 1) = S(k)

Второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

4.3 Доказательство формулы бинома Ньютона

Как мы уже говорили, методом математической индукции доказываются многие известные формулы. В параграфе 4.2 мы рассмотрели доказательство формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Рассмотрим доказательство ещё одной знаменитой формулы – формулы бинома Ньютона.

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных.

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Леонард Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

Знаменитая формула легко доказывается с помощью метода математической индукции. Рассмотрим её доказательство.

В общем виде формула выглядит так:

1. При n = 1 имеем a + b = b + a (верно, т. к. от перестановки слагаемых сумма не меняется).

2. Предположим справедливость формулы при n = k: .

3. Докажем, что формула справедлива и для n = k + 1.

Используя равенство , получим

Второе условие принципа математической индукции выполнено. Формула доказана.

4.4 Применение метода математической индукции к доказательству неравенств

С помощью метода математической индукции можно доказать множество неравенств. И пусть данный метод не является наиболее распространённым в этой сфере, доказывать неравенства с помощью индукции бывает непросто, он всё же может оказаться полезен. В данном параграфе рассмотрим пример доказательства неравенства методом математической индукции и рассмотрим более сложные задачи.

Пример 6.

Доказать, что справедливо неравенство для всех натуральных n при a > 0.

Доказательство: 1. При n = 1 обе части равны:

2. Предположим, что при n = k выполняется неравенство .

3. Докажем, что неравенство верно и при n = k + 1:

Итак, для n = k + 1 неравенство верно, следовательно, по методу математической индукции, утверждение верно для любого натурального n.

Не всегда в условиях задач, решаемых с помощью метода математической индукции, бывает чётко сформулирован общий закон, который нужно доказывать. Иногда приходится путём наблюдений частных случаев сначала обнаружить (догадаться), к какому общему закону они приводят, и только потом доказывать высказанную гипотезу методом математической индукции. Кроме того, переменная индукции может быть замаскированной, и прежде, чем решать задачу, необходимо определить, по какому параметру будет проводиться индукция. В качестве примеров рассмотрим следующие задачи.

Пример 7.

Доказать, что при любом натуральном n > 1.

Доказательство: Попробуем доказать это неравенство методом математической индукции.

1. Базис индукции проверяется без труда: – верно.

2. По предположению индукции .

3. Нам остается доказать, что .

Если воспользоваться индуктивным предположением, то мы будем утверждать, что

Хотя это равенство на самом деле верно, оно не даёт нам решения задачи.

Попробуем доказать более сильное утверждение, чем это требуется в исходной задаче. А именно докажем, что

Может показаться, что доказывать это утверждение методом индукции – дело безнадёжное, однако

1. При n = 1 имеем: – утверждение верно.

2. Для обоснования индуктивного шага предположим, что .

3. Тогда докажем, что .

Действительно,

Таким образом, нами доказано более сильное утверждение, из которого сразу же следует утверждение, содержащееся в условии задачи.

Поучительным здесь является то, что хотя нам и пришлось доказывать более сильное утверждение, чем это требуется в задаче, но мы могли пользоваться и более сильным предположением в индуктивном шаге. Этим и объясняется, что прямолинейное применение принципа математической индукции не всегда приводит к цели.

Ситуация, возникшая при решении задачи, получила название парадокса изобретателя. Сам парадокс состоит в том, что более сложные планы могут быть реализованы с большим успехом, если они базируются на более глубоком понимании существа дела.

Но бывают случаи, когда требуется не просто доказать более сильное утверждение, а провести доказательство вспомогательного утверждения. Пример такой задачи мы рассмотрим в Приложении 1 (стр. 30).

4.5 Доказательство неравенств Бернулли и Коши.

Среди неравенств, как и среди тождеств, есть наиболее известные. К таким относятся, например, неравенства Бернулли и Коши. В данном параграфе рассмотрим их доказательство методом математической индукции.

Неравенство Якоба Бернулли в обобщённом виде выглядит так: при любом и любом натуральном n.

Рассмотрим его доказательство методом математической индукции.

Доказательство: 1. Пусть n = 2. Тогда неравенство приобретает вид (верно).

2. Предположим, что неравенство справедливо для n = k, то есть .

3. Докажем, что оно верно и для n = k + 1, то есть :

Итак, на основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n > 2.

Неравенство Огюстена Луи Коши звучит так: «Среднее арифметическое нескольких положительных чисел не меньше их среднего геометрического, т. е. если – неотрицательные числа, то

причём равенство имеет место в том, и только в том случае, когда .

Доказательство: Докажем сначала вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть – произвольные положительные числа, причём . Тогда справедливо неравенство .

Доказательство: Докажем неравенство методом математической индукции.

1. Пусть n = 2. Тогда . Если оба числа равны 1, то и, следовательно, утверждение верно. Пусть теперь , а , тогда и . Решим неравенство или Последнее неравенство справедливо при всех , следовательно, доказываемое утверждение справедливо.

2. Пусть утверждение справедливо при n = k.

3. Пусть n = k + 1 и – произвольные положительные числа и .

Возможны два случая: либо все числа равны 1, тогда их сумма равна k + 1 и неравенство доказано, либо среди этих чисел хотя бы одно не равное единице. Тогда найдётся, по крайней мере, ещё одно число, не равное единице, причём одно из них больше единицы, а другое меньше единицы. Пусть , а . Рассмотрим теперь произведение k чисел . Тогда, используя предположение индукции, получим .

