Задачи на нахождение объема шара егэ

(blacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Объем шара равен (displaystyle frac{36}{sqrtpi}). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac{6}{sqrtpi})?

(displaystyle V_{text{шара}} = frac{4}{3}pi R^3 = frac{36}{sqrtpi}) (Rightarrow) (displaystyle R = frac{3}{sqrtpi}). Радиус нового шара равен: (displaystyle R_{text{нов.}} = R + frac{6}{sqrtpi} = frac{9}{sqrtpi}). Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle {S_{text{пов.}} = 4pi R_{text{нов.}}^2 = 4pi left(frac{9}{sqrtpi}right)^2 = 4pifrac{81}{pi} = 324}.)

Ответ: 324

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac{1}{2}R)

[frac{V_{text{шара}}}{V_{text{сегм.}}} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{pi left(frac{1}{2}Rright)^2left(R — frac{1}{3}left(frac{1}{2}Rright)right)} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{5}{24}pi R^3} = frac{4}{3} cdot frac{24}{5} = frac{32}{5} = 6,4.]

Ответ: 6,4

Имеются две сферы (S_1) и (S_2), про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2), а объём тела, заключённого между сферами, равен (V). Найдите (V : V_2).

Ответ: 7

Площадь поверхности шара равна (frac{37}{pi}). На расстоянии (frac1{2pi}) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

По условию задачи (OQ=frac1{2pi}). Рассмотрим (triangle OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{37}{4pi^2}-dfrac1{4pi^2}=dfrac{9}{pi^2}
quad Rightarrow quad r=dfrac3{pi}]

Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi
r=2picdotfrac3{pi}=6.]

Ответ: 6

Площадь поверхности шара равна (64). На расстоянии (frac3{2sqrt{pi}}) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

По условию задачи (OQ=frac3{2sqrt{pi}}). Рассмотрим (triangle
OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{64}{4pi}-dfrac9{4pi}=dfrac{55}{4pi}]

Таким образом, площадь сечения равна

[S=picdot r^2=picdot dfrac{55}{4pi}=dfrac{55}4=13,75.]

Ответ: 13,75

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD), [S_{ABCD} = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},qquadqquad dfrac{r}{R} = dfrac{1}{sqrt{15}},] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Построим (CHperp AD). Так как (angle ADC = 45^circ), то (triangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD).
[HD = dfrac{AD — BC}{2} = R — r,qquadqquad S_{ABCD} = dfrac{BC + AD}{2}cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},] но (r = dfrac{R}{sqrt{15}}), тогда [R^2left(1-dfrac{1}{15}right) = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}}qquadRightarrowqquad R = dfrac{15}{sqrt[3]{pi}}qquadRightarrowqquad V_{text{шара}} = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}cdotpicdotdfrac{15^3}{pi} = 4500.]

Ответ: 4500

Дан шар, диаметр которого равен (9). Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2), считая от вершины (S). Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S), в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha).

Ответ: 36

Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

Показать ответ и решение

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Показать ответ и решение

Объем шара равен Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на

Показать ответ и решение

Так как точка – центр круга — центр сферы, то и Тогда — прямоугольная
трапеция, площадь которой равна

Здесь — радиус сферы, — радиус

Далее, зная площадь круга, найдем его радиус:

Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как то то есть

Тогда имеем:

Тогда искомая площадь равна

Евгений изучает сферу. Он решил расположить её так, чтобы её центр совпал с началом прямоугольной
системы координат . Плоскости , и пересекли рассматриваемую сферу по
большим окружностям. Евгений заметил, что если разрезать сферу по этим окружностям, то она
распадётся на несколько криволинейных треугольников. Количество треугольников, на которые
распадётся сфера, он обозначил через . Но сферу он разрезать не стал.

Затем Евгений посчитал число точек на сфере, через которые прошли хотя бы две из этих
окружностей, он назвал эти точки вершинами, а полученное число обозначил через . Напоследок он
посчитал число криволинейных отрезков на сфере, соединяющих соседние вершины (каждый такой
отрезок представляет собой четверть дуги одной из полученных больших окружностей) и обозначил его
через . Найдите .

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара равна . На расстоянии от центра шара проведена плоскость.
Найдите длину полученной в сечении окружности.

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара равна . На расстоянии от центра шара проведена плоскость.
Найдите площадь полученного сечения.

Показать ответ и решение

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Показать ответ и решение