Прибавим к обеим частям неравенства :

Заметим, что

Следовательно, . Утверждение доказано. Из приведённого доказательства следует, что знак равенства в доказываемом соотношении имеет место тогда и только тогда, когда .

Вернёмся теперь к доказательству неравенства Коши. Рассмотрим n чисел

Эти числа положительны и их произведение равно 1. Тогда

или .

Причём знак равенства возможен, .

Неравенство Коши доказано для любого натурально .

4.6 Метод математической индукции в решении задач на делимость

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Рассмотрим следующие примеры:

Пример 8.

Доказать, что кратно 27, где n – натуральное число.

Доказательство: 1. При n = 1 получаем 27 (верно).

2. Предположим, что при n = k 27 – верно.

3. Докажем, что утверждение справедливо и для n = k + 1:

Т. к. первое слагаемое делится на 27 (по предположению п. 2) и второе слагаемое делится на 27 (т. к. один из его множителей равен 27), то кратно 27 при любом натуральном n по методу математической индукции.

Задачи на делимость, решаемые с помощью метода математической индукции, довольно однотипны. В целом, чтобы доказать делимость того или иного выражения на какое-либо число, достаточно просто следовать алгоритму, представленному в предыдущем примере. В Приложении 2 (стр. 31) мы рассмотрим более сложный пример, в котором необходимо будет применить метод математической индукции дважды.

4.7 Решение задач на раскраску карт методом математической индукции.

Интересны задачи о раскраске карт. Пусть на плоскости задана некоторая географическая карта. Будем говорить, что карта правильно раскрашена, если любая ее страна раскрашена определенной краской, причем любые ее две страны, имеющие между собой общую границу, закрашены в разные цвета.

Примером правильно раскрашенной карты может служить любая географическая карта. Любую карту можно раскрасить, например, закрасив каждую страну в особый цвет, но такая раскраска неэкономна. Поэтому возникает вопрос, каково то наименьшее число красок, которыми можно правильно раскрасить заданную карту.

К примеру, для раскраски следующих карт нужно:

2 цвета 3 цвета 4 цвета

До сих пор не найдено ни одной карты, которую не удалось бы правильно раскрасить четырьмя красками. Впервые на это обстоятельство обратил внимание немецкий математик Август Фердинанд Мебиус более ста лет назад. С тех пор многие крупные ученые пытались решить эту проблему четырех красок, то есть пытались либо доказать, что четырех красок достаточно для раскраски любой карты, либо найти пример карты, которую нельзя раскрасить четырьмя красками. Однако до сих пор этого никому не удалось сделать. Установлено, что для правильной раскраски любой карты достаточно пяти красок.

Любопытно, что для некоторых поверхностей, устроенных, казалось бы, более сложно, чем плоскость, проблема раскраски карт решена полностью. Так, например, доказано, что на поверхности тора («баранки») для правильной раскраски любой карты достаточно семи красок. Причем существуют карты, которые нельзя правильно раскрасить 6 красками.

Рассмотрим некоторые задачи на раскраску карт, решаемые с помощью метода математической индукции.

Пример 9.

Пусть прямоугольник разбит на части n прямыми. Доказать, что его можно так закрасить черной и белой красками, что каждые две части, имеющие общую сторону, будут окрашены в разные цвета.

Доказательство: 1. При n = 1 имеем:

2. Пусть утверждение верно при n = k.

3. Докажем, что оно верно и при n = k + 1.

При n = k + 1 нужно раскрасить конфигурацию, образованную k прямыми из данных k + 1 прямых следующим образом:

(k+1) прямая

Затем перекрасить всё, что лежит с одной из сторон оставшейся (k+1) прямой в противоположный цвет.

(k+1) прямая

Итак, утверждение верно при n = k + 1, а следовательно верно для любого натурального n. Утверждение доказано методом математической индукции.

Пример 10.

На плоскости дано n ≥ 2 окружностей. Доказать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками.

Доказательство: 1. При n = 2 имеем при всевозможных положениях окружностей следующие рисунки:

2. Пусть утверждение верно при n = k ≥ 2.

3. Докажем, что оно справедливо и для n = k +1. Пусть на плоскости заданы k + 1 окружностей.

Временно удалим одну из этих окружностей. Карту из оставшихся k окружностей можно раскрасить двумя цветами (рис 1).

Теперь восстановим отброшенную окружность и по одну сторону от неё (например, вне) изменим цвет каждой области на противоположный (рис. 2).

Мы видим, что действительно возможно раскрасить карту из n + k окружностей в 2 цвета. Следовательно, утверждение доказано по принципу математической индукции.

4.8 Метод математической индукции в решении геометрических задач

Трудно поверить, но и некоторые геометрические задачи решаются с помощью метода математической индукции. Рассмотрим решения нескольких таких задач.

Пример 11.

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно .

Доказательство: 1. При n = 3 утверждение справедливо, т. к. в треугольнике диагоналей.

2. Предположим, что во всяком выпуклом k-угольнике количество диагоналей равно .

3. Докажем, что в любом (k+1)-угольнике число диагоналей равно .

Пусть – выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ . Чтобы подсчитать общее количество диагоналей этого (k+1)-угольника нужно к числу диагоналей k-угольника прибавить k — 2, то есть число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины , и прибавить 1 (т. е. учесть диагональ )

Таким образом, количество диагоналей выпуклого (k+1)-угольника равно . Утверждение доказано.

Пример 12.

На сколько частей разбивают плоскость n прямых общего положения (т. е. прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке).

Решение: В этой задаче отсутствует явная формула, которую нужно доказать. Поэтому решение задачи стоит начать с выявления закономерности изменения числа частей при проведении новой прямой.

Обозначим за Dn количество частей, на которые делят плоскость n прямых и рассмотрим первые несколько случаев.

Рис 3.а Рис 3.б Рис 3.в Рис 3.г

Одной прямой мы делим плоскость на 2 части, т. е. D1 = 2 (рис. 3.а). Двумя прямыми мы делим плоскость на 4 части (рис 3.б), тремя – на 7 частей (рис 3.в), четырьмя – на 11 частей (рис 3.г), т. е. D2 = 4 = D1 + 2; D3 = 7 = D2 + 3; D4 = 11 = D3 + 4 и т. д. Исследуя найденные числа, замечаем, что Dn+1 = Dn + (n + 1). Заметим, что (n+1)-ая прямая пересекает остальные n прямых в n точках и делится ими на (n+1) часть. Каждая часть прямой добавляет к разбиению плоскости одну часть. Возникает предположение, что число частей равно 1 + Sn, где Sn – сумма n первых членов арифметической прогрессии с разностью 1:

Dn = 1+.

Докажем наше предположение с помощью метода математической индукции.

Доказательство: 1. При n = 1 получаем D1 = D0 + 1 = 1 + 1 = 2 – верно (см. рис. 3.а).

2. Пусть уже проведено n прямых и проводим (n+1)-ую прямую. Новая прямая «начинается» внутри некоторого угла, образованного парой имеющихся прямых, и разбивает его, добавляя одну часть плоскости. Далее она пересекает каждую из имеющихся прямых. В результате каждого пересечения она входит в новую фигуру и добавляет ещё одну часть к уже имеющимся. Всего она может добавить не более чем (n+1) часть. Значит:

Dn+1 = Dn + (n + 1) =+ 1 + n + 1 = + 1

В соответствии с принципом математической индукции, утверждение доказано.

Ответ: Dn = 1 + .

5 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ

Часто бывает так, что серьёзное увлечение математикой начинается с решения какой-либо понравившейся нестандартной задачи. Такая задача может встретиться на уроке в школе, на занятии математического кружка, в журнале или книге. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – от школьных, районных и городских до международных. Приведем несколько примеров олимпиадных задач, выходящих за рамки школьной программы.

Пример 13.

Доказать, что при любом натуральном n большем 1 справедливо двойное неравенство

Доказательство: 1. При n=2 неравенство очевидно:

2. Предположим, что исходное неравенство имеет место при n = k, то есть , где

3. Докажем теперь, что , где

Имеем:

так как ,

так как

Итак, . Следовательно, двойное неравенство доказано для любого .

Пример 14.

Выпуклый многоугольник будем называть «красивым», если выполняются следующие условия:

1.Ккаждая его вершина окрашена в один из трёх цветов;

2. Любые две соседние вершины окрашены в разные цвета;

3. В каждый из трёх цветов окрашена, по крайней мере, одна вершина многоугольника.

Доказать, что любой красивый n-угольник можно разрезать не пересекающимися диагоналями на «красивые» треугольники.

Решение: Воспользуемся методом математической индукции.

1. При наименьшем из возможных n = 3 утверждение задачи очевидно: вершины «красивого» треугольника окрашены в три разных цвета и никакие разрезы не нужны.

2. Допустим, что утверждение задачи верно для любого «красивого» n-угольника.

3. Рассмотрим произвольный «красивый» (n+1)-угольник и докажем, используя предположение индукции, что его можно разрезать некоторыми диагоналями на «красивые» треугольники. Обозначим через последовательные вершины (n+1)-угольника. Если в какой-либо из трёх цветов окрашена лишь одна вершина (n+1)-угольника, то, соединив эту вершину диагоналями со всеми не соседними с ней вершинами, получим необходимое разбиение (n+1)-угольника на «красивые» треугольники.

Если в каждый из трёх цветов окрашены не менее двух вершин (n+1)-угольника, то обозначим цифрой 1 цвет вершины , а цифрой 2 цвет вершины . Пусть k – такой наименьший номер, что вершина окрашена в третий цвет. Понятно, что k > 2. Отсечём от (n+1)-угольника диагональю –2 треугольник –2–1. В соответствии с выбором числа k все вершины этого треугольника окрашены в три разных цвета, то есть этот треугольник «красивый». Выпуклый n-угольник … –2+1 … +1, который остался, также, в силу индуктивного предположения, будет «красивым», а значит разбивается на «красивые» треугольники, что и требовалось доказать.

Пример 15.

Доказать, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.

Решение: Проведём доказательство методом математической индукции.

Докажем более общее утверждение: в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n сторон и диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.

1. При n = 3 утверждение очевидно.

2. Допустим, что это утверждение верно для произвольного n-угольника.

3. Докажем его справедливость для произвольного (n+1)-угольника.

Используем метод от противного. Допустим, что для (n+1)-угольника это утверждение неверно. Если из каждой вершины (n+1)-угольника выходит не больше двух выбранных сторон или диагоналей, то всего их выбрано не больше чем n+1. Поэтому из некоторой вершины А выходит хотя бы три выбранных стороны или диагонали AB, AC, AD. Пусть АС лежит между АВ и AD. Поскольку любая сторона или диагональ, которая выходит из точки С и отличная от СА, не может одновременно пересекать АВ и AD, то из точки С выходит только одна выбранная диагональ СА.

Отбросив точку С вместе с диагональю СА, получим выпуклый n-угольник, в котором выбрано больше n сторон и диагоналей, любые две из которых имеют общую точку. Таким образом, приходим к противоречию с предположением, что утверждение верно для произвольного выпуклого n-угольника.

Итак, для (n+1)-угольника утверждение верно. В соответствии с принципом математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

Пример 16.

Известно, что – целое число. Доказать, что – так же целое число при любом целом n.

Решение: Введём обозначение: и сразу отметим, что , поэтому дальше будем вести речь о натуральных индексах.

Заметим, что – целое число по условию; – целое, так как ; = 2.

Предположим, что целое при любом натуральном не превосходящем n. Тогда – целое число, но и . Однако, , согласно индукционному предположению, – целое. Значит, целым является и . Следовательно, – целое число при любом целом n, что и требовалось доказать.

Пример 17.

Доказать, что при любом натуральном n число делится на и не делится на .

Решение: Введём обозначение: .

При n = 1 имеем . Итак, делится на и не делится на .

Пусть при n = k число делится на и не делится на , то есть , где m не делится на 3. Тогда

Очевидно, что делится на и не делится на . Следовательно, утверждение доказано для любого натурального n.

6 ЗАДАЧИ НА МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ В ЕГЭ

Метод математической индукции может оказаться отличным оружием при решении задания 19 (С6) Единого Государственного экзамена. Приведем несколько примеров заданий ЕГЭ, которые легко решаются с помощью метода математической индукции.

Пример 18 (Задание С6 ЕГЭ по математике, 2010 г.).

Найдите все целые решения неравенства

Решение.

ОДЗ:

т. е.

1). получаем (верно);

2). получаем (верно);

3). получаем (верно);

4). получаем (верно);

Для остальных целых х неравенство не выполняется. Докажем по индукции неравенство .

1. При получим (верно).

2. Предположим, что утверждение верно при n = k , т.е. (*).

3. Докажем, что оно выполняется и при n = k+1:

Прибавим к неравенству (*) по 1 и проверим, что справедливо неравенство .

В самом деле, , поскольку , что верно для любого . Неравенство доказано.

Ответ: .

Пример 19 (Задание С6 ЕГЭ по математике, 2013 г.).

Доказать, что для любого натурального числа n.

Решение: 1. При n = 1 получим

(верно).

2. Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е.

3. Докажем, что тогда утверждение верно и при n = k + 1, т.е. докажем, что .

Каждое слагаемое делится на 133, следовательно, сумма делится на 133, т.е.

По принципу математической индукции делаем вывод, что требуемое утверждение доказано.

Пример 20 (Задание С6 ЕГЭ по математике, 2012 г.).

Докажите равенство , . (1)

Решение: Докажем равенство методом математической индукции.

1. При n = 1: (верно).

2. Предположим, что равенство верно при n = k, т.е.

. (2)

3. Докажем, что проверяемое равенство верно и при n = k + 1, т.е.

. (3)

или

Итак, из равенства (2) вытекает равенство (3).

Оба условия принципа математической индукции выполняются, значит, равенство (1) справедливо для любого натурального числа n.

Пример 21 (Задание С6 ЕГЭ по математике, 2010 г.).

Найдите все пары натуральных чисел m и n, удовлетворяющих уравнению
Решение: Рассмотрим делимость 3n + 1 на 8 для чётного или нечётного n.
1). n = 2·k; k ∈ ℕ; тогда:

, где {h, R} ∈ ; 0 ≤ R ≤ 7; h > 0 (R — остаток от деления на 8, h — целая часть).

9k + 1 = 8·h + R
Следовательно, 9k + (1 − R) кратно 8.
Используя метод математической индукции, определим R и докажем, что при любом k будет такой остаток.
1. При k = 1: (10 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 2. База тогда верна.
2. Пусть для k = а число (9a − 1) кратно 8.

3. Докажем, что 9a + 1 – 1 также кратно 8:
(кратно 8).
        Отсюда следует, что   9a + 1 – 1 кратно 8.
        Итак, при чётном n   при делении на 8 даёт всегда остаток 2.
2).  Тогда:
32·k − 1 + 1 = 8·h + R, где {h, R} ; 0 ≤ R ≤ 7; h > 0.
Следовательно,   кратно 8.
        И вновь применим метод математической индукции:
1. При k = 1: (4 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 4. База тогда верна.
2. Пусть для k = а число  кратно 8.

3. Докажем, что 32·(a + 1) − 1 − 3 также кратно 8.

кратно 8.
        Отсюда следует, что (32·(a + 1) − 1 − 3) кратно 8.
        Итак, при нечётном n   3n + 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 4.
        Вернёмся к уравнению. 2m = 1 + 3n. Так как при любом n правая часть не кратна 8, то m меньше 3. Следовательно, возможны 2 случая:
1) m = 2; 3n = 3 n = 1
2) m = 1; тогда 3n = 1; n = . Но числа m и n — натуральные, поэтому данная пара чисел не подходит.
Ответ: n = 1, m = 2.

7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Роль индукции в математике сложно переоценить. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести огромное количество утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, подсказывается именно индукцией. Именно она позволяет из миллионов бесполезных теорем выбрать полезные, именно индукция указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

«У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провёл так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющим образованием этих членов… И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих». Эти слова принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру. Индукция уже на протяжении множества веков используется математиками, но, к сожалению, не все выводы, сделанные ими методом неполной индукции, верны. Для решения этой проблемы был создан метод математической индукции, который является наиболее эффективным методом проведения полной индукции. Он и по сей день активно используется учёными самых разных областей, прежде всего математики.

Итак, индукция (от лат. inductio – наведение, пробуждение) – одна из форм умозаключения, приём исследования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Индукция бывает полная и неполная. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки истинности частных формулировок для отдельных, но не всех значений n. Применяя полную индукцию, мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда убедились в её истинности для каждого без исключения значения n.

Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Его можно сравнить с принципом домино: представьте ряд домино, выстроенных друг за другом таким образом, что если толкнуть одну костяшку, то упадут они все. Так же и при доказательстве методом математической индукции: мы «толкаем первую костяшку» — базис индукции. Затем, мы проверяем, «упадёт ли какая-то (n+1)-ая костяшка», при условии, что «упадет n-ная». А так как эта «n-ная костяшка» выбрана произвольно, то мы вправе сделать вывод, что если упадёт одна костяшка, то упадёт и весь ряд домино.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении самых разных типов математических задач. В ходе проделанной работы мной был всесторонне изучен метод математической индукции. Были углублены знания по данному разделу математики, показано использование этого метода при вычислении, доказательстве тождеств, неравенств, решении тригонометрических и арифметических задач, доказательстве теорем элементарной математики. Были решены задачи, которые раньше вызывали затруднения.

Так как метод математической индукции – это особый метод математического доказательства, который позволяет на основании частных наблюдений делать заключения о соответствующих общих закономерностях, и этот метод проще всего уяснить себе на конкретных примерах, то в своей работе я рассмотрел многочисленные задачи по этой теме.

Знакомясь с методом математической индукции, я изучал специальную литературу, консультировался с педагогом, анализировал данные и решения задач, пользовался ресурсами Интернета, выполнял необходимые вычисления.

Мы считаем, что в настоящее время метод математической индукции – отличное орудие для обучающихся всех образовательных учреждений: от школ до университетов. Школьникам он поможет при сдаче ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы. К примеру, мне он очень помог при решении заданий Заочной физико-технической школы при МФТИ, в которой я обучаюсь с 9 класса. Часто и в высших учебных заведениях требуется знание метода математической индукции, но, к сожалению знакомы с ним не все.

Сфера применения метода математической индукции простилается от математики, где он зародился, до физики, химии и многих других наук. Значимость работы, проделанной Паскалем и Декартом невозможно переоценить. Эти люди изменили математический мир, сделали его таким, каким знаем его мы.

И чем труднее доказательство, тем больше будет удовольствие тому, кто доказательство найдёт.

Рене Декарт.

8 ПРИЛОЖЕНИЯ

8.1 Приложение 1. Дополнительные примеры задач на доказательство неравенств

Пример 22.

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём . Какое из двух чисел больше: или ?

В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются (k – любое чётное число).

Решение: Прежде, чем приступить к решению задачи, докажем некоторое вспомогательное утверждение.

Лемма. При любых натуральных m и n () и неотрицательном (не обязательно целом) x справедливо неравенство ?

Доказательство: Рассмотрим неравенство .

Это неравенство справедливо, т. к. оба сомножителя в левой части строго положительны. Раскрывая скобки и преобразовывая, получаем:

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства, получим утверждение леммы. Итак, лемма доказана.

Перейдём теперь к решению задачи. Обозначим первое из данных чисел через второе – через. Докажем, что при любом чётном k.

1. При k = 2 требуемое получается из доказанной леммы подстановкой x = 0.

2. Предположим, что при некотором чётном k неравенство справедливо.

3. Докажем, что справедливо и неравенство

Из предположения индукции и монотонности квадратного корня имеем:

С другой стороны из доказанной леммы следует, что

Объединяя два последних неравенства, получим:

, или

Согласно принципу математической индукции, утверждение доказано.

8.2 Приложение 2. Дополнительные примеры задач на делимость

Пример 23.

Доказать, что 10, где n – натуральное число.

Доказательство: 1. При n = 1 получаем 10 (верно).

2. Предположим, что при n = k 10.

3. Докажем, что утверждение справедливо и для n = k + 1:

Мы видим, что первое слагаемое делится на 10 (по предположению п. 2). Нам необходимо доказать, что и второе слагаемое делится на 10. Для этого вновь воспользуемся методом математической индукции. Итак, нам нужно доказать, что

справедливо для любого натурального n.

1. При n = 1 получаем (верно).

2. Предположим, что при n = k 10 – верно.

3. Докажем, что утверждение справедливо и для n = k + 1:

Т. к. первое слагаемое делится на 10 (по предположению п. 2) и второе слагаемое делится на 10, то кратно 10 при любом натуральном n по методу математической индукции.

Вернёмся к выражению . Как уже было сказано, первое слагаемое делится на 10. Мы доказали, что и второе слагаемое кратно 10. Из этого следует, что 10 верно при любом натуральном n по методу математической индукции.

8.3 Приложение 3. Дополнительные примеры олимпиадных задач

Пример 24.

В выражении для указания порядка действий расставляются скобки и результат записывается в виде дроби:

(при этом каждая из букв стоит либо в числителе дроби, либо в знаменателе). Сколько различных выражения можно таким образом получить при всевозможных способах расстановки скобок?

Решение: Прежде всего ясно, что в полученной дроби будет стоять в числителе. Почти столь же очевидно, что окажется в знаменателе при любой расстановке скобок (знак деления, стоящий перед , относится либо к самому , либо к какому-либо выражению, содержащему в числителе).

Можно предположить, что все остальные буквы могут располагаться в числителе или знаменателе совершенно произвольным образом. Отсюда следует, что всего можно получить 2n–2 дробей: каждая из n–2 букв может оказаться независимо от остальных в числителе или знаменателе.

Докажем это утверждение по индукции.

1. При n = 3 можно получить 2 дроби:

так что утверждение справедливо.

2. Предположим, что оно справедливо при n = k.

3. Докажем его для n = k + 1.

Пусть выражение после некоторой расстановки скобок записывается в виде некоторой дроби Q. Если в это выражение вместо подставить , то окажется там же, где и было в дроби Q, а будет стоять не там, где стояло (если было в знаменателе, то окажется в числителе и наоборот).

Теперь докажем, что можно добавить туда же, где стоит . В дроби Q после расстановки скобок обязательно будет выражение вида , где q – буква или некоторое выражение в скобках. Заменив выражением , мы получим, очевидно, ту же самую дробь Q, где вместо стоит .

Таким образом, количество всевозможных дробей в случае n = k + 1 в 2 раза больше чем в случае n = k и равно . Тем самым утверждение доказано.

Ответ: дробей.

8.4 Приложение 4. Примеры для самостоятельного решения

Доказать, что

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20. Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно уплатить без сдачи только трёх и пятикопеечными монетами.

21.

22. Если

23. Если

24.

25.

26.

27. Доказать, что для каждого натурального кратно 5. Проверить, выполняется ли утверждение: для каждого натурального кратно k при k =2; 4.

28. Пусть последовательность задана следующим образом:

Доказать, что справедлива формула

9 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс.-М.: Просвещение, 1979г.

2. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976г.

3. Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. Москва: Просвещение, 1996г.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации, дидактические материалы.

5. Иванова Е. Ю. Олимпиадные задачи: методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ — М.: изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008г.

6. Кутасов АД., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по
математике для поступающих в вузы. — М., Наука, 1981.

7. Соминский И. С. Метод математической индукции. Популярные лекции по математике, выпуск 3 – М.: Наука, 1974г.

8. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. Для учителя М.: Просвещение, 1987г.

9. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач учебное пособие для 10 класса средней школы – М.: Просвещение, 1989г.

10. Шень А. Математическая индукция – 3-е изд., дополн. – М.: МЦНМО, 2007г.

11. http://studyport.ru/referaty/tochnye-nauki/3804-metod-matematicheskoj-induktsii

12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция

13. http://www.cleverstudents.ru/articles/induction.html

14. http://www.math.md/school/krujok/inductr/inductr.html

Источник

Числа и их свойства.

Задание №19 ЕГЭ по математике

Оглавление

1. Введение 2

2. Теория чисел 3

2.1. Множества чисел, иерархия множеств 3

2.2. Определение делимости 4

2.2.1. Делимость целых чисел, простые числа, НОД, свойства делимости 4

2.2.2. Чётные и нечётные числа 5

2.2.3. Основная теорема арифметики 6

2.2.4. Признаки делимости целых чисел. 6

2.3. Среднее арифметическое и среднее геометрическое 7

2.4. Прогрессии и их свойства, формулы 8

2.4.1 Арифметическая прогрессия 8

2.4.2 Геометрическая прогрессия 8

3. Методы решения задания № 19 10

3.1. Построение математической модели 10

3.2. Метод кругов Эйлера 10

3.3. Метод математической индукции 10

3.4. Принцип Дирихле 12

3.5. Перебор значений по заданным условиям 12

4. Заключение 13

Источники информации 14

Приложение 15

Введение

Понятие числа возникло ещё в древности из практической потребности людей, когда людям были необходимы меры счёта и измерения. Пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей. Со временем понятие числа стало основным понятием математики.

Свойства чисел — одна из интереснейших тем для изучения. Задание №19 единого государственного экзамена «Числа и их свойства» — одно из самых интересных и сложных заданий второй части. Знания, необходимые для решения данной задачи, ученики получают ещё в средней школе.

Целью работы является

Изучение алгоритмов и способов решения задания №19 ЕГЭ по профильной математике.

Объект исследования: задание №19 профильного ЕГЭ по математике

Методы исследования:

Изучение теоретического материала;
Решение задач ЕГЭ прошлых лет.

Поставлены следующие задачи:

Изучить теоретический материал для решения задания №19;
Научиться решать задание №19 ЕГЭ по математике профильного уровня, изучить основные методы решения;
Разобрать задания №19 из вариантов ЕГЭ прошлых лет;
Решить и оформить несколько заданий №19 ЕГЭ;

Теория чисел

2.1. Множества чисел, иерархия множеств

Число — основное понятие математики, которое используется для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Выделяют следующие множества чисел:

Натуральные числа — числа, используемые при счете (перечислении) предметов:

N = {1 ,2, 3, …}

Целые числа — включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (т.е. с отрицательным знаком) и ноль.

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Рациональные числа — числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a / b, где a ∈ b, ∈ N, b ≠0

Q = {m / n, m ∈ Z, n ∈ N}

При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа — числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Обозначается как I. Типичным примером является π.

Действительные (вещественные) числа — объединение рациональных и иррациональных чисел. Обозначается R = {I + Q}

Комплексные числа – множество чисел C.

C = {x + iy, где x ∈ R и y ∈ R}, где i − мнимая единица.

Рис. 1 Иерархия множеств

2.2. Определение делимости 2.2.1. Делимость целых чисел, простые числа, НОД, свойства делимости

Опр. Пусть n – целое число (n ∈ Z), m – натуральное число (m ∈ N). Говорят, что n делится нацело на m, если существует такое целое число p ∈ Z, такое, что

n = mp

m называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m

Любое целое число n можно представить в виде n = mp + q, где m называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m, а q – остатком от деления n на m. qm называют делителем числа n, n называют делимым, а p называют частным от деления n на m.

Число q находится на отрезке от 0 до m – 1.

Опр. Натуральное число a1 называется простым, если оно имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Простых чисел бесконечное множество.

Множество простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Опр. Наибольшее натуральное число, являющееся натуральным делителем каждого из натуральных чисел m и n, называют наибольшим общим делителем этих чисел и обозначают НОД (m, n).

Например, если m = 36 и n = 84, то НОД (36, 84) = 12.

Опр. Два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Например: 14 и 25, так как НОД (14, 25) = 1

Пусть a ∈ Z, b ∈ Z, m ∈ N, то справедливы следующие свойства делимости:

1.Если a и b делятся на m, то числа a — b и a + b также делятся на m.

2. Если a и b делятся на m, то при любых целых числах k и l число ak + bl также делится на m.

3. Если a делится на m, а b не делится на m, то числа a + b и a — b также не делятся на m.

4. Если a делится на m, а m делится на k ∈ N, то число a также делится на k.

5. Если a делится на m, а b не делится на m, то число ab делится на m.

6. Если a делится на каждое из чисел m и k, причем НОД (m, k) = 1, то a делится на произведение mk.

7. Если a делится на m, то ak делится на mk при любом k ∈N.

8. Если ab делится на m и b взаимно просто с m, то a делится на m.

9. В ряде из n подряд идущих целых чисел хотя бы одно делится на n нацело.

2.2.2. Чётные и нечётные числа

Опр. Целое число называется чётным, если оно делится на 2 без остатка

a – чётное число, если a = 2n, где n ∈ Z {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

Опр. Целое число называется нечётным, если при делении на 2 оно даёт остаток 1

a – нечётное число, если a = 2n – 1, где n ∈ Z {…, -3, -1, 1, 3, …}

2.2.3. Основная теорема арифметики

Для каждого натурального числа n 1 существует единственное разложение на простые множители. Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей.

2.2.4. Признаки делимости целых чисел.

Признак делимости на 2.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна.

Признак делимости на 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0 или 5.

Признак делимости на 3.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами (в том же порядке), делится на 4.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трёхзначное число, образованное тремя его последними цифрами (в том же порядке), делится на 8.

Признак делимости на 11.

У данного числа найдём сумму цифр, стоящих на чётных местах, и сумму цифр, стоящих на нечётных местах. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность этих сумм делится на 11 (в частности, равна нулю).

Признак делимости на 13.

Число делится на 13, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 13.

2.3. Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Опр. Среднее арифметическое множества чисел — число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество.

Пусть задано множество чисел A = {a₁, a₂, a₃, …, a_n}, тогда среднее арифметическое этого множества (Q) равно Q = (a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n) / n

Среднее арифметическое множества, в котором все числа равны, является каждое число этого множества.

Опр. Средним геометрическое нескольких положительных вещественных чисел – такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось

Пусть задано множество чисел B= {b₁, b₂, b₃, …, b_n}, тогда среднее арифметическое этого множества (M) равно M =

Опр. Среднее геометрическое двух чисел называется их средним пропорциональным.

2.4. Прогрессии и их свойства, формулы

Опр. Прогрессия — последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

2.4.1 Арифметическая прогрессия

Опр. Арифметическая прогрессия — прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, увеличенному на фиксированное для прогрессии число.

Общий вид арифметической прогрессии:

a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …, a₁ + (n — 1)d

Рекуррентная формула n – го члена арифметической прогрессии:

a_n= a_n-1+ d

Формула n – го члена арифметической прогрессии:

a_n= a₁+ (n – 1)d

Заметим, что если d0, то прогрессия возрастает, если d

d = an – an-1

Сумма n первых членов арифметической прогрессии (S_n):

S_n=

S_n =

2.4.2 Геометрическая прогрессия

Опр. Геометрическая прогрессия – прогрессия, в которой каждый следующий член больше предыдущего в фиксированное количество раз.

Общий вид геометрической прогрессии: b₁, b₁q, b₁q², b₁q³, …, b₁qⁿ^-1

Рекуррентная формула n члена геометрической прогрессии:

b_n = b_n_-1q

Формула n члена геометрической прогрессии: b_n =b₁qⁿ^-1

Если b₁ 0 и q 0, то прогрессия является возрастающей, если 0qqq = 0 – стационарной

q =

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии (S_n):

S_n =

Сумма всех членов бесконечно убывающей прогрессии: (S):

S =

Методы решения задания № 19

3.1. Построение математической модели

Опр. Метод построения математической модели – главная составляющая решения любой математической задачи. Суть метода заключается в переходе от бытового языка (например, русского) к языку математическому. Так, например, запись «у Пети было 12 яблок» можно представить, как «П = 12». То есть мы переходим к уравнениям, системам уравнений, решение которых приводит к решению данной задачи.

3.2. Метод кругов Эйлера

Опр. Диаграмма Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера используются при решении задач на множества.

Рис 2. Диаграмма Эйлера

3.3. Метод математической индукции

Опр. Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — базис индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n +1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Докажем формулу суммы натуральных чисел от 1 до n, обозначим её как S(n):

Базовый случай n = 1, сумма чисел от 1 до 1 равна 1, проверим формулу подставив в неё n = 1:

Значит, наше утверждение верно для базового случая n.
Докажем истинность для утверждения n +1:
Подставим n + 1 в исходную формулу:

Заметим, что:

Тогда:

Вынесем n + 1 за скобку:

Мы доказали истинность формулы для n + 1, а значит она верна для любого натурального числа n.

3.4. Принцип Дирихле

Опр. Принцип Дирихле — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий.

Формулировка принципа Дирихле также может пригодиться при решении задачи № 19 ЕГЭ по математике:

Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

3.5. Перебор значений по заданным условиям

Перебор значений по заданным условиям также является методом решения задачи. Иногда задание №19 можно решить подбором, пункты «а» и «б» можно доказать, попросту приведя примеры и дав ответ «да» / «нет».

Заключение

Результатом работы стала собранная в одном месте теория, необходимая для решения задания №19 профильного ЕГЭ по математике. Также были решены задания ЕГЭ прошлых лет, задания с сайта РЕШУ ЕГЭ и сборника ЕГЭ по профильной математике 2020 года. Всего было решено10 задач №19 второй части профильного ЕГЭ по математике.

Поставленные задачи работы выполнены: теория для решения задания изучена, задания №19 ЕГЭ прошлых лет разобраны и оформлены в соответствии с требованиями экзамена.

Источники информации

«Задачи на целые числа» Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Р. на Д.: 2016. — 272 с.
«Математика абитуриенту», В. В. Ткачук 4-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2007. — 976с.
«Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты 2020», И. В. Ященко М.: Издательство «Национальное образование», 2020 – 256 с. – (ЕГЭ.ФИПИ – школе)
«Математика: Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ», А. Г. Мордкович, В. И. Глизбург, Н. Ю. Лаврентьева – Москва: Издательство АСТ, 2018 – 351 с.
Борис Трушин [Электронный ресурс], URL: https://www.youtube.com/user/trushinbv
Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс], URL: https://ru.wikipedia.org/ (дата обращения: 19.01.2020)
Высшая математика [Электронный ресурс], URL: http://www.math24.ru/ (дата обращения: 19.01.2020)
Подготовка к олимпиадам и ЕГЭ по математике и физике [Электронный ресурс], URL: http://mathus.ru/ (дата обращения 06.01.2020)
Публичная страница канала «Wild Mathing» «ВКонтакте» [Электронный ресурс], URL: https://vk.com/wildmathing (дата обращения 08.01.2020)
Сдам ГИА: РЕШУ ЕГЭ [Электронный ресурс], URL: https://ege.sdamgia.ru/

Приложение

З адание №19 демоверсии ЕГЭ 2020 года

Задание №19 реального ЕГЭ 2017 года

З адание №19 реального ЕГЭ 2018 года

Задание №19 реального ЕГЭ 2018 года

Тренировочный вариант Ларина №42 с сайта РЕШУ ЕГЭ.

Тренировочный вариант Ларина №42 с сайта РЕШУ ЕГЭ.

З адание №19 из сборника И. В. Ященко 2020 год (вар. 35).

Задание №19 из сборника И. В. Ященко (вар. 20)

Задание №19 из демоверсии ЕГЭ 2018 года.

Задание №19 с сайта РЕШУ ЕГЭ № 514744

Источник

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←

Числа и их свойства

Числовые наборы на карточках и досках

Последовательности и прогрессии

Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Метод математической индукции для чайников

Основы метода математической индукции

Математическая индукция: задачи и решения

Доказательство кратности и делимости

Доказательство равенств и неравенств

Вычисление сумм

Заказать решение

Полезные ссылки о ММИ

Кратенький видеоурок о ММИ

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://alexlarin.com/egetren4.png" />

Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Помогите доразобраться с решением задач на Индукцию.

Кто сейчас на форуме

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
→	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	1		3		5		7		9		11		13		15	←
→			3				7				11				15
			3								11					←